13.1 ആമുഖം

നമ്മുടെ ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ നാം പലതരം ചലനങ്ങളെ കാണാറുണ്ട്. അവയിൽ ചിലതിനെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾ ഇതിനകം പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, രേഖീയ ചലനവും പ്രൊജക്ടൈലിന്റെ ചലനവും. ഈ രണ്ട് ചലനങ്ങളും ആവർത്തനരഹിതമാണ്. സമവൃത്ത ചലനത്തെക്കുറിച്ചും സൗരയൂഥത്തിലെ ഗ്രഹങ്ങളുടെ ഭ്രമണപഥ ചലനത്തെക്കുറിച്ചും നമ്മൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഈ സാഹചര്യങ്ങളിൽ, ചലനം ഒരു നിശ്ചിത സമയ ഇടവേളയ്ക്ക് ശേഷം ആവർത്തിക്കപ്പെടുന്നു, അതായത്, അത് ആവർത്തനാത്മകമാണ്. നിങ്ങളുടെ ബാല്യകാലത്ത്, ഒരു തൊട്ടിലിൽ ആടുകയോ ഒരു ഊഞ്ഞാലിൽ ആടുകയോ ചെയ്ത് നിങ്ങൾ ആനന്ദിച്ചിട്ടുണ്ടാകും. ഈ രണ്ട് ചലനങ്ങളും സ്വഭാവത്തിൽ ആവർത്തനാത്മകമാണ്, പക്ഷേ ഒരു ഗ്രഹത്തിന്റെ ആവർത്തനാത്മക ചലനത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. ഇവിടെ, വസ്തു ഒരു മധ്യസ്ഥാനത്തിന് ചുറ്റും മുന്നോട്ടും പിന്നോട്ടും നീങ്ങുന്നു. ഒരു മതിൽ ഘടികാരത്തിന്റെ ലോലകം സമാനമായ ഒരു ചലനം നടത്തുന്നു. ഇത്തരത്തിലുള്ള ആവർത്തനാത്മകമായ മുന്നോട്ടും പിന്നോട്ടുമുള്ള ചലനത്തിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ധാരാളമുണ്ട്: ഒരു നദിയിൽ മുകളിലേക്കും താഴേക്കും ആടുന്ന ഒരു ബോട്ട്, ഒരു നീരാവി എഞ്ചിനിലെ പിസ്റ്റൺ മുന്നോട്ടും പിന്നോട്ടും പോകുന്നത് മുതലായവ. അത്തരമൊരു ചലനത്തെ ആവർത്തനചലനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ നമ്മൾ ഈ ചലനം പഠിക്കുന്നു.

ആവർത്തനചലനത്തിന്റെ പഠനം ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിന് അടിസ്ഥാനപരമാണ്; പല ഭൗതിക പ്രതിഭാസങ്ങളെയും മനസ്സിലാക്കാൻ അതിന്റെ ആശയങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്. സിതാർ, ഗിത്താർ അല്ലെങ്കിൽ വയലിൻ തുടങ്ങിയ സംഗീതോപകരണങ്ങളിൽ, രമ്യമായ ശബ്ദങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കുന്ന വൈബ്രേറ്റിംഗ് സ്ട്രിംഗുകളെ നാം കാണുന്നു. ഡ്രമ്മുകളിലെ മെംബ്രെയ്നുകളും ടെലിഫോൺ, സ്പീക്കർ സിസ്റ്റങ്ങളിലെ ഡയഫ്രങ്ങളും അവയുടെ മധ്യസ്ഥാനങ്ങളെ ചുറ്റി മുന്നോട്ടും പിന്നോട്ടും വിറയ്ക്കുന്നു. വായു തന്മാത്രകളുടെ കമ്പനം ശബ്ദത്തിന്റെ പ്രചരണം സാധ്യമാക്കുന്നു. ഒരു ഖരവസ്തുവിൽ, അണുക്കൾ അവയുടെ സന്തുലിതാവസ്ഥാ സ്ഥാനങ്ങളെ ചുറ്റി വിറയ്ക്കുന്നു, കമ്പനങ്ങളുടെ ശരാശരി ഊർജ്ജം താപനിലയ്ക്ക് ആനുപാതികമാണ്. എസി വൈദ്യുതി വിതരണം മധ്യമ മൂല്യത്തിന് (പൂജ്യം) ചുറ്റും ക്രമാനുഗതമായി പോസിറ്റീവും നെഗറ്റീവുമായി മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന വോൾട്ടേജ് നൽകുന്നു.

