2.1 ആമുഖം

ചലനം പ്രപഞ്ചത്തിലെ എല്ലാത്തിനും സാധാരണമാണ്. നാം നടക്കുന്നു, ഓടുന്നു, സൈക്കിൾ ഓടിക്കുന്നു. നാം ഉറങ്ങുമ്പോൾ പോലും വായു നമ്മുടെ ശ്വാസകോശങ്ങളിലേക്കും പുറത്തേക്കും ചലിക്കുന്നു, ധമനികളിലും സിരകളിലും രക്തം ഒഴുകുന്നു. മരങ്ങളിൽ നിന്ന് ഇലകൾ വീഴുന്നതും അണക്കെട്ടിൽ നിന്ന് വെള്ളം ഒഴുകുന്നതും നാം കാണുന്നു. ഓട്ടോമൊബൈലുകളും വിമാനങ്ങളും ആളുകളെ ഒരിടത്ത് നിന്ന് മറ്റൊരിടത്തേക്ക് കൊണ്ടുപോകുന്നു. ഭൂമി ഇരുപത്തിനാല് മണിക്കൂറിലൊരിക്കൽ ചുറ്റും, ഒരു വർഷത്തിലൊരിക്കൽ സൂര്യനെ ചുറ്റും. സൂര്യൻ തന്നെ ആകാശഗംഗയിൽ ചലനത്തിലാണ്, അത് തന്നെ അതിന്റെ പ്രാദേശിക ഗാലക്സി സമൂഹത്തിനുള്ളിൽ ചലിക്കുന്നു.

ചലനം എന്നത് ഒരു വസ്തുവിന്റെ സ്ഥാനം കാലത്തിനനുസരിച്ച് മാറുന്നതാണ്. സ്ഥാനം കാലത്തിനനുസരിച്ച് എങ്ങനെ മാറുന്നു? ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, ചലനത്തെ എങ്ങനെ വിവരിക്കാമെന്ന് നാം പഠിക്കും. ഇതിനായി, നാം പ്രവേഗത്തിന്റെയും ത്വരണത്തിന്റെയും ആശയങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കുന്നു. നാം വസ്തുക്കളുടെ ചലനം ഒരു നേർരേഖയിലൂടെ മാത്രമായി പഠിക്കും, ഇതിനെ റെക്റ്റിലീനിയർ ചലനം എന്നും വിളിക്കുന്നു. ഒരേപോലെയുള്ള ത്വരണത്തോടെയുള്ള നേർരേഖാ ചലനത്തിന്, ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം ലഭിക്കും. അവസാനമായി, ചലനത്തിന്റെ ആപേക്ഷിക സ്വഭാവം മനസ്സിലാക്കാൻ, നാം ആപേക്ഷിക പ്രവേഗത്തിന്റെ ആശയം പരിചയപ്പെടുത്തുന്നു.

നമ്മുടെ ചർച്ചകളിൽ, ചലനത്തിലുള്ള വസ്തുക്കളെ നാം ബിന്ദു വസ്തുക്കളായി കണക്കാക്കും. വസ്തുവിന്റെ വലിപ്പം അത് ഒരു യുക്തിസഹമായ സമയത്തിനുള്ളിൽ സഞ്ചരിക്കുന്ന ദൂരത്തേക്കാൾ വളരെ ചെറുതാണെങ്കിൽ ഈ ഏകദേശം സാധുവാണ്. യഥാർത്ഥ ജീവിതത്തിലെ പല സാഹചര്യങ്ങളിലും, വസ്തുക്കളുടെ വലിപ്പം അവഗണിക്കാവുന്നതാണ്, അവയെ വലിയ പിശകില്ലാതെ ബിന്ദു പോലുള്ള വസ്തുക്കളായി കണക്കാക്കാം. ചലനകാരണങ്ങളിലേക്ക് പോകാതെ ചലനത്തെ വിവരിക്കാനുള്ള വഴികൾ നാം ചലനശാസ്ത്രത്തിൽ പഠിക്കുന്നു. ഈ അദ്ധ്യായത്തിലും അടുത്ത അദ്ധ്യായത്തിലും വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന ചലനത്തിന് കാരണമാകുന്നത് അദ്ധ്യായം 4-ന്റെ വിഷയമാണ്.

