കാൽക്കുലസ് ഒരു കീ പോലെ ഉപയോഗിച്ച്, പ്രകൃതിയുടെ ഗതി വിശദീകരിക്കാൻ ഗണിതശാസ്ത്രം വിജയകരമായി പ്രയോഗിക്കാം - വൈറ്റ്ഹെഡ്

12.1 ആമുഖം

ഈ അദ്ധ്യായം കാൽക്കുലസിന് ഒരു ആമുഖമാണ്. ഡൊമെയ്നിലെ ബിന്ദുക്കൾ മാറുമ്പോൾ ഒരു ഫങ്ഷന്റെ മൂല്യത്തിലുണ്ടാകുന്ന മാറ്റത്തിന്റെ പഠനത്തോടൊപ്പം പ്രധാനമായും ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രശാഖയാണ് കാൽക്കുലസ്. ആദ്യം, നമ്മൾ അവകലജത്തിന്റെ (യഥാർത്ഥത്തിൽ നിർവചിക്കാതെ) ഒരു അവബോധാത്മക ആശയം നൽകുന്നു. പിന്നീട് നമ്മൾ പരിധിയുടെ ഒരു സാധാരണ നിർവചനം നൽകുകയും പരിധികളുടെ ചില ബീജഗണിതം പഠിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അതിനുശേഷം നമ്മൾ അവകലജത്തിന്റെ നിർവചനത്തിലേക്ക് തിരിച്ചുവരുകയും അവകലജങ്ങളുടെ ചില ബീജഗണിതം പഠിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ചില നിലവാരമുള്ള ഫങ്ഷനുകളുടെ അവകലജങ്ങളും നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു.

സർ ഐസക് ന്യൂട്ടൺ (1642-1727 എ.ഡി.)

12.2 അവകലജങ്ങളുടെ അവബോധാത്മക ആശയം

ഉയരമുള്ള ഒരു പാറമുകളിൽ നിന്ന് വീഴ്ത്തിയ ശരീരം $t$ സെക്കൻഡുകളിൽ $4.9 t^{2}$ മീറ്റർ ദൂരം സഞ്ചരിക്കുന്നുവെന്ന് ഭൗതിക പരീക്ഷണങ്ങൾ സ്ഥിരീകരിച്ചിട്ടുണ്ട്, അതായത്, $t$ സെക്കൻഡുകളിൽ സമയത്തിന്റെ ഒരു ഫങ്ഷനായി ശരീരം സഞ്ചരിച്ച ദൂരം $s$ മീറ്ററിൽ $s=4.9 t^{2}$ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

അടുത്തുള്ള പട്ടിക 13.1 ഉയരമുള്ള ഒരു പാറമുകളിൽ നിന്ന് വീഴ്ത്തിയ ഒരു ശരീരത്തിന്റെ വിവിധ സമയ ഇടവേളകളിൽ മീറ്ററിൽ സഞ്ചരിച്ച ദൂരം നൽകുന്നു.

ഈ ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് $t=2$ സെക്കൻഡ് സമയത്ത് ശരീരത്തിന്റെ പ്രവേഗം കണ്ടെത്തുകയാണ് ലക്ഷ്യം. ഈ പ്രശ്നം സമീപിക്കാനുള്ള ഒരു മാർഗ്ഗം $t=2$ സെക്കൻഡിൽ അവസാനിക്കുന്ന വിവിധ സമയ ഇടവേളകൾക്കുള്ള ശരാശരി പ്രവേഗം കണ്ടെത്തുകയും ഇവ $t=2$ സെക്കൻഡിൽ പ്രവേഗത്തെക്കുറിച്ച് ചില സൂചനകൾ നൽകുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ്.

