• പുരാതനവും ആധുനികവുമായ പഠനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ഈ സംഘർഷത്തിന്റെ ദിവസങ്ങളിൽ; പൈതഗോറസിൽ ആരംഭിക്കാത്തതും ഐൻസ്റ്റീനിൽ അവസാനിക്കാത്തതുമായ ഒരു പഠനത്തിന് തീർച്ചയായും എന്തെങ്കിലും പറയാനുണ്ട്; എന്നാൽ അതാണ് ഏറ്റവും പഴയതും ഏറ്റവും ഇളയതുമായത്. - ജി.എച്ച്. ഹാർഡി

1.1 ആമുഖം

സെറ്റ് എന്ന ആശയം ഇന്നത്തെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ഭാഗമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ഇന്ന് ഈ ആശയം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഏതാണ്ട് എല്ലാ ശാഖകളിലും ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു. ബന്ധങ്ങളുടെയും ഫംഗ്ഷനുകളുടെയും ആശയങ്ങൾ നിർവചിക്കാൻ സെറ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ജ്യാമിതി, ശ്രേണികൾ, പ്രോബബിലിറ്റി മുതലായവയുടെ പഠനത്തിന് സെറ്റുകളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ആവശ്യമാണ്.

ജോർജ് കാന്റർ (1845-1918 എ.ഡി.)

സെറ്റ് സിദ്ധാന്തം ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ജോർജ് കാന്റർ (1845-1918) വികസിപ്പിച്ചെടുത്തതാണ്. “ട്രൈഗോണോമെട്രിക് സീരീസുകളിലെ പ്രശ്നങ്ങളിൽ” പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ അദ്ദേഹം ആദ്യമായി സെറ്റുകളെ കണ്ടുമുട്ടി. ഈ അധ്യായത്തിൽ, സെറ്റുകൾ ഉൾപ്പെടുന്ന ചില അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങളും പ്രവർത്തനങ്ങളും ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്യുന്നു.

1.2 സെറ്റുകളും അവയുടെ പ്രതിനിധാനങ്ങളും

ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ, ഒരു പ്രത്യേക തരത്തിലുള്ള വസ്തുക്കളുടെ ശേഖരത്തെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ പലപ്പോഴും സംസാരിക്കാറുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പാക്ക് കാർഡുകൾ, ആളുകളുടെ ഒരു കൂട്ടം, ഒരു ക്രിക്കറ്റ് ടീം മുതലായവ. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലും, നമ്മൾ ശേഖരങ്ങളെ കണ്ടുമുട്ടുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ, പോയിന്റുകൾ, അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ മുതലായവ. കൂടുതൽ പ്രത്യേകിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ശേഖരങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു:

(i) 10-ൽ കുറവുള്ള ഒറ്റ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ, അതായത്, 1, 3, 5, 7, 9

(ii) ഇന്ത്യയിലെ നദികൾ

(iii) ഇംഗ്ലീഷ് അക്ഷരമാലയിലെ സ്വരങ്ങൾ, അതായത്, $a, e, i, o, u$

(iv) വിവിധ തരം ത്രികോണങ്ങൾ

(v) 210-ന്റെ അഭാജ്യ ഘടകങ്ങൾ, അതായത്, 2,3,5, 7

(vi) സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം: $x^{2}-5 x+6=0$, അതായത്, 2 ഉം 3 ഉം.

മുകളിലുള്ഓരോ ഉദാഹരണവും വസ്തുക്കളുടെ നന്നായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട ഒരു ശേഖരമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു ഒരു നിശ്ചിത വസ്തു ഒരു നിശ്ചിത ശേഖരത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്നുണ്ടോ ഇല്ലയോ എന്ന് തീരുമാനിക്കാൻ കഴിയും എന്ന അർത്ഥത്തിൽ. ഉദാഹരണത്തിന്, നൈൽ നദി ഇന്ത്യയിലെ നദികളുടെ ശേഖരത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്നില്ലെന്ന് നമുക്ക് പറയാൻ കഴിയും. മറുവശത്ത്, ഗംഗാ നദി ഈ ശേഖരത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പ്രത്യേകിച്ചും ഉപയോഗിക്കുന്ന സെറ്റുകളുടെ കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ചുവടെ നൽകുന്നു, അതായത്.

