ജ്യാമിതി, ഒരു യുക്തിപരമായ വ്യവസ്ഥയെന്ന നിലയിൽ, കുട്ടികൾക്ക് അവരുടെ സ്വന്തം ആത്മാവിന്റെ ശക്തി അനുഭവിക്കാനുള്ള ഒരു മാർഗ്ഗവും മാത്രമല്ല, ഏറ്റവും ശക്തമായ മാർഗ്ഗവുമാണ്. - എച്ച്. ഫ്രോയിഡെന്താൽ

9.1 ആമുഖം

മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിൽ നിന്ന് രണ്ട്-മാന കോർഡിനേറ്റ് ജ്യാമിതിയിൽ നമുക്ക് പരിചയമുണ്ട്. പ്രധാനമായും, ഇത് ബീജഗണിതത്തിന്റെയും ജ്യാമിതിയുടെയും സംയോജനമാണ്. ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ജ്യാമിതിയുടെ ഒരു വ്യവസ്ഥാപിതമായ പഠനം ആദ്യമായി നടത്തിയത് പ്രശസ്ത ഫ്രഞ്ച് തത്ത്വചിന്തകനും ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനുമായ റെനെ ഡെസ്കാർട്ടസ് ആണ്, 1637-ൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച അദ്ദേഹത്തിന്റെ ‘ലാ ജിയോമെട്രി’ എന്ന പുസ്തകത്തിൽ. ഈ പുസ്തകം ഒരു വക്രത്തിന്റെ സമവാക്യത്തിന്റെ ആശയവും അനുബന്ധ വിശകലന രീതികളും ജ്യാമിതി പഠനത്തിലേക്ക് പരിചയപ്പെടുത്തി. വിശകലനത്തിന്റെയും ജ്യാമിതിയുടെയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംയോജനം ഇപ്പോൾ വിശകലനാത്മക ജ്യാമിതി എന്നറിയപ്പെടുന്നു. മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിൽ, കോർഡിനേറ്റ് ജ്യാമിതിയുടെ പഠനം ആരംഭിച്ചു, അവിടെ നമ്മൾ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ, കോർഡിനേറ്റ് തലം, ഒരു തലത്തിൽ ബിന്ദുക്കൾ പ്ലോട്ട് ചെയ്യൽ, രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം, വിഭാഗ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ മുതലായവ പഠിച്ചു. ഈ എല്ലാ ആശയങ്ങളും കോർഡിനേറ്റ് ജ്യാമിതിയുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങളാണ്.

മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിൽ ചെയ്ത കോർഡിനേറ്റ് ജ്യാമിതിയെക്കുറിച്ച് ഹ്രസ്വമായി ഓർക്കാം. ആവർത്തിച്ചുപറയാനായി, XY-തലത്തിലെ $(6,-4)$, $(3,0)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കളുടെ സ്ഥാനം ചിത്രം 9.1-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

ചിത്രം. 9.1

$(6,-4)$ എന്ന ബിന്ദു $y$-അക്ഷത്തിൽ നിന്ന് $x$-അക്ഷത്തിന്റെ ധനാത്മക ദിശയിൽ അളന്ന് 6 യൂണിറ്റ് ദൂരത്തിലും $x$-അക്ഷത്തിൽ നിന്ന് $y$-അക്ഷത്തിന്റെ ഋണാത്മക ദിശയിൽ അളന്ന് 4 യൂണിറ്റ് ദൂരത്തിലുമാണെന്ന് നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം. അതുപോലെ, $(3,0)$ എന്ന ബിന്ദു $y$-അക്ഷത്തിൽ നിന്ന് $x$-അക്ഷത്തിന്റെ ധനാത്മക ദിശയിൽ അളന്ന് 3 യൂണിറ്റ് ദൂരത്തിലാണ്, കൂടാതെ $x$-അക്ഷത്തിൽ നിന്ന് പൂജ്യം ദൂരമുണ്ട്. സൂത്രവാക്യങ്ങൾ:

അവിടെ നമ്മൾ ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രധാനപ്പെട്ടവയും പഠിച്ചു:

I. $P(x_1, y_1)$, $Q(x_2, y_2)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം

$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}} $

ഉദാഹരണത്തിന്, $(6,-4)$, $(3,0)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം

$$ \sqrt{(3-6)^{2}+(0+4)^{2}}=\sqrt{9+16}=5 \text{ units. } $$

II. $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കളെ ചേർക്കുന്ന രേഖാഖണ്ഡത്തെ $m: n$ എന്ന അനുപാതത്തിൽ ആന്തരികമായി വിഭജിക്കുന്ന ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ $(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n})$ ആണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, A $(1,-3)$, $B(-3,9)$ എന്നിവയെ ചേർക്കുന്ന രേഖാഖണ്ഡത്തെ $1: 3$ എന്ന അനുപാതത്തിൽ ആന്തരികമായി വിഭജിക്കുന്ന ബിന്ദുവിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ $x=\frac{1 .(-3)+3.1}{1+3}=0$ $\text{ and } y=\frac{1.9+3 \cdot(-3)}{1+3}=0$ നൽകുന്നു.

III. പ്രത്യേകിച്ചും, $m=n$ ആണെങ്കിൽ, $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കളെ ചേർക്കുന്ന രേഖാഖണ്ഡത്തിന്റെ മധ്യബിന്ദുവിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ ആണ്.

IV. $(x _{1,} y_1),(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$ എന്നിവ ശീർഷങ്ങളായുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം

$\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)| .$

ഉദാഹരണത്തിന്, $(4,4),(3,-2)$, $(-3,16)$ എന്നിവ ശീർഷങ്ങളായുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം

$ \frac{1}{2}|4(-2-16)+3(16-4)+(-3)(4+2)|=\frac{|-54|}{2}=27 $

ശ്രദ്ധിക്കുക ത്രികോണം $ABC$ ന്റെ വിസ്തീർണ്ണം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, $A, B$, $C$ എന്നീ മൂന്ന് ബിന്ദുക്കൾ ഒരു രേഖയിൽ കിടക്കുന്നു, അതായത്, അവ കോളിനിയർ ആണ്.

ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, ഏറ്റവും ലളിതമായ ജ്യാമിതീയ രൂപമായ നേർരേഖയുടെ ഗുണങ്ങൾ പഠിക്കാൻ കോർഡിനേറ്റ് ജ്യാമിതിയുടെ പഠനം തുടരും. അതിന്റെ ലാളിത്യം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, രേഖ ജ്യാമിതിയുടെ ഒരു അത്യാവശ്യ ആശയമാണ്, കൂടാതെ നിരവധി രസകരവും ഉപയോഗപ്രദവുമായ വഴികളിൽ നമ്മുടെ ദൈനംദിന അനുഭവങ്ങളിലേക്ക് പ്രവേശിക്കുന്നു. രേഖയെ ബീജഗണിതപരമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിലാണ് പ്രധാന ശ്രദ്ധ, ഇതിന് ചരിവ് ഏറ്റവും അത്യാവശ്യമാണ്.

9.2 ഒരു രേഖയുടെ ചരിവ്

ഒരു കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിലെ ഒരു രേഖ $x$-അക്ഷത്തോടൊപ്പം രണ്ട് കോണുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു, അവ പൂരകങ്ങളാണ്. $\theta$ എന്ന കോൺ (എന്ന് പറയാം) $l$ എന്ന രേഖ $x$-അക്ഷത്തിന്റെ ധനാത്മക ദിശയോടൊപ്പം ഉണ്ടാക്കുകയും എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ അളക്കപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നതാണ് ആ രേഖയുടെ ചായ്വ്. വ്യക്തമായും $0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}$ (ചിത്രം 9.2).

ചിത്രം 9.2

$x$-അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ അല്ലെങ്കിൽ $x$-അക്ഷവുമായി യോജിക്കുന്ന രേഖകൾക്ക് $0^{\circ}$ എന്ന ചായ്വ് ഉണ്ടെന്ന് നമ്മൾ നിരീക്ഷിക്കുന്നു. ഒരു ലംബ രേഖയുടെ ($y$-അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ അല്ലെങ്കിൽ അതുമായി യോജിക്കുന്ന) ചായ്വ് $90^{\circ}$ ആണ്.

