ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന് ഒരു പ്രശ്നം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് അറിയാം, അയാൾക്ക് അത് പരിഹരിക്കാനാവില്ല. - മിൽൻ

3.1 ആമുഖം

’trigonometry’ എന്ന വാക്ക് ഗ്രീക്ക് വാക്കുകളായ ’trigon’, ‘metron’ എന്നിവയിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ്, അതിനർത്ഥം ‘ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ അളക്കുക’ എന്നാണ്. ത്രികോണങ്ങൾ ഉൾപ്പെട്ട ജ്യാമിതീയ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനാണ് ഈ വിഷയം ആദ്യം വികസിപ്പിച്ചെടുത്തത്. നാവിഗേഷനുവേണ്ടി കപ്പൽ ക്യാപ്റ്റൻമാരും, പുതിയ പ്രദേശങ്ങൾ മാപ്പ് ചെയ്യാനുള്ള സർവേയർമാരും, എഞ്ചിനീയർമാരും മറ്റുള്ളവരും ഇത് പഠിച്ചു. നിലവിൽ, സീസ്മോളജി ശാസ്ത്രം, ഇലക്ട്രിക് സർക്യൂട്ടുകൾ രൂപകൽപ്പന ചെയ്യൽ, ഒരു ആറ്റത്തിന്റെ അവസ്ഥ വിവരിക്കൽ, സമുദ്രത്തിലെ വേലിയേറ്റത്തിന്റെ ഉയരം പ്രവചിക്കൽ, ഒരു സംഗീത സ്വരം വിശകലനം ചെയ്യൽ തുടങ്ങി പല മേഖലകളിലും ത്രികോണമിതി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ആര്യഭട്ടൻ (476-550 B.C.)

മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിൽ, നമ്മൾ ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ അനുപാതമായി ലഘുകോണുകളുടെ ത്രികോണമിതി അനുപാതങ്ങൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റികളും, ഉയരങ്ങളും ദൂരങ്ങളും സംബന്ധിച്ച പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ത്രികോണമിതി അനുപാതങ്ങളുടെ പ്രയോഗവും നമ്മൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, നമ്മൾ ത്രികോണമിതി അനുപാതങ്ങളുടെ ആശയം ത്രികോണമിതി ഫലനങ്ങളായി സാമാന്യവൽക്കരിക്കുകയും അവയുടെ ഗുണങ്ങൾ പഠിക്കുകയും ചെയ്യും.

3.2 കോണുകൾ

ചിത്രം 3.1

ഒരു കിരണത്തിന്റെ പ്രാരംഭ ബിന്ദുവിന് ചുറ്റുമുള്ള ഭ്രമണത്തിന്റെ അളവാണ് കോൺ. യഥാർത്ഥ കിരണത്തെ പ്രാരംഭ വശം എന്നും, ഭ്രമണത്തിനുശേഷം കിരണത്തിന്റെ അന്തിമ സ്ഥാനത്തെ കോണിന്റെ അന്തിമ വശം എന്നും വിളിക്കുന്നു. ഭ്രമണത്തിന്റെ ബിന്ദുവിനെ ശീർഷകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഭ്രമണത്തിന്റെ ദിശ എതിർ ഘടികാരദിശയിലാണെങ്കിൽ, കോൺ പോസിറ്റീവ് ആണെന്നും, ഭ്രമണത്തിന്റെ ദിശ ഘടികാരദിശയിലാണെങ്കിൽ, കോൺ നെഗറ്റീവ് ആണെന്നും പറയപ്പെടുന്നു (ചിത്രം 3.1).

ഒരു കോണിന്റെ അളവ് എന്നത് പ്രാരംഭ വശത്തിൽ നിന്ന് അന്തിമ വശം ലഭിക്കാൻ നടത്തിയ ഭ്രമണത്തിന്റെ അളവാണ്. കോണുകൾ അളക്കുന്നതിന് നിരവധി യൂണിറ്റുകൾ ഉണ്ട്. ഒരു കോണിന്റെ നിർവചനം

ചിത്രം 3.2

ചിത്രം 3.2 ഒരു യൂണിറ്റ് സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതായത് ചിത്രം 3.2-ൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ പ്രാരംഭ വശത്തിന്റെ സ്ഥാനത്ത് നിന്നുള്ള ഒരു പൂർണ്ണ ഭ്രമണം.

