നിങ്ങളുടെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് അറിവിന്റെയും യഥാർത്ഥ ജീവിതത്തിന്റെയും ബന്ധം വളരെ വ്യക്തമായി കാണാൻ കഴിയട്ടെ, അറിവ് വഴി ലോകത്തെ എങ്ങനെ പരിവർത്തനം ചെയ്യാമെന്ന് അവർ മനസ്സിലാക്കട്ടെ. - ബെർട്രാൻഡ് റസൽ

10.1 ആമുഖം

മുമ്പത്തെ അദ്ധ്യായം 10-ൽ, ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യങ്ങളുടെ വിവിധ രൂപങ്ങൾ നമ്മൾ പഠിച്ചു. ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, മറ്റ് ചില വക്രങ്ങളായ വൃത്തങ്ങൾ, ദീർഘവൃത്തങ്ങൾ, പരാബോളകൾ, ഹൈപ്പർബോളകൾ എന്നിവയെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ പഠിക്കും. പരാബോള, ഹൈപ്പർബോള എന്നീ പേരുകൾ അപ്പോളോണിയസ് നൽകിയതാണ്. ഈ വക്രങ്ങൾ യഥാർത്ഥത്തിൽ, ശങ്കുവൃത്തങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ സാധാരണയായി കോണിക്സ് എന്നറിയപ്പെടുന്നു, കാരണം ഇവ ഒരു തലം ഒരു ഇരട്ട നാപ്പ് ഉള്ള വലത് വൃത്താകൃതിയിലുള്ള കോണിനെ കൂട്ടിമുട്ടിക്കുമ്പോൾ ലഭിക്കുന്നവയാണ്. ഗ്രഹങ്ങളുടെ ചലനം, ദൂരദർശിനികളുടെയും ആന്റിനകളുടെയും രൂപകൽപ്പന, ഫ്ലാഷ് ലൈറ്റുകളിലെയും ഓട്ടോമൊബൈൽ ഹെഡ്ലൈറ്റുകളിലെയും റിഫ്ലെക്ടറുകൾ തുടങ്ങിയ മേഖലകളിൽ ഈ വക്രങ്ങൾക്ക് വളരെ വിശാലമായ പ്രയോഗങ്ങളുണ്ട്.

അപ്പോളോണിയസ് (262 BC -190 BC)

ഇനി, തുടർന്നുള്ള ഭാഗങ്ങളിൽ, ഒരു തലം ഒരു ഇരട്ട നാപ്പ് ഉള്ള വലത് വൃത്താകൃതിയിലുള്ള കോണിനെ കൂട്ടിമുട്ടിക്കുമ്പോൾ വ്യത്യസ്ത തരം വക്രങ്ങൾ എങ്ങനെ ലഭിക്കുന്നുവെന്ന് നമ്മൾ കാണും.

10.2 ഒരു കോണിന്റെ ഖണ്ഡങ്ങൾ

$l$ ഒരു നിശ്ചിത ലംബരേഖയായിരിക്കട്ടെ, $m$ അതിനെ ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിൽ $V$ വിഭജിക്കുകയും അതിനോട് $\alpha$ കോണിൽ ചായ്ച്ചിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന മറ്റൊരു രേഖയായിരിക്കട്ടെ (ചിത്രം 10.1).

ചിത്രം 10.1

$m$ രേഖ $l$ രേഖയ്ക്ക് ചുറ്റും $\alpha$ കോൺ സ്ഥിരമായി നിലനിൽക്കുന്ന വിധത്തിൽ നമ്മൾ തിരിക്കുന്നുവെന്ന് കരുതുക. അപ്പോൾ ഉണ്ടാകുന്ന പ്രതലം ഒരു ഇരട്ട-നാപ്പ് ഉള്ള വലത് വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പൊള്ളയായ കോൺ ആണ്, ഇത് ഇനി കോൺ എന്നറിയപ്പെടുകയും ഇരുവശത്തും അനിശ്ചിതമായി വികസിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു (ചിത്രം 10.2).

