3.1 ആമുഖം

കഴിഞ്ഞ അദ്ധ്യായത്തിൽ, ഒരു വസ്തുവിന്റെ സരളരേഖാ ചലനം വിവരിക്കാൻ ആവശ്യമായ സ്ഥാനം, സ്ഥാനാന്തരം, പ്രവേഗം, ത്വരണം എന്നീ ആശയങ്ങൾ നമ്മൾ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു. ഈ അളവുകളുടെ ദിശാപരമായ വശം +, - ചിഹ്നങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കൈകാര്യം ചെയ്യാമെന്ന് കണ്ടെത്തി, കാരണം ഒരു മാനത്തിൽ രണ്ട് ദിശകൾ മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ. എന്നാൽ രണ്ട് മാനങ്ങളിലുള്ള (ഒരു തലം) അല്ലെങ്കിൽ മൂന്ന് മാനങ്ങളിലുള്ള (സ്ഥലം) ഒരു വസ്തുവിന്റെ ചലനം വിവരിക്കാൻ, മുകളിൽ പറഞ്ഞ ഭൗതിക അളവുകൾ വിവരിക്കാൻ വെക്ടറുകൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അതിനാൽ, ആദ്യം വെക്ടറുകളുടെ ഭാഷ പഠിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഒരു വെക്ടർ എന്താണ്? വെക്ടറുകൾ എങ്ങനെ കൂട്ടുകയും കുറയ്ക്കുകയും ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യാം? ഒരു വെക്ടറിനെ ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്നത് എന്താണ്? ഒരു തലത്തിലെ പ്രവേഗവും ത്വരണവും നിർവചിക്കാൻ വെക്ടറുകൾ ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയുന്നതിന് ഇത് നമ്മൾ പഠിക്കും. തുടർന്ന് ഒരു തലത്തിലെ വസ്തുവിന്റെ ചലനം ചർച്ച ചെയ്യും. ഒരു തലത്തിലെ ചലനത്തിന്റെ ലളിതമായ ഒരു കേസായി, സ്ഥിര ത്വരണത്തോടെയുള്ള ചലനം ചർച്ച ചെയ്യുകയും പ്രൊജക്ടൈൽ ചലനം വിശദമായി പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യും. വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചലനം ദൈനംദിന ജീവിത സാഹചര്യങ്ങളിൽ പ്രത്യേക പ്രാധാന്യമുള്ള ഒരു പരിചിതമായ ചലന വിഭാഗമാണ്. സമവൃത്ത ചലനം കുറച്ച് വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്യും. ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ ഒരു തലത്തിലെ ചലനത്തിനായി വികസിപ്പിച്ചെടുത്ത സമവാക്യങ്ങൾ മൂന്ന് മാനങ്ങളുടെ കേസിലേക്ക് എളുപ്പത്തിൽ വിപുലീകരിക്കാവുന്നതാണ്.