2.2 തൽക്ഷണ പ്രവേഗവും വേഗതയും

ശരാശരി പ്രവേഗം ഒരു വസ്തു ഒരു നിശ്ചിത സമയ ഇടവേളയിൽ എത്ര വേഗത്തിൽ ചലിച്ചുവെന്ന് നമ്മോട് പറയുന്നു, പക്ഷേ ആ ഇടവേളയിൽ വിവിധ സമയങ്ങളിൽ അത് എത്ര വേഗത്തിൽ ചലിക്കുന്നുവെന്ന് പറയുന്നില്ല. ഇതിനായി, നാം തൽക്ഷണ പ്രവേഗം അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി ഒരു നിമിഷം t-ൽ പ്രവേഗം v നിർവചിക്കുന്നു. ഒരു നിമിഷത്തിലെ പ്രവേഗം ശരാശരി പ്രവേഗത്തിന്റെ പരിധിയായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു, സമയ ഇടവേളം ${\Delta T}$ അനന്തമായി ചെറുതാകുമ്പോൾ. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ,

$\begin{aligned} v & =\lim _{\Delta \mathrm{t} \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \ & =\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\end{aligned}$

ഇവിടെ ചിഹ്നം lim ∆t→0 അതിന്റെ വലതുവശത്തുള്ള അളവിന്റെ ∆tg0 ആയി പരിധി എടുക്കുന്ന പ്രവർത്തനത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. കലനശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഭാഷയിൽ, സമവാക്യത്തിന്റെ (2.1a) വലതുവശത്തുള്ള അളവ് t-നെ സംബന്ധിച്ച് x-ന്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഗുണകമാണ്, അത് $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു (അനുബന്ധം 2.1 കാണുക). ഇത് ആ നിമിഷത്തിൽ, സമയത്തിനനുസരിച്ച് സ്ഥാനത്തിലുള്ള മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കാണ്.

സമവാക്യം (2.1a) ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഒരു നിമിഷത്തിലെ പ്രവേഗത്തിന്റെ മൂല്യം ഗ്രാഫിക്കലായോ സംഖ്യാപരമായോ ലഭിക്കും. ഗ്രാഫിക്കലായി t = 4 s (പോയിന്റ് P) സമയത്തെ പ്രവേഗത്തിന്റെ മൂല്യം ലഭിക്കണമെന്ന് കരുതുക, ചിത്രം 2.1-ൽ പ്രതിനിധീകരിച്ചിരിക്കുന്ന കാറിന്റെ ചലനത്തിനായി. നമുക്ക് ∆t = 2 s എടുക്കാം, t = 4 s-ൽ കേന്ദ്രീകരിച്ച്. അപ്പോൾ, ശരാശരി പ്രവേഗത്തിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, $P_1P_2$ എന്ന വരിയുടെ ചരിവ് (ചിത്രം 2.1) 3 s മുതൽ 5 s വരെയുള്ള ഇടവേളയിലെ ശരാശരി പ്രവേഗത്തിന്റെ മൂല്യം നൽകുന്നു.

ചിത്രം 2.1 സ്ഥാന-സമയ ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് പ്രവേഗം നിർണ്ണയിക്കുന്നു. t = 4 s-ൽ പ്രവേഗം ആ നിമിഷത്തിൽ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജന്റിന്റെ ചരിവാണ്.