ചിത്രം 10.2

$V$ ബിന്ദുവിനെ ശീർഷകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു; $l$ രേഖ കോണിന്റെ അക്ഷം ആണ്. തിരിക്കുന്ന $m$ രേഖയെ കോണിന്റെ ഒരു ജനറേറ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ശീർഷകം കോണിനെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വേർതിരിക്കുന്നു, അവയെ നാപ്പുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു കോണിനെ ഒരു തലം കൊണ്ട് വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അങ്ങനെ ലഭിക്കുന്ന ഖണ്ഡത്തെ ശങ്കുവൃത്തഖണ്ഡം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു വലത് വൃത്താകൃതിയിലുള്ള കോണിനെ ഒരു തലം കൊണ്ട് വിഭജിച്ച് ലഭിക്കുന്ന വക്രങ്ങളാണ് ശങ്കുവൃത്തഖണ്ഡങ്ങൾ.

കോണുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വിഭജിക്കുന്ന തലത്തിന്റെ സ്ഥാനത്തെയും അത് കോണിന്റെ ലംബ അക്ഷത്തോടുള്ള കോണിനെയും ആശ്രയിച്ച് നമുക്ക് വ്യത്യസ്ത തരം ശങ്കുവൃത്തഖണ്ഡങ്ങൾ ലഭിക്കും. കോണിന്റെ ലംബ അക്ഷത്തോടുള്ള വിഭജിക്കുന്ന തലത്തിന്റെ കോൺ $\beta$ ആയിരിക്കട്ടെ (ചിത്രം 10.3).

ചിത്രം 10.3

തലവും കോണും തമ്മിലുള്ള വിഭജനം കോണിന്റെ ശീർഷകത്തിലോ അല്ലെങ്കിൽ ശീർഷകത്തിന് താഴെയോ മുകളിലോ ഉള്ള നാപ്പിന്റെ മറ്റേതെങ്കിലും ഭാഗത്തോ സംഭവിക്കാം.

10.2.1 വൃത്തം, ദീർഘവൃത്തം, പരാബോള, ഹൈപ്പർബോള

തലം കോണിന്റെ നാപ്പിനെ (ശീർഷകം ഒഴികെ) വെട്ടുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സാഹചര്യങ്ങൾ ഉണ്ട്:

(എ) $\beta=90^{\circ}$ ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ഖണ്ഡം ഒരു വൃത്തം ആണ് (ചിത്രം 10.4).

ചിത്രം 10.4

(ബി) $\alpha<\beta<90^{\circ}$ ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ഖണ്ഡം ഒരു ദീർഘവൃത്തം ആണ് (ചിത്രം 10.5).

ചിത്രം 10.5

(സി) $\beta=\alpha$ ആയിരിക്കുമ്പോൾ; ഖണ്ഡം ഒരു പരാബോള ആണ് (ചിത്രം 10.6).

ചിത്രം 10.6

(മുകളിലെ മൂന്ന് സാഹചര്യങ്ങളിലും, തലം കോണിന്റെ ഒരു നാപ്പിനെ പൂർണ്ണമായും കുറുകെ വെട്ടുന്നു).

(ഡി) $0 \leq \beta<\alpha$ ആയിരിക്കുമ്പോൾ; തലം രണ്ട് നാപ്പുകളിലൂടെയും കടന്നുപോകുകയും വിഭജനത്തിന്റെ വക്രം ഒരു ഹൈപ്പർബോള ആയിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു (ചിത്രം 10.7).

ചിത്രം 10.7

10.2.2 അപചയം വന്ന ശങ്കുവൃത്തഖണ്ഡങ്ങൾ

തലം കോണിന്റെ ശീർഷകത്തിൽ വെട്ടുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യത്യസ്ത കേസുകൾ ഉണ്ട്:

(എ) $\alpha<\beta \leq 90^{\circ}$ ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ഖണ്ഡം ഒരു ബിന്ദു ആണ് (ചിത്രം 10.8).

