ഗണിതം എന്നത് പല കാര്യങ്ങൾ പല രീതിയിൽ പറയാനുള്ള കലയാണ്. - മാക്സ്വെൽ

5.1 ആമുഖം

മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിൽ, ഒരു ചരത്തിലും രണ്ട് ചരങ്ങളിലും സമവാക്യങ്ങൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്, കൂടാതെ ചില പ്രസ്താവനാ പ്രശ്നങ്ങളെ സമവാക്യങ്ങളുടെ രൂപത്തിലാക്കി പരിഹരിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഇപ്പോൾ ഒരു സ്വാഭാവികമായ ചോദ്യം ഉയരുന്നു: ‘ഒരു പ്രസ്താവനാ പ്രശ്നം എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ ആക്കാമോ? ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങളുടെ ക്ലാസിലെ എല്ലാ വിദ്യാർത്ഥികളുടെയും ഉയരം $160 cm$-ൽ കുറവാണ്. നിങ്ങളുടെ ക്ലാസ് മുറിക്ക് പരമാവധി 60 ടേബിളുകളോ കസേരകളോ രണ്ടും ഉൾക്കൊള്ളാം. ഇവിടെ നമുക്ക് ’ $<$ ’ (കുറവ്), ‘>’ (കൂടുതൽ), ’ $\leq$ ’ (കുറവ് അല്ലെങ്കിൽ തുല്യം), $\geq$ (കൂടുതൽ അല്ലെങ്കിൽ തുല്യം) എന്നീ ചിഹ്നങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ചില പ്രസ്താവനകൾ ലഭിക്കുന്നു, അവ അസമത്വങ്ങൾ എന്നറിയപ്പെടുന്നു.

ഈ അധ്യായത്തിൽ, ഒരു ചരത്തിലും രണ്ട് ചരങ്ങളിലുമുള്ള രേഖീയ അസമത്വങ്ങൾ പഠിക്കും. അസമത്വങ്ങളുടെ പഠനം ശാസ്ത്രം, ഗണിതം, സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക്, സാമ്പത്തികശാസ്ത്രം, മനഃശാസ്ത്രം തുടങ്ങിയ മേഖലകളിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്.

5.2 അസമത്വങ്ങൾ

ഇനിപ്പറയുന്ന സാഹചര്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം:

(i) റവി $1 kg$ പാക്കറ്റുകളായി ലഭ്യമായ അരി വാങ്ങാൻ ₹ 200-യുമായി വിപണിയിൽ പോകുന്നു. ഒരു പാക്കറ്റ് അരിയുടെ വില ₹ 30 ആണ്. അവൻ വാങ്ങുന്ന അരി പാക്കറ്റുകളുടെ എണ്ണം $x$ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അവൻ ചെലവഴിച്ച ആകെ തുക ₹ $30 x$ ആണ്. അരി പാക്കറ്റുകളായി മാത്രമേ വാങ്ങാൻ കഴിയൂ എന്നതിനാൽ, ₹ 200 മുഴുവൻ തുകയും ചെലവഴിക്കാൻ അവന് കഴിഞ്ഞേക്കില്ല. (എന്തുകൊണ്ട്?) അതിനാൽ

$$ 30 x<200 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

വ്യക്തമായും പ്രസ്താവന (i) ഒരു സമവാക്യമല്ല, കാരണം അതിൽ തുല്യതയുടെ ചിഹ്നം ഉൾപ്പെടുന്നില്ല. (ii) റേഷ്മയ്ക്ക് ₹ 120 ഉണ്ട്, കൂടാതെ ചില രജിസ്റ്ററുകളും പേനകളും വാങ്ങാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ഒരു രജിസ്റ്ററിന്റെ വില ₹ 40 ഉം ഒരു പേനയുടെ വില ₹ 20 ഉം ആണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, റേഷ്മ വാങ്ങുന്ന രജിസ്റ്ററുകളുടെ എണ്ണം $x$ കൊണ്ടും പേനകളുടെ എണ്ണം $y$ കൊണ്ടും സൂചിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അവൾ ചെലവഴിച്ച ആകെ തുക ₹ $(40 x+20 y)$ ആണ്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$$ 40 x+20 y \leq 120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ആകെ ചെലവഴിച്ച തുക ₹ 120 വരെ ആകാം എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. പ്രസ്താവന (2) രണ്ട് പ്രസ്താവനകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക

