8.1 ആമുഖം

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, “ശ്രേണി” എന്ന വാക്ക് സാധാരണ ഇംഗ്ലീഷിലുള്ളതുപോലെ തന്നെ ഉപയോഗിക്കുന്നു. വസ്തുക്കളുടെ ഒരു ശേഖരം ഒരു ശ്രേണിയിൽ ലിസ്റ്റുചെയ്തിരിക്കുന്നു എന്ന് പറയുമ്പോൾ, ആദ്യ അംഗം, രണ്ടാം അംഗം, മൂന്നാം അംഗം എന്നിങ്ങനെ തിരിച്ചറിയപ്പെടുന്ന രീതിയിൽ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നു എന്നാണ് സാധാരണയായി അർത്ഥമാക്കുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന്, വ്യത്യസ്ത സമയങ്ങളിലെ മനുഷ്യരുടെയോ ബാക്ടീരിയയുടെയോ ജനസംഖ്യ ഒരു ശ്രേണിയായി രൂപം കൊള്ളുന്നു. നിരവധി വർഷങ്ങളായി ഒരു ബാങ്കിൽ നിക്ഷേപിച്ച പണത്തിന്റെ തുക ഒരു ശ്രേണിയായി രൂപം കൊള്ളുന്നു. ഒരു പ്രത്യേക വസ്തുവിന്റെ മൂല്യത്തകർച്ച ഒരു ശ്രേണിയിൽ സംഭവിക്കുന്നു. മനുഷ്യ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ നിരവധി മേഖലകളിൽ ശ്രേണികൾക്ക് പ്രധാന പ്രയോഗങ്ങളുണ്ട്.

നിർദ്ദിഷ്ട രീതികൾ പിന്തുടരുന്ന ശ്രേണികളെ പുരോഗതികൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മുമ്പത്തെ ക്ലാസ്സിൽ, നമ്മൾ സമാന്തര ശ്രേണികൾ (A.P) പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, A.P. കൂടുതൽ ചർച്ച ചെയ്യുന്നതിനൊപ്പം; സമാന്തര മാധ്യം, ജ്യാമിതീയ മാധ്യം, A.M. ഉം G.M. ഉം തമ്മിലുള്ള ബന്ധം, തുടർച്ചയായ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ $n$ പദങ്ങളുടെ തുകയുടെ രൂപത്തിലുള്ള പ്രത്യേക ശ്രേണികൾ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗങ്ങളുടെ $n$ പദങ്ങളുടെ തുക, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഘനങ്ങളുടെ $n$ പദങ്ങളുടെ തുക എന്നിവയും പഠിക്കും.

8.2 ശ്രേണികൾ

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം:

30 വർഷത്തെ തലമുറ വിടവ് ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക, 300 വർഷത്തിനുള്ളിൽ ഒരു വ്യക്തിക്ക് ഉണ്ടായിരിക്കാവുന്ന പൂർവ്വികരുടെ എണ്ണം, അതായത്, മാതാപിതാക്കൾ, മുത്തശ്ശൻമാർ, മുത്തശ്ശി, മുതലായവ കണ്ടെത്താൻ ആവശ്യപ്പെടുന്നു.

ഇവിടെ, മൊത്തം തലമുറകളുടെ എണ്ണം $=\frac{300}{30}=10$

ആദ്യ, രണ്ടാം, മൂന്നാം, …, പത്താം തലമുറകൾക്കുള്ള വ്യക്തിയുടെ പൂർവ്വികരുടെ എണ്ണം $2,4,8,16,32, \ldots, 1024$ ആണ്. ഈ സംഖ്യകൾ നമ്മൾ ശ്രേണി എന്ന് വിളിക്കുന്നത് രൂപീകരിക്കുന്നു.

10 നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ വിഭജനത്തിന്റെ വ്യത്യസ്ത ഘട്ടങ്ങളിൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന തുടർച്ചയായ ഘടകങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക. ഈ പ്രക്രിയയിൽ നമുക്ക് $3,3.3,3.33,3.333, \ldots$ മുതലായവ ലഭിക്കുന്നു. ഈ ഘടകങ്ങളും ഒരു ശ്രേണി രൂപീകരിക്കുന്നു. ഒരു ശ്രേണിയിൽ സംഭവിക്കുന്ന വിവിധ സംഖ്യകളെ അതിന്റെ പദങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ശ്രേണിയുടെ പദങ്ങളെ $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$, മുതലായവയാൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, സബ്സ്ക്രിപ്റ്റുകൾ പദത്തിന്റെ സ്ഥാനത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. $n^{\text{th }}$ പദം ശ്രേണിയുടെ $n^{\text{th }}$ സ്ഥാനത്തുള്ള സംഖ്യയാണ്, ഇത് $a_n$ ആയി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. $n^{\text{th }}$ പദത്തെ ശ്രേണിയുടെ പൊതുപദം എന്നും വിളിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, മുകളിൽ പരാമർശിച്ച വ്യക്തിയുടെ പൂർവ്വികരുടെ ശ്രേണിയുടെ പദങ്ങൾ ഇവയാണ്:

$$ a_1=2, a_2=4, a_3=8, \ldots, a _{10}=1024 $$

അതുപോലെ, തുടർച്ചയായ ഘടകങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ

$$ a_1=3, a_2=3.3, a_3=3.33, \ldots, a_6=3.33333 \text{, etc. } $$

പരിമിതമായ പദങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ശ്രേണിയെ പരിമിത ശ്രേണി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, പൂർവ്വികരുടെ ശ്രേണി 10 പദങ്ങൾ (ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ) ഉൾക്കൊള്ളുന്നതിനാൽ ഒരു പരിമിത ശ്രേണിയാണ്.

ഒരു ശ്രേണി അനന്തമാണെന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, അത് ഒരു പരിമിത ശ്രേണിയല്ലെങ്കിൽ. ഉദാഹരണത്തിന്, മുകളിൽ പരാമർശിച്ച തുടർച്ചയായ ഘടകങ്ങളുടെ ശ്രേണി ഒരു അനന്ത ശ്രേണിയാണ്, അത് ഒരിക്കലും അവസാനിക്കാത്തതിനാൽ അനന്തമാണ്.

പലപ്പോഴും, ഒരു ശ്രേണിയുടെ വിവിധ പദങ്ങൾ ബീജഗണിത സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നൽകുന്ന നിയമം പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇരട്ട സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണി പരിഗണിക്കുക $2,4,6, \ldots$

$ \begin{aligned} & \text{ ഇവിടെ } \quad a_1=2=2 \times 1 \quad a_2=4=2 \times 2 \\ & a_3=6=2 \times 3 \quad a_4=8=2 \times 4 \\ &\ldots & \ldots . & \ldots . & \ldots . & \ldots . & \ldots\\ & a _{23}=46=2 \times 23, a _{24}=48=2 \times 24 \text{, അങ്ങനെ തുടരുന്നു. } \end{aligned} $

വാസ്തവത്തിൽ, ഈ ശ്രേണിയുടെ $n^{\text{th }}$ പദം $a_n=2 n$ എന്ന് എഴുതാമെന്ന് നമ്മൾ കാണുന്നു, ഇവിടെ $n$ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്. അതുപോലെ, ഒറ്റ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയിൽ $1,3,5, \ldots$, $n^{\text{th }}$ പദം $a_n=2 n-1$ എന്ന സൂത്രവാക്യം നൽകുന്നു, ഇവിടെ $n$ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്. ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, $1,1,2,3,5,8, .$ പോലുള്ള സംഖ്യകളുടെ ക്രമീകരണത്തിന് ദൃശ്യമായ രീതി ഇല്ല, പക്ഷേ ശ്രേണി ഇനിപ്പറയുന്ന ആവർത്തന ബന്ധത്താൽ ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു

$$ \begin{aligned} & a_1=a_2=1 \\ & a_3=a_1+a_2 \\ & a_n=a _{n-2}+a _{n-1}, n>2 \end{aligned} $$

ഈ ശ്രേണിയെ ഫിബൊനാച്ചി ശ്രേണി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയിൽ $2,3,5,7, \ldots$, $n^{\text{th }}$ അഭാജ്യ സംഖ്യയ്ക്ക് ഒരു സൂത്രവാക്യം ഇല്ലെന്ന് നമ്മൾ കാണുന്നു. അത്തരം ശ്രേണികൾക്ക് വാക്കാലുള്ള വിവരണത്തിലൂടെ മാത്രമേ വിവരിക്കാൻ കഴിയൂ.

എല്ലാ ശ്രേണിയിലും, അതിന്റെ പദങ്ങൾ ഒരു പ്രത്യേക സൂത്രവാക്യത്താൽ നൽകപ്പെടുമെന്ന് നമുക്ക് പ്രതീക്ഷിക്കരുത്. എന്നിരുന്നാലും, പദങ്ങൾ $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ തുടർച്ചയായി ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സൈദ്ധാന്തിക പദ്ധതി അല്ലെങ്കിൽ ഒരു നിയമം നമുക്ക് പ്രതീക്ഷിക്കാം.