ഒരു ആവർത്തനാത്മക ചലനത്തിന്റെ വിവരണം, പൊതുവേ, ആവർത്തനചലനത്തിന്റെ, പ്രത്യേകിച്ചും, കാലാവധി, ആവൃത്തി, സ്ഥാനാന്തരം, വ്യാപ്തി, ഫേസ് തുടങ്ങിയ ചില അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്. ഈ ആശയങ്ങൾ അടുത്ത ഭാഗത്തിൽ വികസിപ്പിച്ചെടുക്കുന്നു.

13.2 ആവർത്തനാത്മകവും ആവർത്തനാത്മകവുമായ ചലനങ്ങൾ

ചിത്രം 13.1 ചില ആവർത്തനാത്മക ചലനങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു. ഒരു പ്രാണി ഒരു റാമ്പ് കയറി താഴെ വീഴുന്നുവെന്ന് കരുതുക, അത് പ്രാരംഭ ബിന്ദുവിലേക്ക് മടങ്ങുകയും പ്രക്രിയ സമാനമായി ആവർത്തിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. നിങ്ങൾ അതിന്റെ നിലത്തുനിന്നുള്ള ഉയരത്തിന്റെ ഗ്രാഫ് സമയത്തിനെതിരായി വരച്ചാൽ, അത് ചിത്രം 13.1 (a) പോലെ കാണപ്പെടും. ഒരു കുട്ടി ഒരു പടി കയറി, താഴെയിറങ്ങി, പ്രക്രിയ സമാനമായി ആവർത്തിച്ചാൽ, നിലത്തുനിന്നുള്ള അതിന്റെ ഉയരം ചിത്രം 13.1 (b) ലെതുപോലെയായിരിക്കും. നിങ്ങളുടെ ഉള്ളങ്കയ്യും നിലവുമായി നിലത്തുനിന്ന് ഒരു പന്ത് ബൗൺസ് ചെയ്യുന്ന ഗെയിം കളിക്കുമ്പോൾ, അതിന്റെ ഉയരം ബന്ധപ്പെട്ട സമയ ഗ്രാഫ് ചിത്രം 13.1 (c) ലെതുപോലെയായിരിക്കും. ചിത്രം 13.1 (c) ലെ വളഞ്ഞ ഭാഗങ്ങൾ രണ്ടും ന്യൂട്ടന്റെ ചലന സമവാക്യം അനുസരിച്ച് (സെക്ഷൻ 2.6 കാണുക) നൽകിയിരിക്കുന്ന ഒരു പരാബോളയുടെ ഭാഗങ്ങളാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക,

താഴോട്ടുള്ള ചലനത്തിന് $h=u t+\frac{1}{2} g t^{2}$, കൂടാതെ

മുകളിലേക്കുള്ള ചലനത്തിന് $h=u t-\frac{1}{2} g t^{2}$,

ഓരോ കേസിലും വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങളുള്ള $u$. ഇവ ആവർത്തനാത്മക ചലനത്തിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്. അങ്ങനെ, സമയത്തിന്റെ സാധാരണ ഇടവേളകളിൽ ആവർത്തിക്കുന്ന ഒരു ചലനത്തെ ആവർത്തനാത്മക ചലനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ചിത്രം 13.1 ആവർത്തനാത്മക ചലനത്തിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ. ഓരോ കേസിലും കാണിച്ചിരിക്കുന്ന കാലാവധി T.

