ഗണിതം ശാസ്ത്രങ്ങളുടെ രാജ്ഞിയാണ്, ഗണിതത്തിന്റെ രാജ്ഞി ഗണിതശാസ്ത്രമാണ്. - ഗൗസ്

4.1 ആമുഖം

മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിൽ, ഒരു ചരത്തിലും രണ്ട് ചരങ്ങളിലും ഉള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളും ഒരു ചരത്തിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും നമ്മൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. $x^{2}+1=0$ എന്ന സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ പരിഹാരമില്ലെന്ന് നമ്മൾ കണ്ടിട്ടുണ്ട്, കാരണം $x^{2}+1=0$ $x^{2}=-1$ നൽകുന്നു, എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെയും വർഗ്ഗം നോൺ-നെഗറ്റീവ് ആണ്. അതിനാൽ, $x^{2}=-1$ എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ വ്യവസ്ഥയെ ഒരു വലിയ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് വിപുലീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. വാസ്തവത്തിൽ, പ്രധാന ലക്ഷ്യം $a x^{2}+b x+c=0$ എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക ആണ്, ഇവിടെ $D=b^{2}-4 a c<0$, ഇത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ സാധ്യമല്ല.

W. R. Hamilton (1805-1865 A.D.)

4.2 സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ

$\sqrt{-1}$ നെ $i$ എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കാം. അപ്പോൾ, നമുക്ക് $i^{2}=-1$ ഉണ്ട്. ഇതിനർത്ഥം $i$ എന്നത് $x^{2}+1=0$ എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു പരിഹാരമാണ്.

$a+i b$ എന്ന രൂപത്തിലുള്ള ഒരു സംഖ്യ, ഇവിടെ $a$, $b$ എന്നിവ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്, ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, $2+i 3,(-1)+i \sqrt{3}, 4+i(\frac{-1}{11})$ എന്നിവ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളാണ്.

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ $z=a+i b, a$ എന്നതിന്, $Re z$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്ന യഥാർത്ഥ ഭാഗം എന്നും $b$ എന്നതിനെ $Im z$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്ന സങ്കൽപ്പിത ഭാഗം എന്നും വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, $z=2+i 5$ ആണെങ്കിൽ, $Re z=2$, $Im z=5$ എന്നിവ ആയിരിക്കും.

$z_1=a+i b$, $z_2=c+i d$ എന്നീ രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ $a=c$, $b=d$ എന്നിവ തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 1 $4 x+i(3 x-y)=3+i(-6)$ ആണെങ്കിൽ, ഇവിടെ $x$, $y$ എന്നിവ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്, $x$, $y$ എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം നമുക്കുണ്ട്

$$ 4 x+i(3 x-y)=3+i(-6) \tag{i} $$

(1) ന്റെ യഥാർത്ഥ, സങ്കൽപ്പിത ഭാഗങ്ങൾ തുല്യമാക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$$ 4 x=3,3 x-y=-6, $$

ഇത് ഒരേസമയം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, $x=\frac{3}{4}$, $y=\frac{33}{4}$ എന്നിവ നൽകുന്നു.

4.3 സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ബീജഗണിതം

ഈ വിഭാഗത്തിൽ, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ബീജഗണിതം വികസിപ്പിക്കും.

4.3.1 രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ

$z_1=a+i b$, $z_2=c+i d$ എന്നിവ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ, തുക $z_1+z_2$ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു:

$z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$, ഇത് വീണ്ടും ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, $(2+i 3)+(-6+i 5)=(2-6)+i(3+5)=-4+i 8$

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങൾ പാലിക്കുന്നു:

(i) അടയ്ക്കൽ നിയമം രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ തുക ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയാണ്, അതായത്, എല്ലാ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾക്കും $z_1$, $z_2$ എന്നിവയ്ക്ക് $z_1+z_2$ ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയാണ്.