ചിത്രം 10.8

(ബി) $\beta=\alpha$ ആയിരിക്കുമ്പോൾ, തലത്തിൽ കോണിന്റെ ഒരു ജനറേറ്റർ അടങ്ങിയിരിക്കുകയും ഖണ്ഡം ഒരു നേർരേഖ ആയിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു (ചിത്രം 10.9).

ചിത്രം 10.9

ഇത് ഒരു പരാബോളയുടെ അപചയം വന്ന കേസാണ്.

(സി) $0 \leq \beta<\alpha$ ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ഖണ്ഡം ഒരു ജോടി വിഭജിക്കുന്ന നേർരേഖകൾ ആണ് (ചിത്രം 10.10). ഇത് ഒരു ഹൈപ്പർബോളയുടെ അപചയം വന്ന കേസാണ്.

ചിത്രം 10.8 (a)

ചിത്രം 10.8 (b)

തുടർന്നുള്ള ഭാഗങ്ങളിൽ, ഈ ശങ്കുവൃത്തഖണ്ഡങ്ങളിൽ ഓരോന്നിന്റെയും സമവാക്യങ്ങൾ അവയെ ജ്യാമിതീയ ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി നിർവചിച്ച് സാധാരണ രൂപത്തിൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും.

10.3 വൃത്തം

നിർവചനം 1 ഒരു തലത്തിലെ എല്ലാ ബിന്ദുക്കളുടെയും സമുച്ചയമാണ് വൃത്തം, അവ ആ തലത്തിലെ ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലാണ്.

നിശ്ചിത ബിന്ദുവിനെ വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രം എന്നും കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള അകലത്തെ വൃത്തത്തിന്റെ ആരം എന്നും വിളിക്കുന്നു (ചിത്രം 10.11).

ചിത്രം 10.11

വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രം ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് ആണെങ്കിൽ വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം ഏറ്റവും ലഘുവാണ്. എന്നിരുന്നാലും, തന്നിരിക്കുന്ന കേന്ദ്രവും ആരവും ഉള്ള വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം ചുവടെ നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നു (ചിത്രം 10.12).

ചിത്രം 10.12

$C(h, k)$ കേന്ദ്രവും $r$ വൃത്തത്തിന്റെ ആരവുമായിരിക്കട്ടെ. $P(x, y)$ വൃത്തത്തിലെ ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ (ചിത്രം 10.12). അപ്പോൾ, നിർവചനം പ്രകാരം, $|CP|=r$. അകലസൂത്രം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ഉണ്ട്

അതായത്.

$ \begin{aligned} & \sqrt{(x-h)^{2}+-k)^{2}}=r \\ & (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} \end{aligned} $

ഇതാണ് $(h, k)$ കേന്ദ്രവും $r$ ആരവുമുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ ആവശ്യമായ സമവാക്യം.

ഉദാഹരണം 1 $(0,0)$ കേന്ദ്രവും $r$ ആരവുമുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ ഒരു സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം ഇവിടെ $h=k=0$. അതിനാൽ, വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ആണ്.

ഉദാഹരണം 2 $(-3,2)$ കേന്ദ്രവും 4 ആരവുമുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം ഇവിടെ $h=-3, k=2$ ഉം $r=4$ ഉം ആണ്. അതിനാൽ, ആവശ്യമായ വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം

$$ (x+3)^{2}+(y-2)^{2}=16 $$

ഉദാഹരണം 3 $x^{2}+y^{2}+8 x+10 y-8=0$ എന്ന വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രവും ആരവും കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം തന്നിരിക്കുന്ന സമവാക്യം

$$ (x^{2}+8 x)+(y^{2}+10 y)=8 $$

ഇപ്പോൾ, ബ്രാക്കറ്റിനുള്ളിൽ വർഗ്ഗങ്ങൾ പൂർത്തിയാക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$ (x^{2}+8 x+16)+(y^{2}+10 y+25)=8+16+25 $

അതായത്.