മുകളിൽ പറഞ്ഞവയുടെ വെളിച്ചത്തിൽ, ഒരു ശ്രേണിയെ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണമോ അതിന്റെ ചില ഉപഗണങ്ങളോ ഡൊമെയ്നായുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷനായി കണക്കാക്കാം. ചിലപ്പോൾ, $a_n$ നായി നമ്മൾ ഫംഗ്ഷണൽ നൊട്ടേഷൻ a(n) ഉപയോഗിക്കുന്നു.

8.3 ശ്രേണികൾ

$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$, ഒരു നൽകിയ ശ്രേണിയായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ, എക്സ്പ്രഷൻ $ a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n+\ldots $ നൽകിയ ശ്രേണിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ശ്രേണി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നൽകിയ ശ്രേണി പരിമിതമോ അനന്തമോ ആയതിനനുസരിച്ച് ശ്രേണി പരിമിതമോ അനന്തമോ ആണ്. ശ്രേണികൾ പലപ്പോഴും കോംപാക്റ്റ് രൂപത്തിൽ, സിഗ്മ നൊട്ടേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഗ്രീക്ക് അക്ഷരം $\sum$ (സിഗ്മ) ഉപയോഗിച്ച് ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന സംഗ്രഹം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, ശ്രേണി $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$ എന്ന് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു $\sum_{k=1}^{n} a_k$ എന്ന്.

ശ്രദ്ധിക്കുക ശ്രേണി ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, അത് സൂചിപ്പിച്ച തുകയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, തുകയെയല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, $1+3+5+7$ നാല് പദങ്ങളുള്ള ഒരു പരിമിത ശ്രേണിയാണ്. “ഒരു ശ്രേണിയുടെ തുക” എന്ന വാചകം ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, പദങ്ങൾ ചേർക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുന്ന സംഖ്യയാണ് നമ്മൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത്, ശ്രേണിയുടെ തുക 16 ആണ്.

ഇപ്പോൾ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1 ഇനിപ്പറയുന്നവയാൽ നിർവചിക്കപ്പെടുന്ന ഓരോ ശ്രേണിയിലും ആദ്യത്തെ മൂന്ന് പദങ്ങൾ എഴുതുക:

(i) $a_n=2 n+5$,

(ii) $a_n=\frac{n-3}{4}$.

പരിഹാരം (i) ഇവിടെ $a_n=2 n+5$

$n=1,2,3$ പകരം വയ്ക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു $ a_1=2(1)+5=7, a_2=9, a_3=11 $

അതിനാൽ, ആവശ്യമായ പദങ്ങൾ 7, 9, 11 എന്നിവയാണ്.

(ii) ഇവിടെ $a_n=\frac{n-3}{4}$. അങ്ങനെ, $a_1=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}, a_2=-\frac{1}{4}, a_3=0$

അതിനാൽ, ആദ്യത്തെ മൂന്ന് പദങ്ങൾ $-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}$, 0 എന്നിവയാണ്.

ഉദാഹരണം 2 ഇനിപ്പറയുന്ന ശ്രേണിയുടെ $20^{\text{th }}$ പദം എന്താണ് $ a_n=(n-1)(2-n)(3+n) ? $ പരിഹാരം $n=20$ ഇടുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

$$ \begin{aligned} a _{20} & =(20-1)(2-20)(3+20) \\ & =19 \times(-18) \times(23) \\ &
=-7866 . \end{aligned} $$

ഉദാഹരണം 3 ശ്രേണി $a_n$ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിക്കട്ടെ:

$$ a_1=1, a_n=a _{n-1}+2 \text{ for } n \geq 2 \text{. } $$

ആദ്യത്തെ അഞ്ച് പദങ്ങൾ കണ്ടെത്തി അനുബന്ധ ശ്രേണി എഴുതുക.

പരിഹാരം നമുക്കുള്ളത്

$ \begin{aligned} & a_1=1, a_2=a_1+2=1+2=3, a_3=a_2+2=3+2=5, \\ & a_4=a_3+2=5+2=7, a_5=a_4+2=7+2=9 . \end{aligned} $

അതിനാൽ, ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ അഞ്ച് പദങ്ങൾ $1,3,5,7$, 9 എന്നിവയാണ്. അനുബന്ധ ശ്രേണി $1+3+5+7+9+\ldots$ ആണ്

8.4 ജ്യാമിതീയ ശ്രേണി (G. P.)

