എല്ലാ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങളുടെയും രൂപം ഗണിതശാസ്ത്രപരമാണ്, കാരണം നമുക്ക് ലഭിക്കാവുന്ന മറ്റൊരു മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശവുമില്ല - ഡാർവിൻ

6.1 ആമുഖം

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സംഖ്യാ ലോക്ക് ഉള്ള ഒരു സൂട്ട്കേസ് ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. സംഖ്യാ ലോക്കിന് 4 ചക്രങ്ങളുണ്ട്, ഓരോന്നും 0 മുതൽ 9 വരെയുള്ള 10 അക്കങ്ങളാൽ ലേബൽ ചെയ്തിരിക്കുന്നു. 4 നിർദ്ദിഷ്ട അക്കങ്ങൾ ആവർത്തനമില്ലാതെ ഒരു പ്രത്യേക ക്രമത്തിൽ ക്രമീകരിച്ചാൽ ലോക്ക് തുറക്കാം. എങ്ങനെയോ, ഈ നിർദ്ദിഷ്ട അക്ക ക്രമം നിങ്ങൾ മറന്നുപോയി. ആദ്യത്തെ അക്കം 7 ആണെന്ന് മാത്രം നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു. ലോക്ക് തുറക്കാൻ, 3-അക്ക ക്രമങ്ങൾ എത്ര നിങ്ങൾ പരിശോധിക്കേണ്ടിവരും? ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ, ശേഷിക്കുന്ന 9 അക്കങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരു സമയം 3 എണ്ണം എടുത്ത് സാധ്യമായ എല്ലാ ക്രമീകരണങ്ങളും പട്ടികപ്പെടുത്താൻ നിങ്ങൾക്ക് ഉടൻ തന്നെ തുടങ്ങാം. എന്നാൽ, ഈ രീതി വിരസമായിരിക്കും, കാരണം സാധ്യമായ ക്രമങ്ങളുടെ എണ്ണം വലുതായിരിക്കാം. ഇവിടെ, ഈ അധ്യായത്തിൽ, ചില അടിസ്ഥാന എണ്ണൽ സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ നമ്മൾ പഠിക്കും, അത്

3-അക്ക ക്രമീകരണങ്ങൾ യഥാർത്ഥത്തിൽ പട്ടികപ്പെടുത്താതെ തന്നെ ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ നമ്മെ പ്രാപ്തരാക്കും. വാസ്തവത്തിൽ, വസ്തുക്കളെ ക്രമീകരിക്കാനും തിരഞ്ഞെടുക്കാനുമുള്ള വ്യത്യസ്ത മാർഗ്ഗങ്ങളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിൽ ഈ സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ ഉപയോഗപ്രദമാകും, അവ യഥാർത്ഥത്തിൽ പട്ടികപ്പെടുത്താതെ തന്നെ. ഒരു ആദ്യ ഘട്ടമായി, ഈ സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ പഠിക്കുന്നതിന് ഏറ്റവും അടിസ്ഥാനപരമായ ഒരു തത്വം നമ്മൾ പരിശോധിക്കും.

6.2 എണ്ണലിന്റെ അടിസ്ഥാന തത്വം

ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്നം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. മോഹന് 3 പാന്റുകളും 2 ഷർട്ടുകളും ഉണ്ട്. ഒരു പാന്റും ഒരു ഷർട്ടും ഉൾപ്പെടുന്ന എത്ര വ്യത്യസ്ത ജോഡികൾ കൊണ്ട് അവന് അണിയാൻ കഴിയും? ഒരു പാന്റ് തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ 3 വഴികളുണ്ട്, കാരണം 3 പാന്റുകൾ ലഭ്യമാണ്. അതുപോലെ, ഒരു ഷർട്ട് 2 വഴികളിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കാം. ഓരോ പാന്റ് തിരഞ്ഞെടുപ്പിനും, 2 ഷർട്ട് തിരഞ്ഞെടുപ്പുകളുണ്ട്. അതിനാൽ, ഒരു പാന്റിന്റെയും ഷർട്ടിന്റെയും $3 \times 2=6$ ജോഡികളുണ്ട്.