(ii) കമ്യൂട്ടേറ്റീവ് നിയമം ഏതെങ്കിലും രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ $z_1$, $z_2$ എന്നിവയ്ക്ക്, $z_1+z_2=z_2+z_1$

(iii) അസോസിയേറ്റീവ് നിയമം ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ $z_1, z_2, z_3$, $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$.

(iv) കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഐഡന്റിറ്റിയുടെ അസ്തിത്വം $0+i 0$ (0 എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു) എന്ന സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുണ്ട്, ഇതിനെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഐഡന്റിറ്റി അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യം സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത്, എല്ലാ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ $z, z+0=z$ എന്നതിനും.

(v) കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ വിപരീതത്തിന്റെ അസ്തിത്വം എല്ലാ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ $z=a+i b$ എന്നതിനും, നമുക്ക് $-a+i(-b)$ ($-z$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു) എന്ന സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുണ്ട്, ഇതിനെ $z$ ന്റെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ വിപരീതം അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നമ്മൾ നിരീക്ഷിക്കുന്നത് $z+(-z)=0$ (കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഐഡന്റിറ്റി).

4.3.2 രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസം

$z_1$, $z_2$ എന്നീ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു, വ്യത്യാസം $z_1-z_2$ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു:

ഉദാഹരണത്തിന്,

$ z_1-z_2=z_1+(-z_2) . $

ഒപ്പം

$ \begin{aligned} & (6+3 i)-(2-i)=(6+3 i)+(-2+i)=4+4 i \\ & \quad(2-i)-(6+3 i)=(2-i)+(-6-3 i)=-4-4 i \end{aligned} $

4.3.3 രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം

$z_1=a+i b$, $z_2=c+i d$ എന്നിവ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ, ഗുണനഫലം $z_1 z_2$ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു:

$$ z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c) $$

ഉദാഹരണത്തിന്, $(3+i 5)(2+i 6)=(3 \times 2-5 \times 6)+i(3 \times 6+5 \times 2)=-24+i 28$

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങൾ പാലിക്കുന്നു, അവ ഞങ്ങൾ തെളിവുകളില്ലാതെ പ്രസ്താവിക്കുന്നു.

(i) അടയ്ക്കൽ നിയമം രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയാണ്, എല്ലാ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾക്കും $z_1$, $z_2$ എന്നിവയ്ക്ക് ഗുണനഫലം $z_1 z_2$ ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയാണ്.

(ii) കമ്യൂട്ടേറ്റീവ് നിയമം ഏതെങ്കിലും രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ $z_1$, $z_2$ എന്നിവയ്ക്ക്,

$$ z_1 z_2=z_2 z_1 $$

(iii) അസോസിയേറ്റീവ് നിയമം ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ $z_1, z_2, z_3$,

$$ (z_1 z_2) z_3=z_1(z_2 z_3) \text{. } $$

(iv) ഗുണന ഐഡന്റിറ്റിയുടെ അസ്തിത്വം $1+i 0$ (1 എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു) എന്ന സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുണ്ട്, ഇതിനെ ഗുണന ഐഡന്റിറ്റി എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത് എല്ലാ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ $z$ എന്നതിനും $z .1=z$.

(v) ഗുണന വിപരീതത്തിന്റെ അസ്തിത്വം എല്ലാ നോൺ-സീറോ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ $z=a+i b$ അല്ലെങ്കിൽ $a+b i(a \neq 0, b \neq 0)$ എന്നതിനും, നമുക്ക് $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}(.$ എന്ന സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുണ്ട്, ഇതിനെ $\frac{1}{z}$ അല്ലെങ്കിൽ $.z^{-1})$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഇതിനെ $z$ ന്റെ ഗുണന വിപരീതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത്

$z \cdot \frac{1}{z}=1$ (ഗുണന ഐഡന്റിറ്റി).