വലിയ കോണുകൾക്ക് ഇത് പലപ്പോഴും സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, വേഗത്തിൽ കറങ്ങുന്ന ഒരു ചക്രം സെക്കൻഡിൽ 15 ഭ്രമണം എന്ന കോൺ ഉണ്ടാക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന കോണിന്റെ അളവിന്റെ മറ്റ് രണ്ട് യൂണിറ്റുകൾ നമ്മൾ വിവരിക്കും, അതായത് ഡിഗ്രി അളവും റേഡിയൻ അളവും.

3.2.1 ഡിഗ്രി അളവ്

പ്രാരംഭ വശത്തിൽ നിന്ന് അന്തിമ വശത്തിലേക്കുള്ള ഭ്രമണം ഒരു ഭ്രമണത്തിന്റെ $(\frac{1}{360})^{\text{th }}$ ആണെങ്കിൽ, കോണിന് ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ അളവ് ഉണ്ടെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു, അത് $1^{\circ}$ എന്ന് എഴുതുന്നു. ഒരു ഡിഗ്രിയെ 60 മിനിറ്റായും, ഒരു മിനിറ്റിനെ 60 സെക്കൻഡായും വിഭജിക്കുന്നു. ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ അറുപതിലൊന്നിനെ മിനിറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അത് $1^{\prime}$ എന്ന് എഴുതുന്നു, ഒരു മിനിറ്റിന്റെ അറുപതിലൊന്നിനെ സെക്കൻഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അത് $1^{\prime \prime}$ എന്ന് എഴുതുന്നു. അങ്ങനെ, $\quad 1^{\circ}=60^{\prime}, \quad 1^{\prime}=60^{\prime \prime}$

$360^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}, 420^{\circ},-30^{\circ},-420^{\circ}$ അളവുകളുള്ള ചില കോണുകൾ ചിത്രം 3.3-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

ചിത്രം 3.3

3.2.2 റേഡിയൻ അളവ്

കോണിന്റെ അളവിന് മറ്റൊരു യൂണിറ്റ് ഉണ്ട്, അതിനെ റേഡിയൻ അളവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു യൂണിറ്റ് വൃത്തത്തിൽ (1 യൂണിറ്റ് ആരമുള്ള വൃത്തം) 1 യൂണിറ്റ് നീളമുള്ള ഒരു ചാപം കേന്ദ്രത്തിൽ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്ന കോണിന് 1 റേഡിയന്റെ അളവ് ഉണ്ടെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. ചിത്രം 3.4(i) മുതൽ (iv) വരെ, $OA$ പ്രാരംഭ വശവും $OB$ അന്തിമ വശവുമാണ്. ചിത്രങ്ങൾ 1 റേഡിയൻ, -1 റേഡിയൻ, $1 \frac{1}{2}$ റേഡിയൻ, $-1 \frac{1}{2}$ റേഡിയൻ അളവുകളുള്ള കോണുകൾ കാണിക്കുന്നു.

ചിത്രം 3.4 (i) - (iv)

1 യൂണിറ്റ് ആരമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് $2 \pi$ ആണെന്ന് നമുക്കറിയാം. അങ്ങനെ, പ്രാരംഭ വശത്തിന്റെ ഒരു പൂർണ്ണ ഭ്രമണം $2 \pi$ റേഡിയൻ കോൺ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്നു.