നിർവ്വചനം 1 $\theta$ എന്നത് $l$ എന്ന രേഖയുടെ ചായ്വാണെങ്കിൽ, $\tan \theta$ എന്നതിനെ $l$ എന്ന രേഖയുടെ ചരിവ് അല്ലെങ്കിൽ ഗ്രേഡിയന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

$90^{\circ}$ എന്ന ചായ്വുള്ള ഒരു രേഖയുടെ ചരിവ് നിർവചിച്ചിട്ടില്ല. ഒരു രേഖയുടെ ചരിവ് $m$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

അങ്ങനെ, $m=\tan \theta, \theta \neq 90^{\circ}$ $x$-അക്ഷത്തിന്റെ ചരിവ് പൂജ്യവും $y$-അക്ഷത്തിന്റെ ചരിവ് നിർവചിച്ചിട്ടില്ലെന്നും നിരീക്ഷിക്കാം.

9.2.1 രേഖയിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ബിന്ദുക്കളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകുമ്പോൾ ഒരു രേഖയുടെ ചരിവ്

ഒരു രേഖയിൽ രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ നൽകുമ്പോൾ അത് പൂർണ്ണമായും നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് നമുക്കറിയാം. അതിനാൽ, രേഖയിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു രേഖയുടെ ചരിവ് കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങൾ തുടരുന്നു.

$P(x_1, y_1)$, $Q(x_2, y_2)$ എന്നിവ ലംബമല്ലാത്ത $l$ എന്ന രേഖയിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കളായിരിക്കട്ടെ, അതിന്റെ ചായ്വ് $\theta$ ആണ്. വ്യക്തമായും, $x_1 \neq x_2$, അല്ലെങ്കിൽ രേഖ $x$-അക്ഷത്തിന് ലംബമായിത്തീരുകയും അതിന്റെ ചരിവ് നിർവചിക്കപ്പെടാതിരിക്കുകയും ചെയ്യും. $l$ എന്ന രേഖയുടെ ചായ്വ് ന്യൂനമോ അധികമോ ആകാം. നമുക്ക് ഈ രണ്ട് കേസുകളും എടുക്കാം.

$QR$ എന്ന ലംബം $x$-അക്ഷത്തിലേക്കും $PM$ എന്ന ലംബം $RQ$ ലേക്കും വരയ്ക്കുക, ചിത്രങ്ങൾ 9.3 (i), (ii) എന്നിവയിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ.

കേസ് 1 കോൺ $\theta$ ന്യൂനമാകുമ്പോൾ:

ചിത്രം 9.3

(i) ൽ, $\angle MPQ=\theta \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

അതിനാൽ, $l=m=\tan \theta$ എന്ന രേഖയുടെ ചരിവ്.

എന്നാൽ $\triangle MPQ$ ൽ, നമുക്ക് $\tan \theta=\frac{MQ}{MP}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2)$ ഉണ്ട്

സമവാക്യങ്ങൾ (1), (2) എന്നിവയിൽ നിന്ന്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $

കേസ് II കോൺ $\theta$ അധികമാകുമ്പോൾ:

ചിത്രം 9.3

(ii) ൽ, നമുക്ക് $\angle MPQ=180^{\circ}-\theta$ ഉണ്ട്.

അതിനാൽ, $\theta=180^{\circ}-\angle MPQ$.

ഇപ്പോൾ, $l=m=\tan \theta$ എന്ന രേഖയുടെ ചരിവ്.

$$ \begin{aligned} & =\tan \left(180^{\circ}-\angle \mathrm{MPQ}\right) \\ & =-\tan \angle \mathrm{MPQ} \\ & =-\frac{\mathrm{MQ}}{\mathrm{MP}}=-\frac{y _{2}-y _{1}}{x _{1}-x _{2}}=\frac{y _{2}-y _{1}}{x _{2}-x _{1}} . \end{aligned} $$

തൽഫലമായി, രണ്ട് കേസുകളിലും $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന രേഖയുടെ ചരിവ് $m$ $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ നൽകുന്നുവെന്ന് നമ്മൾ കാണുന്നു.