(vi) ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് നിയമം ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ $z_1, z_2, z_3$,

(a) $z_1(z_2+z_3)=z_1 z_2+z_1 z_3$

(b) $(z_1+z_2) z_3=z_1 z_3+z_2 z_3$

4.3.4 രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഹരണം

$z_1$, $z_2$ എന്നീ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു, ഇവിടെ $z_2 \neq 0$, ഹരണഫലം $\frac{z_1}{z_2}$ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു

$ \frac{z_1}{z_2}=z_1 \frac{1}{z_2} $

ഉദാഹരണത്തിന്, $\quad z_1=6+3 i$, $z_2=2-i$ എന്നിവ ആയിരിക്കട്ടെ

അപ്പോൾ

$ \frac{z_1}{z_2}=((6+3 i) \times \frac{1}{2-i})=(6+3 i)(\frac{2}{2^{2}+(-1)^{2}}+i \frac{-(-1)}{2^{2}+(-1)^{2}}) $

$ =(6+3 i)(\frac{2+i}{5})=\frac{1}{5}[12-3+i(6+6)]=\frac{1}{5}(9+12 i) $

4.3.5 $i$ ന്റെ ശക്തി

നമുക്കറിയാം

$ \begin{bmatrix} i^{3}=i^{2} i=(-1) i=-i, & i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1 \\ i^{5}=(i^{2})^{2} i=(-1)^{2} i=i, & i^{6}=(i^{2})^{3}=(-1)^{3}=-1, \text{ etc. } \end{bmatrix} $

കൂടാതെ, നമുക്കുണ്ട് $\quad i^{-1}=\frac{1}{i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-1}=-i, \quad i^{-2}=\frac{1}{i^{2}}=\frac{1}{-1}=-1$,

$$ i^{-3}=\frac{1}{i^{3}}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{1}=i, \quad i^{-4}=\frac{1}{i^{4}}=\frac{1}{1}=1 $$

പൊതുവേ, ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യ $k, i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$

4.3.6 ഒരു നെഗറ്റീവ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ

$i^{2}=-1$, $(-i)^{2}=i^{2}=-1$ എന്നിവ ശ്രദ്ധിക്കുക

അതിനാൽ, -1 ന്റെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ $i,-i$ ആണ്. എന്നിരുന്നാലും, $\sqrt{-1}$ എന്ന ചിഹ്നത്താൽ, നമ്മൾ $i$ മാത്രമേ അർത്ഥമാക്കുന്നുള്ളൂ.

ഇപ്പോൾ, നമുക്ക് കാണാൻ കഴിയും $i$, $-i$ എന്നിവ രണ്ടും $x^{2}+1=0$ അല്ലെങ്കിൽ $x^{2}=-1$ എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരങ്ങളാണ്.

അതുപോലെ $\quad(\sqrt{3} i)^{2}=(\sqrt{3})^{2} i^{2}=3(-1)=-3$

$$ (-\sqrt{3} i)^{2}=(-\sqrt{3})^{2} i^{2}=-3 $$

അതിനാൽ, -3 ന്റെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ $\sqrt{3} i$, $-\sqrt{3} i$ എന്നിവയാണ്.

വീണ്ടും, $\sqrt{-3}$ എന്ന ചിഹ്നം $\sqrt{3} i$ മാത്രമേ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുള്ളൂ, അതായത് $\sqrt{-3}=\sqrt{3} i$.

പൊതുവേ, $a$ ഒരു പോസിറ്റീവ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, $\sqrt{-a}=\sqrt{a} \sqrt{-1}=\sqrt{a} i$,

എല്ലാ പോസിറ്റീവ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾക്കും $a$, $b$ എന്നിവയ്ക്കും $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}$ എന്ന് നമുക്ക് ഇതിനകം അറിയാം. $a>0, b<0$ അല്ലെങ്കിൽ $a<0, b>0$ എന്നിവയിൽ ഏതെങ്കിലും ആണെങ്കിൽ ഈ ഫലം ശരിയാണ്. $a<0, b<0$ ആണെങ്കിൽ എന്ത്? നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം.

