ഗണിത യുക്തി ഉപയോഗിക്കാവുന്നിടത്ത് മറ്റൊന്ന് ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഒരു വലിയ മൂഢതയാണ്, കൈയിൽ മെഴുത്തിരി ഉള്ളപ്പോൾ ഇരുട്ടിൽ എന്തെങ്കിലും തപ്പിനോക്കുന്നത് പോലെ. - ജോൺ ആർബുത്നോട്ട്

14.1 ഇവന്റ് (സംഭവം)

ഒരു പരീക്ഷണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട റാൻഡം എക്സ്പെരിമെന്റും സാമ്പിൾ സ്പേസും നമ്മൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. പരീക്ഷണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട എല്ലാ ചോദ്യങ്ങൾക്കും സാമ്പിൾ സ്പേസ് ഒരു സാർവത്രിക സെറ്റായി (യൂണിവേഴ്സൽ സെറ്റ്) പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

ഒരു നാണയം രണ്ടുതവണ ടോസ് ചെയ്യുന്ന പരീക്ഷണം പരിഗണിക്കുക. ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു സാമ്പിൾ സ്പേസ് $S=\{HH, HT, TH, TT\}$ ആണ്.

ഇപ്പോൾ കൃത്യമായി ഒരു ഹെഡ് (തല) മാത്രം ഉണ്ടാകുന്നതിന് അനുയോജ്യമായ ഔട്ട്കമുകളിൽ (ഫലങ്ങൾ) നാം താൽപ്പര്യപ്പെടുന്നുവെന്ന് കരുതുക. ഈ സംഭവത്തിന് (ഇവന്റ്) അനുയോജ്യമായ $S$ ന്റെ ഘടകങ്ങൾ $HT$, $TH$ എന്നിവ മാത്രമാണെന്ന് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ഈ രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ $E=\{HT, TH\}$ എന്ന സെറ്റ് രൂപീകരിക്കുന്നു.

സെറ്റ് $E$ സാമ്പിൾ സ്പേസ് $S$ ന്റെ ഒരു സബ്സെറ്റാണെന്ന് നമുക്കറിയാം. അതുപോലെ, ഇവന്റുകൾക്കും S യുടെ സബ്സെറ്റുകൾക്കും ഇടയിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.

മുകളിലെ ചർച്ച സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, സാമ്പിൾ സ്പേസിന്റെ ഒരു സബ്സെറ്റ് ഒരു ഇവന്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്നും ഒരു ഇവന്റ് സാമ്പിൾ സ്പേസിന്റെ ഒരു സബ്സെറ്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്നുമാണ്. ഇതിന്റെ പ്രകാശത്തിൽ നമ്മൾ ഒരു ഇവന്റ് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിക്കുന്നു.

നിർവചനം ഒരു സാമ്പിൾ സ്പേസ് $S$ ന്റെ ഏതെങ്കിലും സബ്സെറ്റ് $E$ ഒരു ഇവന്റ് ആണ്.

14.1.1 ഒരു ഇവന്റിന്റെ സംഭവിക്കൽ

ഒരു ഡൈ എറിയുന്ന പരീക്ഷണം പരിഗണിക്കുക. “4 നേക്കാൾ കുറഞ്ഞ ഒരു സംഖ്യ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു” എന്ന ഇവന്റിനെ $E$ സൂചിപ്പിക്കട്ടെ. യഥാർത്ഥത്തിൽ ഡൈയിൽ ‘1’ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഇവന്റ് $E$ സംഭവിച്ചുവെന്ന് നമ്മൾ പറയുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, ഔട്ട്കമുകൾ 2 അല്ലെങ്കിൽ 3 ആണെങ്കിൽ, ഇവന്റ് $E$ സംഭവിച്ചുവെന്ന് നമ്മൾ പറയുന്നു.

