എല്ലാ ശാസ്ത്രങ്ങളുടെയും രാജ്ഞിയും സഹായികയും ആണ് ഗണിതം - ഇ.ടി. ബെൽ

11.1 ആമുഖം

ഒരു തലത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ സ്ഥാനം കണ്ടെത്താൻ, ആ തലത്തിൽ പരസ്പരം ലംബമായി ഛേദിക്കുന്ന രണ്ട് രേഖകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കാം. ഈ രേഖകളെ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ എന്നും രണ്ട് സംഖ്യകളെ ആ ബിന്ദുവിന്റെ അക്ഷങ്ങളുമായുള്ള കോർഡിനേറ്റുകൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു. യഥാർത്ഥ ജീവിതത്തിൽ, നമുക്ക് ഒരു തലത്തിൽ മാത്രം കിടക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളുമായി മാത്രമല്ല കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ടതുള്ളൂ. ഉദാഹരണത്തിന്, ബഹിരാകാശത്ത് വിവിധ സമയങ്ങളിൽ എറിയപ്പെടുന്ന ഒരു പന്തിന്റെ സ്ഥാനം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു വിമാനം അതിന്റെ പറക്കൽ സമയത്ത് ഒരു സ്ഥലത്ത് നിന്ന് മറ്റൊരു സ്ഥലത്തേക്ക് പറക്കുമ്പോൾ വിവിധ സമയങ്ങളിലെ അതിന്റെ സ്ഥാനം പരിഗണിക്കുക.

ഇതുപോലെ, ഒരു മുറിയുടെ മേൽത്തട്ടിൽ നിന്ന് തൂങ്ങിക്കിടക്കുന്ന ഒരു ഇലക്ട്രിക് ബൾബിന്റെ ഏറ്റവും താഴ്ന്ന അറ്റത്തിന്റെ സ്ഥാനം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു മുറിയിലെ മേൽത്തട്ട് ഫാനിന്റെ മധ്യഭാഗത്തെ അറ്റത്തിന്റെ സ്ഥാനം കണ്ടെത്തണമെങ്കിൽ, കണ്ടെത്തേണ്ട ബിന്ദുവിന്റെ മുറിയുടെ രണ്ട് ലംബമായ ചുവരുകളിൽ നിന്നുള്ള ലംബദൂരങ്ങൾ മാത്രമല്ല, മുറിയുടെ തറയിൽ നിന്ന് ആ ബിന്ദുവിന്റെ ഉയരവും നമുക്ക് ആവശ്യമാണ്. അതിനാൽ, മുറിയുടെ തറയും മുറിയുടെ രണ്ട് അടുത്തുള്ള ചുവരുകളും എന്നീ മൂന്ന് പരസ്പരം ലംബമായ തലങ്ങളിൽ നിന്ന് ബിന്ദുവിന്റെ ലംബദൂരങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന രണ്ടല്ല, മൂന്ന് സംഖ്യകൾ നമുക്ക് ആവശ്യമാണ്. മൂന്ന് ദൂരങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന മൂന്ന് സംഖ്യകളെ മൂന്ന് കോർഡിനേറ്റ് തലങ്ങളെ സൂചിപ്പിച്ച് ആ ബിന്ദുവിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ബഹിരാകാശത്തെ ഒരു ബിന്ദുവിന് മൂന്ന് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്. ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, നമ്മൾ ത്രിമാന ബഹിരാകാശത്തിലെ ജ്യാമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ പഠിക്കും.*

11.2 ത്രിമാന ബഹിരാകാശത്തിലെ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളും കോർഡിനേറ്റ് തലങ്ങളും