കൂടുതൽ പൊതുവായി, $r$ ആരമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിൽ, $r$ നീളമുള്ള ഒരു ചാപം 1 റേഡിയൻ കോൺ ഉൾക്കൊള്ളിക്കും. ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ തുല്യ ചാപങ്ങൾ കേന്ദ്രത്തിൽ തുല്യ കോൺ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്നുവെന്ന് നന്നായി അറിയാം. $r$ ആരമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിൽ, $r$ നീളമുള്ള ഒരു ചാപം 1 റേഡിയൻ അളവുള്ള ഒരു കോണിനെ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്നതിനാൽ, $l$ നീളമുള്ള ഒരു ചാപം $\frac{l}{r}$ റേഡിയൻ അളവുള്ള ഒരു കോണിനെ ഉൾക്കൊള്ളിക്കും. അങ്ങനെ, $r$ ആരമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിൽ, $l$ നീളമുള്ള ഒരു ചാപം കേന്ദ്രത്തിൽ $\theta$ റേഡിയൻ കോൺ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, നമുക്ക് $\theta=\frac{l}{r}$ അല്ലെങ്കിൽ $l=r \theta$ ഉണ്ട്.

3.2.3 റേഡിയനും യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം

$O$ കേന്ദ്രമായുള്ള യൂണിറ്റ് വൃത്തം പരിഗണിക്കുക. $A$ വൃത്തത്തിലെ ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ. ഒരു കോണിന്റെ പ്രാരംഭ വശമായി OA പരിഗണിക്കുക. അപ്പോൾ വൃത്തത്തിന്റെ ഒരു ചാപത്തിന്റെ നീളം വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിൽ ആ ചാപം ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്ന കോണിന്റെ റേഡിയൻ അളവ് നൽകും. A യിൽ വൃത്തത്തിന് സ്പർശകമായ PAQ രേഖ പരിഗണിക്കുക. A ബിന്ദു യഥാർത്ഥ സംഖ്യ പൂജ്യത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കട്ടെ, AP പോസിറ്റീവ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, AQ നെഗറ്റീവ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു (ചിത്രം 3.5). നമ്മൾ $AP$ രേഖ വൃത്തത്തിൽ എതിർ ഘടികാരദിശയിലും, $AQ$ ഘടികാരദിശയിലും കയറ്റിയാൽ, എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയും ഒരു റേഡിയൻ അളവുമായി യോജിക്കും, തിരിച്ചും. അങ്ങനെ, റേഡിയൻ അളവുകളും യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളും ഒന്നുതന്നെയായി കണക്കാക്കാം.

ചിത്രം 3.5

3.2.4 ഡിഗ്രിയും റേഡിയനും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ഒരു വൃത്തം കേന്ദ്രത്തിൽ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്നതിനാൽ

റേഡിയൻ അളവ് $2 \pi$ ഉം അതിന്റെ ഡിഗ്രി അളവ് $360^{\circ}$ ഉം ആയ ഒരു കോണാണ്, അത് താഴെ കാണുന്നത് പോലെയാണ്$ 2 \pi \text{ radian }=360^{\circ} \quad \text{ or } \quad \pi \text{ radian }=180^{\circ} $

മുകളിലുള്ള ബന്ധം ഒരു റേഡിയൻ അളവിനെ ഡിഗ്രി അളവിലും, ഒരു ഡിഗ്രി അളവിനെ റേഡിയൻ അളവിലും പ്രകടിപ്പിക്കാൻ നമ്മെ പ്രാപ്തരാക്കുന്നു. $\pi$ ന്റെ ഏകദേശ മൂല്യം $\frac{22}{7}$ ആയി ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ഉണ്ട്

$ 1 \text{ radian }=\frac{180^{\circ}}{\pi}=57^{\circ} 16^{\prime} \text{ approximately. } $

കൂടാതെ $\quad 1^{\circ}=\frac{\pi}{180}$ radian $=0.01746$ radian approximately.