3.2 സ്കെയിലറുകളും വെക്ടറുകളും

ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ, അളവുകളെ സ്കെയിലറുകളോ വെക്ടറുകളോ ആയി തരംതിരിക്കാം. അടിസ്ഥാനപരമായി, വ്യത്യാസം ഇതാണ്: ഒരു വെക്ടറുമായി ഒരു ദിശ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഒരു സ്കെയിലറുമായി അങ്ങനെയല്ല. ഒരു സ്കെയിലർ അളവ് എന്നത് പരിമാണം മാത്രമുള്ള ഒരു അളവാണ്. ശരിയായ യൂണിറ്റിനൊപ്പം ഒരൊറ്റ സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് ഇത് പൂർണ്ണമായി വ്യക്തമാക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണങ്ങൾ: രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം, ഒരു വസ്തുവിന്റെ പിണ്ഡം, ഒരു വസ്തുവിന്റെ താപനില, ഒരു നിശ്ചിത സംഭവം സംഭവിച്ച സമയം. സ്കെയിലറുകൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ സാധാരണ ബീജഗണിതത്തിന്റെ നിയമങ്ങളാണ്. സ്കെയിലറുകൾ സാധാരണ സംഖ്യകൾ പോലെ തന്നെ കൂട്ടാനും കുറയ്ക്കാനും ഗുണിക്കാനും ഹരിക്കാനും കഴിയും*. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ നീളവും വീതിയും യഥാക്രമം 1.0 m, 0.5 m ആണെങ്കിൽ, അതിന്റെ ചുറ്റളവ് നാല് വശങ്ങളുടെ നീളത്തിന്റെ ആകെത്തുകയാണ്, 1.0 m + 0.5 m +1.0 m + 0.5 m = 3.0 m. ഓരോ വശത്തിന്റെയും നീളം ഒരു സ്കെയിലറാണ്, ചുറ്റളവും ഒരു സ്കെയിലറാണ്. മറ്റൊരു ഉദാഹരണം എടുക്കുക: ഒരു പ്രത്യേക ദിവസത്തെ പരമാവധി, കുറഞ്ഞ താപനിലകൾ യഥാക്രമം 35.6 °C, 24.2 °C ആണ്. അപ്പോൾ, രണ്ട് താപനിലകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 11.4 °C ആണ്. അതുപോലെ, 10 cm വശമുള്ള അലുമിനിയത്തിന്റെ ഒരു സമചതുര സാന്ദ്രതയുള്ള ഖരഘനത്തിന് 2.7 kg പിണ്ഡമുണ്ടെങ്കിൽ, അതിന്റെ വ്യാപ്തം 10–3 m3 (ഒരു സ്കെയിലർ) ആണ്, അതിന്റെ സാന്ദ്രത 2.7×103 kg m–3 (ഒരു സ്കെയിലർ) ആണ്. ഒരു വെക്ടർ അളവ് എന്നത് പരിമാണവും ദിശയും ഉള്ളതും ത്രികോണ സങ്കലന നിയമത്തെ അല്ലെങ്കിൽ തുല്യമായി സമാന്തരചതുര സങ്കലന നിയമത്തെ അനുസരിക്കുന്ന ഒരു അളവാണ്. അതിനാൽ, ഒരു വെക്ടർ അതിന്റെ പരിമാണം ഒരു സംഖ്യയും അതിന്റെ ദിശയും നൽകി വ്യക്തമാക്കുന്നു. വെക്ടറുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ചില ഭൗതിക അളവുകൾ സ്ഥാനാന്തരം, പ്രവേഗം, ത്വരണം, ബലം എന്നിവയാണ്.

ഒരു വെക്ടർ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ, ഈ പുസ്തകത്തിൽ ബോൾഡ് ഫേസ് ടൈപ്പ് ഉപയോഗിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, ഒരു പ്രവേഗ വെക്ടറിനെ v എന്ന ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ബോൾഡ് ഫേസ് ഉണ്ടാക്കാൻ പ്രയാസമുള്ളതിനാൽ, കൈയെഴുത്തിൽ എഴുതുമ്പോൾ, ഒരു വെക്ടറിനെ പലപ്പോഴും ഒരു അക്ഷരത്തിന് മുകളിൽ ഒരു അമ്പടയാളം വെച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന് rv . അങ്ങനെ, v, rv എന്നിവ രണ്ടും പ്രവേഗ വെക്ടറിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഒരു വെക്ടറിന്റെ പരിമാണത്തെ പലപ്പോഴും അതിന്റെ കേവല മൂല്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, |v| = v എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, ഒരു വെക്ടറിനെ ബോൾഡ് ഫേസ് ഉപയോഗിച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, ഉദാ. A, a, p, q, r, … x, y, എന്നിവയാണ്, അവയുടെ പരിമാണങ്ങൾ ലൈറ്റ് ഫേസ് A, a, p, q, r, … x, y എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