$ (x+4)^{2}+(y+5)^{2}=49 $

അതായത്.

$[x-(-4)]^2 + [y-(-5)]^2 = 7^2$

അതിനാൽ, തന്നിരിക്കുന്ന വൃത്തത്തിന് $(-4,-5)$ കേന്ദ്രവും 7 ആരവുമുണ്ട്.

ഉദാഹരണം 4 $(2,-2)$, $(3,4)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നുപോകുകയും അതിന്റെ കേന്ദ്രം $x+y=2$ എന്ന രേഖയിൽ കിടക്കുകയും ചെയ്യുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ ആയിരിക്കട്ടെ.

വൃത്തം $(2,-2)$, $(3,4)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നതിനാൽ, നമുക്ക് ഉണ്ട്

$$ \begin{equation*} (2-h)^{2}+(-2-k)^{2}=r^{2} \tag{1} \end{equation*} $$

ഒപ്പം $$ \begin{equation*} (3-h)^{2}+(4-k)^{2}=r^{2} \tag{2} \end{equation*} $$

കേന്ദ്രം $x+y=2$ എന്ന രേഖയിൽ കിടക്കുന്നതിനാൽ, നമുക്ക് ഉണ്ട്

$$ \begin{equation*} h+k=2 \tag{3} \end{equation*} $$

സമവാക്യങ്ങൾ (1), (2), (3) എന്നിവ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$ h=0.7, \quad k=1.3 \text{ and } r^{2}=12.58 $

അതിനാൽ, ആവശ്യമായ വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം

$ (x-0.7)^{2}+(y-1.3)^{2}=12.58 . $

10.4 പരാബോള

നിർവചനം 2 ഒരു തലത്തിലെ എല്ലാ ബിന്ദുക്കളുടെയും സമുച്ചയമാണ് പരാബോള, അവ ആ തലത്തിലെ ഒരു നിശ്ചിത രേഖയിൽ നിന്നും ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിൽ നിന്നും (രേഖയിൽ ഇല്ലാത്ത) തുല്യ അകലത്തിലാണ്.

നിശ്ചിത രേഖയെ പരാബോളയുടെ ഡയറക്ട്രിക്സ് എന്നും നിശ്ചിത ബിന്ദു $F$ നെ ഫോക്കസ് എന്നും വിളിക്കുന്നു (ചിത്രം 10.13). (‘പാര’ എന്നാൽ ‘വേണ്ടി’ എന്നും ‘ബോള’ എന്നാൽ ‘എറിയൽ’ എന്നും, അതായത്, നിങ്ങൾ ഒരു പന്ത് വായുവിൽ എറിയുമ്പോൾ വിവരിക്കുന്ന ആകൃതി).

ചിത്രം 10.13

കുറിപ്പ് - നിശ്ചിത ബിന്ദു നിശ്ചിത രേഖയിൽ കിടക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിശ്ചിത ബിന്ദുവിൽ നിന്നും നിശ്ചിത രേഖയിൽ നിന്നും തുല്യ അകലത്തിലുള്ള തലത്തിലെ ബിന്ദുക്കളുടെ സമുച്ചയം, നിശ്ചിത ബിന്ദുവിലൂടെയും നിശ്ചിത രേഖയ്ക്ക് ലംബമായും കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖയാണ്. പരാബോളയുടെ അപചയം വന്ന കേസായി ഈ നേർരേഖയെ നമ്മൾ വിളിക്കുന്നു.

ഫോക്കസിലൂടെയും ഡയറക്ട്രിക്സിന് ലംബമായും കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖയെ പരാബോളയുടെ അക്ഷം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പരാബോള അക്ഷത്തെ വിഭജിക്കുന്ന ബിന്ദുവിനെ പരാബോളയുടെ ശീർഷകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു (ചിത്രം 10.14).