ഇനിപ്പറയുന്ന ശ്രേണികൾ പരിഗണിക്കാം:

(i) $2,4,8,16, \ldots$,

(ii) $\frac{1}{9}, \frac{-1}{27}, \frac{1}{81}, \frac{-1}{243}$

(iii) $.01, .0001, .000001, \ldots$

ഈ ഓരോ ശ്രേണികളിലും, അവയുടെ പദങ്ങൾ എങ്ങനെ പുരോഗമിക്കുന്നു? ആദ്യത്തേത് ഒഴികെയുള്ള ഓരോ പദവും ഒരു നിശ്ചിത ക്രമത്തിൽ പുരോഗമിക്കുന്നുവെന്ന് നമ്മൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു.

(i) ൽ, നമുക്കുള്ളത് $a_1=2, \frac{a_2}{a_1}=2, \frac{a_3}{a_2}=2, \frac{a_4}{a_3}=2$ അങ്ങനെ തുടരുന്നു.

(ii) ൽ, നമ്മൾ നിരീക്ഷിക്കുന്നു, $a_1=\frac{1}{9}, \frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{3}, \frac{a_3}{a_2}=\frac{1}{3}, \frac{a_4}{a_3}=\frac{1}{3}$ അങ്ങനെ തുടരുന്നു.

അതുപോലെ, (iii) ൽ പദങ്ങൾ എങ്ങനെ പുരോഗമിക്കുന്നുവെന്ന് പറയുക? ഓരോ കേസിലും, ആദ്യ പദം ഒഴികെയുള്ള ഓരോ പദവും അതിനുമുമ്പുള്ള പദത്തോട് ഒരു സ്ഥിരമായ അനുപാതം പുലർത്തുന്നുവെന്ന് നിരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു. (i) ൽ, ഈ സ്ഥിര അനുപാതം 2 ആണ്; (ii) ൽ, അത് $-\frac{1}{3}$ ആണ്, (iii) ൽ, സ്ഥിര അനുപാതം 0.01 ആണ്. അത്തരം ശ്രേണികളെ ജ്യാമിതീയ ശ്രേണി അല്ലെങ്കിൽ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു, G.P. എന്ന് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

ഒരു ശ്രേണി $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, ഓരോ പദവും പൂജ്യമല്ലാത്തതും $\frac{a_{k+1}}{a_k}=r$ (സ്ഥിരാങ്കം), $k \geq 1$ ആണെങ്കിൽ.

$a_1=a$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ലഭിക്കുന്നു, $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots$, ഇവിടെ $a$ ആദ്യ പദം എന്നും $r$ G.P. യുടെ സാധാരണ അനുപാതം എന്നും വിളിക്കുന്നു. മുകളിലെ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി (i), (ii), (iii) എന്നിവയിലെ സാധാരണ അനുപാതം യഥാക്രമം $2,-\frac{1}{3}$, 0.01 എന്നിവയാണ്.

സമാന്തര പുരോഗതിയുടെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ, വലിയ എണ്ണം പദങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ $n^{\text{th }}$ പദം അല്ലെങ്കിൽ $n$ പദങ്ങളുടെ തുക കണ്ടെത്തുന്നത് അടുത്ത വിഭാഗത്തിൽ നമ്മൾ വികസിപ്പിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇല്ലാതെ ബുദ്ധിമുട്ടായിരിക്കും. ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾക്കൊപ്പം ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷനുകൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും:

$ \begin{aligned} & a=\text{ ആദ്യ പദം, } r=\text{ സാധാരണ അനുപാതം, } l=\text{ അവസാന പദം, } \\ & n=\text{ പദങ്ങളുടെ എണ്ണം, } \\ & S_n=\text{ ആദ്യ } n \text{ പദങ്ങളുടെ തുക. } \end{aligned} $

8.4.1 $a$ G.P. യുടെ പൊതുപദം

ആദ്യത്തെ പൂജ്യമല്ലാത്ത പദം ‘$a$’, സാധാരണ അനുപാതം ‘$r$’ എന്നിവയുള്ള ഒരു G.P. പരിഗണിക്കാം. അതിന്റെ കുറച്ച് പദങ്ങൾ എഴുതുക. രണ്ടാം പദം $a$ നെ $r$ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാണ് ലഭിക്കുന്നത്, അങ്ങനെ $a_2=a r$. അതുപോലെ, മൂന്നാം പദം $a_2$ നെ $r$ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാണ് ലഭിക്കുന്നത്. അങ്ങനെ, $a_3=a_2 r=a r^{2}$, അങ്ങനെ തുടരുന്നു.