ശ്രദ്ധിക്കുക

$ \begin{aligned} i^{2} & =\sqrt{-1} \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)} \text{ (എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾക്കും } \sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b} \text{ എന്ന് അനുമാനിച്ചുകൊണ്ട്) } \\ & =\sqrt{1}=1 \text{, ഇത് } i^{2}=-1 \text{ എന്ന വസ്തുതയ്ക്ക് വിരുദ്ധമാണ്} \end{aligned} $

അതിനാൽ, $\sqrt{a} \times \sqrt{b} \neq \sqrt{a b}$ $a$, $b$ എന്നിവ രണ്ടും നെഗറ്റീവ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ.

കൂടുതലായി, $a$, $b$ എന്നിവയിൽ ഏതെങ്കിലും പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, വ്യക്തമായും, $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}=0$.

4.3.7 ഐഡന്റിറ്റികൾ

ഇനിപ്പറയുന്ന ഐഡന്റിറ്റി ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കുന്നു

$ (z_1+z_2)^{2}=z_1^{2}+z_2^{2}+2 z_1 z_2 \text{, എല്ലാ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾക്കും } z_1 \text{ and } z_2 \text{. } $

തെളിവ് നമുക്കുണ്ട്, $(z_1+z_2)^{2}=(z_1+z_2)(z_1+z_2)$,

$$ \begin{aligned} =(z_1+z_2) z_1+(z_1+z_2) z_2 & \text{ (Distributive law) } \\ =z_1^{2}+z_2 z_1+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (Distributive law) } \\ =z_1^{2}+z_1 z_2+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (Commutative law of multiplication) } \\ =z_1^{2}+2 z_1 z_2+z_2^{2} & \end{aligned} $$

അതുപോലെ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഐഡന്റിറ്റികൾ തെളിയിക്കാൻ കഴിയും:

(i) $(z_1-z_2)^{2}=z_1^{2}-2 z_1 z_2+z_2^{2}$

(ii) $(z_1+z_2)^{3}=z_1^{3}+3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}+z_2^{3}$

(iii) $(z_1-z_2)^{3}=z_1^{3}-3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}-z_2^{3}$

(iv) $z_1^{2}-z_2^{2}=(z_1+z_2)(z_1-z_2)$

വാസ്തവത്തിൽ, എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾക്കും ശരിയായ മറ്റ് പല ഐഡന്റിറ്റികളും എല്ലാ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾക്കും ശരിയാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ കഴിയും.

ഉദാഹരണം 2 ഇനിപ്പറയുന്നവ $a+b i$ എന്ന രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുക:

(i) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)$

(ii) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}$

പരിഹാരം (i) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)=\frac{-5}{8} i^{2}=\frac{-5}{8}(-1)=\frac{5}{8}=\frac{5}{8}+i 0$

(ii) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}=2 \times \frac{1}{8 \times 8 \times 8} \times i^{5}=\frac{1}{256}(i^{2})^{2} i=\frac{1}{256} i$.

ഉദാഹരണം 3 $(5-3 i)^{3}$ $a+i b$ എന്ന രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുക.

പരിഹാരം നമുക്കുണ്ട്, $(5-3 i)^{3}=5^{3}-3 \times 5^{2} \times(3 i)+3 \times 5(3 i)^{2}-(3 i)^{3}$

$$ =125-225 i-135+27 i=-10-198 i . $$

ഉദാഹരണം 4 $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)$ $a+i b$ എന്ന രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുക

പരിഹാരം നമുക്കുണ്ട്, $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)=(-\sqrt{3}+\sqrt{2} i)(2 \sqrt{3}-i)$

$ =-6+\sqrt{3} i+2 \sqrt{6} i-\sqrt{2} i^{2}=(-6+\sqrt{2})+\sqrt{3}(1+2 \sqrt{2}) i $

4.4 ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസും കോൺജുഗേറ്റും

$z=a+i b$ ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ, $z$ ന്റെ മോഡുലസ്, $|z|$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, നോൺ-നെഗറ്റീവ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യ $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ ആയി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു, അതായത്, $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$, കൂടാതെ $z$ ന്റെ കോൺജുഗേറ്റ്, $\bar{z}$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ $a-i b$ ആണ്, അതായത്, $\bar{z}=a-i b$.