അങ്ങനെ, ഒരു സാമ്പിൾ സ്പേസ് $S$ ന്റെ ഇവന്റ് $E$ സംഭവിച്ചുവെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു, പരീക്ഷണത്തിന്റെ ഔട്ട്കം $\omega$ അതായത് $\omega \in E$ ആണെങ്കിൽ. ഔട്ട്കം $\omega$ അതായത് $\omega \notin E$ ആണെങ്കിൽ, ഇവന്റ് $E$ സംഭവിച്ചിട്ടില്ലെന്ന് നമ്മൾ പറയുന്നു.

14.1.2 ഇവന്റുകളുടെ തരങ്ങൾ

ഇവന്റുകൾക്ക് അവയിൽ ഉള്ള ഘടകങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ വിവിധ തരങ്ങളായി തരംതിരിക്കാം.

1. അസാധ്യവും നിശ്ചിതവുമായ ഇവന്റുകൾ ശൂന്യ സെറ്റ് $\phi$, സാമ്പിൾ സ്പേസ് $S$ എന്നിവ ഇവന്റുകളെ വിവരിക്കുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ $\phi$ അസാധ്യമായ ഇവന്റ് എന്നും S, അതായത് മുഴുവൻ സാമ്പിൾ സ്പേസ് നിശ്ചിതമായ ഇവന്റ് എന്നും വിളിക്കപ്പെടുന്നു.

ഇവ മനസ്സിലാക്കാൻ ഒരു ഡൈ ഉരുട്ടുന്ന പരീക്ഷണം പരിഗണിക്കാം. ബന്ധപ്പെട്ട സാമ്പിൾ സ്പേസ് $ S=\{1,2,3,4,5,6\} $

“ഡൈയിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്ന സംഖ്യ 7 ന്റെ ഗുണിതമാണ്” എന്ന ഇവന്റ് $E$ ആയിരിക്കട്ടെ. ഇവന്റ് $E$ ഉമായി ബന്ധപ്പെട്ട സബ്സെറ്റ് നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാമോ?

വ്യക്തമായും, ഇവന്റിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥയെ ഒരു ഔട്ട്കം പോലും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നില്ല, അതായത്, സാമ്പിൾ സ്പേസിന്റെ ഒരു ഘടകം പോലും ഇവന്റ് $E$ ന്റെ സംഭവത്തെ ഉറപ്പാക്കുന്നില്ല. അങ്ങനെ, ശൂന്യ സെറ്റ് മാത്രമാണ് ഇവന്റ് $E$ ന് അനുയോജ്യമെന്ന് നമ്മൾ പറയുന്നു. വേറൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഡൈയുടെ മുകൾമുഖത്ത് 7 ന്റെ ഒരു ഗുണിതം ലഭിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. അങ്ങനെ, ഇവന്റ് $E=\phi$ ഒരു അസാധ്യമായ ഇവന്റാണ്.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് മറ്റൊരു ഇവന്റ് $F$ “പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്ന സംഖ്യ ഒറ്റയോ ഇരട്ടയോ ആണ്” എടുക്കാം. വ്യക്തമായും $F=\{1,2,3,4,5,6\}=,S$, അതായത്, പരീക്ഷണത്തിന്റെ എല്ലാ ഔട്ട്കമുകളും ഇവന്റ് $F$ ന്റെ സംഭവത്തെ ഉറപ്പാക്കുന്നു. അങ്ങനെ, ഇവന്റ് $F=S$ ഒരു നിശ്ചിതമായ ഇവന്റാണ്.

2. ലഘു ഇവന്റ് (സിമ്പിൾ ഇവന്റ്) ഒരു ഇവന്റ് $E$ ഒരു സാമ്പിൾ സ്പേസിന്റെ ഒരു സാമ്പിൾ പോയിന്റ് മാത്രമേ ഉള്ളൂ എങ്കിൽ, അതിനെ ലഘു ഇവന്റ് (അല്ലെങ്കിൽ എലിമെന്ററി ഇവന്റ്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. $n$ വ്യത്യസ്ത ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയ ഒരു സാമ്പിൾ സ്പേസിൽ, കൃത്യമായി $n$ ലഘു ഇവന്റുകൾ ഉണ്ട്.

ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ട് നാണയങ്ങൾ ടോസ് ചെയ്യുന്ന പരീക്ഷണത്തിൽ, ഒരു സാമ്പിൾ സ്പേസ്

$$ S=\{HH, HT, TH, TT\} $$

ഈ സാമ്പിൾ സ്പേസിന് അനുയോജ്യമായി നാല് ലഘു ഇവന്റുകൾ ഉണ്ട്. അവ

$$ E_1=\{HH\}, E_2=\{HT\}, E_3=\{TH\} \text{ and } E_4=\{TT\} $$

3. സംയുക്ത ഇവന്റ് (കംപൗണ്ട് ഇവന്റ്) ഒരു ഇവന്റിന് ഒന്നിൽ കൂടുതൽ സാമ്പിൾ പോയിന്റുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിനെ സംയുക്ത ഇവന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, “ഒരു നാണയം മൂന്ന് തവണ ടോസ് ചെയ്യുന്ന” പരീക്ഷണത്തിലെ ഇവന്റുകൾ

E: ‘കൃത്യമായി ഒരു ഹെഡ് പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു’

F: ‘കുറഞ്ഞത് ഒരു ഹെഡ് പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു’

G: ‘അധികം പക്ഷേ ഒരു ഹെഡ് പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു’ മുതലായവ.

എല്ലാം സംയുക്ത ഇവന്റുകളാണ്. $S$ ന്റെ ഈ ഇവന്റുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സബ്സെറ്റുകൾ

$ \begin{aligned} & E=\{HTT, THT, TTH\} \\ & F=\{HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH\} \\ & G=\{TTT, \text{ THT, HTT, TTH }\} \end{aligned} $

മുകളിലെ ഓരോ സബ്സെറ്റിലും ഒന്നിൽ കൂടുതൽ സാമ്പിൾ പോയിന്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ അവയെല്ലാം സംയുക്ത ഇവന്റുകളാണ്.

14.1.3 ഇവന്റുകളുടെ ബീജഗണിതം

സെറ്റുകളെക്കുറിച്ചുള്ള അദ്ധ്യായത്തിൽ, രണ്ടോ അതിലധികമോ സെറ്റുകൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള വിവിധ മാർഗങ്ങൾ നമ്മൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്, അതായത്, യൂണിയൻ, ഇന്റർസെക്ഷൻ, വ്യത്യാസം, ഒരു സെറ്റിന്റെ കോംപ്ലിമെന്റ് മുതലായവ. അതുപോലെ, സമാനമായ സെറ്റ് നൊട്ടേഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് രണ്ടോ അതിലധികമോ ഇവന്റുകൾ സംയോജിപ്പിക്കാം.

A, B, C എന്നിവ സാമ്പിൾ സ്പേസ് S ആയ ഒരു പരീക്ഷണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഇവന്റുകളായിരിക്കട്ടെ.

1. കോംപ്ലിമെന്ററി ഇവന്റ് ഓരോ ഇവന്റ് A യ്ക്കും, $A$ ന് കോംപ്ലിമെന്ററി ഇവന്റ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന മറ്റൊരു ഇവന്റ് $A^{\prime}$ അനുയോജ്യമാണ്. ഇതിനെ ‘$A$ അല്ല’ എന്ന ഇവന്റ് എന്നും വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, ‘മൂന്ന് നാണയങ്ങൾ ടോസ് ചെയ്യുന്ന’ പരീക്ഷണം എടുക്കുക. ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു സാമ്പിൾ സ്പേസ് $ S=\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\} $

‘ഒരു ടെയിൽ മാത്രം പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു’ എന്ന ഇവന്റ് $A=\{HTH, HHT, THH\}$ ആയിരിക്കട്ടെ. വ്യക്തമായും, HTT എന്ന ഔട്ട്കമിന്, ഇവന്റ് A സംഭവിച്ചിട്ടില്ല. എന്നാൽ ‘A അല്ല’ എന്ന ഇവന്റ് സംഭവിച്ചുവെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. അങ്ങനെ, A യിൽ ഇല്ലാത്ത ഓരോ ഔട്ട്കമിനും, ‘A അല്ല’ സംഭവിക്കുന്നുവെന്ന് നമ്മൾ പറയുന്നു.