$\mathbf{N}$ : എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെയും സെറ്റ്

$\mathbf{Z}$ : എല്ലാ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെയും സെറ്റ്

$\mathbf{Q}$ : എല്ലാ ഭിന്നക സംഖ്യകളുടെയും സെറ്റ്

$\mathbf{R}$ : എല്ലാ റിയൽ സംഖ്യകളുടെയും സെറ്റ്

$\mathbf{Z^{+}} $: എല്ലാ ധനാത്മക പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെയും സെറ്റ്

$\mathbf{Q^{+}} $: എല്ലാ ധനാത്മക ഭിന്നക സംഖ്യകളുടെയും സെറ്റ്, കൂടാതെ

$\mathbf{R^{+}} $: എല്ലാ ധനാത്മക റിയൽ സംഖ്യകളുടെയും സെറ്റ്.

മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രത്യേക സെറ്റുകളുടെ ചിഹ്നങ്ങൾ ഈ വാചകത്തിലുടനീളം റഫർ ചെയ്യും.

ലോകത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രശസ്തരായ അഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ ശേഖരം വീണ്ടും നന്നായി നിർവചിച്ചിട്ടില്ല, കാരണം ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനെ ഏറ്റവും പ്രശസ്തനായി നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള മാനദണ്ഡം വ്യക്തിയിൽ നിന്ന് വ്യക്തിയിലേക്ക് വ്യത്യാസപ്പെടാം. അതിനാൽ, ഇത് നന്നായി നിർവചിച്ച ഒരു ശേഖരമല്ല.

ഒരു സെറ്റ് എന്നത് വസ്തുക്കളുടെ നന്നായി നിർവചിച്ച ഒരു ശേഖരമാണ് എന്ന് ഞങ്ങൾ പറയും.

ഇനിപ്പറയുന്ന പോയിന്റുകൾ ശ്രദ്ധിക്കാം:

(i) ഒരു സെറ്റിന്റെ വസ്തുക്കൾ, ഘടകങ്ങൾ, അംഗങ്ങൾ എന്നിവ പര്യായ പദങ്ങളാണ്.

(ii) സെറ്റുകൾ സാധാരണയായി വലിയ അക്ഷരങ്ങളായ A, B, C, X, Y, Z മുതലായവയാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

(iii) ഒരു സെറ്റിന്റെ ഘടകങ്ങൾ ചെറിയ അക്ഷരങ്ങളായ $a, b, c, x, y, z$ മുതലായവയാണ് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത്.

$a$ എന്നത് ഒരു സെറ്റ് A യുടെ ഒരു ഘടകമാണെങ്കിൽ, “$a$ A യിൽ പെടുന്നു” എന്ന് ഞങ്ങൾ പറയുന്നു. ‘പെടുന്നു’ എന്ന വാചകം സൂചിപ്പിക്കാൻ ഗ്രീക്ക് ചിഹ്നം $\in$ (എപ്സിലോൺ) ഉപയോഗിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, ഞങ്ങൾ $a \in A$ എന്ന് എഴുതുന്നു. ‘$b$’ ഒരു സെറ്റ് $A$ ന്റെ ഘടകമല്ലെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ $b \notin A$ എന്ന് എഴുതുകയും “$b$ A യിൽ പെടുന്നില്ല” എന്ന് വായിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

അങ്ങനെ, ഇംഗ്ലീഷ് അക്ഷരമാലയിലെ സ്വരങ്ങളുടെ സെറ്റ് $V$ ൽ, $a \in V$ എന്നാൽ $b \notin V$. $P$ എന്ന സെറ്റിൽ 210 ന്റെ അഭാജ്യ ഘടകങ്ങൾ, $30,3 \in P$ എന്നാൽ $15 \notin P$.