9.2.2 രേഖകളുടെ സമാന്തരതയുടെയും ലംബതയുടെയും വ്യവസ്ഥകൾ അവയുടെ ചരിവുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ

ഒരു കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ, ലംബമല്ലാത്ത രേഖകൾ $l_1$, $l_2$ എന്നിവയ്ക്ക് യഥാക്രമം $m_1$, $m_2$ എന്നീ ചരിവുകൾ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. അവയുടെ ചായ്വുകൾ യഥാക്രമം $\alpha$, $\beta$ എന്നിവയായിരിക്കട്ടെ. $\boldsymbol{l_1}$ എന്ന രേഖ $\boldsymbol{l_2}$ ന് സമാന്തരമാണെങ്കിൽ (ചിത്രം 9.4), അവയുടെ ചായ്വുകൾ തുല്യമാണ്, അതായത്,

ചിത്രം 9.4

$ \alpha=\beta, \text{ അതിനാൽ, } \tan \alpha=\tan \beta $

അതിനാൽ $\quad m _{1}=m _{2}$, അതായത്, അവയുടെ ചരിവുകൾ തുല്യമാണ്.

വിപരീതമായി, രണ്ട് രേഖകൾ $l_1$, $l_2$ എന്നിവയുടെ ചരിവ് ഒന്നുതന്നെയാണെങ്കിൽ, അതായത്,

$$ m_1=m_2 $$

അപ്പോൾ

$$ \tan \alpha=\tan \beta \text{. } $$

ടാൻജെന്റ് ഫംഗ്ഷന്റെ സവിശേഷത പ്രകാരം ($0^{\circ}$, $180^{\circ}$ എന്നിവയ്ക്കിടയിൽ), $\alpha=\beta$.

അതിനാൽ, രേഖകൾ സമാന്തരമാണ്.

അതിനാൽ, രണ്ട് ലംബമല്ലാത്ത രേഖകൾ $l_1$, $l_2$ എന്നിവ സമാന്തരമാണ്, അവയുടെ ചരിവുകൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം.

$ \boldsymbol{l_1 } $, $\boldsymbol{l_2 } $ എന്നീ രേഖകൾ പരസ്പരം ലംബമാണെങ്കിൽ (ചിത്രം 9.5), $\beta=\alpha+90^{\circ}$.

ചിത്രം 9.5

അതിനാൽ, $\quad \tan \beta=\tan (\alpha+90^{\circ})$

$$ =-\cot \alpha=-\frac{1}{\tan \alpha} $$

അതായത്, $\quad m_2=-\frac{1}{m_1}$ അല്ലെങ്കിൽ $\quad m_1 m_2=-1$

വിപരീതമായി, $m_1 m_2=-1$ ആണെങ്കിൽ, അതായത്, $\tan \alpha \tan \beta=-1$.

അപ്പോൾ $\tan \alpha=-\cot \beta=\tan (\beta+90^{\circ})$ അല്ലെങ്കിൽ $\tan (\beta-90^{\circ})$

അതിനാൽ, $\alpha$, $\beta$ എന്നിവ $90^{\circ}$ കൊണ്ട് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

അങ്ങനെ, രേഖകൾ $l_1$, $l_2$ എന്നിവ പരസ്പരം ലംബമാണ്.

അതിനാൽ, രണ്ട് ലംബമല്ലാത്ത രേഖകൾ പരസ്പരം ലംബമാണ്, അവയുടെ ചരിവുകൾ പരസ്പരം നെഗറ്റീവ് വ്യുൽക്രമങ്ങളാണെങ്കിൽ മാത്രം,

അതായത്, $\quad m_2=-\frac{1}{m_1}$ അല്ലെങ്കിൽ, $m_1 m_2=-1$.

നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1 ഇനിപ്പറയുന്ന രേഖകളുടെ ചരിവ് കണ്ടെത്തുക:

(a) $(3,-2)$, $(-1,4)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നത്,

(b) $(3,-2)$, $(7,-2)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നത്,

(c) $(3,-2)$, $(3,4)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നത്,

(d) $60^{\circ}$ എന്ന ചായ്വ് $x$-അക്ഷത്തിന്റെ ധനാത്മക ദിശയോടൊപ്പം ഉണ്ടാക്കുന്നത്.