ഉദാഹരണത്തിന്, $\quad|3+i|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10},|2-5 i|=\sqrt{2^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{29}$,

ഒപ്പം

$ \overline{3+i}=3-i, \overline{2-5 i}=2+5 i, \overline{-3 i-5}=3 i-5 $

നോൺ-സീറോ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ $z$ ന്റെ ഗുണന വിപരീതം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നതായി നിരീക്ഷിക്കുക

$ \begin{aligned} & \quad z^{-1}=\frac{1}{a+i b}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a-i b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}} \\ & \text{ or } z \bar{z}=|z|^{2} \end{aligned} $

കൂടാതെ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫലങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ ഉരുത്തിരിച്ചെടുക്കാം.

ഏതെങ്കിലും രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ $z_1$, $z_2$ എന്നിവയ്ക്ക്, നമുക്കുണ്ട്

(i) $|z_1 z_2|=|z_1||z_2|$

(ii) $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ $|z_2| \neq 0$ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ

(iii) $\overline{z_1 z_2}=\overline{z_1} \overline{z_2}$

(iv) $\overline{z_1 \pm z_2}=\overline{z_1} \pm \overline{z_2} $

(v) $\overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}provied z_2\neq0 $.

ഉദാഹരണം 5 $2-3 i$ ന്റെ ഗുണന വിപരീതം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം $z=2-3 i$ ആയിരിക്കട്ടെ

അപ്പോൾ $\quad \bar{z}=2+3 i$, $\quad|z|^{2}=2^{2}+(-3)^{2}=13$

അതിനാൽ, $2-3 i$ ന്റെ ഗുണന വിപരീതം നൽകിയിരിക്കുന്നത്

$ z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i $

മുകളിലെ പ്രവർത്തനം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിലും പുനരാവിഷ്കരിക്കാം,

$ \begin{aligned} z^{-1} & =\frac{1}{2-3 i}=\frac{2+3 i}{(2-3 i)(2+3 i)} \\ & =\frac{2+3 i}{2^{2}-(3 i)^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i \end{aligned} $

ഉദാഹരണം 6 ഇനിപ്പറയുന്നവ $a+i b$ എന്ന രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുക

(i) $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}$

(ii) $i^{-35}$

പരിഹാരം (i) നമുക്കുണ്ട്, $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}=\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i} \times \frac{1+\sqrt{2} i}{1+\sqrt{2} i}=\frac{5+5 \sqrt{2} i+\sqrt{2} i-2}{1-(\sqrt{2} i)^{2}}$

$$ =\frac{3+6 \sqrt{2} i}{1+2}=\frac{3(1+2 \sqrt{2} i)}{3}=1+2 \sqrt{2} i $$

(ii) $i^{-35}=\frac{1}{i^{35}}=\frac{1}{(i^{2})^{17} i}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-i^{2}}=i$

4.5 ആർഗാൻഡ് തലവും പോളാർ പ്രതിനിധാനവും

ഓരോ ക്രമീകരിച്ച യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ജോഡിയായ $(x, y)$ എന്നതിനും, XY തലത്തിൽ ഒരു അദ്വിതീയ ബിന്ദുവും തിരിച്ചും നമുക്ക് ലഭിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാം, ഇത് പരസ്പരം ലംബമായ വരികളുടെ ഒരു സെറ്റായ $x$-അക്ഷം, $y$-അക്ഷം എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടാണ്. $x+i y$ എന്ന സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ $(x, y)$ എന്ന ക്രമീകരിച്ച ജോഡിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് XY-തലത്തിലെ അദ്വിതീയ ബിന്ദു $P(x, y)$ ആയി ജ്യാമിതീയമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാനും തിരിച്ചും കഴിയും.