പലപ്പോഴും, ആവർത്തനാത്മക ചലനത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ശരീരത്തിന് അതിന്റെ പാതയ്ക്കുള്ളിൽ എവിടെയോ ഒരു സന്തുലിതാവസ്ഥാ സ്ഥാനമുണ്ട്. ശരീരം ഈ സ്ഥാനത്ത് ആയിരിക്കുമ്പോൾ അതിൽ ബാഹ്യബലം പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ല. അതിനാൽ, അത് അവിടെ വിശ്രമത്തിൽ വിട്ടാൽ, അത് അവിടെ എന്നെന്നേക്കുമായി നിലനിൽക്കും. ശരീരത്തിന് സ്ഥാനത്ത് നിന്ന് ഒരു ചെറിയ സ്ഥാനാന്തരം നൽകിയാൽ, ശരീരത്തെ സന്തുലിതാവസ്ഥാ ബിന്ദുവിലേക്ക് തിരികെ കൊണ്ടുവരാൻ ശ്രമിക്കുന്ന ഒരു ബലം പ്രവർത്തനത്തിൽ വരുന്നു, ഇത് ആവർത്തനങ്ങളോ കമ്പനങ്ങളോ ഉണ്ടാക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പാത്രത്തിൽ വെച്ച ഒരു പന്ത് അടിയിൽ സന്തുലിതാവസ്ഥയിലായിരിക്കും. ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് അല്പം സ്ഥാനചലനം വരുത്തിയാൽ, അത് പാത്രത്തിൽ ആവർത്തനങ്ങൾ നടത്തും. എല്ലാ ആവർത്തനചലനവും ആവർത്തനാത്മകമാണ്, പക്ഷേ എല്ലാ ആവർത്തനാത്മക ചലനവും ആവർത്തനാത്മകമായിരിക്കണമെന്നില്ല. വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചലനം ഒരു ആവർത്തനാത്മക ചലനമാണ്, പക്ഷേ അത് ആവർത്തനാത്മകമല്ല.

ആവർത്തനങ്ങൾക്കും കമ്പനങ്ങൾക്കും ഇടയിൽ കാര്യമായ വ്യത്യാസമില്ല. ആവൃത്തി കുറവാകുമ്പോൾ നമ്മൾ അതിനെ ആവർത്തനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു (ഒരു മരത്തിന്റെ ശാഖയുടെ ആവർത്തനം പോലെ), ആവൃത്തി ഉയർന്നപ്പോൾ നമ്മൾ അതിനെ വൈബ്രേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു (ഒരു സംഗീതോപകരണത്തിന്റെ സ്ട്രിംഗിന്റെ വൈബ്രേഷൻ പോലെ).

ലഘുഹാര്മോണിക് ചലനം ആവർത്തനചലനത്തിന്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപമാണ്. ആവർത്തിക്കുന്ന ശരീരത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ബലം അതിന്റെ മധ്യസ്ഥാനത്തിൽ നിന്നുള്ള സ്ഥാനാന്തരത്തിന് നേരിട്ട് ആനുപാതികമാകുമ്പോൾ ഈ ചലനം ഉണ്ടാകുന്നു, അത് സന്തുലിതാവസ്ഥാ സ്ഥാനവുമാണ്. കൂടാതെ, അതിന്റെ ആവർത്തനത്തിലെ ഏത് ബിന്ദുവിലും, ഈ ബലം മധ്യസ്ഥാനത്തിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു.

പ്രായോഗികമായി, ഘർഷണം മറ്റ് ഡിസിപേറ്റീവ് കാരണങ്ങൾ മൂലമുള്ള ഡാമ്പിംഗ് കാരണം ആവർത്തിക്കുന്ന ശരീരങ്ങൾ ഒടുവിൽ അവയുടെ സന്തുലിതാവസ്ഥാ സ്ഥാനങ്ങളിൽ വിശ്രമിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ചില ബാഹ്യ ആവർത്തനാത്മക ഏജൻസികളുടെ സഹായത്തോടെ അവയെ ആവർത്തിക്കുന്നതായി നിലനിർത്താൻ നിർബന്ധിക്കാം. ഡാമ്പ്ഡ്, ഫോഴ്സ്ഡ് ആസിലേഷനുകളുടെ പ്രതിഭാസങ്ങൾ ഞങ്ങൾ അദ്ധ്യായത്തിന്റെ പിന്നീടുള്ള ഭാഗത്ത് ചർച്ച ചെയ്യുന്നു.

ഏത് മെറ്റീരിയൽ മീഡിയയെയും ധാരാളം കപ്ല്ഡ് ഓസിലേറ്ററുകളുടെ ഒരു ശേഖരമായി ചിത്രീകരിക്കാം. ഒരു മാധ്യമത്തിന്റെ ഘടകങ്ങളുടെ കൂട്ടായ ആവർത്തനങ്ങൾ തരംഗങ്ങളായി പ്രകടമാകുന്നു. തരംഗങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ജല തരംഗങ്ങൾ, സീസ്മിക് തരംഗങ്ങൾ, വൈദ്യുതകാന്തിക തരംഗങ്ങൾ എന്നിവ ഉൾപ്പെടുന്നു. അടുത്ത അദ്ധ്യായത്തിൽ നമ്മൾ തരംഗ പ്രതിഭാസം പഠിക്കും.