$ \text{ and } \quad \begin{aligned} & 40 x+20 y<120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) \\ & 40 x+20 y=120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (4) \end{aligned} $

പ്രസ്താവന (3) ഒരു സമവാക്യമല്ല, അതായത്, അതൊരു അസമത്വമാണ്, അതേസമയം പ്രസ്താവന (4) ഒരു സമവാക്യമാണ്.

നിർവ്വചനം 1 ’ $<$,’, ‘>’, ’ $\leq$ ’ അല്ലെങ്കിൽ ’ $\geq$ ’ എന്നീ ചിഹ്നങ്ങളാൽ ബന്ധപ്പെട്ട രണ്ട് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഒരു അസമത്വം രൂപീകരിക്കുന്നു.

മുകളിലെ (1), (2), (3) എന്നിവ പോലുള്ള പ്രസ്താവനകൾ അസമത്വങ്ങളാണ്.

$3<5 ; 7>5$ എന്നിവ സംഖ്യാത്മക അസമത്വങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്, അതേസമയം

$x<5 ; y>2 ; x \geq 3, y \leq 4$ എന്നിവ അക്ഷരാസമത്വങ്ങളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങളാണ്. $3<5<7($ (5, 3-നേക്കാൾ വലുതും 7-നേക്കാൾ ചെറുതും എന്ന് വായിക്കുന്നു), $3 \leq x<5($ ($x$, 3-നേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആണെന്നും 5-നേക്കാൾ ചെറുതാണെന്നും വായിക്കുന്നു), $2<y \leq 4$ എന്നിവ ഇരട്ട അസമത്വങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്. അസമത്വങ്ങളുടെ കുറച്ച് കൂടി ഉദാഹരണങ്ങൾ:

$$ \begin{align*} & a x+b<0 \tag{5}\\ & a x+b>0 \tag{6}\\ & a x+b \leq 0 \tag{7}\\ & a x+b \geq 0 \tag{8}\\ & a x+b y<c \tag{9}\\ & a x+b y>c \tag{10}\\ & a x+b y \leq c \tag{11}\\ & a x+b y \geq c \tag{12}\\ & a x^{2}+b x+c \leq 0 \tag{13}\\ & a x^{2}+b x+c>0 \tag{14} \end{align*} $$

അസമത്വങ്ങൾ (5), (6), (9), (10), (14) എന്നിവ കർശന അസമത്വങ്ങളാണ്, അതേസമയം അസമത്വങ്ങൾ (7), (8), (11), (12), (13) എന്നിവ ശിഥില അസമത്വങ്ങളാണ്. (5) മുതൽ (8) വരെയുള്ള അസമത്വങ്ങൾ ഒരു ചരത്തിലെ രേഖീയ അസമത്വങ്ങളാണ് $x$, എപ്പോൾ $a \neq 0$, അതേസമയം (9) മുതൽ (12) വരെയുള്ള അസമത്വങ്ങൾ രണ്ട് ചരങ്ങളിലെ രേഖീയ അസമത്വങ്ങളാണ് $x$, $y$, എപ്പോൾ $a \neq 0, b \neq 0$. അസമത്വങ്ങൾ (13), (14) എന്നിവ രേഖീയമല്ല (വാസ്തവത്തിൽ, ഇവ ഒരു ചരത്തിലെ ദ്വിമാന അസമത്വങ്ങളാണ് $x$, എപ്പോൾ $a \neq 0)$).

ഈ അധ്യായത്തിൽ, ഒരു ചരത്തിലും രണ്ട് ചരങ്ങളിലും മാത്രമുള്ള രേഖീയ അസമത്വങ്ങളുടെ പഠനത്തിലേക്ക് നമ്മൾ നിയന്ത്രിക്കും.