മൂന്ന് പാന്റുകളെ $P_1, P_2, P_3$ എന്നും രണ്ട് ഷർട്ടുകളെ $S_1, S_2$ എന്നും നാമകരണം ചെയ്യാം. അപ്പോൾ, ഈ ആറ് സാധ്യതകൾ ചിത്രം 6.1-ൽ ചിത്രീകരിക്കാം.

ചിത്രം 6.1

അതേ തരത്തിലുള്ള മറ്റൊരു പ്രശ്നം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

സബ്നത്തിന് 2 സ്കൂൾ ബാഗുകളും 3 ടിഫിൻ ബോക്സുകളും 2 വാട്ടർ ബോട്ടിളുകളും ഉണ്ട്. ഈ ഇനങ്ങൾ (ഓരോന്നായി തിരഞ്ഞെടുത്ത്) അവൾ എത്ര വിധത്തിൽ കൊണ്ടുപോകാം?

ഒരു സ്കൂൾ ബാഗ് 2 വ്യത്യസ്ത വഴികളിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കാം. ഒരു സ്കൂൾ ബാഗ് തിരഞ്ഞെടുത്ത ശേഷം, ഒരു ടിഫിൻ ബോക്സ് 3 വ്യത്യസ്ത വഴികളിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കാം. അതിനാൽ, സ്കൂൾ ബാഗും ടിഫിൻ ബോക്സും ഉൾപ്പെടുന്ന $2 \times 3=6$ ജോഡികളുണ്ട്. ഈ ഓരോ ജോഡികൾക്കും, ഒരു വാട്ടർ ബോട്ടിൽ 2 വ്യത്യസ്ത വഴികളിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കാം.

അതിനാൽ, സബ്നം ഈ ഇനങ്ങൾ സ്കൂളിലേക്ക് കൊണ്ടുപോകാൻ $6 \times 2=12$ വ്യത്യസ്ത വഴികളുണ്ട്. 2 സ്കൂൾ ബാഗുകളെ $B_1, B_2$ എന്നും, മൂന്ന് ടിഫിൻ ബോക്സുകളെ $T_1, T_2, T_3$ എന്നും, രണ്ട് വാട്ടർ ബോട്ടിളുകളെ $W_1, W_2$ എന്നും നാമകരണം ചെയ്താൽ, ഈ സാധ്യതകൾ ചിത്രം 6.2-ൽ ചിത്രീകരിക്കാം.

ചിത്രം 6.2

വാസ്തവത്തിൽ, മുകളിലെ തരം പ്രശ്നങ്ങൾ എണ്ണലിന്റെ അടിസ്ഥാന തത്വം അല്ലെങ്കിൽ ഗുണന തത്വം എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഇനിപ്പറയുന്ന തത്വം പ്രയോഗിച്ചാണ് പരിഹരിക്കുന്നത്, അത് പ്രസ്താവിക്കുന്നത്

“ഒരു സംഭവം $m$ വ്യത്യസ്ത വഴികളിൽ സംഭവിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, അതിനുശേഷം മറ്റൊരു സംഭവം $n$ വ്യത്യസ്ത വഴികളിൽ സംഭവിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്രമത്തിലുള്ള സംഭവങ്ങളുടെ ആകെ സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണം $m \times n$ ആണ്.”

മുകളിലെ തത്വം ഏതെങ്കിലും പരിമിതമായ സംഭവങ്ങൾക്കായി സാമാന്യവൽക്കരിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, 3 സംഭവങ്ങൾക്ക്, തത്വം ഇപ്രകാരമാണ്:

‘ഒരു സംഭവം $m$ വ്യത്യസ്ത വഴികളിൽ സംഭവിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, അതിനുശേഷം മറ്റൊരു സംഭവം $n$ വ്യത്യസ്ത വഴികളിൽ സംഭവിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, അതിനുശേഷം മൂന്നാമത്തെ സംഭവം $p$ വ്യത്യസ്ത വഴികളിൽ സംഭവിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്രമത്തിലുള്ള സംഭവങ്ങളുടെ ആകെ സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണം $m \times n \times p$ ആണ്."