മൂന്ന് തലങ്ങൾ ഒരു ബിന്ദുവിൽ $O$ ഛേദിക്കുന്നുവെന്നും ഈ മൂന്ന് തലങ്ങളും പരസ്പരം ലംബമാണെന്നും (ചിത്രം 11.1) പരിഗണിക്കുക. ഈ മൂന്ന് തലങ്ങൾ $X^{\prime} OX, Y^{\prime} OY$, $Z^{\prime} OZ$ എന്നീ രേഖകളിൽ ഛേദിക്കുന്നു, അവയെ യഥാക്രമം $x, y$, $z$ അക്ഷങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ രേഖകൾ പരസ്പരം ലംബമാണെന്ന് നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം. ഈ രേഖകൾ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സംവിധാനം ഉണ്ടാക്കുന്നു. XOY, YOZ, ZOX തലങ്ങളെ, യഥാക്രമം XY-തലം, YZ-തലം, ZX-തലം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇവ മൂന്ന് കോർഡിനേറ്റ് തലങ്ങളായി അറിയപ്പെടുന്നു. XOY തലത്തെ കടലാസിന്റെ തലമായും

ചിത്രം 11.1 $Z^{\prime} OZ$ രേഖയെ $XOY$ തലത്തിന് ലംബമായും എടുക്കുന്നു. കടലാസിന്റെ തലം തിരശ്ചീനമായി കണക്കാക്കിയാൽ, $Z^{\prime} OZ$ രേഖ ലംബമായിരിക്കും. XY-തലത്തിൽ നിന്ന് $OZ$ ദിശയിൽ മുകളിലേക്ക് അളക്കുന്ന ദൂരങ്ങൾ ധനാത്മകമായും $OZ^{\prime}$ ദിശയിൽ താഴേക്ക് അളക്കുന്നവ ഋണാത്മകമായും എടുക്കുന്നു. അതുപോലെ, $ZX$-തലത്തിന്റെ വലതുവശത്ത് $OY$ ദിശയിൽ അളക്കുന്ന ദൂരം ധനാത്മകമായും, ZX-തലത്തിന്റെ ഇടതുവശത്ത് $O Y^{\prime}$ ദിശയിൽ അളക്കുന്നത് ഋണാത്മകമായും, YZ-തലത്തിന്റെ മുന്നിൽ $O X$ ദിശയിൽ അളക്കുന്നത് ധനാത്മകമായും, അതിന്റെ പിന്നിൽ $OX^{\prime}$ ദിശയിൽ അളക്കുന്നത് ഋണാത്മകമായും എടുക്കുന്നു. $O$ ബിന്ദുവിനെ കോർഡിനേറ്റ് സംവിധാനത്തിന്റെ ഉത്ഭവസ്ഥാനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മൂന്ന് കോർഡിനേറ്റ് തലങ്ങൾ ബഹിരാകാശത്തെ എട്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു, അവയെ ഒക്റ്റന്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ ഒക്റ്റന്റുകളെ $XOYZ, X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY Y, XOY ’ Z, XOYZ$, $X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY^{\prime} Z^{\prime}$, $XOY^{\prime} Z^{\prime}$ എന്നിങ്ങനെ നാമകരണം ചെയ്യാം, യഥാക്രമം I, II, III, …, VIII എന്നിങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കാം.

11.3 ബഹിരാകാശത്തെ ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ

ബഹിരാകാശത്ത് കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ, കോർഡിനേറ്റ് തലങ്ങൾ, ഉത്ഭവസ്ഥാനം എന്നിവ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു നിശ്ചിത കോർഡിനേറ്റ് സംവിധാനം തിരഞ്ഞെടുത്ത ശേഷം, ബഹിരാകാശത്തെ ഒരു ബിന്ദുവിന് എങ്ങനെ മൂന്ന് കോർഡിനേറ്റുകൾ $(x, y, z)$ ബന്ധപ്പെടുത്താം എന്നും തിരിച്ചും, മൂന്ന് സംഖ്യകളുടെ ഒരു ട്രിപ്പിൾ $(x, y, z)$ നൽകിയാൽ, ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു ബിന്ദു എങ്ങനെ സ്ഥാനനിർണ്ണയം ചെയ്യാം എന്നും ഇപ്പോൾ വിശദീകരിക്കാം.