$t=t_1$ ഉം $t=t_2$ ഉം തമ്മിലുള്ള ശരാശരി പ്രവേഗം $t=t_l$ ഉം $t=t_2$ ഉം തമ്മിൽ സഞ്ചരിച്ച ദൂരത്തിന് തുല്യമാണ്, സെക്കൻഡുകൾ $(t_2-t_1)$ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. അതിനാൽ ആദ്യത്തെ രണ്ട് സെക്കൻഡുകളിലെ ശരാശരി പ്രവേഗം

$$ \begin{aligned} & =\frac{\text{ Distance travelled between } t_2=2 \text{ and } t_1=0}{\text{ Time interval }(t_2-t_1)} \\ & =\frac{(19.6-0) m}{(2-0) s}=9.8 m / s . \end{aligned} $$

സമാനമായി, $t=1$ ഉം $t=2$ ഉം തമ്മിലുള്ള ശരാശരി പ്രവേഗം

$$ \frac{(19.6-4.9) m}{(2-1) s}=14.7 m / s $$

അതുപോലെ, വിവിധ $t_1$ എന്നിവയ്ക്കായി $t=t_1$ ഉം $t=2$ ഉം തമ്മിലുള്ള ശരാശരി പ്രവേഗം നമ്മൾ കണക്കാക്കുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടിക 13.2 $(v), t=t_1$ സെക്കൻഡും $t=2$ സെക്കൻഡും തമ്മിലുള്ള ശരാശരി പ്രവേഗം നൽകുന്നു.

പട്ടിക 12.1

പട്ടിക 12.2

പട്ടിക 12.2 ൽ നിന്ന്, ശരാശരി പ്രവേഗം ക്രമേണ വർദ്ധിക്കുന്നുവെന്ന് നമ്മൾ നിരീക്ഷിക്കുന്നു. $t=2$ ൽ അവസാനിക്കുന്ന സമയ ഇടവേളകൾ ചെറുതാക്കുമ്പോൾ, $t=2$ ൽ പ്രവേഗത്തെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് മികച്ച ധാരണ ലഭിക്കുന്നതായി നാം കാണുന്നു. 1.99 സെക്കൻഡും 2 സെക്കൻഡും തമ്മിൽ യാതൊരു വലിയ സംഭവവും സംഭവിക്കുന്നില്ലെന്ന് പ്രതീക്ഷിച്ചുകൊണ്ട്, $t=2$ സെക്കൻഡിൽ ശരാശരി പ്രവേഗം $19.551 m / s$ ന് തൊട്ടുമുകളിലാണെന്ന് നമ്മൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു.

ഇനിപ്പറയുന്ന കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ കൂട്ടം ഈ നിഗമനം ഏതാനും ശക്തിപ്പെടുത്തുന്നു. $t=2$ സെക്കൻഡിൽ ആരംഭിക്കുന്ന വിവിധ സമയ ഇടവേളകൾക്കുള്ള ശരാശരി പ്രവേഗം കണക്കാക്കുക. മുമ്പത്തെപ്പോലെ, $t=2$ സെക്കൻഡും $t=t_2$ സെക്കൻഡും തമ്മിലുള്ള ശരാശരി പ്രവേഗം $v$ ആണ്

$ \begin{aligned} & =\frac{\text{ $t=2$ സെക്കൻഡും $t=t_2$ സെക്കൻഡും തമ്മിൽ സഞ്ചരിച്ച ദൂരം }}{t_2-2} \\ & =\frac{\text{ $t=t_2$ സെക്കൻഡുകളിൽ സഞ്ചരിച്ച ദൂരം }- \text{ 2 സെക്കൻഡുകളിൽ സഞ്ചരിച്ച ദൂരം }}{t_2-2} \end{aligned} $

$ =\frac{\text{ $t=t_2$ സെക്കൻഡുകളിൽ സഞ്ചരിച്ച ദൂരം }-19.6}{t_2-2} $

ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടിക 12.3 $t=2$ സെക്കൻഡും $t_2$ സെക്കൻഡും തമ്മിലുള്ള മീറ്റർ പ്രതി സെക്കൻഡിൽ ശരാശരി പ്രവേഗം $v$ നൽകുന്നു.

പട്ടിക 12.3

ഇവിടെയും $t=2$ ൽ ആരംഭിക്കുന്ന ചെറിയ സമയ ഇടവേളകൾ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, $t=2$ ൽ പ്രവേഗത്തെക്കുറിച്ച് മികച്ച ധാരണ ലഭിക്കുന്നുവെന്ന് നമ്മൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു.

കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ആദ്യ കൂട്ടത്തിൽ, $t=2$ ൽ അവസാനിക്കുന്ന വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന സമയ ഇടവേളകളിൽ ശരാശരി പ്രവേഗം കണ്ടെത്തുകയും പിന്നീട് $t=2$ ന് തൊട്ടുമുമ്പ് യാതൊരു വലിയ സംഭവവും സംഭവിക്കുന്നില്ലെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുകയും ചെയ്തതാണ് നമ്മൾ ചെയ്തത്. കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ രണ്ടാമത്തെ കൂട്ടത്തിൽ, $t=2$ ൽ അവസാനിക്കുന്ന സമയ ഇടവേളകളിൽ കുറയുന്ന ശരാശരി പ്രവേഗം കണ്ടെത്തുകയും പിന്നീട് $t=2$ ന് തൊട്ടുശേഷം യാതൊരു വലിയ സംഭവവും സംഭവിക്കുന്നില്ലെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുകയും ചെയ്തു. പൂർണ്ണമായും ഭൗതികമായ തലത്തിൽ, ശരാശരി പ്രവേഗത്തിന്റെ ഈ രണ്ട് ശ്രേണികളും ഒരു പൊതു പരിധിയെ സമീപിക്കണം. $t=2$ ൽ ശരീരത്തിന്റെ പ്രവേഗം $19.551 m / s$ ഉം $19.649 m / s$ ഉം തമ്മിലാണെന്ന് നമുക്ക് സുരക്ഷിതമായി നിഗമനം ചെയ്യാം. സാങ്കേതികമായി, $t=2$ ൽ തൽക്ഷണ പ്രവേഗം $19.551 m / s$ ഉം $19.649 m / s$ ഉം തമ്മിലാണെന്ന് നമ്മൾ പറയുന്നു. അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, പ്രവേഗം സ്ഥാനാന്തരത്തിന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കാണ്. അതിനാൽ നമ്മൾ നേടിയത് ഇനിപ്പറയുന്നതാണ്. വിവിധ സമയങ്ങളിൽ സഞ്ചരിച്ച ദൂരത്തിന്റെ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഡാറ്റയിൽ നിന്ന്, ഒരു നിശ്ചിത സമയത്ത് ദൂരത്തിന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക് നമ്മൾ കണക്കാക്കിയിട്ടുണ്ട്. ദൂര ഫങ്ഷൻ $s=4.9 t^{2}$ ന്റെ $t=2$ ൽ അവകലജം 19.551 ഉം 19.649 ഉം തമ്മിലാണെന്ന് നമ്മൾ പറയുന്നു.

ഈ പരിധി പ്രക്രിയ കാണാനുള്ള മറ്റൊരു മാർഗ്ഗം ചിത്രം 12.1 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇത് പാറമുകളുടെ മുകളിൽ നിന്നുള്ള ശരീരത്തിന്റെ ദൂരം $s$ ന് എതിരായി ബിത്തിയ സമയം $t$ ന്റെ ഒരു പ്ലോട്ടാണ്. സമയ ഇടവേളകളുടെ ശ്രേണി $h_1, h_2, \ldots$ പൂജ്യത്തെ സമീപിക്കുന്ന പരിധിയിൽ, ശരാശരി പ്രവേഗത്തിന്റെ ശ്രേണി അനുപാതങ്ങളുടെ ശ്രേണി സമീപിക്കുന്ന അതേ പരിധിയെ സമീപിക്കുന്നു.

