എല്ലാ ഭൗതികഗവേഷണത്തിന്റെയും അനിവാര്യമായ ഉപകരണമാണ് ഗണിതം. - ബെർത്തലോട്ട്

2.1 ആമുഖം

ഗണിതത്തിന്റെ വലുഭാഗവും ഒരു രീതി കണ്ടെത്തുന്നതിനെക്കുറിച്ചാണ് - മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന അളവുകൾ തമ്മിലുള്ള തിരിച്ചറിയാവുന്ന ബന്ധം. നമ്മുടെ ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ, സഹോദരനും സഹോദരിയും, അച്ഛനും മകനും, അധ്യാപകനും വിദ്യാർത്ഥിയും തുടങ്ങിയ ബന്ധങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന നിരവധി രീതികൾ നാം കാണുന്നു. ഗണിതത്തിലും, സംഖ്യ $m$ സംഖ്യ $n$-ൽ നിന്ന് ചെറുതാണ്, വര $l$ വര $m$-ന് സമാന്തരമാണ്, സമുദായം $A$ സമുദായം $B$-ന്റെ ഉപസമുദായമാണ് തുടങ്ങി നിരവധി ബന്ധങ്ങൾ നാം കാണുന്നു. ഇവയെല്ലാം പരിഗണിക്കുമ്പോൾ, ഒരു ബന്ധത്തിൽ ചില ക്രമത്തിൽ വസ്തുക്കളുടെ ജോഡികൾ ഉൾപ്പെടുന്നുണ്ടെന്ന് നാം ശ്രദ്ധിക്കുന്നു. ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, രണ്ട് സമുദായങ്ങളിൽ നിന്ന് വസ്തുക്കളുടെ ജോഡികൾ എങ്ങനെ ബന്ധിപ്പിക്കാമെന്നും, തുടർന്ന് ജോഡിയിലെ രണ്ട് വസ്തുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിചയപ്പെടുത്താമെന്നും നാം പഠിക്കും. അവസാനമായി, ഫലനങ്ങളായി യോഗ്യത നേടുന്ന പ്രത്യേക ബന്ധങ്ങളെക്കുറിച്ച് നാം പഠിക്കും.

ജി.ഡബ്ല്യു. ലൈബ്നിറ്റ്സ് (1646-1716 എ.ഡി.)

ഒരു അളവിനും മറ്റൊന്നിനും തമ്മിലുള്ള ഗണിതപരമായി കൃത്യമായ യോജിപ്പിന്റെ ആശയം ഇത് പിടിച്ചെടുക്കുന്നതിനാൽ, ഗണിതത്തിൽ ഫലനത്തിന്റെ ആശയം വളരെ പ്രധാനമാണ്.

2.2 സമുദായങ്ങളുടെ കാർട്ടീഷ്യൻ ഗുണനഫലം

A എന്നത് 2 നിറങ്ങളുടെ ഒരു സമുദായവും B എന്നത് 3 വസ്തുക്കളുടെ ഒരു സമുദായവുമാണെന്ന് കരുതുക, അതായത്,

$$ A=\{\text { red, blue }\} \text { and } B=\{b, c, s\} \text {, } $$

ഇവിടെ $b, c$, $s$ എന്നിവ യഥാക്രമം ഒരു പ്രത്യേക ബാഗ്, കോട്ട്, ഷർട്ട് എന്നിവയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

ഈ രണ്ട് സമുദായങ്ങളിൽ നിന്ന് എത്ര നിറമുള്ള വസ്തുക്കളുടെ ജോഡികൾ നിർമ്മിക്കാനാകും?

വളരെ ക്രമപ്രകാരമുള്ള രീതിയിൽ മുന്നോട്ട് പോകുമ്പോൾ, താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നതുപോലെ 6 വ്യത്യസ്ത ജോഡികൾ ഉണ്ടാകുമെന്ന് നമുക്ക് കാണാൻ കഴിയും:

(ചുവപ്പ്, $b$ ), (ചുവപ്പ്, $c$ ), (ചുവപ്പ്, $s$ ), (നീല, $b$ ), (നീല, $c$ ), (നീല, $s$ ).

അങ്ങനെ, നമുക്ക് 6 വ്യത്യസ്ത വസ്തുക്കൾ ലഭിക്കുന്നു (ചിത്രം 2.1).