അങ്ങനെ, ഇവന്റ് A യുടെ കോംപ്ലിമെന്ററി ഇവന്റ് ‘A അല്ല’ എന്നത്

$ A^{\prime}=\{HHH, HTT, THT, TTH, TTT\} $

അല്ലെങ്കിൽ $ \quad \quad \quad \quad A^{\prime}=\{\omega: \omega \in S \text{ and } \omega \notin A\}=S-A . $

2. ഇവന്റ് ‘A അല്ലെങ്കിൽ B’ A, B എന്നീ രണ്ട് സെറ്റുകളുടെ യൂണിയൻ A $\cup$ B എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, A യിലോ B യിലോ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടിലുമോ ഉള്ള എല്ലാ ഘടകങ്ങളും അടങ്ങുന്നതാണെന്ന് ഓർക്കുക.

സെറ്റുകൾ $A$, $B$ എന്നിവ ഒരു സാമ്പിൾ സ്പേസുമായി ബന്ധപ്പെട്ട രണ്ട് ഇവന്റുകളാകുമ്പോൾ, ‘A $\cup B$ ’ എന്നത് ‘ഒന്നുകിൽ $A$ അല്ലെങ്കിൽ $B$ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും’ എന്ന ഇവന്റാണ്. ഈ ഇവന്റ് ‘A $\cup B$ ’ നെ ‘A അല്ലെങ്കിൽ B’ എന്നും വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ

$ \begin{aligned} \text{ ഇവന്റ് }^{\prime} A \text{ അല്ലെങ്കിൽ } B^{\prime} & =A \cup B \\ & =\{\omega: \omega \in A \text{ or } \omega \in B\} \end{aligned} $

3. ഇവന്റ് ‘A ഉം B ഉം’ രണ്ട് സെറ്റുകളുടെ ഇന്റർസെക്ഷൻ $A \cap B$ എന്നത് A, B എന്നിവ രണ്ടിനും പൊതുവായ ഘടകങ്ങളുടെ സെറ്റാണെന്ന് നമുക്കറിയാം. അതായത്, ‘A ഉം B ഉം’ എന്നിവയ്ക്ക് സാധാരണമായവ.

$A$, $B$ എന്നിവ രണ്ട് ഇവന്റുകളാണെങ്കിൽ, സെറ്റ് $A \cap B$ ’ $A$ ഉം $B$ ഉം’ എന്ന ഇവന്റിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, $ \quad A \cap B=\{\omega: \omega \in A and \omega \in B\} $

ഉദാഹരണത്തിന്, ‘ഒരു ഡൈ രണ്ടുതവണ എറിയുന്ന’ പരീക്ഷണത്തിൽ, ‘ആദ്യ എറിയലിൽ ലഭിച്ച സ്കോർ ആറ് ആണ്’ എന്ന ഇവന്റ് $A$ ആയിരിക്കട്ടെ, B എന്നത് ‘രണ്ട് സ്കോറുകളുടെ ആകെത്തുക കുറഞ്ഞത് 11 ആണ്’ എന്ന ഇവന്റാണ്. അപ്പോൾ

$ A=\{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}, \text{ and } B=\{(5,6),(6,5),(6,6)\} $

അതിനാൽ $\quad A \cap B=\{(6,5),(6,6)\}$

സെറ്റ് $A \cap B=\{(6,5),(6,6)\}$ ‘ആദ്യ എറിയലിൽ ലഭിച്ച സ്കോർ ആറ് ആണ്, കൂടാതെ സ്കോറുകളുടെ ആകെത്തുക കുറഞ്ഞത് 11 ആണ്’ എന്ന ഇവന്റിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