പരിഹാരം (a) $(3,-2)$, $(-1,4)$ എന്നിവയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന രേഖയുടെ ചരിവ്

$$ m=\frac{4-(-2)}{-1-3}=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2} $$

(b) $(3,-2)$, $(7,-2)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന രേഖയുടെ ചരിവ്

$$ m=\frac{-2-(-2)}{7-3}=\frac{0}{4}=0 $$

(c) $(3,-2)$, $(3,4)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന രേഖയുടെ ചരിവ്

$ m=\frac{4-(-2)}{3-3}=\frac{6}{0} \text{, ഇത് നിർവചിച്ചിട്ടില്ല. } $

(d) ഇവിടെ രേഖയുടെ ചായ്വ് $\alpha=60^{\circ}$. അതിനാൽ, രേഖയുടെ ചരിവ്

$$ m=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3} \text{. } $$

9.2.3 രണ്ട് രേഖകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ

ഒരു തലത്തിൽ ഒന്നിൽ കൂടുതൽ രേഖകളെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കുമ്പോൾ, ഈ രേഖകൾ ഒന്നുകിൽ വിഭജിക്കുന്നതോ സമാന്തരമോ ആണെന്ന് നമ്മൾ കാണുന്നു. ഇവിടെ നമ്മൾ രണ്ട് രേഖകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ അവയുടെ ചരിവുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ചർച്ച ചെയ്യും.

$L_1$, $L_2$ എന്നിവ യഥാക്രമം $m_1$, $m_2$ എന്നീ ചരിവുകളുള്ള രണ്ട് ലംബമല്ലാത്ത രേഖകളായിരിക്കട്ടെ. $\alpha_1$, $\alpha_2$ എന്നിവ യഥാക്രമം $L_1$, $L_2$ എന്നീ രേഖകളുടെ ചായ്വുകളാണെങ്കിൽ. അപ്പോൾ

$$ m_1=\tan \alpha_1 \text{ and } m_2=\tan \alpha_2 . $$

രണ്ട് രേഖകൾ പരസ്പരം വിഭജിക്കുമ്പോൾ, അവ രണ്ട് ജോഡി ലംബവിപരീത കോണുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നുവെന്നും ഏതെങ്കിലും രണ്ട് അടുത്തടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക $180^{\circ}$ ആണെന്നും നമുക്കറിയാം. $\theta$, $\phi$ എന്നിവ $L_1$, $L_2$ എന്നീ രേഖകൾ തമ്മിലുള്ള അടുത്തടുത്തുള്ള കോണുകളായിരിക്കട്ടെ (ചിത്രം 9.6). അപ്പോൾ

ചിത്രം 9.6

$$ \theta=\alpha_2-\alpha_1 \text{ and } \alpha_1, \alpha_2 \neq 90^{\circ} \text{. } $$

അതിനാൽ $\tan \theta=\tan (\alpha_2-\alpha_1)=\frac{\tan \alpha_2-\tan \alpha_1}{1+\tan \alpha_1 \tan \alpha_2}=\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \quad(.$, കാരണം $.1+m_1 m_2 \neq 0)$, $\phi=180^{\circ}-\theta$

അതിനാൽ $\tan \phi=\tan (180^{\circ}-\theta)=-\tan \theta=-\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$, കാരണം $1+m_1 m_2 \neq 0$

ഇപ്പോൾ, രണ്ട് കേസുകൾ ഉയർന്നുവരുന്നു:

കേസ് I $\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$ ധനാത്മകമാണെങ്കിൽ, $\tan \theta$ ധനാത്മകവും $\tan \phi$ ഋണാത്മകവുമായിരിക്കും, അതായത് $\theta$ ന്യൂനവും $\phi$ അധികവുമായിരിക്കും.