ചിത്രം 10.14

10.4.1 പരാബോളയുടെ സാധാരണ സമവാക്യങ്ങൾ

ശീർഷകം ഉത്ഭവസ്ഥാനത്തും സമമിതിയുടെ അക്ഷം $x$-അക്ഷത്തിലോ $y$-അക്ഷത്തിലോ ആണെങ്കിൽ ഒരു പരാബോളയുടെ സമവാക്യം ഏറ്റവും ലഘുവാണ്. അത്തരം പരാബോളയുടെ സാധ്യമായ നാല് ദിശകൾ ചുവടെയുള്ള ചിത്രം 10.15 (a) മുതൽ (d) വരെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

(a)

(b)

$x^{2}=4 a y$

(c)

$x^{2}=-4 a y$

(d)

മുകളിൽ ചിത്രം 10.15 (a) ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന പരാബോളയുടെ സമവാക്യം $(a, 0) a>0$ ഫോക്കസും; $x=-a$ ഡയറക്ട്രിക്സും ആയി ചുവടെ കണ്ടെത്താം:

$F$ ഫോക്കസും $l$ ഡയറക്ട്രിക്സും ആയിരിക്കട്ടെ. FM ഡയറക്ട്രിക്സിന് ലംബമായിരിക്കട്ടെ, FM നെ O എന്ന ബിന്ദുവിൽ സമഭാഗം ചെയ്യുകയും ചെയ്യട്ടെ. MO നെ X വരെ നീട്ടുക. $(-a, y)$ B പരാബോളയുടെ നിർവചനം പ്രകാരം, മധ്യബിന്ദു $O$ പരാബോളയിലാണ്, ഇതിനെ പരാബോളയുടെ ശീർഷകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. $O$ നെ ഉത്ഭവസ്ഥാനമായും, $OX$ നെ $x$-അക്ഷമായും, $OY$ അതിന് ലംബമായതിനെ $y$-അക്ഷമായും എടുക്കുക. ഡയറക്ട്രിക്സിൽ നിന്ന് ഫോക്കസിലേക്കുള്ള അകലം $2 a$ ആയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ, ഫോക്കസിന്റെ നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ $(a, 0)$ ആണ്, ഡയറക്ട്രിക്സിന്റെ സമവാക്യം $x+a=0$ ആണ്, ചിത്രം 10.16 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ.

ചിത്രം $\mathbf{1 0 . 1 6}$

$P(x, y)$ പരാബോളയിലെ ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ, അങ്ങനെ

$$ PF=PB, \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) $$

$PB$ $l$ ന് ലംബമായി ആണ്. $B$ ന്റെ നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ $(-a, y)$ ആണ്. അകലസൂത്രം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ഉണ്ട്

$ PF=\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}} \text{ and } PB=\sqrt{(x+a)^{2}} $

$PF=PB$ ആയതിനാൽ, നമുക്ക് ഉണ്ട്

$ \sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}}=\sqrt{(x+a)^{2}} $

അതായത്. $ \quad\quad\quad(x-a)^{2}+y^{2}=(x+a)^{2}$

അല്ലെങ്കിൽ $\quad\quad\quad x^{2}-2 a x+a^{2}+y^{2}=x^{2}+2 a x+a^{2}$

അല്ലെങ്കിൽ $\quad\quad\quad y^{2}=4 a x(a>0)$.

അതിനാൽ, പരാബോളയിലെ ഏതെങ്കിലും ബിന്ദു തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നത്

$ y^{2}=4 a x \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2) $

വിപരീതമായി, $P(x, y)$ സമവാക്യം (2) തൃപ്തിപ്പെടുത്തട്ടെ

$ \begin{aligned} PF & =\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}} \quad=\sqrt{(x-a)^{2}+4 a x} \\ & =\sqrt{(x+a)^{2}}=PB \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3) \end{aligned} $

അതിനാൽ $P(x, y)$ പരാബോളയിലാണ്.