ചിത്രം 11.2

ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു ബിന്ദു $P$ നൽകിയിരിക്കുന്നു, നമ്മൾ XY-തലത്തിൽ ഒരു $\mathbf{X}$ ലംബം PM ഡ്രോപ്പ് ചെയ്യുന്നു, M ആണ് ഈ ലംബത്തിന്റെ പാദം (ചിത്രം 11.2). പിന്നെ, M ബിന്ദുവിൽ നിന്ന്, നമ്മൾ $x$-അക്ഷത്തിലേക്ക് ഒരു ലംബം ML വരച്ച് L-ൽ കണ്ടുമുട്ടിക്കുന്നു. OL ആയിരിക്കട്ടെ $x, LM$, $y$ ആയിരിക്കട്ടെ, MP ആയിരിക്കട്ടെ $z$. അപ്പോൾ $x, y$, $z$ എന്നിവയെ യഥാക്രമം ബിന്ദു $P$ ന്റെ $x, y$, $z$ കോർഡിനേറ്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ചിത്രം 11.2-ൽ, ബിന്ദു $P(x, y, z)$ XOYZ ഒക്റ്റന്റിൽ കിടക്കുന്നു, അതിനാൽ എല്ലാം $x, y$, $z$ ധനാത്മകമാണെന്ന് നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം. $P$ മറ്റേതെങ്കിലും ഒക്റ്റന്റിൽ ആയിരുന്നെങ്കിൽ, $x, y$, $z$ എന്നിവയുടെ ചിഹ്നങ്ങൾ അതനുസരിച്ച് മാറുമായിരുന്നു. അങ്ങനെ, ബഹിരാകാശത്തെ ഓരോ ബിന്ദുവിനും $P$ യഥാക്രമത്തിലുള്ള ഒരു ട്രിപ്പിൾ $(x, y, z)$ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾക്ക് യോജിക്കുന്നു.

തിരിച്ചും, ഏതെങ്കിലും ട്രിപ്പിൾ $(x, y, z)$ നൽകിയാൽ, നമ്മൾ ആദ്യം $x$-അക്ഷത്തിൽ $x$ ന് യോജിക്കുന്ന ബിന്ദു $L$ ഫിക്സ് ചെയ്യും, പിന്നെ XY-തലത്തിൽ $M$ ബിന്ദു സ്ഥാനനിർണ്ണയം ചെയ്യും, അതായത് $(x, y)$ ആണ് XY-തലത്തിലെ M ബിന്ദുവിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ. LM $x$-അക്ഷത്തിന് ലംബമാണ് അല്ലെങ്കിൽ $y$-അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ് എന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. M ബിന്ദുവിൽ എത്തിയ ശേഷം, നമ്മൾ XY-തലത്തിലേക്ക് ഒരു ലംബം MP വരച്ച് അതിൽ $z$ ന് യോജിക്കുന്ന ബിന്ദു $P$ സ്ഥാനനിർണ്ണയം ചെയ്യുന്നു. അങ്ങനെ ലഭിച്ച $P$ ബിന്ദുവിന് പിന്നെ $(x, y, z)$ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്. അങ്ങനെ, ബഹിരാകാശത്തെ ബിന്ദുക്കൾക്കും യഥാക്രമത്തിലുള്ള ട്രിപ്പിൾ $(x, y, z)$ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾക്കും ഇടയിൽ ഒന്ന് മുതൽ ഒന്ന് വരെയുള്ള ഒരു കത്തിടപാടുണ്ട്.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ, ബഹിരാകാശത്തെ $P$ ബിന്ദുവിലൂടെ, നമ്മൾ കോർഡിനേറ്റ് തലങ്ങൾക്ക് സമാന്തരമായി മൂന്ന് തലങ്ങൾ വരച്ച്, $x$-അക്ഷം, $y$-അക്ഷം, $z$-അക്ഷം എന്നിവയെ യഥാക്രമം $A, B$, $C$ ബിന്ദുക്കളിൽ കണ്ടുമുട്ടിക്കുന്നു (ചിത്രം 11.3). $OA=x, OB=y$, $OC=z$ ആയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ, $P$ ബിന്ദുവിന് $x, y$, $z$ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും, നമ്മൾ $P(x, y, z)$ എഴുതുന്നു. തിരിച്ചും, $x, y$, $z$ നൽകിയാൽ, നമ്മൾ മൂന്ന് കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിൽ $A, B$, $C$ എന്നീ മൂന്ന് ബിന്ദുക്കൾ സ്ഥാനനിർണ്ണയം ചെയ്യുന്നു. $A, B$, $C$ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ നമ്മൾ YZ-തലത്തിന്, ZX-തലത്തിന്, XY-തലത്തിന് സമാന്തരമായി തലങ്ങൾ വരയ്ക്കുന്നു,