5.3 ഒരു ചരത്തിലെ രേഖീയ അസമത്വങ്ങളുടെ ബീജഗണിത പരിഹാരങ്ങളും അവയുടെ ഗ്രാഫിക്കൽ പ്രതിനിധാനവും

6.2-ന്റെ അസമത്വം (1) പരിഗണിക്കാം, അതായത്, $30 x<200$ ഇവിടെ $x$ അരി പാക്കറ്റുകളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. വ്യക്തമായും, $x$ ഒരു നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയോ ഭിന്നസംഖ്യയോ ആകാൻ കഴിയില്ല. ഈ അസമത്വത്തിന്റെ ഇടതുവശം (L.H.S.) $30 x$ ആണ്, വലതുവശം (RHS) 200 ആണ്. അതിനാൽ, നമുക്കുള്ളത്

$ \begin{aligned} & \text{ For } x=0 \text{, L.H.S. }=30(0)=0<200(\text{ R.H.S. }) \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=1 \text{, L.H.S. }=30(1)=30<200 \text{ (R.H.S.), which is true. } \\ & \text{ For } x=2 \text{, L.H.S. }=30(2)=60<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=3 \text{, L.H.S. }=30(3)=90<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=4 \text{, L.H.S. }=30(4)=120<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=5 \text{, L.H.S. }=30(5)=150<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=6 \text{, L.H.S. }=30(6)=180<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=7 \text{, L.H.S. }=30(7)=210<200 \text{, which is false. } \end{aligned} $

മുകളിലെ സാഹചര്യത്തിൽ, മുകളിലെ അസമത്വം ഒരു ശരിയായ പ്രസ്താവനയാക്കുന്ന $x$-ന്റെ മൂല്യങ്ങൾ $0,1,2,3,4,5,6$ ആണെന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നു. മുകളിലെ അസമത്വം ഒരു ശരിയായ പ്രസ്താവനയാക്കുന്ന $x$-ന്റെ ഈ മൂല്യങ്ങളെ അസമത്വത്തിന്റെ പരിഹാരങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കൂടാതെ സെറ്റ് ${0,1,2,3,4,5,6}$ അതിന്റെ പരിഹാര സമൂഹം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അങ്ങനെ, ഒരു ചരത്തിലെ ഒരു അസമത്വത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും പരിഹാരം അതിനെ ഒരു ശരിയായ പ്രസ്താവനയാക്കുന്ന ചരത്തിന്റെ ഒരു മൂല്യമാണ്.

മുകളിലെ അസമത്വത്തിന്റെ പരിഹാരങ്ങൾ നമ്മൾ പരീക്ഷണ-തെറ്റ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തി, അത് വളരെ കാര്യക്ഷമമല്ല. വ്യക്തമായും, ഈ രീതി സമയം കവിയുന്നതാണ്, ചിലപ്പോൾ സാധ്യമല്ല. അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് നമുക്ക് മികച്ച അല്ലെങ്കിൽ വ്യവസ്ഥാപിതമായ സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം. അതിനുമുമ്പ്, സംഖ്യാത്മക അസമത്വങ്ങളുടെ കുറച്ച് കൂടി ഗുണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയും അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ അവയെ നിയമങ്ങളായി പിന്തുടരുകയും വേണം.

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ പാലിച്ചുവെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കും:

നിയമം 1 ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശത്തേക്കും തുല്യ സംഖ്യകൾ കൂട്ടാം (അല്ലെങ്കിൽ കുറയ്ക്കാം).

നിയമം 2 ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഒരേ പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം (അല്ലെങ്കിൽ ഹരിക്കാം).

അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന സാഹചര്യത്തിൽ, നിയമം 2-ൽ, അസമത്വ ചിഹ്നം വിപരീതമാക്കപ്പെടുന്നു (അതായത്, ‘<’ ‘>’ ആകുന്നു, $\leq$ ’ $\geq$ ’ ആകുന്നു, തുടങ്ങിയവ) ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ കൊണ്ട് അസമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഗുണിക്കുമ്പോഴോ (അല്ലെങ്കിൽ ഹരിക്കുമ്പോഴോ) ഒഴികെ, ഞങ്ങൾ വീണ്ടും ഒരേ നിയമങ്ങൾ പാലിക്കുന്നു. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന വസ്തുതകളിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്