ആദ്യ പ്രശ്നത്തിൽ, ഒരു പാന്റും ഷർട്ടും ധരിക്കാനുള്ള ആവശ്യമായ വഴികളുടെ എണ്ണം ഇനിപ്പറയുന്ന സംഭവങ്ങളുടെ തുടർച്ചയായ സംഭവത്തിന്റെ വ്യത്യസ്ത വഴികളുടെ എണ്ണമായിരുന്നു:

(i) ഒരു പാന്റ് തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന സംഭവം

(ii) ഒരു ഷർട്ട് തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന സംഭവം.

രണ്ടാമത്തെ പ്രശ്നത്തിൽ, ആവശ്യമായ വഴികളുടെ എണ്ണം ഇനിപ്പറയുന്ന സംഭവങ്ങളുടെ തുടർച്ചയായ സംഭവത്തിന്റെ വ്യത്യസ്ത വഴികളുടെ എണ്ണമായിരുന്നു:

(i) ഒരു സ്കൂൾ ബാഗ് തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന സംഭവം

(ii) ഒരു ടിഫിൻ ബോക്സ് തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന സംഭവം

(iii) ഒരു വാട്ടർ ബോട്ടിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന സംഭവം.

ഇവിടെ, രണ്ട് കേസുകളിലും, ഓരോ പ്രശ്നത്തിലെയും സംഭവങ്ങൾ വിവിധ സാധ്യമായ ക്രമങ്ങളിൽ സംഭവിക്കാം. എന്നാൽ, സാധ്യമായ ക്രമങ്ങളിൽ ഏതെങ്കിലും ഒന്ന് നമ്മൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുകയും ഈ തിരഞ്ഞെടുത്ത ക്രമത്തിൽ സംഭവങ്ങൾ സംഭവിക്കുന്ന വ്യത്യസ്ത വഴികളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കുകയും വേണം.

ഉദാഹരണം 1 ROSE എന്ന വാക്കിന്റെ അക്ഷരങ്ങളിൽ നിന്ന് രൂപപ്പെടുത്താവുന്ന, അർത്ഥമുള്ളതോ ഇല്ലാത്തതോ ആയ 4 അക്ഷര വാക്കുകളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്തുക, അക്ഷരങ്ങളുടെ ആവർത്തനം അനുവദനീയമല്ലാത്തിടത്ത്.

പരിഹാരം 4 അക്ഷരങ്ങൾ $\square \square \square \square$ 4 ശൂന്യസ്ഥലങ്ങൾ പൂരിപ്പിക്കാനുള്ള വഴികൾ എത്രയുണ്ടോ അത്രയും വാക്കുകളുണ്ട്, ആവർത്തനം അനുവദനീയമല്ലെന്ന് മനസ്സിൽ വച്ചുകൊണ്ട്. ആദ്യ സ്ഥാനം 4 അക്ഷരങ്ങളായ R,O,S,E എന്നിവയിലെ ഏതെങ്കിലും ഒന്ന് 4 വ്യത്യസ്ത വഴികളിൽ പൂരിപ്പിക്കാം. അതിനുശേഷം, രണ്ടാം സ്ഥാനം ശേഷിക്കുന്ന 3 അക്ഷരങ്ങളിലെ ഏതെങ്കിലും ഒന്ന് 3 വ്യത്യസ്ത വഴികളിൽ പൂരിപ്പിക്കാം, അതിനുശേഷം മൂന്നാം സ്ഥാനം 2 വ്യത്യസ്ത വഴികളിൽ പൂരിപ്പിക്കാം; അതിനുശേഷം, നാലാം സ്ഥാനം 1 വഴിയിൽ പൂരിപ്പിക്കാം. അങ്ങനെ, ഗുണന തത്വം അനുസരിച്ച്, 4 സ്ഥാനങ്ങൾ പൂരിപ്പിക്കാനുള്ള വഴികളുടെ എണ്ണം $4 \times 3 \times 2 \times 1=24$ ആണ്. അതിനാൽ, ആവശ്യമായ വാക്കുകളുടെ എണ്ണം 24 ആണ്.