ഇപ്പോൾ, നമ്മൾ $\Delta t$ ന്റെ മൂല്യം $2 \mathrm{~s}$ മുതൽ 1 s വരെ കുറയ്ക്കുന്നു. അപ്പോൾ $\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$ എന്ന വരി $\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$ ആയി മാറുന്നു, അതിന്റെ ചരിവ് $3.5 \mathrm{~s}$ മുതൽ $4.5 \mathrm{~s}$ വരെയുള്ള ഇടവേളയിലെ ശരാശരി പ്രവേഗത്തിന്റെ മൂല്യം നൽകുന്നു. പരിധിയിൽ $\Delta t \rightarrow 0$, $\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$ എന്ന വരി $\mathrm{P}$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ സ്ഥാന-സമയ വക്രത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജന്റ് ആയി മാറുന്നു, $t$ $=4 \mathrm{~s}$-ൽ പ്രവേഗം ആ ബിന്ദുവിലെ ടാൻജന്റിന്റെ ചരിവ് നൽകുന്നു. ഈ പ്രക്രിയ ഗ്രാഫിക്കലായി കാണിക്കാൻ പ്രയാസമാണ്. പക്ഷേ പ്രവേഗത്തിന്റെ മൂല്യം ലഭിക്കാൻ നമ്മൾ സംഖ്യാപരമായ രീതി ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പരിധി പ്രക്രിയയുടെ അർത്ഥം വ്യക്തമാകും. ചിത്രം 2.1-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഗ്രാഫിന്, $x=0.08 t^3$. പട്ടിക 2.1 $\Delta x / \Delta t$-ന്റെ മൂല്യം നൽകുന്നു, $\Delta t$ $2.0 \mathrm{~s}$, $1.0 \mathrm{~s}, 0.5 \mathrm{~s}, 0.1 \mathrm{~s}$, $0.01 \mathrm{~s}$ എന്നിവയ്ക്ക് തുല്യമായി കണക്കാക്കിയത്, $t=$ $4.0 \mathrm{~s}$-ൽ കേന്ദ്രീകരിച്ച്. രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും നിരകൾ $t_1=\left(t-\frac{\Delta t}{2}\right)$, $t_2=\left(t+\frac{\Delta t}{2}\right)$ എന്നിവയുടെ മൂല്യം നൽകുന്നു, നാലാമത്തെയും അഞ്ചാമത്തെയും നിരകൾ $x$-ന്റെ അനുബന്ധ മൂല്യങ്ങൾ നൽകുന്നു, അതായത് $x\left(t_1\right)=0.08 t_1^3$, $x\left(t_2\right)=0.08 t_2^3$. ആറാമത്തെ നിര വ്യത്യാസം $\Delta x=X\left(t_2\right)-X\left(t_1\right)$ പട്ടികപ്പെടുത്തുന്നു, അവസാന നിര $\Delta x$, $\Delta t$ എന്നിവയുടെ അനുപാതം നൽകുന്നു, അതായത് ആദ്യ നിരയിൽ പട്ടികപ്പെടുത്തിയ $\Delta t$-ന്റെ മൂല്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ശരാശരി പ്രവേഗം.

പട്ടിക 2.1 $\frac{\Delta x}{\Delta t}$-ന്റെ പരിമിത മൂല്യം $t=4 \mathrm{~s}$-ൽ

പട്ടിക 2.1-ൽ നിന്ന് നാം കാണുന്നത് പോലെ, നമ്മൾ $\Delta t$-ന്റെ മൂല്യം $2.0 \mathrm{~s}$ മുതൽ $0.010 \mathrm{~s}$ വരെ കുറയ്ക്കുമ്പോൾ, ശരാശരി പ്രവേഗത്തിന്റെ മൂല്യം പരിമിത മൂല്യമായ $3.84 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$-യെ സമീപിക്കുന്നു, അത് $t=4.0 \mathrm{~s}$-ൽ പ്രവേഗത്തിന്റെ മൂല്യമാണ്, അതായത് $\frac{d x}{d t}$-ന്റെ മൂല്യം $t=4.0 \mathrm{~s}$-ൽ. ഈ രീതിയിൽ, കാറിന്റെ ചലനത്തിന് ഓരോ നിമിഷത്തിലും പ്രവേഗം നമുക്ക് കണക്കാക്കാം.