അങ്ങനെ, (2), (3) എന്നിവയിൽ നിന്ന്, ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് ശീർഷകവും $(a, 0)$ ഫോക്കസും $x=-a$ ഡയറക്ട്രിക്സും ഉള്ള പരാബോളയുടെ സമവാക്യം $y^{2}=4 a x$ ആണെന്ന് നമ്മൾ തെളിയിച്ചിരിക്കുന്നു.

ചർച്ച സമവാക്യം (2) ൽ, $a>0, x$ ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് മൂല്യമോ പൂജ്യമോ എടുക്കാം, പക്ഷേ നെഗറ്റീവ് മൂല്യമല്ല, കൂടാതെ വക്രം ആദ്യത്തെയും നാലാമത്തെയും ചതുര്ത്ഥാംശങ്ങളിലേക്ക് അനിശ്ചിതമായി വികസിക്കുന്നു. പരാബോളയുടെ അക്ഷം പോസിറ്റീവ് $x$-അക്ഷമാണ്.

അതുപോലെ, ഇനിപ്പറയുന്നവയിലെ പരാബോളകളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

ചിത്രം 11.15 (b) യിൽ $y^{2}=-4 a x$,

ചിത്രം 11.15 (c) യിൽ $x^{2}=4 a y$,

ചിത്രം $11.15(d)$ യിൽ $x^{2}=-4 a y$,

ഈ നാല് സമവാക്യങ്ങളെ പരാബോളകളുടെ സാധാരണ സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് അറിയപ്പെടുന്നു.

കുറിപ്പ് - പരാബോളകളുടെ സാധാരണ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് ഫോക്കസ് ഒരു കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിലാണ്; ശീർഷകം ഉത്ഭവസ്ഥാനത്താണ്, അതിനാൽ ഡയറക്ട്രിക്സ് മറ്റേ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവിൽ ഫോക്കസും ഏതെങ്കിലും രേഖയും ഡയറക്ട്രിക്സും ഉള്ള പരാബോളകളുടെ സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം ഇവിടെയുള്ള പരിധിക്ക് പുറത്താണ്.

പരാബോളകളുടെ സാധാരണ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന്, ചിത്രം 10.15, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന നിരീക്ഷണങ്ങൾ ഉണ്ട്:

1. പരാബോളയുടെ അക്ഷത്തെ സംബന്ധിച്ച് പരാബോള സമമിതിയാണ്. സമവാക്യത്തിൽ $y^{2}$ പദം ഉണ്ടെങ്കിൽ, സമമിതിയുടെ അക്ഷം $x$-അക്ഷത്തിലാണ്, സമവാക്യത്തിൽ $x^{2}$ പദം ഉണ്ടെങ്കിൽ, സമമിതിയുടെ അക്ഷം $y$-അക്ഷത്തിലാണ്.

2. സമമിതിയുടെ അക്ഷം $x$-അക്ഷത്തിലാണെങ്കിൽ പരാബോള തുറക്കുന്നത്

(എ) വലതുവശത്തേക്ക്, $x$ ന്റെ ഗുണകം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ,

(ബി) ഇടതുവശത്തേക്ക്, $x$ ന്റെ ഗുണകം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ.

3. സമമിതിയുടെ അക്ഷം $y$-അക്ഷത്തിലാണെങ്കിൽ പരാബോള തുറക്കുന്നത്

(സി) മുകളിലേക്ക്, $y$ ന്റെ ഗുണകം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ.

(ഡി) താഴേക്ക്, $y$ ന്റെ ഗുണകം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ.

10.4.2 ലേറ്റസ് റെക്റ്റം

നിർവചനം 3 പരാബോളയുടെ ലേറ്റസ് റെക്റ്റം എന്നത് പരാബോളയുടെ അക്ഷത്തിന് ലംബ