കുറിപ്പ് - അക്ഷരങ്ങളുടെ ആവർത്തനം അനുവദനീയമാണെങ്കിൽ, എത്ര വാക്കുകൾ രൂപപ്പെടുത്താം? 4 ശൂന്യസ്ഥലങ്ങളിൽ ഓരോന്നും തുടർച്ചയായി 4 വ്യത്യസ്ത വഴികളിൽ പൂരിപ്പിക്കാമെന്ന് എളുപ്പത്തിൽ മനസ്സിലാക്കാം. അതിനാൽ, ആവശ്യമായ വാക്കുകളുടെ എണ്ണം $=4 \times 4 \times 4 \times 4=256$.

ഉദാഹരണം 2 4 വ്യത്യസ്ത നിറങ്ങളുള്ള പതാകകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു, ഒരു സിഗ്നലിന് 2 പതാകകൾ ഒന്നിന് കീഴിൽ മറ്റൊന്ന് ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ടെങ്കിൽ, എത്ര വ്യത്യസ്ത സിഗ്നലുകൾ സൃഷ്ടിക്കാം?

പരിഹാരം 4 വ്യത്യസ്ത നിറങ്ങളുള്ള പതാകകൾ കൊണ്ട് തുടർച്ചയായി 2 ശൂന്യസ്ഥലങ്ങൾ $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \end{array}$ പൂരിപ്പിക്കാനുള്ള വഴികൾ എത്രയുണ്ടോ അത്രയും സിഗ്നലുകളുണ്ടാകും. മുകളിലെ ശൂന്യസ്ഥലം 4 പതാകകളിലെ ഏതെങ്കിലും ഒന്ന് 4 വ്യത്യസ്ത വഴികളിൽ പൂരിപ്പിക്കാം; അതിനുശേഷം, താഴെയുള്ള ശൂന്യസ്ഥലം ശേഷിക്കുന്ന 3 വ്യത്യസ്ത പതാകകളിലെ ഏതെങ്കിലും ഒന്ന് 3 വ്യത്യസ്ത വഴികളിൽ പൂരിപ്പിക്കാം. അതിനാൽ, ഗുണന തത്വം അനുസരിച്ച്, ആവശ്യമായ സിഗ്നലുകളുടെ എണ്ണം $=4 \times 3=12$.

ഉദാഹരണം 3 $1,2,3,4,5$ അക്കങ്ങളിൽ നിന്ന് എത്ര 2 അക്ക ഇരട്ട സംഖ്യകൾ രൂപപ്പെടുത്താം, അക്കങ്ങൾ ആവർത്തിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ?

പരിഹാരം തന്നിരിക്കുന്ന അഞ്ച് അക്കങ്ങൾ കൊണ്ട് തുടർച്ചയായി 2 ശൂന്യസ്ഥലങ്ങൾ $\square \square$ പൂരിപ്പിക്കാനുള്ള വഴികൾ എത്രയുണ്ടോ അത്രയും വഴികളുണ്ടാകും. ഇവിടെ, ഈ കേസിൽ, യൂണിറ്റ് സ്ഥാനം പൂരിപ്പിക്കുന്നത് ആരംഭിക്കുന്നു, കാരണം ഈ സ്ഥാനത്തിനുള്ള ഓപ്ഷനുകൾ 2 ഉം 4 ഉം മാത്രമാണ്, ഇത് 2 വഴികളിൽ ചെയ്യാം; അതിനുശേഷം പത്ത് സ്ഥാനം 5 അക്കങ്ങളിലെ ഏതെങ്കിലും ഒന്ന് 5 വ്യത്യസ്ത വഴികളിൽ പൂരിപ്പിക്കാം, കാരണം അക്കങ്ങൾ ആവർത്തിക്കാവുന്നതാണ്. അതിനാൽ, ഗുണന തത്വം അനുസരിച്ച്, ആവശ്യമായ രണ്ട് അക്ക ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം $2 \times 5$, അതായത്, 10 ആണ്.