ചിത്രം 11.3

യഥാക്രമം. ഈ മൂന്ന് തലങ്ങളുടെയും, അതായത് ADPF, BDPE, CEPF എന്നിവയുടെയും ഛേദന ബിന്ദു വ്യക്തമായും $P$ ബിന്ദുവാണ്, അത് യഥാക്രമത്തിലുള്ള ട്രിപ്പിൾ $(x, y, z)$ ന് യോജിക്കുന്നു. ബഹിരാകാശത്ത് ഏതെങ്കിലും ബിന്ദു $P(x, y, z)$ ആണെങ്കിൽ, $x, y$, $z$ എന്നിവ യഥാക്രമം YZ, ZX, XY തലങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള ലംബദൂരങ്ങളാണെന്ന് നമ്മൾ നിരീക്ഷിക്കുന്നു.

കുറിപ്പ് - ഉത്ഭവസ്ഥാനം $O$ ന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ $(0,0,0)$ ആണ്. $x$-അക്ഷത്തിലെ ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ $(x, 0,0)$ ആയിരിക്കും, YZ-തലത്തിലെ ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ $(0, y, z)$ ആയിരിക്കും.

ശ്രദ്ധിക്കുക ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ചിഹ്നം ആ ബിന്ദു കിടക്കുന്ന ഒക്റ്റന്റ് നിർണ്ണയിക്കുന്നു. എട്ട് ഒക്റ്റന്റുകളിലെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ചിഹ്നങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടിക കാണിക്കുന്നു.

പട്ടിക 11.1

ഉദാഹരണം 1 ചിത്രം 11.3-ൽ, $P$ ആണെങ്കിൽ $(2,4,5)$, $F$ ന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം $F$ ബിന്ദുവിന്, OY യിലൂടെ അളക്കുന്ന ദൂരം പൂജ്യമാണ്. അതിനാൽ, $F$ ന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ $(2,0,5)$ ആണ്.

ഉദാഹരണം 2 $(-3,1,2)$, $(-3,1,-2)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ ഏത് ഒക്റ്റന്റിലാണ് കിടക്കുന്നതെന്ന് കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം പട്ടിക 11.1-ൽ നിന്ന്, $(-3,1,2)$ ബിന്ദു രണ്ടാമത്തെ ഒക്റ്റന്റിലും $(-3,1,-2)$ ബിന്ദു ഒക്റ്റന്റ് VI-ലും കിടക്കുന്നു.

11.4 രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം

രണ്ട്-മാന കോർഡിനേറ്റ് സംവിധാനത്തിൽ രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഇപ്പോൾ ഈ പഠനം ത്രിമാന സംവിധാനത്തിലേക്ക് വിപുലീകരിക്കാം.

$P(x_1, y_1, z_1)$, $Q(x_2, y_2, z_2)$ എന്നിവ $OX, OY$, $OZ$ എന്നീ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അക്ഷങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന രണ്ട് ബിന്ദുക്കളായിരിക്കട്ടെ. $P$, $Q$ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കോർഡിനേറ്റ് തലങ്ങൾക്ക് സമാന്തരമായി തലങ്ങൾ വരച്ച് ഒരു വികർണ്ണം PQ ഉള്ള ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമാന്തര പൈപ്പ് രൂപപ്പെടുത്തുക (ചിത്രം 11.4).