3.2.1 സ്ഥാനവും സ്ഥാനാന്തര വെക്ടറുകളും

ഒരു തലത്തിൽ ചലിക്കുന്ന ഒരു വസ്തുവിന്റെ സ്ഥാനം വിവരിക്കാൻ, നമുക്ക് ഒരു സൗകര്യപ്രദമായ ബിന്ദു തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, O എന്നത് ഉത്ഭവസ്ഥാനമായി എടുക്കാം. t, t′ സമയങ്ങളിൽ വസ്തുവിന്റെ സ്ഥാനങ്ങൾ യഥാക്രമം P, P′ എന്നിവയാകട്ടെ [ചിത്രം 3.1(a)]. O, P എന്നിവ ഒരു നേർരേഖയിൽ ചേർക്കുന്നു. അപ്പോൾ, OP എന്നത് t സമയത്ത് വസ്തുവിന്റെ സ്ഥാന വെക്ടറാണ്. ഈ രേഖയുടെ തലയിൽ ഒരു അമ്പടയാളം അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ഇത് r എന്ന ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അതായത് OP = r. P′ എന്ന ബിന്ദു മറ്റൊരു സ്ഥാന വെക്ടർ ഉപയോഗിച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, OP′ എന്നത് r′ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. വെക്ടർ r ന്റെ നീളം വെക്ടറിന്റെ പരിമാണത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അതിന്റെ ദിശ O-യിൽ നിന്ന് കാണുമ്പോൾ P സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ദിശയാണ്. വസ്തു P-യിൽ നിന്ന് P′-ലേക്ക് നീങ്ങിയാൽ, PP′ എന്ന വെക്ടർ (വാൽ P-യിലും അഗ്രം P′-ലും) P എന്ന ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് (t സമയത്ത്) P′ എന്ന ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള (t′ സമയത്ത്) ചലനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സ്ഥാനാന്തര വെക്ടറാണ്.

ചിത്രം 3.1 (a) സ്ഥാനവും സ്ഥാനാന്തര വെക്ടറുകളും. (b) സ്ഥാനാന്തര വെക്ടർ PQ, വ്യത്യസ്ത ചലന പാതകൾ.

സ്ഥാനാന്തര വെക്ടർ ആരംഭ, അന്തിമ സ്ഥാനങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന നേർരേഖയാണെന്നും രണ്ട് സ്ഥാനങ്ങൾക്കിടയിൽ വസ്തു സ്വീകരിച്ച യഥാർത്ഥ പാതയെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ലെന്നും ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ചിത്രം 4.1(b) ൽ, ആരംഭ, അന്തിമ സ്ഥാനങ്ങൾ P, Q എന്നിവയായി നൽകിയാൽ, സ്ഥാനാന്തര വെക്ടർ വ്യത്യസ്ത യാത്രാ പാതകൾക്ക് ഒരേ PQ ആണ്, ഉദാ. PABCQ, PDQ, PBEFQ. അതിനാൽ, സ്ഥാനാന്തരത്തിന്റെ പരിമാണം രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾക്കിടയിലുള്ള ഒരു വസ്തുവിന്റെ പാതയുടെ നീളത്തേക്കാൾ കുറവോ തുല്യമോ ആണ്. സരളരേഖയിലുള്ള ചലനം ചർച്ച ചെയ്യുമ്പോൾ കഴിഞ്ഞ അദ്ധ്യായത്തിലും ഈ വസ്തുത ഊന്നിപ്പറയപ്പെട്ടിരുന്നു.

3.2.2 വെക്ടറുകളുടെ തുല്യത

രണ്ട് വെക്ടറുകൾ A, B എന്നിവയ്ക്ക് തുല്യമായ പരിമാണവും ഒരേ ദിശയും ഉണ്ടെങ്കിൽ മാത്രമേ അവ തുല്യമായിരിക്കൂ.**

ചിത്രം 3.2 (a) രണ്ട് തുല്യ വെക്ടറുകൾ A, B. (b) രണ്ട് വെക്ടറുകൾ A′, B′ എന്നിവ ഒരേ നീളമുണ്ടെങ്കിലും അവ തുല്യമല്ല.