13.2.1 കാലാവധിയും ആവൃത്തിയും

സമയത്തിന്റെ സാധാരണ ഇടവേളകളിൽ ആവർത്തിക്കുന്ന ഏത് ചലനത്തെയും ആവർത്തനാത്മക ചലനം എന്ന് വിളിക്കുന്നുവെന്ന് നമ്മൾ കണ്ടിട്ടുണ്ട്. ചലനം ആവർത്തിക്കുന്നതിന് മുമ്പുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ സമയ ഇടവേളയെ അതിന്റെ കാലാവധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. കാലാവധിയെ $T$ എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കാം. അതിന്റെ SI യൂണിറ്റ് സെക്കൻഡ് ആണ്. ആവർത്തനാത്മക ചലനങ്ങൾക്ക്, സെക്കൻഡിന്റെ സ്കെയിലിൽ വളരെ വേഗത്തിലോ വളരെ മന്ദഗതിയിലോ ഉള്ളവയ്ക്ക്, സമയത്തിന്റെ മറ്റ് സൗകര്യപ്രദമായ യൂണിറ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഒരു ക്വാർട്സ് ക്രിസ്റ്റലിന്റെ കമ്പനങ്ങളുടെ കാലാവധി മൈക്രോസെക്കൻഡ് $\left(10^{-6} \mathrm{~s}\right)$ യൂണിറ്റുകളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, $\mu \mathrm{s}$ എന്ന് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു. മറുവശത്ത്, ഗ്രഹം ബുധന്റെ ഭ്രമണപഥ കാലാവധി 88 ഭൗമ ദിവസങ്ങളാണ്. ഹാലിയുടെ ധൂമകേതു ഓരോ 76 വർഷത്തിലും പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു.

$T$ ന്റെ പരസ്പര ബന്ധം യൂണിറ്റ് സമയത്തിൽ സംഭവിക്കുന്ന ആവർത്തനങ്ങളുടെ എണ്ണം നൽകുന്നു. ഈ അളവിനെ ആവർത്തനാത്മക ചലനത്തിന്റെ ആവൃത്തി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇത് $v$ എന്ന ചിഹ്നത്താൽ പ്രതിനിധീകരിക്കപ്പെടുന്നു. $v$, $T$ എന്നിവയ്ക്കിടയിലുള്ള ബന്ധം

$$ \begin{equation*} v=1 / T \tag{13.1} \end{equation*} $$

$v$ ന്റെ യൂണിറ്റ് അങ്ങനെ $\mathrm{s}^{-1}$ ആണ്. റേഡിയോ തരംഗങ്ങളുടെ കണ്ടെത്തലിന് ശേഷം, ഹെൻറിച്ച് റുഡോൾഫ് ഹെർട്സ് (1857-1894), ആവൃത്തിയുടെ യൂണിറ്റിന് ഒരു പ്രത്യേക പേര് നൽകിയിട്ടുണ്ട്. ഇതിനെ ഹെർട്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു ($\mathrm{Hz}$ എന്ന് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു). അങ്ങനെ,

1 ഹെർട്സ് $=1 \mathrm{~Hz}=1$ സെക്കൻഡിൽ ആവർത്തനം $=1 \mathrm{~s}^{-1}$

$v$ എന്ന ആവൃത്തി ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയായിരിക്കണമെന്നില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

ഉദാഹരണം 13.1 ശരാശരി, ഒരു മനുഷ്യ ഹൃദയം ഒരു മിനിറ്റിൽ 75 തവണ സ്പന്ദിക്കുന്നതായി കണ്ടെത്തി. അതിന്റെ ആവൃത്തിയും കാലാവധിയും കണക്കാക്കുക.

ഉത്തരം ഹൃദയത്തിന്റെ സ്പന്ദന ആവൃത്തി $=75 /(1 \mathrm{~min})$

$$ \begin{aligned} & =75 /(60 \mathrm{~s}) \\ & =1.25 \mathrm{~s}^{-1} \\ & =1.25 \mathrm{~Hz} \\ \text { The time period } T \quad & =1 /\left(1.25 \mathrm{~s}^{-1}\right) \\ & =0.8 \mathrm{~s} \end{aligned} $$