ചിത്രം 11.4

ഇപ്പോൾ, $\angle PAQ$ ഒരു ലംബകോണമായതിനാൽ, PAQ ത്രികോണത്തിൽ,

$ PQ^{2}=PA^{2}+AQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(1) $

കൂടാതെ, ANQ ത്രികോണം ഒരു ലംബകോണ ത്രികോണമാണ്, $\angle ANQ$ ഒരു ലംബകോണമാണ്.

അതിനാൽ $\quad\quad\quad AQ^{2}=AN^{2}+NQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(2)$

(1), (2) എന്നിവയിൽ നിന്ന്, നമുക്കുണ്ട്

$$ \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{PA}^{2}+\mathrm{AN}^{2}+\mathrm{NQ}^{2} $$

ഇപ്പോൾ $\quad\quad\quad\mathrm{PA}=y _{2}-y _{1}, \mathrm{AN}=x _{2}-x _{1}$, $\mathrm{NQ}=z _{2}-z _{1}$

അതിനാൽ $\quad\quad\quad\mathrm{PQ}^{2}=\left(x _{2}-x _{1}\right)^{2}+\left(y _{2}-y _{1}\right)^{2}+\left(z _{2}-z _{1}\right)^{2}$

അതിനാൽ $\quad\quad\quad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}}$

ഇത് നമുക്ക് രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ $(x_1, y_1, z_1)$, $(x_2, y_2, z_2)$ തമ്മിലുള്ള ദൂരം നൽകുന്നു.

പ്രത്യേകിച്ചും, $x_1=y_1=z_1=0$ ആണെങ്കിൽ, അതായത്, ബിന്ദു $P$ ഉത്ഭവസ്ഥാനം $O$ ആണെങ്കിൽ, $OQ=\sqrt{x_2{ }^{2}+y_2{ }^{2}+z_2{ }^{2}}$, അത് ഉത്ഭവസ്ഥാനം $O$, ഏതെങ്കിലും ബിന്ദു $Q(x_2, y_2, z_2)$ തമ്മിലുള്ള ദൂരം നൽകുന്നു.

ഉദാഹരണം 3 $P(1,-3,4)$, $Q(-4,1,2)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം $P(1,-3,4)$, $Q(-4,1,2)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള PQ ദൂരം

$ \begin{aligned} PQ & =\sqrt{(-4-1)^{2}+(1+3)^{2}+(2-4)^{2}} \\ & =\sqrt{25+16+4} \\ & =\sqrt{45}=3 \sqrt{5} \text{ units } \end{aligned} $

ഉദാഹരണം 4 $P(-2,3,5)$, $Q(1,2,3)$, $R(7,0,-1)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ ഒരേ രേഖയിലാണെന്ന് കാണിക്കുക.

പരിഹാരം ബിന്ദുക്കൾ ഒരു രേഖയിൽ കിടക്കുകയാണെങ്കിൽ അവ ഒരേ രേഖയിലാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു എന്ന് നമുക്കറിയാം.

ഇപ്പോൾ,

$ \begin{aligned} & P Q=\sqrt{(1+2)^{2}+(2-3)^{2}+(3-5)^{2}}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14} \\ & Q R=\sqrt{(7-1)^{2}+(0-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{36+4+16}=\sqrt{56}=2 \sqrt{14} \end{aligned} $

കൂടാതെ

$ P R=\sqrt{(7+2)^{2}+(0-3)^{2}+(-1-5)^{2}}=\sqrt{81+9+36}=\sqrt{126}=3 \sqrt{14} $

അങ്ങനെ, $PQ+QR=PR$. അതിനാൽ, $P, Q$, $R$ എന്നിവ ഒരേ രേഖയിലാണ്.

ഉദാഹരണം 5 A $(3,6,9), B(10,20,30)$, C $(25,-41,5)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ ഒരു ലംബകോണ ത്രികോണത്തിന്റെ ശീർഷങ്ങളാണോ?