ഒരു സെറ്റിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ രണ്ട് രീതികളുണ്ട്:

(i) റോസ്റ്റർ അല്ലെങ്കിൽ ടാബുലാർ ഫോം

(ii) സെറ്റ്-ബിൽഡർ ഫോം.

(i) റോസ്റ്റർ ഫോമിൽ, ഒരു സെറ്റിന്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു, ഘടകങ്ങൾ കോമകളാൽ വേർതിരിച്ചിരിക്കുകയും ബ്രേസുകൾക്കുള്ളിൽ { } ഉൾപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 7-ൽ കുറവുള്ള എല്ലാ ഇരട്ട ധനാത്മക പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെയും സെറ്റ് റോസ്റ്റർ ഫോമിൽ $\{2,4,6\}$ എന്ന് വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു. റോസ്റ്റർ ഫോമിൽ ഒരു സെറ്റിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിനുള്ള കുറച്ച് കൂടുതൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

(a) 42-നെ ഹരിക്കുന്ന എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെയും സെറ്റ് $\{1,2,3,6,7,14,21,42\}$ ആണ്.

കുറിപ്പ് - റോസ്റ്റർ ഫോമിൽ, ഘടകങ്ങൾ ലിസ്റ്റുചെയ്യുന്ന ക്രമം അപ്രധാനമാണ്. അങ്ങനെ, മുകളിലുള്ള സെറ്റിനെ $\{1,3,7,21,2,6,14,42\}$ എന്നും പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

(b) ഇംഗ്ലീഷ് അക്ഷരമാലയിലെ എല്ലാ സ്വരങ്ങളുടെയും സെറ്റ് $\{a, e, i, o, u\}$ ആണ്.

(c) ഒറ്റ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ സെറ്റ് $\{1,3,5, \ldots\}$ ആണ് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത്. ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ ലിസ്റ്റ് അനിശ്ചിതമായി തുടരുന്നുവെന്ന് ഡോട്ടുകൾ നമ്മോട് പറയുന്നു.

കുറിപ്പ് - റോസ്റ്റർ ഫോമിൽ സെറ്റ് എഴുതുമ്പോൾ ഒരു ഘടകം സാധാരണയായി ആവർത്തിക്കാറില്ല, അതായത്, എല്ലാ ഘടകങ്ങളും വ്യത്യസ്തമായി എടുക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ‘സ്കൂൾ’ എന്ന വാക്ക് രൂപപ്പെടുത്തുന്ന അക്ഷരങ്ങളുടെ സെറ്റ് $\{S, C, H, O, L\}$ അല്ലെങ്കിൽ $\{H, O, L, C, S\}$ ആണ്. ഇവിടെ, ഘടകങ്ങൾ ലിസ്റ്റുചെയ്യുന്ന ക്രമത്തിന് പ്രസക്തിയില്ല.

(ii) സെറ്റ്-ബിൽഡർ ഫോമിൽ, ഒരു സെറ്റിന്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ഒരൊറ്റ പൊതുവായ സ്വത്ത് കൈവശമുള്ളതാണ്, അത് സെറ്റിന് പുറത്തുള്ള ഒരു ഘടകത്തിനും ഇല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, സെറ്റ് $\{a, e, i, o, u\}$ ൽ, എല്ലാ ഘടകങ്ങൾക്കും ഒരു പൊതുവായ സ്വത്തുണ്ട്, അതായത്, അവയിൽ ഓരോന്നും ഇംഗ്ലീഷ് അക്ഷരമാലയിലെ ഒരു സ്വരമാണ്, മറ്റൊരു അക്ഷരത്തിനും ഈ സ്വത്ത് ഇല്ല. ഈ സെറ്റിനെ $V$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു

$V=\{x: x$ ഇംഗ്ലീഷ് അക്ഷരമാലയിലെ ഒരു സ്വരമാണ് $\}$

സെറ്റിന്റെ ഘടകത്തെ ഒരു ചിഹ്നം $x$ ($y, z$ മുതലായ അക്ഷരങ്ങൾ പോലുള്ള മറ്റേതെങ്കിലും ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കാം) ഉപയോഗിച്ചാണ് ഞങ്ങൾ വിവരിക്കുന്നത്, അതിനുശേഷം ഒരു കോളൻ “:” ഉണ്ട്. കോളന്റെ ചിഹ്നത്തിന് ശേഷം, സെറ്റിന്റെ ഘടകങ്ങൾക്ക് ഉള്ള സ്വഭാവ സവിശേഷത ഞങ്ങൾ എഴുതുകയും തുടർന്ന് മുഴുവൻ വിവരണവും ബ്രേസുകൾക്കുള്ളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നു. സെറ്റ് $V$ ന്റെ മുകളിലുള്ള വിവരണം “എല്ലാ $x$ ന്റെയും സെറ്റ് അങ്ങനെ $x$ ഇംഗ്ലീഷ് അക്ഷരമാലയുടെ ഒരു സ്വരമാണ്” എന്ന് വായിക്കുന്നു. ഈ വിവരണത്തിൽ ബ്രേസുകൾ “എല്ലാറ്റിന്റെയും സെറ്റ്” എന്നതിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, കോളൻ “അങ്ങനെ” എന്നതിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, സെറ്റ്

$A=\{x: x$ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്, $3<x<10\}$ “എല്ലാ $x$ ന്റെയും സെറ്റ് അങ്ങനെ $x$ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്, $x$ 3 നും 10 നും ഇടയിലാണ്” എന്ന് വായിക്കുന്നു. അതിനാൽ, 4, 5, 6, 7,8, 9 എന്നീ സംഖ്യകൾ സെറ്റ് $A$ ന്റെ ഘടകങ്ങളാണ്.

$(a),(b)$, $(c)$ എന്നിവയിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന സെറ്റുകൾ ഞങ്ങൾ റോസ്റ്റർ ഫോമിൽ $A, B$, $C$ എന്നിവയാൽ സൂചിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, $A, B, C$ സെറ്റ്-ബിൽഡർ ഫോമിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

$A=\{x: x$ 42-നെ ഹരിക്കുന്ന ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ് $\}$

$B=\{y: y$ ഇംഗ്ലീഷ് അക്ഷരമാലയിലെ ഒരു സ്വരമാണ് $\}$

$C=\{z: z$ ഒരു ഒറ്റ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ് $\}$

ഉദാഹരണം 1 $x^{2}+x-2=0$ എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാര സെറ്റ് റോസ്റ്റർ ഫോമിൽ എഴുതുക.

പരിഹാരം നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യം ഇങ്ങനെ എഴുതാം

$$ (x-1)(x+2)=0 \text {, i. e., } x=1,-2 $$

അതിനാൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാര സെറ്റ് റോസ്റ്റർ ഫോമിൽ $\{1,-2\}$ എന്ന് എഴുതാം.

ഉദാഹരണം 2 സെറ്റ് $\{x: x$ ഒരു ധനാത്മക പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്, $x^{2}<40\}$ റോസ്റ്റർ ഫോമിൽ എഴുതുക.

പരിഹാരം ആവശ്യമായ സംഖ്യകൾ $1,2,3,4,5,6$ ആണ്. അതിനാൽ, റോസ്റ്റർ ഫോമിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന സെറ്റ് $\{1,2,3,4,5,6\}$ ആണ്.

ഉദാഹരണം 3 സെറ്റ് $A=\{1,4,9,16,25, \ldots\}$ സെറ്റ്-ബിൽഡർ ഫോമിൽ എഴുതുക.