13.2.2 സ്ഥാനാന്തരം

സെക്ഷൻ 3.2 ൽ, ഒരു കണത്തിന്റെ സ്ഥാനാന്തരത്തെ അതിന്റെ സ്ഥാന വെക്റ്ററിലെ മാറ്റമായി ഞങ്ങൾ നിർവചിച്ചു. ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, നമ്മൾ സ്ഥാനാന്തരം എന്ന പദം കൂടുതൽ വിശാലമായ അർത്ഥത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു. പരിഗണനയിലുള്ള ഏതെങ്കിലും ഭൗതിക സ്വഭാവത്തിന്റെ സമയത്തിനനുസരിച്ചുള്ള മാറ്റത്തെ ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഉപരിതലത്തിൽ ഉരുക്ക് പന്തിന്റെ രേഖീയ ചലനത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ, ആരംഭ ബിന്ദുവിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം സമയത്തിന്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷനായി അതിന്റെ സ്ഥാന സ്ഥാനാന്തരമാണ്. ഉത്ഭവത്തിന്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് ഒരു സൗകര്യത്തിന്റെ കാര്യമാണ്. ഒരു സ്പ്രിംഗിൽ ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ബ്ലോക്ക് പരിഗണിക്കുക, സ്പ്രിംഗിന്റെ മറ്റേ അറ്റം ഒരു കഠിനമായ മതിലിൽ ഉറപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു [ചിത്രം 13.2(a) കാണുക]. സാധാരണയായി, ശരീരത്തിന്റെ സ്ഥാനാന്തരം അതിന്റെ സന്തുലിതാവസ്ഥാ സ്ഥാനത്ത് നിന്ന് അളക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഒരു ആവർത്തിക്കുന്ന ലഘുലോലകത്തിന്, ലംബത്തിൽ നിന്നുള്ള കോൺ സമയത്തിന്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷനായി ഒരു സ്ഥാനാന്തര വേരിയബിളായി കണക്കാക്കാം [ചിത്രം 13.2(b) കാണുക]. സ്ഥാനാന്തരം എന്ന പദം എല്ലായ്പ്പോഴും സ്ഥാനത്തിന്റെ സന്ദർഭത്തിൽ മാത്രമല്ല, റഫർ ചെയ്യേണ്ടത്. മറ്റ് പല തരത്തിലുള്ള സ്ഥാനാന്തര വേരിയബിളുകൾ ഉണ്ടാകാം. ഒരു കപ്പാസിറ്ററിലുടനീളമുള്ള വോൾട്ടേജ്, ഒരു $\mathrm{AC}$ സർക്യൂട്ടിൽ സമയത്തിനനുസരിച്ച് മാറുന്നത്, ഒരു സ്ഥാനാന്തര വേരിയബിളും ആണ്. അതേ രീതിയിൽ, ശബ്ദ തരംഗത്തിന്റെ പ്രചരണത്തിൽ സമയത്തിലെ മർദ്ദ വ്യതിയാനങ്ങൾ, ഒരു പ്രകാശ തരംഗത്തിലെ വ്യത്യസ്ത വൈദ്യുത, കാന്തികക്ഷേത്രങ്ങൾ എന്നിവ വ്യത്യസ്ത സന്ദർഭങ്ങളിലെ സ്ഥാനാന്തരത്തിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്. സ്ഥാനാന്തര വേരിയബിൾ പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് രണ്ട് മൂല്യങ്ങളും എടുക്കാം. ആവർത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പരീക്ഷണങ്ങളിൽ, വ്യത്യസ്ത സമയങ്ങളിൽ സ്ഥാനാന്തരം അളക്കുന്നു.

ചിത്രം 13.2(a) ഒരു സ്പ്രിംഗിൽ ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ബ്ലോക്ക്, അതിന്റെ മറ്റേ അറ്റം ഒരു കഠിനമായ മതിലിൽ ഉറപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ബ്ലോക്ക് ഒരു ഘർഷണരഹിത ഉപരിതലത്തിൽ നീങ്ങുന്നു. ബ്ലോക്കിന്റെ ചലനം അതിന്റെ സന്തുലിതാവസ്ഥാ സ്ഥാനത്ത് നിന്നുള്ള ദൂരം അല്ലെങ്കിൽ സ്ഥാനാന്തരം x എന്നിവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ വിവരിക്കാം.

ചിത്രം 13.2(b) ഒരു ആവർത്തിക്കുന്ന ലഘുലോലകം; ലംബത്തിൽ നിന്നുള്ള കോണീയ സ്ഥാനാന്തരം θ യുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ അതിന്റെ ചലനം വിവരിക്കാം.