ഉദാഹരണം 4 അഞ്ച് വ്യത്യസ്ത പതാകകൾ ലഭ്യമാണെങ്കിൽ, ഒരു ലംബ സ്റ്റാഫിൽ ക്രമത്തിൽ (ഒന്നിന് കീഴിൽ മറ്റൊന്ന്) കുറഞ്ഞത് 2 പതാകകൾ ക്രമീകരിച്ച് എത്ര വ്യത്യസ്ത സിഗ്നലുകൾ സൃഷ്ടിക്കാം?

പരിഹാരം ഒരു സിഗ്നലിൽ 2 പതാകകൾ, 3 പതാകകൾ, 4 പതാകകൾ അല്ലെങ്കിൽ 5 പതാകകൾ ഉൾപ്പെടാം. ഇപ്പോൾ, 2 പതാകകൾ, 3 പതാകകൾ, 4 പതാകകൾ, 5 പതാകകൾ എന്നിവ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന സിഗ്നലുകളുടെ സാധ്യമായ എണ്ണം വെവ്വേറെ കണക്കാക്കി, പിന്നീട് യഥാക്രമം സംഖ്യകൾ കൂട്ടാം.

ലഭ്യമായ 5 പതാകകൾ കൊണ്ട് തുടർച്ചയായി 2 ശൂന്യസ്ഥലങ്ങൾ $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \end{array}$ പൂരിപ്പിക്കാനുള്ള വഴികൾ എത്രയുണ്ടോ അത്രയും 2 പതാക സിഗ്നലുകളുണ്ടാകും. ഗുണന നിയമം അനുസരിച്ച്, വഴികളുടെ എണ്ണം $5 \times 4=20$ ആണ്.

അതുപോലെ, 5 പതാകകൾ കൊണ്ട് തുടർച്ചയായി 3 ശൂന്യസ്ഥലങ്ങൾ $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \\ \hline \end{array}$ പൂരിപ്പിക്കാനുള്ള വഴികൾ എത്രയുണ്ടോ അത്രയും 3 പതാക സിഗ്നലുകളുണ്ടാകും.

വഴികളുടെ എണ്ണം $5 \times 4 \times 3=60$ ആണ്.

അതേ വഴി തുടർന്നാൽ, നമുക്ക് കണ്ടെത്താം

4 പതാക സിഗ്നലുകളുടെ എണ്ണം $=5 \times 4 \times 3 \times 2=120$

ഒപ്പം 5 പതാക സിഗ്നലുകളുടെ എണ്ണം $=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120$

അതിനാൽ, ആവശ്യമായ സിഗ്നലുകളുടെ എണ്ണം $=20+60+120+120=320$.

6.3 കൈമാറ്റങ്ങൾ (പെർമ്യൂട്ടേഷൻസ്)