ചില സാധാരണ കോണുകളുടെ ഡിഗ്രി അളവുകളും റേഡിയൻ അളവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

നൊട്ടേഷണൽ കൺവെൻഷൻ

കോണുകൾ ഡിഗ്രിയിലോ റേഡിയനിലോ അളക്കപ്പെടുന്നതിനാൽ, നമ്മൾ ഇനിപ്പറയുന്ന കൺവെൻഷൻ സ്വീകരിക്കുന്നു: ഞങ്ങൾ കോൺ $\theta^{\circ}$ എഴുതുമ്പോഴെല്ലാം, അതിന്റെ ഡിഗ്രി അളവ് $\theta$ ആയ കോണിനെയാണ് ഞങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത്, കൂടാതെ ഞങ്ങൾ കോൺ $\beta$ എഴുതുമ്പോഴെല്ലാം, അതിന്റെ റേഡിയൻ അളവ് $\beta$ ആയ കോണിനെയാണ് ഞങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

ഒരു കോൺ റേഡിയനിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുമ്പോൾ, ‘റേഡിയൻ’ എന്ന വാക്ക് പലപ്പോഴും ഒഴിവാക്കുന്നുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. അങ്ങനെ, $\pi=180^{\circ}$, $\frac{\pi}{4}=45^{\circ}$ എന്നിവ $\pi$, $\frac{\pi}{4}$ എന്നിവ റേഡിയൻ അളവുകളാണെന്ന ധാരണയോടെ എഴുതപ്പെടുന്നു. അങ്ങനെ, നമുക്ക് പറയാം

$ \begin{aligned} & \text{ Radian measure }=\frac{\pi}{180} \times \text{ Degree measure } \\ & \text{ Degree measure }=\frac{180}{\pi} \times \text{ Radian measure } \end{aligned} $

ഉദാഹരണം 1 $40^{\circ} 20^{\prime}$ നെ റേഡിയൻ അളവിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക.

പരിഹാരം $180^{\circ}=\pi$ radian എന്ന് നമുക്കറിയാം.

അതിനാൽ $\quad 40^{\circ} 20^{\prime}=40 \frac{1}{3}$ degree $=\frac{\pi}{180} \times \frac{121}{3}$ radian $=\frac{121 \pi}{540}$ radian.

അതുകൊണ്ട്

$ 40^{\circ} 20^{\prime}=\frac{121 \pi}{540} \text{ radian. } $

ഉദാഹരണം 2 6 റേഡിയനെ ഡിഗ്രി അളവിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക.

പരിഹാരം $\pi$ radian $=180^{\circ}$ എന്ന് നമുക്കറിയാം.

അതിനാൽ

$ \begin{aligned} 6 \text{ radians } & =\frac{180}{\pi} \times 6 \text{ degree }=\frac{1080 \times 7}{22} \text{ degree } \\ & =343 \frac{7}{11} \text{ degree }=343^{\circ}+\frac{7 \times 60}{11} \text{ minute } \quad[\text{ as } 1^{\circ}=60^{\prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+\frac{2}{11} \text{ minute } \quad[\text{ as } 1^{\prime}=60^{\prime \prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+10.9^{\prime \prime} \quad=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime} \text{ approximately. } \end{aligned} $

അതിനാൽ $\quad 6$ radians $=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime}$ approximately.

ഉദാഹരണം 3 $60^{\circ}$ കേന്ദ്രകോൺ $37.4 cm$ നീളമുള്ള ഒരു ചാപത്തെ ഛേദിക്കുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ ആരം കണ്ടെത്തുക ($\pi=\frac{22}{7}$ ഉപയോഗിക്കുക ).

പരിഹാരം ഇവിടെ $l=37.4 cm$, $\theta=60^{\circ}=\frac{60 \pi}{180}$ radian $=\frac{\pi}{3}$

അതിനാൽ, $\quad$ by $r=\frac{l}{\theta}$, നമുക്ക് ഉണ്ട്

$ r=\frac{37.4 \times 3}{\pi}=\frac{37.4 \times 3 \times 7}{22}=35.7 cm $

ഉദാഹരണം 4 ഒരു വാച്ചിന്റെ മിനിറ്റ് സൂചി $1.5 cm$ നീളമുള്ളതാണ്. 40 മിനിറ്റിനുള്ളിൽ അതിന്റെ അഗ്രം എത്ര ദൂരം നീങ്ങും? ($\pi=3.14$ ഉപയോഗിക്കുക ).