ചിത്രം 12.1

$ \frac{C_1 B_1}{AC_1}, \frac{C_2 B_2}{AC_2}, \frac{C_3 B_3}{AC_3}, \ldots $

ഇവിടെ $C_1 B_1=s_1-s_0$ സമയ ഇടവേളയിൽ ശരീരം സഞ്ചരിച്ച ദൂരമാണ് $h_1=AC_1$, മുതലായവ. ചിത്രം 12.1 ൽ നിന്ന്, ഈ രണ്ടാമത്തെ ശ്രേണി ബിന്ദു $A$ ൽ വക്രത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജന്റിന്റെ ചരിവിനെ സമീപിക്കുന്നുവെന്ന് നിഗമനം ചെയ്യാൻ സുരക്ഷിതമാണ്. വേറൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ശരീരത്തിന്റെ തൽക്ഷണ പ്രവേഗം $v(t)$ സമയം $t=2$ ൽ വക്രത്തിന്റെ ടാൻജന്റിന്റെ ചരിവിന് തുല്യമാണ് $s=4.9 t^{2}$ $t=2$ ൽ.

12.3 പരിധികൾ

മുകളിലെ ചർച്ച പരിധി പ്രക്രിയ കൂടുതൽ വ്യക്തതയോടെ മനസ്സിലാക്കേണ്ടതിന്റെ ആവശ്യകതയെ വ്യക്തമായി ചൂണ്ടിക്കാട്ടുന്നു. പരിധിയുടെ ആശയവുമായുള്ള ചില പരിചയം നേടുന്നതിന് നമ്മൾ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ പഠിക്കുന്നു.

$f(x)=x^{2}$ ഫങ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക. $x$ 0 ന് വളരെ അടുത്തുള്ള മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുമ്പോൾ, $f(x)$ ന്റെ മൂല്യവും 0 ന് അടുത്തേക്ക് നീങ്ങുന്നതായി നിരീക്ഷിക്കുക (ചിത്രം 2.10 അദ്ധ്യായം 2 കാണുക). നമ്മൾ പറയുന്നു

$ \begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0} f(x)=0 \end{aligned} $

($f(x)$ ന്റെ പരിധി $x$ പൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നതായി വായിക്കണം). $f(x)$ ന്റെ പരിധി $x$ പൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നത് $f(x)$ $x=0$ ൽ അനുമാനിക്കേണ്ട മൂല്യമായി കരുതണം.

പൊതുവിൽ $x \to a, f(x) \to l$ ആയാൽ, $l$ ഫങ്ഷന്റെ പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു $f(x)$ ഇത് ചിഹ്നാത്മകമായി എഴുതിയിരിക്കുന്നത് $\lim\limits_{x \to a} f(x)=l$ ആണ്.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഫങ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക $g(x)=|x|, x \neq 0$. $g(0)$ നിർവചിച്ചിട്ടില്ലെന്ന് നിരീക്ഷിക്കുക. $x$ 0 ന് വളരെ അടുത്തുള്ള മൂല്യങ്ങൾക്കായി $g(x)$ ന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുമ്പോൾ, $g(x)$ ന്റെ മൂല്യം 0 ന് അടുത്തേക്ക് നീങ്ങുന്നതായി നാം കാണുന്നു. അതിനാൽ, $\lim\limits_{x \to 0} g(x)=0$. $x \neq 0$ എന്നതിനായുള്ള $y=|x|$ ന്റെ ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് ഇത് അവബോധാത്മകമായി വ്യക്തമാണ്. (ചിത്രം 2.13, അദ്ധ്യായം 2 കാണുക).

ഇനിപ്പറയുന്ന ഫങ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക.

$ h(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}, x \neq 2 $

$x$ 2 ന് വളരെ അടുത്തുള്ള (എന്നാൽ 2 ൽ അല്ല) മൂല്യങ്ങൾക്കായി $h(x)$ ന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക. ഈ മൂല്യങ്ങളെല്ലാം 4 ന് അടുത്താണെന്ന് നിങ്ങളെ ബോധ്യപ്പെടുത്തുക. ഇവിടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന $y=h(x)$ ഫങ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് പരിഗണിക്കുന്നതിലൂടെ ഇത് ഏതാനും ശക്തിപ്പെടുത്തുന്നു (ചിത്രം 12.2).