മുമ്പത്തെ വിഭാഗത്തിലെ ഉദാഹരണം 1-ൽ, ROSE, REOS, … മുതലായ അക്ഷരങ്ങളുടെ വ്യത്യസ്ത സാധ്യമായ ക്രമീകരണങ്ങൾ യഥാർത്ഥത്തിൽ നമ്മൾ എണ്ണുകയാണ്. ഇവിടെ, ഈ പട്ടികയിൽ, ഓരോ ക്രമീകരണവും മറ്റുള്ളവയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, അക്ഷരങ്ങൾ എഴുതുന്ന ക്രമം പ്രധാനമാണ്. ഓരോ ക്രമീകരണത്തെയും ഒരു സമയം എടുത്ത 4 വ്യത്യസ്ത അക്ഷരങ്ങളുടെ ഒരു കൈമാറ്റം (പെർമ്യൂട്ടേഷൻ) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ, NUMBER എന്ന വാക്കിന്റെ അക്ഷരങ്ങളിൽ നിന്ന് രൂപപ്പെടുത്താവുന്ന, അർത്ഥമുള്ളതോ ഇല്ലാത്തതോ ആയ 3-അക്ഷര വാക്കുകളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കണമെങ്കിൽ, അക്ഷരങ്ങളുടെ ആവർത്തനം അനുവദനീയമല്ലാത്തിടത്ത്, NUM, NMU, MUN, NUB, … മുതലായ ക്രമീകരണങ്ങൾ എണ്ണേണ്ടതുണ്ട്. ഇവിടെ, ഒരു സമയം 3 എണ്ണം എടുത്ത 6 വ്യത്യസ്ത അക്ഷരങ്ങളുടെ കൈമാറ്റങ്ങൾ (പെർമ്യൂട്ടേഷൻസ്) ഞങ്ങൾ എണ്ണുകയാണ്. ആവശ്യമായ വാക്കുകളുടെ എണ്ണം $=6 \times 5 \times 4=120$ (ഗുണന തത്വം ഉപയോഗിച്ച്).

അക്ഷരങ്ങളുടെ ആവർത്തനം അനുവദനീയമാണെങ്കിൽ, ആവശ്യമായ വാക്കുകളുടെ എണ്ണം $6 \times 6 \times 6=216$ ആയിരിക്കും.

നിർവ്വചനം 1 ഒരു കൈമാറ്റം (പെർമ്യൂട്ടേഷൻ) എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത ക്രമത്തിൽ ചിലതോ എല്ലാം തന്നെയോ ഒരു സമയം എടുത്ത നിരവധി വസ്തുക്കളുടെ ഒരു ക്രമീകരണമാണ്.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉപവിഭാഗത്തിൽ, ഈ ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉടൻ തന്നെ ഉത്തരം നൽകാൻ ആവശ്യമായ സൂത്രവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും.

6.3.1 എല്ലാ വസ്തുക്കളും വ്യത്യസ്തമാകുമ്പോഴുള്ള കൈമാറ്റങ്ങൾ

സിദ്ധാന്തം 1 $n$ വ്യത്യസ്ത വസ്തുക്കളുടെ കൈമാറ്റങ്ങളുടെ (പെർമ്യൂട്ടേഷൻസ്) എണ്ണം, ഒരു സമയം $r$ എടുക്കുമ്പോൾ, ഇവിടെ $0<r \leq n$ ആണ്, വസ്തുക്കൾ ആവർത്തിക്കുന്നില്ല, $n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)$ ആണ്, ഇത് ${ }^{n} P_r$ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

തെളിവ് $r$ ശൂന്യസ്ഥലങ്ങൾ $ \underset{\leftarrow r \text{ vacant places} \rightarrow}{\Large{\square \square \square \cdots }} \Large{\square}$ പൂരിപ്പിക്കാനുള്ള വഴികൾ എത്രയുണ്ടോ അത്രയും കൈമാറ്റങ്ങൾ (പെർമ്യൂട്ടേഷൻസ്) ഉണ്ടാകും.