$ \begin{aligned} & 3>2 \text{ while }-3<-2 \\ & -8<-7 \text{ while }(-8)(-2)>(-7)(-2), \text{ i.e., } 16>14 . \end{aligned} $

അങ്ങനെ, ഒരു അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിനായി ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ പ്രസ്താവിക്കുന്നു:

നിയമം 1 അസമത്വ ചിഹ്നത്തെ ബാധിക്കാതെ തുല്യ സംഖ്യകൾ ഒരു അസമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശത്തേക്കും കൂട്ടാം (അല്ലെങ്കിൽ കുറയ്ക്കാം).

നിയമം 2 ഒരു അസമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഒരേ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം (അല്ലെങ്കിൽ ഹരിക്കാം). എന്നാൽ ഇരുവശങ്ങളെയും ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോഴോ ഹരിക്കുമ്പോഴോ, അസമത്വ ചിഹ്നം വിപരീതമാക്കപ്പെടുന്നു.

ഇപ്പോൾ, ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1 $30 x<200$ പരിഹരിക്കുക, എപ്പോൾ (i) $x$ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്, (ii) $x$ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്.

പരിഹാരം നമുക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്നത് $30 x<200$

അല്ലെങ്കിൽ $\quad \frac{30 x}{30}<\frac{200}{30}$ (നിയമം 2), അതായത്, $x<20 / 3$.

(i) $x$ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാകുമ്പോൾ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ $x$-ന്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന മൂല്യങ്ങൾ പ്രസ്താവനയെ ശരിയാക്കുന്നു.

$$ x=1,2,3,4,5,6 $$

അസമത്വത്തിന്റെ പരിഹാര സമൂഹം $\{1,2,3,4,5,6\}$ ആണ്.

(ii) $x$ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാകുമ്പോൾ, നൽകിയിരിക്കുന്ന അസമത്വത്തിന്റെ പരിഹാരങ്ങൾ

$$ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 $$

അസമത്വത്തിന്റെ പരിഹാര സമൂഹം $ \{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 \} $ ആണ്

ഉദാഹരണം 2 $5 x-3<3 x+1$ പരിഹരിക്കുക, എപ്പോൾ (i) $x$ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്, (ii) $x$ ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്.

പരിഹാരം നമുക്കുള്ളത്, $5 x-3<3 x+1$

അല്ലെങ്കിൽ $\quad \quad$ $5 x-3+3<3 x+1+3$ $\quad \quad \quad$ (നിയമം 1)

അല്ലെങ്കിൽ $\quad \quad$ $5 x<3 x+4$

അല്ലെങ്കിൽ $\quad \quad$ $5 x-3 x<3 x+4-3 x$ $\quad \quad \quad \quad$ (നിയമം 2)

അല്ലെങ്കിൽ $\quad \quad$ $2 x<4$

അല്ലെങ്കിൽ $\quad \quad$ $x<2$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad$ (നിയമം 3)

(i) $x$ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാകുമ്പോൾ, നൽകിയിരിക്കുന്ന അസമത്വത്തിന്റെ പരിഹാരങ്ങൾ

$ \ldots,-4,-3,-2,-1,0,1 $

(ii) $x$ ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാകുമ്പോൾ, അസമത്വത്തിന്റെ പരിഹാരങ്ങൾ $x<2$ നൽകുന്നു, അതായത്, 2-നേക്കാൾ ചെറുതായ എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളും $x$. അതിനാൽ, അസമത്വത്തിന്റെ പരിഹാര സമൂഹം $x \in(-\infty, 2)$ ആണ്.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ സെറ്റിൽ, പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സെറ്റിൽ, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ സെറ്റിൽ എന്നിവിടങ്ങളിൽ അസമത്വങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഇനി മുതൽ, പ്രത്യേകം പറയാത്തിടത്തോളം, ഈ അധ്യായത്തിലെ അസമത്വങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ സെറ്റിൽ പരിഹരിക്കും.