ചിത്രം 12.2

ഈ എല്ലാ ചിത്രീകരണങ്ങളിലും, ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിൽ ഫങ്ഷൻ അനുമാനിക്കേണ്ട മൂല്യം $x=a$ യഥാർത്ഥത്തിൽ $x$ എങ്ങനെ $a$ ആയി മാറുന്നു എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരുന്നില്ല. $x$ ഒരു സംഖ്യയെ സമീപിക്കാനുള്ള രണ്ട് വഴികൾ ഉണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക $a$ ഇടത്ത് നിന്നോ വലത്ത് നിന്നോ, അതായത്, $x$ ന്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും $a$ ന് സമീപം $a$ നേക്കാൾ കുറവായിരിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ $a$ നേക്കാൾ കൂടുതലായിരിക്കാം. ഇത് സ്വാഭാവികമായും രണ്ട് പരിധികളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു - വലത് കൈ പരിധിയും ഇടത് കൈ പരിധിയും. ഒരു ഫങ്ഷന്റെ വലത് കൈ പരിധി $f(x)$ $f(x)$ ന്റെ മൂല്യമാണ്, അത് $f(x)$ ന്റെ മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു $x$ $a$ വലത് വശത്ത് നിന്ന് പ്രവണത കാണിക്കുമ്പോൾ. സമാനമായി, ഇടത് കൈ പരിധി. ഇത് ചിത്രീകരിക്കുന്നതിന്, ഫങ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക

$ f(x)= \begin{cases}1, & x \leq 0 \\ 2, & x>0\end{cases} $

ഈ ഫങ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ചിത്രം 12.3 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. $x \leq 0$ 1 ന് തുല്യമായ $f(x)$ ഉള്ള $f$ ൽ 0 ൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്ന മൂല്യം വ്യക്തമാണ്, അതായത്, $f(x)$ ന്റെ ഇടത് കൈ പരിധി 0 ൽ $ \lim\limits_{x \to 0} f(x)=1 . $

സമാനമായി, $x>0$ 2 ന് തുല്യമായ $f(x)$ ഉള്ള $f$ ൽ 0 ൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്ന മൂല്യം, അതായത്, $f(x)$ ന്റെ വലത് കൈ പരിധി 0 ൽ

$ \lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x)=2 . $

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ വലത്, ഇടത് കൈ പരിധികൾ വ്യത്യസ്തമാണ്, അതിനാൽ $f(x)$ ന്റെ പരിധി $x$ പൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നത് നിലവിലില്ലെന്ന് നമ്മൾ പറയുന്നു (ഫങ്ഷൻ 0 ൽ നിർവചിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിലും).

സംഗ്രഹം

$\lim\limits_{x \to a^{-}} f(x)$ $f$ ന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കപ്പെടുന്ന മൂല്യമാണെന്ന് നമ്മൾ പറയുന്നു $x=a$ $f$ ന്റെ മൂല്യങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു $x$ $a$ ന്റെ ഇടതുവശത്ത് സമീപം. ഈ മൂല്യത്തെ $f$ ന്റെ ഇടത് കൈ പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു $a$.

$\lim\limits_{x \to a^{+}} f(x)$ $f$ ന്റെ പ്രതീക്ഷിക്കപ്പെടുന്ന മൂല്യമാണെന്ന് നമ്മൾ പറയുന്നു $x=a$ $f$ ന്റെ മൂല്യങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു $x$ $a$ ന്റെ വലതുവശത്ത് സമീപം. ഈ മൂല്യത്തെ $f(x)$ ന്റെ വലത് കൈ പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു $a$.

വലത്, ഇടത് കൈ പരിധികൾ ഒത്തുചേരുകയാണെങ്കിൽ, ആ പൊതു മൂല്യത്തെ $f(x)$ ന്റെ പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു $x=a$ അത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് $\lim\limits_{x \to a} f(x)$.