തൽക്ഷണ പ്രവേഗം നിർണ്ണയിക്കാനുള്ള ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി എല്ലായ്പ്പോഴും സൗകര്യപ്രദമായ രീതിയല്ല. ഇതിനായി, നമ്മൾ സ്ഥാന-സമയ ഗ്രാഫ് ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വരച്ച് $\Delta t$ ചെറുതും ചെറുതുമാകുമ്പോൾ ശരാശരി പ്രവേഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കണം. വിവിധ നിമിഷങ്ങളിൽ സ്ഥാനങ്ങളുടെ ഡാറ്റയോ സമയത്തിന്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷനായി സ്ഥാനത്തിനുള്ള കൃത്യമായ പദപ്രയോഗമോ ഉണ്ടെങ്കിൽ വിവിധ നിമിഷങ്ങളിലെ പ്രവേഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. അപ്പോൾ, നമ്മൾ $\Delta x / \Delta t$ $\Delta t$-ന്റെ മൂല്യം കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കുകയും പട്ടിക 2.1-ൽ ചെയ്തതുപോലെ പരിമിത മൂല്യം കണ്ടെത്തുകയോ അല്ലെങ്കിൽ നൽകിയ പദപ്രയോഗത്തിന് ഡിഫറൻഷ്യൽ കലനം ഉപയോഗിക്കുകയും $\frac{d x}{d t}$ വിവിധ നിമിഷങ്ങളിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ ചെയ്തതുപോലെ കണക്കാക്കുകയോ ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം 2.1 x-അക്ഷത്തിലൂടെ ചലിക്കുന്ന ഒരു വസ്തുവിന്റെ സ്ഥാനം x = a + bt2 എന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്നു, ഇവിടെ a = 8.5 m, b = 2.5 m $s^{–2}$, t സെക്കൻഡിൽ അളക്കുന്നു. t = 0 s, t = 2.0 s എന്നിവയിൽ അതിന്റെ പ്രവേഗം എന്താണ്? t = 2.0 s, t = 4.0 s എന്നിവയ്ക്കിടയിലെ ശരാശരി പ്രവേഗം എന്താണ്?

ഉത്തരം ഡിഫറൻഷ്യൽ കലനത്തിന്റെ നൊട്ടേഷനിൽ, പ്രവേഗം

$ v=\frac{d x}{d t}=\frac{d}{d t}\left(a+b t^2\right)=2 b t=5.0 t \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $

$t=0 \mathrm{~s}, \quad V=0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$-ൽ, $t=2.0 \mathrm{~s}$-ൽ, $v=10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$.

$ \text { ശരാശരി പ്രവേഗം }=\frac{x(4.0)-x(2.0)}{4.0-2.0} $

$\begin{array}{r}=\frac{a+16 b-a-4 b}{2.0}=6.0 \times b \\ =6.0 \times 2.5=15 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\end{array}$

ഒരേപോലെയുള്ള ചലനത്തിന്, എല്ലാ നിമിഷങ്ങളിലും പ്രവേഗം ശരാശരി പ്രവേഗത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

തൽക്ഷണ വേഗത അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി വേഗത എന്നത് പ്രവേഗത്തിന്റെ പരിമാണമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, $+24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$-ന്റെ ഒരു പ്രവേഗവും $-24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}-$-ന്റെ ഒരു പ്രവേഗവും $24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$-ന്റെ ഒരു വേഗതയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഒരു പരിമിത സമയ ഇടവേളയിലെ ശരാശരി വേഗത ശരാശരി പ്രവേഗത്തിന്റെ പരിമാണത്തേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആണെങ്കിലും, ഒരു നിമിഷത്തിലെ തൽക്ഷണ വേഗത ആ നിമിഷത്തിലെ തൽക്ഷണ പ്രവേഗത്തിന്റെ പരിമാണത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. എന്തുകൊണ്ട്?

2.3 ത്വരണം

ഒരു വസ്തുവിന്റെ പ്രവേഗം, പൊതുവേ, അതിന്റെ ചലനത്തിന്റെ കോഴ്സിൽ മാറുന്നു. ഈ മാറ്റം എങ്ങനെ വിവരിക്കാം? ദൂരത്തോടോ സമയത്തോടോ ഉള്ള പ്രവേഗത്തിലെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കായി ഇത് വിവരിക്കണമോ? ഗലീലിയോയുടെ കാലത്ത് പോലും ഇത് ഒരു പ്രശ്നമായിരുന്നു. ദൂരത്തോടുള്ള പ്രവേഗത്തിലെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക് ഉപയോഗിച്ചാണ് ഈ മാറ്റം വിവരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ആദ്യം കരുതിയിരുന്നു. പക്ഷേ, സ്വതന്ത്രമായി വീഴുന്ന വസ്തുക്കളുടെ ചലനത്തെയും ചരിഞ്ഞ തലത്തിലെ വസ്തുക്കളുടെ ചലനത്തെയും കുറിച്ചുള്ള പഠനങ്ങളിലൂടെ, സ്വതന്ത്രമായി വീഴുന്ന എല്ലാ വസ്തുക്കൾക്കും സമയത്തോടുള്ള പ്രവേഗത്തിലെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക് ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണെന്ന് ഗലീലിയോ നിഗമനത്തിലെത്തി. മറുവശത്ത്, ദൂരത്തോടുള്ള പ്രവേഗത്തിലെ മാറ്റം സ്ഥിരമല്ല - വീഴ്ചയുടെ ദൂരം കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച് അത് കുറയുന്നു. ഇത് സമയത്തോടുള്ള പ്രവേഗത്തിലെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കായി ത്വരണത്തിന്റെ ആശയത്തിലേക്ക് നയിച്ചു.