ഉദാഹരണം 3 $4 x+3<6 x+7$ പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം നമുക്കുള്ളത്, $\quad 4 x+3<6 x+7$

അല്ലെങ്കിൽ $\quad 4 x-6 x<6 x+4-6 x$

അല്ലെങ്കിൽ $\quad-2 x<4 \quad$ അല്ലെങ്കിൽ $x>-2$

അതായത്, -2-നേക്കാൾ വലുതായ എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളും നൽകിയിരിക്കുന്ന അസമത്വത്തിന്റെ പരിഹാരങ്ങളാണ്. അതിനാൽ, പരിഹാര സമൂഹം $(-2, \infty)$ ആണ്.

ഉദാഹരണം 4 $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$ പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം നമുക്കുള്ളത് $\quad \quad \quad \quad$ $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$

അല്ലെങ്കിൽ $\quad \quad \quad \quad$ $2(5-2 x) \leq x-30 \text {. }$

അല്ലെങ്കിൽ $\quad \quad \quad \quad$ $10-4 x \leq x-30$

അല്ലെങ്കിൽ $\quad \quad \quad \quad$ $-5 x \leq-40 \text {, i.e., } x \geq 8$

അങ്ങനെ, 8-നേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആയ എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളും $x$ നൽകിയിരിക്കുന്ന അസമത്വത്തിന്റെ പരിഹാരങ്ങളാണ്, അതായത്, $x \in[8, \infty)$.

ഉദാഹരണം 5 $7 x+3<5 x+9$ പരിഹരിക്കുക. സംഖ്യാരേഖയിൽ പരിഹാരങ്ങളുടെ ഗ്രാഫ് കാണിക്കുക.

പരിഹാരം നമുക്കുള്ളത് $7 x+3<5 x+9$ അല്ലെങ്കിൽ $2 x<6$ അല്ലെങ്കിൽ $x<3$

പരിഹാരങ്ങളുടെ ഗ്രാഫിക്കൽ പ്രതിനിധാനം ചിത്രം 5.1-ൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

ചിത്രം 5.1

ഉദാഹരണം 6 $\frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x+1}{4}-1$ പരിഹരിക്കുക. സംഖ്യാരേഖയിൽ പരിഹാരങ്ങളുടെ ഗ്രാഫ് കാണിക്കുക.

പരിഹാരം നമുക്കുള്ളത് $ \frac{3 x-4}{2}\geq\frac{x+1}{4}-1$

$ \text{or} \quad \frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x-3}{4} $

$ \text{or} \quad 2(3 x-4) \geq(x-3) $

അല്ലെങ്കിൽ $\quad \quad \quad \quad$ $6 x-8 \geq x-3$

അല്ലെങ്കിൽ $\quad \quad \quad \quad$ $5 x \geq 5$

അല്ലെങ്കിൽ $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 1$

പരിഹാരങ്ങളുടെ ഗ്രാഫിക്കൽ പ്രതിനിധാനം ചിത്രം 5.2-ൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

ചിത്രം 5.2

ഉദാഹരണം 7 ഒരു ഒൻപതാം ക്ലാസ് വിദ്യാർത്ഥി ആദ്യ, രണ്ടാം ടെർമിനൽ പരീക്ഷയിൽ ലഭിച്ച മാർക്കുകൾ യഥാക്രമം 62 ഉം 48 ഉം ആണ്. കുറഞ്ഞത് 60 മാർക്ക് ശരാശരി ലഭിക്കാൻ വാർഷിക പരീക്ഷയിൽ അവൻ ലഭിക്കേണ്ട ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മാർക്ക് കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം വാർഷിക പരീക്ഷയിൽ വിദ്യാർത്ഥി ലഭിച്ച മാർക്ക് $x$ ആയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ

$ \frac{62+48+x}{3} \geq 60 $

അല്ലെങ്കിൽ $\quad \quad \quad \quad 110+x \geq 180$

അല്ലെങ്കിൽ $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 70$

അങ്ങനെ, കുറഞ്ഞത് 60 മാർക്ക് ശരാശരി ലഭിക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥി കുറഞ്ഞത് 70 മാർക്ക് നേടണം.