4. ഇവന്റ് ‘A എന്നാൽ B അല്ല’ A-B എന്നത് A യിൽ ഉള്ളതും B യിൽ ഇല്ലാത്തതുമായ എല്ലാ ഘടകങ്ങളുടെയും സെറ്റാണെന്ന് നമുക്കറിയാം. അതിനാൽ, സെറ്റ് A-B ‘A എന്നാൽ B അല്ല’ എന്ന ഇവന്റിനെ സൂചിപ്പിക്കാം. നമുക്കറിയാം $ A-B=A \cap B^{\prime} $

ഉദാഹരണം 1 ഒരു ഡൈ ഉരുട്ടുന്ന പരീക്ഷണം പരിഗണിക്കുക. ‘ഒരു പ്രൈം സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നു’ എന്ന ഇവന്റ് A യായിരിക്കട്ടെ, ‘ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നു’ എന്ന ഇവന്റ് B യായിരിക്കട്ടെ. (i) A അല്ലെങ്കിൽ B (ii) A ഉം B ഉം (iii) A എന്നാൽ B അല്ല (iv) ‘A അല്ല’ എന്നിവയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന സെറ്റുകൾ എഴുതുക.

പരിഹാരം ഇവിടെ $\quad S=\{1,2,3,4,5,6\}, A=\{2,3,5\}$, $B=\{1,3,5\}$

വ്യക്തമായും

(i) ‘A അല്ലെങ്കിൽ $B ‘=A \cup B=\{1,2,3,5\}$

(ii) ’ $A$ ഉം $B ‘=A \cap B=\{3,5\}$ ഉം

(iii) ‘A എന്നാൽ $B$ അല്ല’ $=A-B=\{2\}$

(iv) ’ $A^{\prime}=A^{\prime}=\{1,4,6\}$ അല്ല

14.1.4 പരസ്പരം എക്സ്ക്ലൂസീവ് ഇവന്റുകൾ (മ്യൂച്വലി എക്സ്ക്ലൂസീവ് ഇവന്റ്സ്)

ഒരു ഡൈ ഉരുട്ടുന്ന പരീക്ഷണത്തിൽ, ഒരു സാമ്പിൾ സ്പേസ് $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ ആണ്. ഇവന്റുകൾ പരിഗണിക്കുക, $A$ ‘ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു’, $B$ ‘ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു’

വ്യക്തമായും, ഇവന്റ് A, ഇവന്റ് B യെ ഒഴിവാക്കുന്നു, തിരിച്ചും. വേറൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഇവന്റുകൾ A, B എന്നിവ ഒരേസമയം സംഭവിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുന്ന ഒരു ഔട്ട്കം ഇല്ല. ഇവിടെ

$A=\{1,3,5\}$, $B=\{2,4,6\}$

വ്യക്തമായും $A \cap B=\phi$, അതായത്, $A$, $B$ എന്നിവ disjoint സെറ്റുകളാണ്.

പൊതുവേ, രണ്ട് ഇവന്റുകൾ $A$, $B$ എന്നിവയെ പരസ്പരം എക്സ്ക്ലൂസീവ് ഇവന്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അവയിലൊന്നിന്റെ സംഭവം മറ്റേ ഇവന്റിന്റെ സംഭവത്തെ ഒഴിവാക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതായത്, അവ ഒരേസമയം സംഭവിക്കാൻ കഴിയില്ലെങ്കിൽ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ A, B എന്നീ സെറ്റുകൾ disjoint ആണ്.

വീണ്ടും ഒരു ഡൈ ഉരുട്ടുന്ന പരീക്ഷണത്തിൽ, ഇവന്റ് A ‘ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു’, ഇവന്റ് $B$ ‘4 നേക്കാൾ കുറഞ്ഞ ഒരു സംഖ്യ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു’ എന്നിവ പരിഗണിക്കുക.

വ്യക്തമായും $A=\{1,3,5\}$, $B=\{1,2,3\}$

ഇപ്പോൾ $3 \in A$, അതുപോലെ $3 \in B$

അതിനാൽ, A, B എന്നിവ പരസ്പരം എക്സ്ക്ലൂസീവ് ഇവന്റുകളല്ല.