ഒരു സമയ ഇടവേളയിലെ ശരാശരി ത്വരണം a പ്രവേഗത്തിലെ മാറ്റത്തെ സമയ ഇടവേള കൊണ്ട് ഹരിച്ചതായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു:

$\bar{a}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\quad \quad \quad \quad \quad (2.2)$

ഇവിടെ $v_2$, $v_1$ എന്നിവ $t_2$, $t_1$ സമയങ്ങളിലെ തൽക്ഷണ പ്രവേഗങ്ങളോ ലളിതമായി പ്രവേഗങ്ങളോ ആണ്. ഇത് യൂണിറ്റ് സമയത്തിലെ പ്രവേഗത്തിലെ ശരാശരി മാറ്റമാണ്. ത്വരണത്തിന്റെ SI യൂണിറ്റ് $\mathrm{m} \mathrm{s}^{-2}$ ആണ്.

പ്രവേഗം-സമയ ഗ്രാഫിൽ, ശരാശരി ത്വരണം $\left(v_2, t_2\right)$, $\left(v_1, t_1\right)$ എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ബിന്ദുക്കളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന നേർരേഖയുടെ ചരിവാണ്.

തൽക്ഷണ ത്വരണം തൽക്ഷണ പ്രവേഗം എന്നതിന് സമാനമായ രീതിയിൽ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു:

$ a=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} \quad \quad \quad \quad \quad (2.3) $

ഒരു നിമിഷത്തിലെ ത്വരണം ആ നിമിഷത്തിൽ $v-t$ വക്രത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജന്റിന്റെ ചരിവാണ്.

പ്രവേഗം പരിമാണവും ദിശയും ഉള്ള ഒരു അളവായതിനാൽ, പ്രവേഗത്തിലെ മാറ്റത്തിൽ ഈ ഘടകങ്ങളിലൊന്നോ രണ്ടോ ഉൾപ്പെടാം. അതിനാൽ, ത്വരണം വേഗതയിലെ (പരിമാണം) മാറ്റത്തിൽ നിന്നോ, ദിശയിലെ മാറ്റത്തിൽ നിന്നോ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടിലും നിന്നുമുള്ള മാറ്റങ്ങളിൽ നിന്നോ ഉണ്ടാകാം. പ്രവേഗം പോലെ, ത്വരണവും പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യം ആകാം. പോസിറ്റീവ് ത്വരണത്തോടെയുള്ള ചലനത്തിനുള്ള സ്ഥാന-സമയ ഗ്രാഫുകൾ ചിത്രം 2.4 (a), (b), (c) എന്നിവയിൽ യഥാക്രമം കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. പോസിറ്റീവ് ത്വരണത്തിന് ഗ്രാഫ് മുകളിലേക്ക് വളയുന്നു; നെഗറ്റീവ് ത്വരണത്തിന് താഴേക്ക്, പൂജ്യം ത്വരണത്തിന് അത് സമയ അക്ഷത്തിലേക്ക് ചരിഞ്ഞ ഒരു നേർരേഖയാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

ചിത്രം 2.2 (a) പോസിറ്റീവ് ത്വരണം; (b) നെഗറ്റീവ് ത്വരണം, (c) പൂജ്യം ത്വരണം എന്നിവയോടെയുള്ള ചലനത്തിനുള്ള സ്ഥാന-സമയ ഗ്രാഫ്.