$n$ വസ്തുക്കൾ. ആദ്യ സ്ഥാനം $n$ വഴികളിൽ പൂരിപ്പിക്കാം; അതിനുശേഷം, രണ്ടാം സ്ഥാനം $(n-1)$ വഴികളിൽ പൂരിപ്പിക്കാം, അതിനുശേഷം മൂന്നാം സ്ഥാനം $(n-2)$ വഴികളിൽ പൂരിപ്പിക്കാം,…, $r$-ആം സ്ഥാനം $(n-(r-1))$ വഴികളിൽ പൂരിപ്പിക്കാം. അതിനാൽ, തുടർച്ചയായി $r$ ശൂന്യസ്ഥലങ്ങൾ പൂരിപ്പിക്കാനുള്ള വഴികളുടെ എണ്ണം $n(n-1)(n-2) \ldots(n-(r-1))$ അല്ലെങ്കിൽ $n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)$ ആണ്.

${ }^{n} P$-നുള്ള ഈ പദപ്രയോഗം ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതാണ്, ഈ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ വലുപ്പം കുറയ്ക്കാൻ സഹായിക്കുന്ന ഒരു നൊട്ടേഷൻ നമുക്ക് ആവശ്യമാണ്. $n$! ($n$ ഫാക്ടോറിയൽ അല്ലെങ്കിൽ $n$ ഫാക്ടോറിയൽ എന്ന് വായിക്കുക) എന്ന ചിഹ്നം നമ്മുടെ സഹായത്തിന് വരുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന വാചകത്തിൽ $n$! എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നതെന്ന് നമ്മൾ പഠിക്കും.

6.3.2 ഫാക്ടോറിയൽ നൊട്ടേഷൻ

$n$! എന്ന നൊട്ടേഷൻ ആദ്യത്തെ $n$ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അതായത്, ഗുണനഫലം $1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times(n-1) \times n$ എന്ന് $n$ ! കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഈ ചിഹ്നം നമ്മൾ ‘$n$ ഫാക്ടോറിയൽ’ എന്ന് വായിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, $1 \times 2 \times 3 \times 4 \ldots \times(n-1) \times n=n$ !

$ \begin{aligned} & 1=1 ! \\ & 1 \times 2=2 ! \\ & 1 \times 2 \times 3=3 ! \\ & 1 \times 2 \times 3 \times 4=4 \text{ ! and so on. } \end{aligned} $

നമ്മൾ $0 !=1$ നിർവ്വചിക്കുന്നു

നമുക്ക് എഴുതാം $5 !=5 \times 4 !=5 \times 4 \times 3 !=5 \times 4 \times 3 \times 2$ !

$$ =5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \text{ ! } $$

വ്യക്തമായും, ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ $n$-ന്

$$ \begin{array}{rlrl} n ! & =n(n-1) ! & \\ & =n(n-1)(n-2) ! & & \text { [ provided } n \geq 2] \\ & =n(n-1)(n-2)(n-3) ! & & \text { [ provided } n \geq 3] \end{array} $$

എന്നിങ്ങനെ.

ഉദാഹരണം 5 മൂല്യനിർണ്ണയം ചെയ്യുക

(i) 5 !

(ii) 7 !

(iii) $7 !-5$ !

പരിഹാരം

(i) $5 !=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5=120$

(ii) 7 ! $=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7=5040$

ഒപ്പം

(iii) $7 !-5 !=5040-120=4920$.

ഉദാഹരണം 6 കണക്കാക്കുക (i) $\frac{7 !}{5 !}$

(ii) $\frac{12 !}{(10 !)(2 !)}$

പരിഹാരം

(i) നമുക്ക് ഉണ്ട് $\frac{7 !}{5 !}=\frac{7 \times 6 \times 5 !}{5 !}=7 \times 6=42$

ഒപ്പം

(ii) $\frac{12 !}{(10 !)(2 !)}=\frac{12 \times 11 \times(10 !)}{(10 !) \times(2)}=6 \times 11=66$.

ഉദാഹരണം 7 $\frac{n !}{r !(n-r) !}$-ന്റെ മൂല്യനിർണ്ണയം ചെയ്യുക, എപ്പോൾ $n=5, r=2$.

പരിഹാരം $\frac{5 !}{2 !(5-2) !}($-ന്റെ മൂല്യനിർണ്ണയം ചെയ്യേണ്ട