ശ്രദ്ധിക്കുക ഒരു സാമ്പിൾ സ്പേസിന്റെ ലഘു ഇവന്റുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും പരസ്പരം എക്സ്ക്ലൂസീവ് ആണ്.

14.1.5 എക്സ്ഹോസ്റ്റീവ് ഇവന്റുകൾ (എക്സ്ഹോസ്റ്റീവ് ഇവന്റ്സ്)

ഒരു ഡൈ എറിയുന്ന പരീക്ഷണം പരിഗണിക്കുക. നമുക്ക് $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ ഉണ്ട്. ഇനിപ്പറയുന്ന ഇവന്റുകൾ നിർവചിക്കാം

A: ‘4 നേക്കാൾ കുറഞ്ഞ ഒരു സംഖ്യ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു’,

B: ‘2 നേക്കാൾ കൂടുതലും 5 നേക്കാൾ കുറവുമായ ഒരു സംഖ്യ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു’

കൂടാതെ C: ‘4 നേക്കാൾ കൂടുതലായ ഒരു സംഖ്യ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു’.

അപ്പോൾ $A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}$, $C=\{5,6\}$. നമ്മൾ നിരീക്ഷിക്കുന്നത്

$$ A \cup B \cup C=\{1,2,3\} \cup\{3,4\} \cup\{5,6\}=S . $$

$A, B$, $C$ എന്നിവയുടെ പോലുള്ള ഇവന്റുകളെ എക്സ്ഹോസ്റ്റീവ് ഇവന്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പൊതുവേ, $E_1, E_2, \ldots, E_n$ ഒരു സാമ്പിൾ സ്പേസ് $S$ ന്റെ $n$ ഇവന്റുകളാണെങ്കിൽ, കൂടാതെ

$$ E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup \ldots \cup E_n=\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i=S $$

ആണെങ്കിൽ, $E_1, E_2, \ldots, E_n$ എക്സ്ഹോസ്റ്റീവ് ഇവന്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു. വേറൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, പരീക്ഷണം നടത്തുമ്പോൾ അവയിലൊന്നെങ്കിലും ആവശ്യമായും സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഇവന്റുകൾ $E_1, E_2, \ldots, E_n$ എക്സ്ഹോസ്റ്റീവ് ആണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

കൂടുതലായി, $E_i \cap E_j=\phi$, $i \neq j$ എന്നിവയ്ക്ക്, അതായത്, ഇവന്റുകൾ $E_i$, $E_j$ എന്നിവ പെയർവൈസ് disjoint ആണെങ്കിൽ, കൂടാതെ $\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i=S$ ആണെങ്കിൽ, ഇവന്റുകൾ $E_1, E_2, \ldots, E_n$ പരസ്പരം എക്സ്ക്ലൂസീവും എക്സ്ഹോസ്റ്റീവും ആയ ഇവന്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം 2 രണ്ട് ഡൈകൾ എറിയുകയും ഡൈകളിൽ വരുന്ന സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക ശ്രദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഈ പരീക്ഷണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഇനിപ്പറയുന്ന ഇവന്റുകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം

A: ‘ആകെത്തുക ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്’.

B: ‘ആകെത്തുക 3 ന്റെ ഗുണിതമാണ്’.

C: ‘ആകെത്തുക 4 നേക്കാൾ കുറവാണ്’.

$D$ : ‘ആകെത്തുക 11 നേക്കാൾ കൂടുതലാണ്’.

ഈ ഇവന്റുകളിൽ ഏതൊക്കെ ജോഡികൾ പരസ്പരം എക്സ്ക്ലൂസീവ് ആണ്?

പരിഹാരം സാമ്പിൾ സ്പേസ് $S=\{(x, y): x, y=1,2,3,4,5,6\}$ ൽ 36 ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ട്.

അപ്പോൾ $ A= \{(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4), (4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)\} $

$ B= \{(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(3,3),(2,4),(4,2),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4), (6,6)\} $

$ C= \{(1,1),(2,1),(1,2)\} \text{ and } D=\{(6,6)\} $

നമുക്ക് കണ്ടെത്താം

$ A \cap B=\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1