ത്വരണം സമയത്തിനനുസരിച്ച് മാറാമെങ്കിലും, ഈ അദ്ധ്യായത്തിലെ നമ്മുടെ പഠനം സ്ഥിര ത്വരണത്തോടെയുള്ള ചലനത്തിലേക്ക് പരിമിതപ്പെടുത്തും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ശരാശരി ത്വരണം ഇടവേളയിലെ ത്വരണത്തിന്റെ സ്ഥിര മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഒരു വസ്തുവിന്റെ പ്രവേഗം $V$ ആണെങ്കിൽ $t$ $=0$-ൽ, $v$ സമയം $t$-ൽ, നമുക്ക്

$ \bar{a}=\frac{v-v_o}{t-0} $

$\text { അല്ലെങ്കിൽ, } v=v_o+a t \quad (2.4) $

ചില ലളിതമായ കേസുകൾക്ക് പ്രവേഗം-സമയ ഗ്രാഫ് എങ്ങനെയിരിക്കുമെന്ന് നോക്കാം. ചിത്രം 2.3 സ്ഥിര ത്വരണത്തോടെയുള്ള ചലനത്തിനുള്ള പ്രവേഗം-സമയ ഗ്രാഫ് കാണിക്കുന്നു:

ചിത്രം 2.3 സ്ഥിര ത്വരണത്തോടെയുള്ള ചലനങ്ങൾക്കുള്ള പ്രവേഗം-സമയ ഗ്രാഫ്. (a) പോസിറ്റീവ് ത്വരണത്തോടെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിലുള്ള ചലനം, (b) നെഗറ്റീവ് ത്വരണത്തോടെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിലുള്ള ചലനം, (c) നെഗറ്റീവ് ത്വരണത്തോടെ നെഗറ്റീവ് ദിശയിലുള്ള ചലനം, (d) നെഗറ്റീവ് ത്വരണത്തോടെയുള്ള ഒരു വസ്തുവിന്റെ ചലനം, അത് t1 സമയത്ത് ദിശ മാറ്റുന്നു. 0 മുതൽ $t_1$ വരെയുള്ള സമയങ്ങൾക്കിടയിൽ, അത് പോസിറ്റീവ് x - ദിശയിലും $t_1$, $t_2$ എന്നിവയ്ക്കിടയിൽ വിപരീത ദിശയിലും ചലിക്കുന്നു.

(a) ഒരു വസ്തു പോസിറ്റീവ് ദിശയിൽ പോസിറ്റീവ് ത്വരണത്തോടെ ചലിക്കുന്നു.

(b) ഒരു വസ്തു പോസിറ്റീവ് ദിശയിൽ നെഗറ്റീവ് ത്വരണത്തോടെ ചലിക്കുന്നു.

(c) ഒരു വസ്തു നെഗറ്റീവ് ദിശയിൽ നെഗറ്റീവ് ത്വരണത്തോടെ ചലിക്കുന്നു.

(d) ഒരു വസ്തു സമയം $t_1$ വരെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിൽ ചലിക്കുന്നു, തുടർന്ന് അതേ നെഗറ്റീവ് ത്വരണത്തോടെ തിരികെ വരുന്നു.

ഏതൊരു ചലിക്കുന്ന വസ്തുവിന്റെയും പ്രവേഗം-സമയ ഗ്രാഫിന്റെ ഒരു രസകരമായ സവിശേഷത എന്നത് വക്രത്തിന് കീഴിലുള്ള പ്രദേശം ഒരു നിശ്ചിത സമയ ഇടവേളയിലെ സ്ഥാനാന്തരത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു എന്നതാണ്. ഈ പ്രസ്താവനയുടെ ഒരു പൊതു തെളിവിന് കലനശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഉപയോഗം ആവശ്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, സ്ഥിര പ്രവേഗം u ഉപയോഗിച്ച് ചലിക്കുന്ന ഒരു വസ്തുവിന്റെ ലളിതമായ കേസിന് ഇത് ശരിയാണെന്ന് നമുക്ക് കാണാൻ കഴിയും. അതിന്റെ പ്രവേഗം-സമയ ഗ്രാഫ് ചിത്രം 2.4-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെയാണ്.

**