പരിഹാരം 60 മിനിറ്റിനുള്ളിൽ, ഒരു വാച്ചിന്റെ മിനിറ്റ് സൂചി ഒരു പൂർണ്ണ ഭ്രമണം പൂർത്തിയാക്കുന്നു. അതിനാൽ, 40 മിനിറ്റിനുള്ളിൽ, മിനിറ്റ് സൂചി ഒരു ഭ്രമണത്തിന്റെ $\frac{2}{3}$ വഴി തിരിയുന്നു. അതിനാൽ, $\theta=\frac{2}{3} \times 360^{\circ}$ അല്ലെങ്കിൽ $\frac{4 \pi}{3}$ radian. അതിനാൽ, ആവശ്യമായ ദൂരം നൽകിയിരിക്കുന്നത്

$ l=r \theta=1.5 \times \frac{4 \pi}{3} cm=2 \pi cm=2 \times 3.14 cm=6.28 cm . $

ഉദാഹരണം 5 രണ്ട് വൃത്തങ്ങളിലെ ഒരേ നീളമുള്ള ചാപങ്ങൾ കേന്ദ്രത്തിൽ $65^{\circ}$, $110^{\circ}$ കോണുകൾ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അവയുടെ ആരങ്ങളുടെ അനുപാതം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം $r_1$, $r_2$ എന്നിവ രണ്ട് വൃത്തങ്ങളുടെ ആരങ്ങളായിരിക്കട്ടെ. നൽകിയിരിക്കുന്നത്

$ \theta_1=65^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 65=\frac{13 \pi}{36} \text{ radian } $

കൂടാതെ

$ \theta_2=110^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 110=\frac{22 \pi}{36} \text{ radian } $

$l$ ഓരോ ചാപത്തിന്റെയും നീളമായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ $l=r_1 \theta_1=r_2 \theta_2$, അത് നൽകുന്നു

$ \frac{13 \pi}{36} \times r_1=\frac{22 \pi}{36} \times r_2 \text{, i.e., } \frac{r_1}{r_2}=\frac{22}{13} $

അതിനാൽ $\quad r_1: r_2=22: 13$.

3.3 ത്രികോണമിതി ഫലനങ്ങൾ

മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിൽ, ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ അനുപാതമായി ലഘുകോണുകളുടെ ത്രികോണമിതി അനുപാതങ്ങൾ നമ്മൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. റേഡിയൻ അളവിലുള്ള ഏത് കോണിനും ത്രികോണമിതി അനുപാതങ്ങളുടെ നിർവചനം നമ്മൾ ഇപ്പോൾ വിപുലീകരിക്കുകയും അവയെ ത്രികോണമിതി ഫലനങ്ങളായി പഠിക്കുകയും ചെയ്യും.

കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുടെ ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് കേന്ദ്രമായുള്ള ഒരു യൂണിറ്റ് വൃത്തം പരിഗണിക്കുക. $P(a, b)$ കോൺ $AOP=x$ radian ഉള്ള വൃത്തത്തിലെ ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ, അതായത് ചാപത്തിന്റെ നീളം $AP=x$ (ചിത്രം 3.6).

ചിത്രം 3.6

നമ്മൾ $\cos x=a$, $\sin x=b$ എന്നിവ നിർവചിക്കുന്നു. $\triangle OMP$ ഒരു മട്ടത്രികോണമായതിനാൽ, നമുക്ക് $OM^{2}+MP^{2}=OP^{2}$ അല്ലെങ്കിൽ $a^{2}+b^{2}=1$ ഉണ്ട്. അങ്ങനെ, യൂണിറ്റ് വൃത്തത്തിലെ ഓരോ ബിന്ദുവിനും, നമുക്ക് ഉണ്ട്

$ a^{2}+b^{2}=1 \text{ or } \cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1 $

ഒരു പൂർണ്ണ ഭ്രമണം വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിൽ $2 \pi$ radian കോൺ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്നതിനാൽ,