സ്ഥാനാന്തരം സമയത്തിന്റെ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര ഫംഗ്ഷനാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ആവർത്തനാത്മക ചലനത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ, ഈ ഫംഗ്ഷൻ സമയത്തിൽ ആവർത്തനാത്മകമാണ്. ഏറ്റവും ലളിതമായ ആവർത്തനാത്മക ഫംഗ്ഷനുകളിൽ ഒന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്നത്

$$ \begin{equation*} f(t)=A \cos \omega t \tag{13.3a} \end{equation*} $$

ഈ ഫംഗ്ഷന്റെ ആർഗ്യുമെന്റ്, $\omega t$, $2 \pi$ റേഡിയൻസിന്റെ ഒരു അവിഭാജ്യ ഗുണിതം കൊണ്ട് വർദ്ധിപ്പിച്ചാൽ, ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം അതേപടി നിലനിൽക്കും. ഫംഗ്ഷൻ $f(t)$ ആവർത്തനാത്മകവും അതിന്റെ കാലാവധി, $T$, നൽകിയിരിക്കുന്നത്

$$ \begin{equation*} T=\frac{2 \pi}{\omega} \tag{13.3b} \end{equation*} $$

അങ്ങനെ, ഫംഗ്ഷൻ $f(t)$ കാലാവധി $T$ ഉള്ള ആവർത്തനാത്മകമാണ്,

$$ f(t)=f(t+T) $$

ഒരു സൈൻ ഫംഗ്ഷൻ, $f(t)=A \sin \omega t$ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ അതേ ഫലം വ്യക്തമായും ശരിയാണ്. കൂടാതെ, സൈൻ, കോസൈൻ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഒരു രേഖീയ സംയോജനം,

$$ \begin{equation*} f(t)=A \sin \omega t+B \cos \omega t \tag{13.3c} \end{equation*} $$

ഒരേ കാലാവധി $T$ ഉള്ള ഒരു ആവർത്തനാത്മക ഫംഗ്ഷനുമാണ്. എടുക്കുമ്പോൾ,

$$ A=D \cos \phi \text { and } B=D \sin \phi $$

Eq. (13.3c) ഇങ്ങനെ എഴുതാം,

$$ \begin{equation*} f(t)=D \sin (\omega t+\phi), \tag{13.3d} \end{equation*} $$

ഇവിടെ $D$, $\phi$ എന്നിവ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളാണ്

$$ D=\sqrt{A^{2}+B^{2}} \text { and } \varphi=\tan ^{-1} \frac{B}{A} $$

ആവർത്തനാത്മക സൈൻ, കോസൈൻ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ വലിയ പ്രാധാന്യം ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ജീൻ ബാപ്റ്റിസ്റ്റ് ജോസഫ് ഫോറിയർ (1768-1830) തെളിയിച്ച ഒരു ശ്രദ്ധേയമായ ഫലത്തിന് കാരണമാണ്: ഏത് ആവർത്തനാത്മക ഫംഗ്ഷനെയും വ്യത്യസ്ത സമയ കാലയളവുകളുള്ള സൈൻ, കോസൈൻ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ സൂപ്പർപോസിഷനായി ഉചിതമായ ഗുണകങ്ങളുമായി പ്രകടിപ്പിക്കാം.

ഉദാഹരണം 13.2 സമയത്തിന്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫംഗ്ഷനുകളിൽ ഏതാണ് (a) ആവർത്തനാത്മകവും (b) ആവർത്തനരഹിതവുമായ ചലനത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത്? ആവർത്തനാത്മക ചലനത്തിന്റെ ഓരോ കേസിലും കാലാവധി നൽകുക [$\omega$ ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് സ്ഥിരാങ്കമാണ്]

(i) $\sin \omega t+\cos \omega t$

(ii) $\sin \omega t+\cos 2 \omega t+\sin 4 \omega t$

(iii) $\mathrm{e}^{-\omega t}$

(iv) $\log (\omega t)$

ഉത്തരം

(i) $\sin \omega t+\cos \omega t$ ഒരു ആവർത്തനാത്മക ഫംഗ്ഷനാണ്, ഇത് $\sqrt{2} \sin (\omega t+\pi / 4)$ എന്നും എഴുതാം.

ഇപ്പോൾ $\sqrt{2} \sin (\omega t+\pi / 4)=\sqrt{2} \sin (\omega t+\pi / 4+2 \pi)$

$$=\sqrt{2} \sin [\omega(\mathrm{t}+2 \pi / \omega)+\pi / 4]$$

ഫംഗ്ഷന്റെ ആവർത്തന സമയം $2 \pi / \omega$ ആണ്.

(ii) ഇത്