ഈ പദങ്ങളും കുറച്ച് കൂടുതൽ പദങ്ങളും ചുവടെ എഴുതുന്നു.

$1^{\text{st }}$ പദം $=a_1=a=a r^{1-1}, 2^{\text{nd }}$ പദം $=a_2=a r=a r^{2-1}, 3^{\text{rd }}$ പദം $=a_3=a r^{2}=a r^{3-1}$ $4^{\text{th }}$ പദം $=a_4=a r^{3}=a r^{4-1}, 5^{\text{th }}$ പദം $=a_5=a r^{4}=a r^{5-1}$

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു രീതി കാണാമോ? $16^{\text{th }}$ പദം എന്തായിരിക്കും?

$$ a _{16}=a r^{16-1}=a r^{15} $$

അതിനാൽ, രീതി സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഒരു G.P. യുടെ $n^{\text{th }}$ പദം $a_n=a r^{n-1}$ ആണെന്നാണ്. അങ്ങനെ, $a$, G.P. യെ $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots a r^{n-1} ; a, a r, a r^{2}, \ldots, a r^{n-1} \ldots ;$ എന്ന് എഴുതാം, G.P. പരിമിതമോ അനന്തമോ ആയതിനനുസരിച്ച്. ശ്രേണി $a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}$ അല്ലെങ്കിൽ $a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}+\ldots$ എന്നിവ യഥാക്രമം പരിമിത അല്ലെങ്കിൽ അനന്ത ജ്യാമിതീയ ശ്രേണികൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

8.4.2. $n$ പദങ്ങളുടെ തുക $a$ G.P.

ഒരു G.P. യുടെ ആദ്യ പദം $a$ ഉം സാധാരണ അനുപാതം $r$ ഉം ആയിരിക്കട്ടെ. G.P. യുടെ ആദ്യ $n$ പദങ്ങളുടെ തുക $S_n$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം. അപ്പോൾ

$$ S_n=a+a^{n}+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

കേസ് 1 $r=1$ ആണെങ്കിൽ, നമുക്കുള്ളത് $S_n=a+a+a+\ldots+a(n$ പദങ്ങൾ $)=n a$

കേസ് 2 $r \neq 1$ ആണെങ്കിൽ, (1) നെ $r$ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, നമുക്കുള്ളത്

$$ r S_n=a r+a r^{2}+a r^{3}+\ldots+a r^{n} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

(2) ൽ നിന്ന് (1) കുറയ്ക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു $$(1-r) S_n=a-a r^{n}=a(1-r^{n})$$

ഇത് നൽകുന്നു

$$ \mathrm{S} n=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r} \text { or } \mathrm{S} _{n}=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1} $$

ഉദാഹരണം 4 G.P. $5,25,125, \ldots$ ന്റെ $10^{\text{th }}$, $n^{\text{th }}$ പദങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം ഇവിടെ $a=5$, $r=5$. അങ്ങനെ, $a _{10}=5(5)^{10-1}=5(5)^{9}=5^{10}$, $a_n=a r^{n-1}=5(5)^{n-1}=5^{n}$.

ഉദാഹരണം 5 G.P. 2,8,32,… യുടെ $n$ പദങ്ങൾ വരെയുള്ളതിൽ ഏത് പദമാണ് 131072?

പരിഹാരം 131072 നൽകിയ G.P. യുടെ $n^{\text{th }}$ പദമായിരിക്കട്ടെ. ഇവിടെ $a=2$, $r=4$.

അതിനാൽ $\quad 131072=a_n=2(4)^{n-1}$ അല്ലെങ്കിൽ $65536=4^{n-1}$

ഇത് നൽകുന്നത് $\quad 4^{8}=4^{n-1}$.

അതിനാൽ $n-1=8$, അതായത്, $n=9$. അതിനാൽ, 131072 ആണ് G.P. യുടെ $9^{\text{th }}$ പദം.

ഉദാഹരണം 6 ഒരു G.P. ൽ, $3^{\text{rd }}$ പദം 24 ഉം $6^{\text{th }}$ പദം 192 ഉം ആണ്. $10^{\text{th }}$ പദം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം ഇവിടെ, $a_3=a r^{2}=24 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

ഒപ്പം $ \quad \quad a_6=a r^{5}=192 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(2) നെ (1) കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് $r=2$. (1) ൽ $r=2$ പകരം വയ്ക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് $a=6$.