ചിത്രം 2.1

ഏതെങ്കിലും രണ്ട് സമുദായങ്ങളായ $P$, $Q$ എന്നിവയിൽ നിന്ന് എടുത്ത മൂലകങ്ങളുടെ ഒരു ക്രമീകൃത ജോഡി എന്നത് ചെറിയ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ എഴുതുകയും ഒരു പ്രത്യേക ക്രമത്തിൽ ഒരുമിച്ച് ഗ്രൂപ്പുചെയ്യുകയും ചെയ്ത മൂലകങ്ങളുടെ ഒരു ജോഡിയാണ്, അതായത്, $(p, q), p \in P$, $q \in Q$. ഇത് താഴെയുള്ള നിർവചനത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു:

നിർവചനം 1 രണ്ട് ശൂന്യമല്ലാത്ത സമുദായങ്ങൾ $P$, $Q$ എന്നിവ നൽകിയിരിക്കുന്നു. കാർട്ടീഷ്യൻ ഗുണനഫലം $P \times Q$ എന്നത് $P$, $Q$ എന്നിവയിൽ നിന്നുള്ള എല്ലാ ക്രമീകൃത ജോഡികളുടെയും സമുദായമാണ്, അതായത്,

$$ P \times Q=\{(p, q): p \in P, q \in Q\} $$

$P$ അല്ലെങ്കിൽ $Q$ എന്നിവയിൽ ഏതെങ്കിലും ഒന്ന് ശൂന്യസമുദായമാണെങ്കിൽ, $P \times Q$ എന്നതും ശൂന്യസമുദായമായിരിക്കും, അതായത്, $P \times Q=\phi$

മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ചിത്രീകരണത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം

$A \times B=\{(red, b),($ ചുവപ്പ്,$c),($ ചുവപ്പ്,$s),($ നീല,$b),($ നീല,$c),($ നീല,$s)\}$.

വീണ്ടും, രണ്ട് സമുദായങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക:

$A=\{DL, MP, KA\}$, ഇവിടെ DL, MP, KA എന്നിവ യഥാക്രമം ഡൽഹി, മധ്യപ്രദേശ്, കർണാടക എന്നിവയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, കൂടാതെ B $=\{01,02, 03 \}$ DL, MP, KA എന്നിവ ഇഷ്യൂ ചെയ്യുന്ന വാഹനങ്ങളുടെ ലൈസൻസ് പ്ലേറ്റുകളുടെ കോഡുകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

ഡൽഹി, മധ്യപ്രദേശ്, കർണാടക എന്നീ മൂന്ന് സംസ്ഥാനങ്ങൾ വാഹനങ്ങളുടെ ലൈസൻസ് പ്ലേറ്റുകൾക്കായി കോഡുകൾ നിർമ്മിക്കുകയും, കോഡ് സമുദായം $A$-ൽ നിന്നുള്ള ഒരു മൂലകത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കണമെന്ന നിയന്ത്രണം ഉണ്ടായിരിക്കുകയും ചെയ്താൽ, ഈ സമുദായങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭ്യമായ ജോഡികൾ ഏതെല്ലാമാണ്, അത്തരം എത്ര ജോഡികൾ ഉണ്ടാകും (ചിത്രം 2.2)?

ചിത്രം 2.2

ലഭ്യമായ ജോഡികൾ ഇവയാണ്:$(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02)$, $(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02),(\mathrm{KA}, 03)$ കൂടാതെ സമുദായം $A$, സമുദായം $B$ എന്നിവയുടെ ഗുണനഫലം $\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\{(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02),(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02)$, $(\mathrm{KA}, 03)\} \text {. }$ എന്നിവ നൽകുന്നു.

കാർട്ടീഷ്യൻ ഗുണനഫലത്തിൽ 9 അത്തരം ജോഡികൾ ഉണ്ടാകുമെന്ന് എളുപ്പത്തിൽ കാണാൻ കഴിയും, കാരണം A, B എന്നീ ഓരോ സമുദായത്തിലും 3 മൂലകങ്ങൾ ഉണ്ട്. ഇത് നമുക്ക് 9 സാധ്യമായ കോഡുകൾ നൽകുന്നു. ഈ മൂലകങ്ങൾ ജോഡിയാക്കപ്പെടുന്ന ക്രമവും നിർണായകമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, കോഡ് (DL, 01 ) കോഡ് $(01, DL)$-ന് തുല്യമായിരിക്കില്ല.