പരിഹാരം നമുക്ക് സെറ്റ് A ഇങ്ങനെ എഴുതാം

$$ A=\{x: x \text { is the square of a natural number }\} $$

പകരമായി, നമുക്ക് എഴുതാം

$$ A=\{x: x=n^{2}, \text { where } n \in \mathbf{N}\} $$

ഉദാഹരണം 4 സെറ്റ് $\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}\}$ സെറ്റ്-ബിൽഡർ ഫോമിൽ എഴുതുക.

പരിഹാരം നൽകിയിരിക്കുന്ന സെറ്റിലെ ഓരോ അംഗത്തിനും ഡിനോമിനേറ്ററിനേക്കാൾ ഒന്ന് കുറവാണ് ന്യൂമറേറ്റർ എന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. കൂടാതെ, ന്യൂമറേറ്റർ 1 ൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുകയും 6 കവിയാതിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അതിനാൽ, സെറ്റ്-ബിൽഡർ ഫോമിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന സെറ്റ്

$$ \{ x: x=\frac{n}{n+1}, \text { where } n \text { is a natural number and } 1 \leq n \leq 6 \} $$

ഉദാഹരണം 5 റോസ്റ്റർ ഫോമിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന ഇടതുവശത്തുള്ള ഓരോ സെറ്റും സെറ്റ്-ബിൽഡർ ഫോമിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന വലതുവശത്തുള്ള അതേ സെറ്റുമായി പൊരുത്തപ്പെടുത്തുക:

$$ \begin{array}{ll} (i) \hspace{2 mm} \{P, R, I, N, C, A, L\} & (a) \hspace{2 mm} \{x: x \text{ is a positive integer and is a divisor of 18 } \} \\ (ii) \hspace{2 mm}\{0\} & (b)\hspace{2 mm} \{x: x \text{ is an integer and } x^{2}-9=0\} \\ (iii)\hspace{2 mm} \{1,2,3,6,9,18\} & (c)\hspace{2 mm} \{x: x \text { is a letter of the word PRINCIPAL }\} \\ (iv)\hspace{2 mm} \{{3,-3\}} & (d) \hspace{2 mm} \{x: x \text{ is an integer and } x+1=1\} \end{array} $$

പരിഹാരം (d) ൽ, PRINCIPAL എന്ന വാക്കിൽ 9 അക്ഷരങ്ങളുണ്ട്, P, I എന്നീ രണ്ട് അക്ഷരങ്ങൾ ആവർത്തിക്കപ്പെടുന്നതിനാൽ, (i) (d) യുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. അതുപോലെ, $x+1=1$ $x=0$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നതിനാൽ (ii) (c) യുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. കൂടാതെ, 1, 2 ,3, 6, 9, 18 എന്നിവയെല്ലാം 18-ന്റെ ഹാരകങ്ങളാണ്, അതിനാൽ (iii) (a) യുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. അവസാനമായി, $x^{2}-9=0$ $x=3,-3$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതിനാൽ (iv) (b) യുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

1.3 ശൂന്യ സെറ്റ്

സെറ്റ് പരിഗണിക്കുക

$A=\{x: x$ ഒരു സ്കൂളിൽ നിലവിൽ പതിനൊന്നാം ക്ലാസിൽ പഠിക്കുന്ന വിദ്യാർത്ഥിയാണ് $\}$

നമുക്ക് സ്കൂളിൽ പോയി നിലവിൽ ആ സ്കൂളിലെ പതിനൊന്നാം ക്ലാസിൽ പഠിക്കുന്ന വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കാം. അങ്ങനെ, സെറ്റ് A യിൽ പരിമിതമായ എണ്ണം ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ മറ്റൊരു സെറ്റ് $B$ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതുന്നു:

$B = \{x: x$ നിലവിൽ പത്താം ക്ലാസിലും പതിനൊന്നാം ക്ലാസിലും പഠിക്കുന്ന ഒരു വിദ്യാർത്ഥിയാണ് $\}$

ഒരു വിദ്യാർത്ഥിക്ക് ഒരേസമയം പത്താം ക്ലാസിലും പതിനൊന്നാം ക്ലാസിലും പഠിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ നിരീക്ഷിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, സെറ്റ് B യിൽ ഒരു ഘടകവും അടങ്ങിയിട്ടില്ല.