ഉദാഹരണം 8 10-നേക്കാൾ വലുതും അവയുടെ ആകെത്തുക 40-നേക്കാൾ കുറവുമായ എല്ലാ തുടർച്ചയായ ഒറ്റ സ്വാഭാവിക സംഖ്യാ ജോഡികളും കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം രണ്ട് തുടർച്ചയായ ഒറ്റ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളിൽ ചെറുത് $x$ ആയിരിക്കട്ടെ, അങ്ങനെ മറ്റൊന്ന് $x+2$ ആയിരിക്കും. അപ്പോൾ, നമുക്ക് ഉണ്ടായിരിക്കണം

$$ \begin{equation*} x>10 \tag{1} \end{equation*} $$

$$ \begin{equation*} \text{ and } \quad \quad \quad x>10 \tag{2} \end{equation*} $$

(2) പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$$ \begin{equation*} 2 x+2<40 \tag{3} \end{equation*} $$

അതായത്, $$x<19 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) $$

(1), (3) എന്നിവയിൽ നിന്ന്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$$ 10<x<19 $$

$x$ ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യയായതിനാൽ, $x$ 11,13,15, 17 എന്നീ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാം. അതിനാൽ, ആവശ്യമായ സാധ്യമായ ജോഡികൾ $(11,13),(13,15),(15,17),(17,19)$ ആയിരിക്കും

വൈവിധ്യമാർന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 9 $-8 \leq 5 x-3<7$ പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമുക്ക് രണ്ട് അസമത്വങ്ങൾ ഉണ്ട്, $-8 \leq 5 x-3$, $5 x-3<7$, അവ ഞങ്ങൾ ഒരേസമയം പരിഹരിക്കും. നമുക്കുള്ളത് $-8 \leq 5 x-3<7$

അല്ലെങ്കിൽ $\quad-5 \leq 5 x<10$

$ \text{ or } \quad-1 \leq x<2 $

ഉദാഹരണം 10 $-5 \leq \frac{5-3 x}{2} \leq 8$ പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം നമുക്കുള്ളത് $\quad-5 \leq \frac{5-3 x}{2} \leq 8$

അല്ലെങ്കിൽ $\quad-10 \leq 5-3 x \leq 16 \quad$ അല്ലെങ്കിൽ $\quad-15 \leq-3 x \leq 11$

അല്ലെങ്കിൽ $\quad 5 \geq x \geq-\frac{11}{3}$

ഇത് $\frac{-11}{3} \leq x \leq 5$ എന്ന് എഴുതാം

ഉദാഹരണം 11 അസമത്വങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:

$$ \begin{aligned} & 3 x-7<5+x \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) \\ & 11-5 x \leq 1 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2) \end{aligned} $$

കൂടാതെ സംഖ്യാരേഖയിൽ പരിഹാരങ്ങൾ പ്രതിനിധീകരിക്കുക.

പരിഹാരം അസമത്വം (1) ൽ നിന്ന്, നമുക്കുള്ളത്

$$ 3 x - 7 < 5 + x $$

അല്ലെങ്കിൽ $ \quad x < 6 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3)$

കൂടാതെ, അസമത്വം (2) ൽ നിന്ന്, നമുക്കുള്ളത്

$$ 11-5 x \leq 1 $$

അല്ലെങ്കിൽ $ \quad - 5 x \leq-10 \quad \text{ i.e., } x \geq 2 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(4)$

അസമത്വങ്ങൾ (3), (4) എന്നിവയുടെ ഗ്രാഫ് സംഖ്യാരേഖയിൽ വരച്ചാൽ, രണ്ടിനും പൊതുവായ $x$-ന്റെ മൂല്യങ്ങൾ ചിത്രം 5.3-ൽ ബോൾഡ് ലൈൻ കൊണ്ട് കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

അങ്ങനെ, സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരങ്ങൾ 2-നും 6-നും ഇടയിലുള്ള യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ് $x$, 2 ഉൾപ്പെടെ, അതായത്, $2 \leq x<6$

ഉദാഹരണം 12 ഒരു പരീക്ഷണത്തിൽ, ഹൈഡ്രോക്ലോറിക് ആസിഡ