അവസാന ചിത്രീകരണമായി, രണ്ട് സമുദായങ്ങൾ $A=\{a_1, a_2\}$, $B=\{b_1, b_2, b_3, b_4\}$ എന്നിവ പരിഗണിക്കുക (ചിത്രം 2.3).

$A \times B=\{(a_1, b_1),(a_1, b_2),(a_1, b_3),(a_1, b_4),(a_2, b_1),(a_2, b_2),(a_2, b_3),(a_2, b_4)\} .$

ഇങ്ങനെ രൂപപ്പെട്ട 8 ക്രമീകൃത ജോഡികൾക്ക് തലത്തിലെ ബിന്ദുക്കളുടെ സ്ഥാനം പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയും, A, B എന്നിവ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ സമുദായത്തിന്റെ ഉപസമുദായങ്ങളാണെങ്കിൽ, സ്ഥാനം $(a_1, b_2)$-ലുള്ള ബിന്ദു സ്ഥാനം $(b_2, a_1)$-ലുള്ള ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കുമെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

ചിത്രം 2.3

അഭിപ്രായങ്ങൾ

(i) രണ്ട് ക്രമീകൃത ജോഡികൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം, അനുബന്ധ ആദ്യ മൂലകങ്ങൾ തുല്യവും രണ്ടാമത്തെ മൂലകങ്ങളും തുല്യവുമാണ്.

(ii) $p$-ൽ $A$ മൂലകങ്ങളും $q$-ൽ $B$ മൂലകങ്ങളും ഉണ്ടെങ്കിൽ, $p q$-ൽ $A \times B$ മൂലകങ്ങൾ ഉണ്ടാകും, അതായത്, $n(A)=p$, $n(B)=q$ എന്നിവയാണെങ്കിൽ, $n(A \times B)=p q$.

(iii) $A$, $B$ എന്നിവ ശൂന്യമല്ലാത്ത സമുദായങ്ങളാണെങ്കിലും $A$ അല്ലെങ്കിൽ $B$ എന്നിവയിൽ ഏതെങ്കിലും ഒന്ന് അനന്തസമുദായമാണെങ്കിൽ, $A \times B$ എന്നതും അങ്ങനെയാണ്.

(iv) $A \times A \times A=\{(a, b, c): a, b, c \in A\}$. ഇവിടെ $(a, b, c)$ ഒരു ക്രമീകൃത ത്രിവിധം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 1 $(x+1, y-2)=(3,1)$ ആണെങ്കിൽ, $x$, $y$ എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം ക്രമീകൃത ജോഡികൾ തുല്യമായതിനാൽ, അനുബന്ധ മൂലകങ്ങൾ തുല്യമാണ്.

അതിനാൽ

$ x+1=3 \text { and } y-2=1 \text {. } $

പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് $\quad x=2$, $y=3$ എന്നിവ ലഭിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 2 $P=\{a, b, c\}$, $Q=\{r\}$ എന്നിവയാണെങ്കിൽ, $P \times Q$, $Q \times P$ എന്നീ സമുദായങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുക.

ഈ രണ്ട് ഗുണനഫലങ്ങളും തുല്യമാണോ?

പരിഹാരം കാർട്ടീഷ്യൻ ഗുണനഫലത്തിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്,

$$ P \times Q=\{(a, r),(b, r),(c, r)\} \text { and } Q \times P=\{(r, a),(r, b),(r, c)\} $$

ക്രമീകൃത ജോഡികളുടെ തുല്യതയുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ജോഡി $(a, r)$ ജോഡി $(r, a)$-ന് തുല്യമല്ലാത്തതിനാൽ, $P \times Q \neq Q \times P$ എന്ന് നമ്മൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും, ഓരോ സമുദായത്തിലെയും മൂലകങ്ങളുടെ എണ്ണം ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കും.

ഉദാഹരണം 3 $A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}$, $C=\{4,5,6\}$ എന്നിവ ആയിരിക്കട്ടെ. കണ്ടെത്തുക

(i) $A \times(B \cap C)$

(ii) $(A \times B) \cap(A \times C)$

(iii) $A \times(B \cup C)$

(iv) $(A \times B) \cup(A \times C)$

പരിഹാരം (i) രണ്ട് സമുദായങ്ങളുടെ ഛേദനത്തിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, $(B \cap C)=\{4\}$.