കേസ് II $\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$ ഋണാത്മകമാണെങ്കിൽ, $\tan \theta$ ഋണാത്മകവും $\tan \phi$ ധനാത്മകവുമായിരിക്കും, അതായത് $\theta$ അധികവും $\phi$ ന്യൂനവുമായിരിക്കും.

അങ്ങനെ, യഥാക്രമം $m_1$, $m_2$ എന്നീ ചരിവുകളുള്ള $L_1$, $L_2$ എന്നീ രേഖകൾ തമ്മിലുള്ള ന്യൂനകോൺ ($\theta$ എന്ന് പറയാം) നൽകുന്നത്

$ \tan \theta=|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}|, \text{ കാരണം } 1+m_1 m_2 \neq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1) $

അധികകോൺ ($\phi$ എന്ന് പറയാം) $\phi=180^{\circ}-\theta$ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം.

ഉദാഹരണം 2 രണ്ട് രേഖകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ $\frac{\pi}{4}$ ഉം അതിലൊരു രേഖയുടെ ചരിവ് $\frac{1}{2}$ ഉം ആണെങ്കിൽ, മറ്റേ രേഖയുടെ ചരിവ് കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം യഥാക്രമം $m_1$, $m_2$ എന്നീ ചരിവുകളുള്ള രണ്ട് രേഖകൾ തമ്മിലുള്ള ന്യൂനകോൺ $\theta$ നൽകുന്നത്

$\quad \tan \theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \right| \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1)$

$m_1=\frac{1}{2}, m_2=m$, $\theta=\frac{\pi}{4}$ എന്നിവ ആയിരിക്കട്ടെ.

ഇപ്പോൾ, ഈ മൂല്യങ്ങൾ (1) ൽ ഇടുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$$ \tan \frac{\pi}{4}=\left|\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}\right| \text{ or } 1=\left|\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}\right| $$

ഇത് $\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}=1$ അല്ലെങ്കിൽ $\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}=-1$ നൽകുന്നു.

അതിനാൽ $m=3$ അല്ലെങ്കിൽ $m=-\frac{1}{3}$.

അതിനാൽ, മറ്റേ രേഖയുടെ ചരിവ് 3 അല്ലെങ്കിൽ $-\frac{1}{3}$ ആണ്. രണ്ട് ഉത്തരങ്ങളുടെ കാരണം ചിത്രം 9.7 വിശദീകരിക്കുന്നു.

ചിത്രം 9.7

ഉദാഹരണം 3 $(-2,6)$, $(4,8)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന രേഖ $(8,12)$, $(x, 24)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന രേഖയ്ക്ക് ലംബമാണ്. $x$ ന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം $(-2,6)$, $(4,8)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന രേഖയുടെ ചരിവ്

$ m_1=\frac{8-6}{4-(-2)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} $

$(8,12)$, $(x, 24)$ എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന രേഖയുടെ ചരിവ്

$ m_2=\frac{24-12}{x-8}=\frac{12}{x-8} $

രണ്ട് രേഖകളും പരസ്പരം ലംബമായതിനാൽ, $m_1 m_2=-1$, ഇത് നൽകുന്നത്

$$ \frac{1}{3} \times \frac{12}{x-8}=-1 \text{ or } x=4 \text{. } $$

9.3 ഒരു രേഖയുടെ സമവാക്യത്തിന്റെ വിവിധ രൂപങ്ങൾ

ഒരു തലത്തിലെ ഓരോ രേഖയിലും അനന്തമായ പല ബിന്ദുക്കൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്കറിയാം. രേഖയും ബിന്ദുക്കളും തമ്മിലുള്ള ഈ ബന്ധം ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ നമ്മെ നയിക്കുന്നു:

ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദു നൽകിയിരിക്കുന്ന രേഖയിൽ കിടക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് എങ്ങനെ പറയാം? അതിനുള്ള ഉത്തരം ഇതായിരിക്കാം: ഒരു നിശ്ചിത രേഖയ്ക്ക്, ആ രേഖയിൽ കിടക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളിൽ ഒരു നിശ്ചിത വ്യവസ്ഥ ഉണ്ടായിരിക്കണം. $P(x, y)$ XY-തലത്തിലെ ഒരു ഏകപക്ഷീയ ബ