അതിനാൽ $a _{10}=6(2)^{9}=3072$.

ഉദാഹരണം 7 ജ്യാമിതീയ ശ്രേണി $1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\ldots$ ന്റെ ആദ്യ $n$ പദങ്ങളുടെ തുകയും ആദ്യ 5 പദങ്ങളുടെ തുകയും കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം ഇവിടെ $a=1$, $r=\frac{2}{3}$. അതിനാൽ

$$ S_n=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}=\frac{[1-(\frac{2}{3})^{n}]}{1-\frac{2}{3}}=3[1-(\frac{2}{3})^{n}] $$

പ്രത്യേകിച്ചും, $\quad S_5=3[1-(\frac{2}{3})^{5}]=3 \times \frac{211}{243}=\frac{211}{81}$.

ഉദാഹരണം 8 G.P. $3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \ldots$ ന്റെ എത്ര പദങ്ങൾ ആവശ്യമാണ് $sum \frac{3069}{512} ?$ നൽകാൻ

പരിഹാരം $n$ ആവശ്യമായ പദങ്ങളുടെ എണ്ണമായിരിക്കട്ടെ. നൽകിയിരിക്കുന്നത് $a=3, r=\frac{1}{2}$, $S_n=\frac{3069}{512}$

മുതൽ $ \quad \quad \quad S_n=\frac{a(1-r^{n})}{1-r} $

അതിനാൽ $ \quad \quad \quad \frac{3069}{512}=\frac{3(1-\frac{1}{2^{n}})}{1-\frac{1}{2}}=6(1-\frac{1}{2^{n}}) $

അല്ലെങ്കിൽ $ \quad \quad \quad \frac{3069}{3072}=1-\frac{1}{2^{n}} $

അല്ലെങ്കിൽ $\quad \quad \quad \frac{1}{2^{n}} =1-\frac{3069}{3072}=\frac{3}{3072}=\frac{1}{1024}$

അല്ലെങ്കിൽ $\quad \quad \quad2^{n} =1024=2^{10}, \text{ which gives } n=10$

ഉദാഹരണം 9 ഒരു G.P. യുടെ ആദ്യ മൂന്ന് പദങ്ങളുടെ തുക $\frac{13}{12}$ ആണ്, അവയുടെ ഗുണനഫലം -1 ആണ്. സാധാരണ അനുപാതവും പദങ്ങളും കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം $\frac{a}{r}, a$, ar എന്നിവ G.P. യുടെ ആദ്യ മൂന്ന് പദങ്ങളായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ

$$ \frac{a}{r}+a r+a=\frac{13}{12} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

ഒപ്പം $\quad(\frac{a}{r})(a)(a r)=-1 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(2) ൽ നിന്ന്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് $a^{3}=-1$, അതായത്, $a=-1$ (യഥാർത്ഥ മൂലങ്ങൾ മാത്രം പരിഗണിക്കുന്നു)

(1) ൽ $a=-1$ പകരം വയ്ക്കുമ്പോൾ, നമുക്കുള്ളത്

$$ -\frac{1}{r}-1-r=\frac{13}{12} \text{ or } 12 r^{2}+25 r+12=0 \text{. } $$

ഇത് $r$ ൽ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആണ്, പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് $r=-\frac{3}{4}$ അല്ലെങ്കിൽ $-\frac{4}{3}$.

അങ്ങനെ, G.P. യുടെ മൂന്ന് പദങ്ങൾ ഇവയാണ്: $\frac{4}{3},-1, \frac{3}{4}$, $r=\frac{-3}{4}$ എന്നിവയ്ക്കും $\frac{3}{4},-1, \frac{4}{3}$, $r=\frac{-4}{3}$ എന്നിവയ്ക്കും,

ഉദാഹരണം10 ശ്രേണി 7, 77, 777, 7777, … ന്റെ $n$ പദങ്ങൾ വരെയുള്ള തുക കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം ഇത് ഒരു G.P. അല്ല, എന്നിരുന്നാലും, പദങ്ങൾ ഇങ്ങനെ എഴുതി ഇതിനെ ഒരു G.P. യുമായി ബന്ധപ്പെടുത്താം

$ S_n=7+77+777+7777+\ldots \text{ to } n \text{ terms } $ $ \begin{aligned} & =\frac{7}{9}[9+99+999+9999+\ldots \text{ to } n \text{ term }] \\ & =\frac{7}{9}[(10-1)+(10^{2}-1)+(10^{3}-