അതിനാൽ, $A \times(B \cap C)=\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$.

(ii) ഇപ്പോൾ $(A \times B)=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)\}$, $(A \times C)=\{(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)\}$ എന്നിവയാണ്

അതിനാൽ, $(A \times B) \cap(A \times C)=\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$.

(iii) $\quad(B \cup C)=\{3,4,5,6\}$ ആയതിനാൽ,

നമുക്ക് $\quad \mathrm{A} \times(\mathrm{B} \cup \mathrm{C})=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3)$, $(3,4),(3,5),(3,6)\}$ എന്നിവ ഉണ്ട്.

(iv) (ii) ലെ $A \times B$, $A \times C$ എന്നീ സമുദായങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് $(A \times B) \cup(A \times C)=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)$, $(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\}$ എന്നിവ ലഭിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 4 $P=\{1,2\}$ ആണെങ്കിൽ, $P \times P \times P$ എന്ന സമുദായം രൂപപ്പെടുത്തുക.

പരിഹാരം നമുക്ക് $ P \times P \times P=\{(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1)$, $(2,2,2)\} $ എന്നിവ ഉണ്ട്.

ഉദാഹരണം 5 $\mathbf{R}$ എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും സമുദായമാണെങ്കിൽ, കാർട്ടീഷ്യൻ ഗുണനഫലങ്ങൾ $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$, $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ എന്നിവ എന്താണ് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത്?

പരിഹാരം കാർട്ടീഷ്യൻ ഗുണനഫലം $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ സമുദായം $\mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y): x, y \in \mathbf{R}\}$-നെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അത് ദ്വിമാന സ്ഥലത്തിലെ എല്ലാ ബിന്ദുക്കളുടെയും കോർഡിനേറ്റുകൾ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, കൂടാതെ കാർട്ടീഷ്യൻ ഗുണനഫലം $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ സമുദായം $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y, z): x, y, z \in \mathbf{R}\}$-നെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അത് ത്രിമാന സ്ഥലത്തിലെ എല്ലാ ബിന്ദുക്കളുടെയും കോർഡിനേറ്റുകൾ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 6 $A \times B=\{(p, q),(p, r),(m, q),(m, r)\}$ ആണെങ്കിൽ, $A$, $B$ എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

$$ \begin{aligned} & A=\text { set of first elements }=\{p, m\} \\ & B=\text { set of second elements }=\{q, r\} . \end{aligned} $$

2.1 ബന്ധങ്ങൾ

രണ്ട് സമുദായങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക: $P=\{a, b, c\}$, $Q=\{$ അലി, ഭാനു, ബിനോയ്, ചന്ദ്ര, ദിവ്യ $\}$.

$P$, $Q$ എന്നിവയുടെ കാർട്ടീഷ്യൻ ഗുണനഫലത്തിന് 15 ക്രമീകൃത ജോഡികളുണ്ട്, അവ $P \times Q=\{(a, \text{Ali})$, (a, ഭാനു), (a, ബിനോയ്), …, (c, ദിവ്യ) $\}$ എന്നിങ്ങനെ പട്ടികപ്പെടുത്താം.

ചിത്രം 2.4

ഓരോ ക്രമീകൃത ജോഡിയുടെയും ആദ്യ മൂലകം $x$, രണ്ടാമത്തെ മൂലകം $y$ എന്നിവ തമ്മിൽ ഒരു ബന്ധം $R$ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് നമുക്ക് $P \times Q$-ന്റെ ഒരു ഉപസമുദായം ലഭിക്കും $(x, y)$ എന്ന്

$R=\{(x, y): x$ എന്നത് പേരിന്റെ ആദ്യ അക്ഷരമാണ് $y, x \in P, y \in Q\}$.