$2+4 i,-2+3 i, 0+1 i, 2+0 i,-5-2 i$, $1-2 i$ എന്നിവ പോലുള്ള ചില സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ, യഥാക്രമം $(2,4),(-2,3),(0,1),(2,0),(-5,-2)$, $(1,-2)$ എന്നീ ക്രമീകരിച്ച ജോഡികളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, യഥാക്രമം $A, B, C, D, E$, $F$ എന്നീ ബിന്ദുക്കളാൽ ചിത്രം 4.1 ൽ ജ്യാമിതീയമായി പ്രതിനിധീകരിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്.

ചിത്രം 4.1

ഓരോ ബിന്ദുവിനും ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ നൽകിയിരിക്കുന്ന തലത്തെ സങ്കീർണ്ണ തലം അല്ലെങ്കിൽ ആർഗാൻഡ് തലം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

വ്യക്തമായും, ആർഗാൻഡ് തലത്തിൽ, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ $x+i y=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ന്റെ മോഡുലസ് എന്നത് ബിന്ദു $P(x, y)$, ഉത്ഭവസ്ഥാനം $O(0,0)$ എന്നിവയ്ക്കിടയിലുള്ള ദൂരമാണ് (ചിത്രം 4.2). $x$-അക്ഷത്തിലെ ബിന്ദുക്കൾ $a+i 0$ എന്ന രൂപത്തിലുള്ള സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, $y$-അക്ഷത്തിലെ ബിന്ദുക്കൾ $0+i b$ എന്ന രൂപത്തിലുള്ള സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ആർഗാൻഡ് തലത്തിലെ $x$-അക്ഷം, $y$-അക്ഷം എന്നിവയെ യഥാക്രമം യഥാർത്ഥ അക്ഷം, സങ്കൽപ്പിത അക്ഷം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ചിത്രം 4.2

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ $z=x+i y$, അതിന്റെ കോൺജുഗേറ്റ് $z=x-i y$ എന്നിവയുടെ പ്രതിനിധാനം ആർഗാൻഡ് തലത്തിൽ യഥാക്രമം $P(x, y)$, $Q(x,-y)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കളാണ്. ജ്യാമിതീയമായി, ബിന്ദു $(x,-y)$ എന്നത് യഥാർത്ഥ അക്ഷത്തിലെ ബിന്ദു $(x, y)$ ന്റെ മിറർ ഇമേജാണ് (ചിത്രം 4.3).

ചിത്രം 4.2

വൈവിധ്യമാർന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 7 $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ ന്റെ കോൺജുഗേറ്റ് കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം നമുക്കുണ്ട്, $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$

$ \begin{aligned} & =\frac{6+9 i-4 i+6}{2-i+4 i+2}=\frac{12+5 i}{4+3 i} \times \frac{4-3 i}{4-3 i} \\ & =\frac{48-36 i+20 i+15}{16+9}=\frac{63-16 i}{25}=\frac{63}{25}-\frac{16}{25} i \end{aligned} $

അതിനാൽ, $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ ന്റെ കോൺജുഗേറ്റ് $\frac{63}{25}+\frac{16}{25} i$ ആണ്.

ഉദാഹരണം 8 $x+i y=\frac{a+i b}{a-i b}$ ആണെങ്കിൽ, $x^{2}+y^{2}=1$ എന്ന് തെളിയിക്കുക.

പരിഹാരം നമുക്കുണ്ട്,

$ x+i y=\frac{(a+i b)(a+i b)}{(a-i b)(a+i b)}=\frac{a^{2}-b^{2}+2 a b i}{