പരിഹാരം ദൂര സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്കുണ്ട്

$ \begin{aligned} AB^{2} & =(10-3)^{2}+(20-6)^{2}+(30-9)^{2} \\ & =49+196+441=686 \\ BC^{2} & =(25-10)^{2}+(-41-20)^{2}+(5-30)^{2} \\ & =225+3721+625=4571 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} CA^{2} & =(3-25)^{2}+(6+41)^{2}+(9-5)^{2} \\ & =484+2209+16=2709 \end{aligned} $

നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നത് $\quad \quad\quad CA^{2}+AB^{2} \neq BC^{2}$.

അതിനാൽ, $ABC$ ത്രികോണം ഒരു ലംബകോണ ത്രികോണമല്ല.

ഉദാഹരണം 6 $P$ എന്ന ബിന്ദുക്കളുടെ സമൂഹത്തിന്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക, അതായത് $PA^{2}+PB^{2}=2 k^{2}$, ഇവിടെ $A$, $B$ എന്നിവ യഥാക്രമം $(3,4,5)$, $(-1,3,-7)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കളാണ്.

പരിഹാരം $P$ ബിന്ദുവിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ $(x, y, z)$ ആയിരിക്കട്ടെ.

ഇവിടെ

$ \begin{aligned} & PA^{2}=(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2} \\ & PB^{2}=(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+7)^{2} \end{aligned} $

നൽകിയിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥ $PA^{2}+PB^{2}=2 k^{2}$ പ്രകാരം, നമുക്കുണ്ട്

$ (x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2}+(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+7)^{2}=2 k^{2} \\ \text{ i.e., } \quad 2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-4 x-14 y+4 z=2 k^{2}-109 . $

വൈവിധ്യമാർന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 7 A $(1,2,3)$, B (-1, -2, -1), C (2, 3, 2), $D(4,7,6)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ ഒരു സമാന്തര ചതുർഭുജം $ABCD$ ന്റെ ശീർഷങ്ങളാണെന്ന് കാണിക്കുക, പക്ഷേ അത് ഒരു ചതുരമല്ല.

പരിഹാരം ABCD ഒരു സമാന്തര ചതുർഭുജമാണെന്ന് കാണിക്കാൻ, എതിർവശങ്ങൾ തുല്യമാണെന്ന് കാണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ശ്രദ്ധിക്കുക.

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(-1-1)^{2}+(-2-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=6 \\ & BC=\sqrt{(2+1)^{2}+(3+2)^{2}+(2+1)^{2}}=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \\ & CD=\sqrt{(4-2)^{2}+(7-3)^{2}+(6-2)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=6 \\ & DA=\sqrt{(1-4)^{2}+(2-7)^{2}+(3-6)^{2}}=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \end{aligned} $

$A B=C D$, $B C=A D, A B C D$ ആയതിനാൽ, ഇത് ഒരു സമാന്തര ചതുർഭുജമാണ്.

ഇപ്പോൾ, $ABCD$ ഒരു ചതുരമല്ലെന്ന് തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇതിനായി, വികർണ്ണങ്ങൾ $AC$, $BD$ തുല്യമല്ലെന്ന് കാണിക്കുന്നു. നമുക്കുണ്ട്

$ \begin{aligned} & AC=\sqrt{(2-1)^{2}+(3-2)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3} \\ & BD \quad=\sqrt{(4+1)^{2}+(7+2)^{2}+(6+1)^{2}}=\sqrt{25+81+49}=\sqrt{155} . \end{aligned} $

$A C \neq B D, A B C D$ ആയതിനാൽ, ഇത് ഒരു ചതുരമല്ല.

കുറിപ്പ് - വികർണ്ണങ്ങൾ $AC$, $BD$ പരസ്പരം സമഭാഗം ചെയ്യുന്നു എന്ന ഗുണം ഉപയോഗിച്ചും $ABCD$ ഒരു സമാന്തര ചതുർഭുജമാണെന്ന് കാണിക്കാം.

ഉദാഹരണം 8 $P$ എന്ന ബിന്ദുക്കളുടെ സമൂഹത്തിന്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക, അത