അപ്പോൾ $R=\{(a, Ali),(b, Bhanu),(b, Binoy),(c$, ചന്ദ്ര $)\}$

ഈ ബന്ധത്തിന്റെ ദൃശ്യ പ്രതിനിധാനം $R$ (അമ്പുകളുടെ രേഖാചിത്രം എന്ന് വിളിക്കുന്നു) ചിത്രം 2.4-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

നിർവചനം 2 ഒരു ശൂന്യമല്ലാത്ത സമുദായം $A$-ൽ നിന്ന് മറ്റൊരു ശൂന്യമല്ലാത്ത സമുദായം $B$-ലേക്കുള്ള ഒരു ബന്ധം $R$ എന്നത് കാർട്ടീഷ്യൻ ഗുണനഫലം $A \times B$-ന്റെ ഒരു ഉപസമുദായമാണ്. $A \times B$-ലെ ക്രമീകൃത ജോഡികളുടെ ആദ്യ മൂലകവും രണ്ടാമത്തെ മൂലകവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം വിവരിച്ചുകൊണ്ടാണ് ഈ ഉപസമുദായം ലഭിക്കുന്നത്. രണ്ടാമത്തെ മൂലകത്തെ ആദ്യ മൂലകത്തിന്റെ പ്രതിബിംബം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർവചനം 3 ഒരു സമുദായം A-യിൽ നിന്ന് മറ്റൊരു സമുദായം $B$-ലേക്കുള്ള ഒരു ബന്ധം $R$-ലെ എല്ലാ ക്രമീകൃത ജോഡികളുടെയും ആദ്യ മൂലകങ്ങളുടെ സമുദായത്തെ ബന്ധം $R$-ന്റെ പ്രദേശം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർവചനം 4 ഒരു സമുദായം $A$-ൽ നിന്ന് മറ്റൊരു സമുദായം $B$-ലേക്കുള്ള ഒരു ബന്ധം $R$-ലെ എല്ലാ രണ്ടാം മൂലകങ്ങളുടെയും സമുദായത്തെ ബന്ധം $R$-ന്റെ വ്യാപ്തി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മുഴുവൻ സമുദായം $B$-യെ ബന്ധം $R$-ന്റെ സഹപ്രദേശം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. വ്യാപ്തി $\subset$ സഹപ്രദേശം എന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

അഭിപ്രായങ്ങൾ (i) ഒരു ബന്ധത്തെ ബീജഗണിതപരമായി രോസ്റ്റർ രീതി അല്ലെങ്കിൽ സെറ്റ്-ബിൽഡർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

(ii) ഒരു ബന്ധത്തിന്റെ ദൃശ്യ പ്രതിനിധാനമാണ് അമ്പുകളുടെ രേഖാചിത്രം.

ഉദാഹരണം 7 $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ ആയിരിക്കട്ടെ. $A$-ൽ നിന്ന് $A$-ലേക്കുള്ള ഒരു ബന്ധം $R$ നിർവചിക്കുക $R=\{(x, y): y=x+1\}$

(i) ഒരു അമ്പുകളുടെ രേഖാചിത്രം ഉപയോഗിച്ച് ഈ ബന്ധം ചിത്രീകരിക്കുക.

(ii) $R$-ന്റെ പ്രദേശം, സഹപ്രദേശം, വ്യാപ്തി എന്നിവ എഴുതുക.

പരിഹാരം (i) ബന്ധത്തിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്,

$R=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)\}$.

അനുബന്ധ അമ്പുകളുടെ രേഖാചിത്രം ചിത്രം 2.5-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

ചിത്രം 2.5

(ii) പ്രദേശം $=\{1,2,3,4,5\}$ എന്ന് നമുക്ക് കാണാൻ കഴിയും

അതുപോലെ, വ്യാപ്തി $=\{2,3,4,5,6\}$, സഹപ്രദേശം $=\{1,2,3,4,5,6\}$ എന്നിവയാണ്.

ഉദാഹരണം 8 ചിത്രം 2.6 സമുദായങ്ങൾ $P$, $Q$ എന്നിവ തമ്മിലുള്ള ഒരു ബന്ധം കാണിക്കുന്നു. ഈ ബന്ധം (i) സെറ്റ്-ബിൽഡർ രൂപത്തിൽ, (ii) രോസ്റ്റർ രൂപത്തിൽ എഴുതുക. അതിന്റെ പ്രദേശവും വ്യാപ്തിയും എന്താണ്?

ചിത്രം 2.6

പരിഹാരം ബന്ധം $R$ “$x$ എന്നത് $y$-ന്റെ വർഗ്ഗമാണ്” എന്നത് വ്യക്തമാണ്.