$\angle AOB=\frac{\pi}{2}$, $\angle AOC=\pi$, $\angle AOD=\frac{3 \pi}{2}$. $\frac{\pi}{2}$ ന്റെ ഇന്റഗ്രൽ ഗുണിതങ്ങളായ എല്ലാ കോണുകളെയും ക്വാഡ്രന്റൽ കോണുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. A, B, C, D എന്നീ ബിന്ദുക്കളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ യഥാക്രമം $(1,0),(0,1),(-1,0)$, $(0,-1)$ എന്നിവയാണ്. അതിനാൽ, ക്വാഡ്രന്റൽ കോണുകൾക്ക്, നമുക്ക് ഉണ്ട്

$ \begin{aligned} & \cos 0^{\circ}=1 \quad \sin 0^{\circ}=0, \\ & \cos \frac{\pi}{2}=0 \quad \sin \frac{\pi}{2}=1 \\ & \cos \pi=-1 \quad \sin \pi=0 \\ & \cos \frac{3 \pi}{2}=0 \quad \sin \frac{3 \pi}{2}=-1 \\ & \cos 2 \pi=1 \quad \sin 2 \pi=0 \end{aligned} $

ഇപ്പോൾ, നമ്മൾ $P$ ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഒരു പൂർണ്ണ ഭ്രമണം എടുത്താൽ, നമ്മൾ വീണ്ടും അതേ ബിന്ദുവായ $P$ ലേക്ക് തിരിച്ചെത്തുന്നു. അങ്ങനെ, $x$ $2 \pi$ ന്റെ ഏതെങ്കിലും ഇന്റഗ്രൽ ഗുണിതം കൊണ്ട് വർദ്ധിക്കുകയോ (അല്ലെങ്കിൽ കുറയുകയോ) ചെയ്താൽ, സൈൻ, കോസൈൻ ഫലനങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ മാറില്ലെന്നും നമ്മൾ നിരീക്ഷിക്കുന്നു. അങ്ങനെ,

$ \sin (2 n \pi+x)=\sin x, n \in \mathbf{Z}, \cos (2 n \pi+x)=\cos x, n \in \mathbf{Z} $

കൂടുതൽ, $\sin x=0$, $x=0, \pm \pi, \pm 2 \pi, \pm 3 \pi$ ആണെങ്കിൽ, …, അതായത്, $x$ $\pi$ ന്റെ ഇന്റഗ്രൽ ഗുണിതമാകുമ്പോൾ, $\cos x=0$, $x= \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3 \pi}{2}, \pm \frac{5 \pi}{2}, \ldots$ ആണെങ്കിൽ, അതായത്, $\cos x$ $x$ $\frac{\pi}{2}$ ന്റെ ഒറ്റ ഗുണിതമാകുമ്പോൾ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു. അങ്ങനെ

$ \begin{aligned} & \sin x=0 \text{ implies } x=n \pi, \text{ where } n \text{ is any integer } \\ & \cos x=0 \text{ implies } x=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \text{, where } n \text{ is any integer. } \end{aligned} $

സൈൻ, കോസൈൻ ഫലനങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ മറ്റ് ത്രികോണമിതി ഫലനങ്ങൾ നമ്മൾ ഇപ്പോൾ നിർവചിക്കുന്നു:

$\text{cosec} x=\frac{1}{\sin x}, x \neq n \pi$, ഇവിടെ $n$ ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്.

$\sec x=\frac{1}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, ഇവിടെ $n$ ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്.

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, ഇവിടെ $n$ ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്.

$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}, x \neq n \pi$, ഇവിടെ $n$ ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്.

എല്ലാ യഥാർത്ഥ $x, \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$ നും ഇത് നമ്മൾ കാണിച്ചിട്ടുണ്ട്

അത് താഴെ കാണുന്നത് പോലെയാണ്

$$ \begin{aligned} & 1+\tan ^{2} x=\sec ^{2} x \\ & 1+\cot ^{2} x=cosec^{2} x \end{aligned} $$

മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിൽ, $0^{\circ}$, $30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$, $90^{\circ}$ എന്നിവയ്ക്കുള്ള ത്രികോണമിതി അനുപാതങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നമ്മൾ ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. ഈ കോണുകൾക്കുള്ള ത്രികോണമിതി ഫലനങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിൽ പഠിച്ച ത്രികോണമിതി അനുപാതങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