നിർവചനം 1 ഒരു ഘടകവും അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്ത ഒരു സെറ്റിനെ ശൂന്യ സെറ്റ് അല്ലെങ്കിൽ നൾ സെറ്റ് അല്ലെങ്കിൽ വോയിഡ് സെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഈ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, B ഒരു ശൂന്യ സെറ്റാണ്, A ശൂന്യ സെറ്റല്ല. ശൂന്യ സെറ്റ് $\phi$ അല്ലെങ്കിൽ { } എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ശൂന്യ സെറ്റുകളുടെ കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ചുവടെ നൽകുന്നു.

(i) $A=\{x: 1<x<2, x$ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ് $\}$. അപ്പോൾ A ശൂന്യ സെറ്റാണ്, കാരണം 1 നും 2 നും ഇടയിൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയില്ല.

(ii) $B=\{x: x^{2}-2=0$, $x$ ഒരു ഭിന്നക സംഖ്യയാണ് $\}$. അപ്പോൾ $B$ ശൂന്യ സെറ്റാണ്, കാരണം $x^{2}-2=0$ എന്ന സമവാക്യം $x$ ന്റെ ഏതെങ്കിലും ഭിന്നക മൂല്യത്താൽ തൃപ്തിപ്പെടുത്തില്ല.

(iii) $C =$ $\{x: x$ 2-നേക്കാൾ വലിയ ഒരു ഇരട്ട അഭാജ്യ സംഖ്യയാണ് $\}$. അപ്പോൾ $C$ ശൂന്യ സെറ്റാണ്, കാരണം 2 മാത്രമാണ് ഇരട്ട അഭാജ്യ സംഖ്യ.

(iv) $D=\{x: x^{2}=4, x.$ ഒറ്റയാണ് $\}$. അപ്പോൾ $D$ ശൂന്യ സെറ്റാണ്, കാരണം $x^{2}=4$ എന്ന സമവാക്യം $x$ ന്റെ ഏതെങ്കിലും ഒറ്റ മൂല്യത്താൽ തൃപ്തിപ്പെടുത്തില്ല.

1.4 പരിമിതവും അനന്തവുമായ സെറ്റുകൾ

$\quad A=\{1,2,3,4,5\}, \quad B=\{a, b, c, d, e, g\}$, $\quad C=\{$ ലോകത്തിന്റെ വിവിധ ഭാഗങ്ങളിൽ നിലവിൽ ജീവിക്കുന്ന പുരുഷന്മാർ $\}$

A യിൽ 5 ഘടകങ്ങളും B യിൽ 6 ഘടകങ്ങളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതായി ഞങ്ങൾ നിരീക്ഷിക്കുന്നു. $C$ ൽ എത്ര ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു? ഇപ്പോൾ, $C$ ൽ എത്ര ഘടകങ്ങളുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല, പക്ഷേ അത് ഒരു വലിയ സംഖ്യയായിരിക്കാനിടയുള്ള ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്. ഒരു സെറ്റ് $S$ ന്റെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട്, സെറ്റിന്റെ വ്യത്യസ്ത ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം ഞങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ അതിനെ $n$ (S) എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. $n$ (S) ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, $S$ ശൂന്യമല്ലാത്ത പരിമിത സെറ്റാണ്.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ സെറ്റ് പരിഗണിക്കുക. അനന്തമായ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുള്ളതിനാൽ ഈ സെറ്റിന്റെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം പരിമിതമല്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ സെറ്റ് ഒരു അനന്ത സെറ്റാണെന്ന് ഞങ്ങൾ പറയുന്നു. മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന A, B, C എന്നീ സെറ്റുകൾ പരിമിത സെറ്റുകളാണ്, $n(A)=5, n(B)=6$, $n(C)=$ ചില പരിമിത സംഖ്യകളാണ്.

**നിർവചന