ചിത്രീകരണം 1 $f(x)=x+10$ ഫങ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക. ഈ ഫങ്ഷന്റെ പരിധി $x=5$ ൽ കണ്ടെത്താൻ നമ്മൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. $x$ 5 ന് വളരെ അടുത്തുള്ളതിനായി $f(x)$ ഫങ്ഷന്റെ മൂല്യം നമുക്ക് കണക്കാക്കാം. 5 ന് സമീപവും ഇടതുവശത്തുമുള്ള ചില ബിന്ദുക്കൾ $4.9,4.95,4.99,4.995 \ldots$, മുതലായവ. ഈ ബിന്ദുക്കളിലെ ഫങ്ഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ ചുവടെയുള്ള പട്ടികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. സമാനമായി, യഥാർത്ഥ സംഖ്യ 5.001,

5.01, 5.1 എന്നിവയും 5 ന് സമീപവും വലതുവശത്തുമുള്ള ബിന്ദുക്കളാണ്. ഈ ബിന്ദുക്കളിലെ ഫങ്ഷന്റെ മൂല്യങ്ങളും പട്ടിക 12.4 ൽ നൽകിയിട്ടുണ്ട്.

പട്ടിക 12.4

പട്ടിക 12.4 ൽ നിന്ന്, $f(x)$ ന്റെ മൂല്യം $x=5$ ൽ 14.995 നേക്കാൾ കൂടുതലും 15.001 നേക്കാൾ കുറവും ആയിരിക്കണമെന്ന് നമ്മൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു $x=4.995$ ഉം 5.001 ഉം തമ്മിൽ യാതൊരു വലിയ സംഭവവും സംഭവിക്കുന്നില്ലെന്ന് അനുമാനിച്ചുകൊണ്ട്. 5 ന്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള സംഖ്യകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതുപോലെ $f(x)$ ന്റെ മൂല്യം $x=5$ ൽ 15 ആണെന്ന് അനുമാനിക്കുന്നത് യുക്തിസഹമാണ്, അതായത്,

$$ \lim\limits_{x \to 5^{-}} f(x)=15 . $$

സമാനമായി, $x$ വലതുവശത്ത് നിന്ന് 5 ആയി സമീപിക്കുമ്പോൾ, $f(x)$ മൂല്യം 15 എടുക്കണം, അതായത്,

$$ \lim\limits_{x \to 5^{+}} f(x)=15 \text{. } $$

അതിനാൽ, $f(x)$ ന്റെ ഇടത് കൈ പരിധിയും $f(x)$ ന്റെ വലത് കൈ പരിധിയും 15 ന് തുല്യമാകാനുള്ള സാധ്യതയുണ്ട്. അങ്ങനെ,

$$ \lim\limits_{x \to 5^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 5^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 5} f(x)=15 . $$

പരിധി 15 ന് തുല്യമാണെന്ന ഈ നിഗമനം ഈ ഫങ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് കാണുന്നതിലൂടെ ഏതാനും ശക്തിപ്പെടുത്തുന്നു, അത് ചിത്രം 2.16, അദ്ധ്യായം 2 ൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഈ ചിത്രത്തിൽ, $x$ വലത് അല്ലെങ്കിൽ ഇടത് ഏത് വശത്ത് നിന്നും 5 ആയി സമീപിക്കുമ്പോൾ, $f(x)=x+10$ ഫങ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ബിന്ദുവിനെ സമീപിക്കുന്നതായി നമ്മൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു $(5,15)$.

$x=5$ ൽ ഫങ്ഷന്റെ മൂല്യവും 15 ന് തുല്യമാണെന്ന് നമ്മൾ നിരീക്ഷിക്കുന്നു.

ചിത്രീകരണം 2 $f(x)=x^{3}$ ഫങ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക. ഈ ഫങ്ഷന്റെ പരിധി $x=1$ ൽ കണ്ടെത്താൻ നമുക്ക് ശ്രമിക്കാം. മുമ്പത്തെ കേസിലെന്നപോലെ തുടരുകയാണെങ്കിൽ, നമ്മൾ $x$ 1 ന് സമീപമുള്ളതിൽ $f(x)$ ന്റെ മൂല്യം പട്ടികയിലാക്കുന്നു. ഇത് പട്ടിക 12.5 ൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

പട്ടിക 12.5