(i) സെറ്റ്-ബിൽഡർ രൂപത്തിൽ, $R=\{(x, y): x$ എന്നത് $y, x \in P, y \in \mathbf{Q}\}$-ന്റെ വർഗ്ഗമാണ്

(ii) രോസ്റ്റർ രൂപത്തിൽ, $R=\{(9,3)$, $(9,-3),(4,2),(4,-2),(25,5),(25,-5)\}$

ഈ ബന്ധത്തിന്റെ പ്രദേശം $\{4,9,25\}$ ആണ്.

ഈ ബന്ധത്തിന്റെ വ്യാപ്തി $\{-2,2,-3,3,-5,5\}$ ആണ്.

സമുദായം $P$-ലെ ഏതെങ്കിലും മൂലകവുമായി മൂലകം 1 ബന്ധപ്പെട്ടിട്ടില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. സമുദായം $Q$ ഈ ബന്ധത്തിന്റെ സഹപ്രദേശമാണ്.

കുറിപ്പ് - ഒരു സമുദായം $A$-ൽ നിന്ന് മറ്റൊരു സമുദായം $B$-ലേക്ക് നിർവചിക്കാവുന്ന ആകെ ബന്ധങ്ങളുടെ എണ്ണം $A \times B$-ന്റെ സാധ്യമായ ഉപസമുദായങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്. $n(A)=p$, $n(B)=q$ എന്നിവയാണെങ്കിൽ, $n(A \times B)=p q$ ആണ്, കൂടാതെ ആകെ ബന്ധങ്ങളുടെ എണ്ണം $2^{p q}$ ആണ്.

ഉദാഹരണം 9 $A=\{1,2\}$, $B=\{3,4\}$ എന്നിവ ആയിരിക്കട്ടെ. A-യിൽ നിന്ന് B-ലേക്കുള്ള ബന്ധങ്ങളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം നമുക്ക്,

$ A \times B=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\} $

$n(A \times B)=4$ ആയതിനാൽ, $A \times B$-ന്റെ ഉപസമുദായങ്ങളുടെ എണ്ണം $2^{4}$ ആണ്. അതിനാൽ, $A$-ൽ നിന്ന് $B$-ലേക്കുള്ള ബന്ധങ്ങളുടെ എണ്ണം $2^{4}$ ആയിരിക്കും.

അഭിപ്രായം $A$-ൽ നിന്ന് $A$-ലേക്കുള്ള ഒരു ബന്ധം $R$ $A$-ലെ ഒരു ബന്ധം എന്നും പറയപ്പെടുന്നു.

2.4 ഫലനങ്ങൾ

ഈ വിഭാഗത്തിൽ, ഫലനം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു പ്രത്യേക തരം ബന്ധം നാം പഠിക്കുന്നു. ഗണിതത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ആശയങ്ങളിലൊന്നാണിത്. ചില നൽകിയ മൂലകങ്ങളിൽ നിന്ന് പുതിയ മൂലകങ്ങൾ ഉത്പാദിപ്പിക്കുന്ന ഒരു നിയമമായി നമുക്ക് ഒരു ഫലനത്തെ ദൃശ്യവൽക്കരിക്കാനാകും. ‘മാപ്പ്’ അല്ലെങ്കിൽ ‘മാപ്പിംഗ്’ എന്നിങ്ങനെയുള്ള നിരവധി പദങ്ങൾ ഒരു ഫലനത്തെ സൂചിപ്പിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

നിർവചനം 5 ഒരു സമുദായം $A$-ൽ നിന്ന് മറ്റൊരു സമുദായം $B$-ലേക്കുള്ള ഒരു ബന്ധം $f$ ഒരു ഫലനമാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു, സമുദായം $A$-ലെ ഓരോ മൂലകത്തിനും സമുദായം $B$-ൽ ഒരു മാത്രമായ പ്രതിബിംബം ഉണ്ടെങ്കിൽ.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ഫലനം $f$ എന്നത് ഒരു ശൂന്യമല്ലാത്ത സമുദായം $A$-ൽ നിന്ന് മറ്റൊരു ശൂന്യമല്ലാത്ത സമുദായം $B$-ലേക്കുള്ള ഒരു ബന്ധമാണ്, അതായത് $f$-ന്റെ പ്രദേശം $A$ ആണ്, കൂടാതെ $f$-ലെ രണ്ട് വ്യ