ചിത്രം 3.2(a) രണ്ട് തുല്യ വെക്ടറുകൾ A, B എന്നിവ കാണിക്കുന്നു. അവയുടെ തുല്യത നമുക്ക് എളുപ്പത്തിൽ പരിശോധിക്കാം. B-യെ അതിന്റെ വാല് Q, A-യുടെ വാലുമായി യോജിക്കുന്നതുവരെ, അതായത് Q, O-യുമായി യോജിക്കുന്നതുവരെ സമാന്തരമായി മാറ്റുക. അപ്പോൾ, അവയുടെ അഗ്രങ്ങളായ S, P എന്നിവയും യോജിക്കുന്നതിനാൽ, രണ്ട് വെക്ടറുകളും തുല്യമാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. പൊതുവേ, തുല്യത A = B എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ചിത്രം 3.2(b) ൽ, വെക്ടറുകൾ A′, B′ എന്നിവയ്ക്ക് ഒരേ പരിമാണമുണ്ടെങ്കിലും അവ വ്യത്യസ്ത ദിശകളുള്ളതിനാൽ തുല്യമല്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. B′-യെ അതിന്റെ വാല് Q′ A′-യുടെ വാല് O′-മായി യോജിക്കുന്നതുവരെ സമാന്തരമായി മാറ്റിയാലും, B′-യുടെ അഗ്രം S′ A′-യുടെ അഗ്രം P′-മായി യോജിക്കുന്നില്ല.

3.3 വെക്ടറുകളെ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക

ഒരു വെക്ടർ A-യെ ഒരു ധന സംഖ്യ λ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് അതിന്റെ പരിമാണം λ എന്ന ഘടകം കൊണ്ട് മാറ്റപ്പെട്ട ഒരു വെക്ടർ നൽകുന്നു, എന്നാൽ ദിശ A-യുടെ ദിശയുമായി തുല്യമാണ്:

$$ |\lambda \mathbf{A}|=\lambda|\mathbf{A}| \text { if } \lambda=0 $$

ഉദാഹരണത്തിന്, A-യെ 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്ടർ 2A എന്നത് A-യുടെ ദിശയിലാണ്, അതിന്റെ പരിമാണം |A|-യുടെ ഇരട്ടിയാണ്, ചിത്രം 3.3(a) ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ. ഒരു വെക്ടർ A-യെ ഒരു ഋണ സംഖ്യ −λ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് A-യുടെ ദിശയ്ക്ക് വിപരീത ദിശയിലുള്ളതും അതിന്റെ പരിമാണം |A|-യുടെ λ മടങ്ങുമായ മറ്റൊരു വെക്ടർ നൽകുന്നു.

ഒരു നൽകിയ വെക്ടർ A-യെ ഋണ സംഖ്യകൾ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത്, ഉദാഹരണത്തിന് –1, –1.5, ചിത്രം 3.3(b) ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ വെക്ടറുകൾ നൽകുന്നു. ഒരു വെക്ടർ A-യെ ഗുണിക്കുന്ന ഘടകം λ അതിന്റേതായ ഭൗതിക മാനമുള്ള ഒരു സ്കെയിലർ ആകാം. അപ്പോൾ, λ A യുടെ മാനം λ, A എന്നിവയുടെ മാനങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്മൾ ഒരു സ്ഥിര പ്രവേഗ വെക്ടറിനെ കാലയളവ് (സമയം) കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, നമുക്ക് ഒരു സ്ഥാനാന്തര വെക്ടർ ലഭിക്കും.

ചിത്രം 3.3 (a) വെക്ടർ A, A-യെ ഒരു ധന സംഖ്യ 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതിന് ശേഷമുള്ള ഫല വെക്ടർ. (b) വെക്ടർ A, അതിനെ ഒരു ഋണ സംഖ്യ –1, –1.5 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതിന് ശേഷമുള്ള ഫല വെക്ടറുകൾ.

3.4 വെക്ടറുകളുടെ സങ്കലനവും വ്യവകലനവും — ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി

3.2 ലെ വിഭാഗത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, നിർവചനം അനുസരിച്ച് വെക്ടറുകൾ ത്രികോണ നിയമത്തെ അല്ലെങ്കിൽ തുല്യമായി, സമാന്തരചതുര സങ്കലന നിയമത്തെ അനുസരിക്കുന്നു. ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഈ സങ്കലന നിയമം ഇപ്പോൾ വിവരിക്കാം. ചിത്രം 3.4(a) ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഒരു തലത്തിൽ കിടക്കുന്ന രണ്ട് വെക്ടറുകൾ A, B എന്നിവ പരിഗണിക്കാം. ഈ വെക്ടറുകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന രേഖാഖണ്ഡങ്ങളുടെ നീളം വെക്ടറുകളുടെ പരിമാണത്തിന് ആനുപാതികമാണ്. A + B എന്ന തുക കണ്ടെത്താൻ, വെക്ടർ B-യുടെ വാല് വെക്ടർ A-യുടെ തലയിൽ വരുന്ന വിധത്തിൽ വെക്ടർ B സ്ഥാപിക്കുന്നു, ചിത്രം 3.4(b) ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ. തുടർന്ന്, A-യുടെ വാലിനെ B-യുടെ തലയുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു. ഈ OQ എന്ന രേഖ ഒരു വെക്ടർ R-നെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അതായത് A, B എന്നീ വെക്ടറുകളുടെ തുക. ഈ വെക്ടർ സങ്കലന പ്രക്രിയയിൽ, വെക്ടറുകൾ തലയിൽ നിന്ന് വാലിലേക്ക് ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ, ഈ ഗ്രാഫിക്കൽ രീതിയെ ഹെഡ്-ടു-ടെയിൽ രീതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. രണ്ട് വെക്ടറുകളും അവയുടെ ഫലവും ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് വശങ്ങൾ രൂപീകരിക്കുന്നതിനാൽ, ഈ രീതി വെക്ടർ സങ്കലനത്തിന്റെ ത്രികോണ രീതി എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു. ചിത്രം 3.4(c) ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ B + A യുടെ ഫലം കണ്ടെത്തിയാൽ, അതേ വെക്ടർ R ലഭിക്കും. അങ്ങനെ, വെക്ടർ സങ്കലനം കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് ആണ്:

A + B = B + A $\quad \quad \quad$ (3.1)

ചിത്രം 3.4 (a) വെക്ടറുകൾ A, B. (b) വെക്ടറുകൾ A, B ഗ്രാഫിക്കലായി കൂട്ടിച്ചേർത്തത്. (c) വെക്ടറുകൾ B, A ഗ്രാഫിക്കലായി കൂട്ടിച്ചേർത്തത്. (d) വെക്ടർ സങ്കലനത്തിന്റെ അസോസിയേറ്റീവ് നിയമം ചിത്രീകരിക്കുന്നു.

വെക്ടറുകളുടെ സങ്കലനം ചിത്രം 3.4(d) ൽ ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ അസോസിയേറ്റീവ് നിയമത്തെയും അനുസരിക്കുന്നു. ആദ്യം A, B എന്നീ വെക്ടറുകൾ കൂട്ടി, തുടർന്ന് വെക്ടർ C കൂട്ടിയതിന്റെ ഫലം ആദ്യം B, C കൂട്ടി, തുടർന്ന് വെക്ടർ A കൂട്ടിയതിന്റെ ഫലത്തിന് തുല്യമാണ്:

$$ \begin{equation*} (\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C}) \tag{3.2} \end{equation*} $$

രണ്ട് തുല്യവും വിപരീതവുമായ വെക്ടറുകൾ കൂട്ടിയാൽ എന്ത് ഫലം ലഭിക്കും? ചിത്രം 3.3(b) ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന A, –A എന്നീ രണ്ട് വെക്ടറുകൾ പരിഗണിക്കുക. അവയുടെ തുക A + (–A) ആണ്. രണ്ട് വെക്ടറുകളുടെയും പരിമാണം ഒന്നുതന്നെയായതിനാൽ, എന്നാൽ ദിശകൾ വിപരീതമായതിനാൽ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്ടറിന് പൂജ്യം പരിമാണമുണ്ട്, അത് 0 എന്ന് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അതിനെ ശൂന്യ വെക്ടർ അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യ വെക്ടർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു:

$$\mathbf{A}-\mathbf{A}=\mathbf{0} \qquad |\mathbf{0}|=0 \tag{3.3}$$

ഒരു ശൂന്യ വെക്ടറിന്റെ പരിമാണം പൂജ്യമായതിനാൽ, അതിന്റെ ദിശ വ്യക്തമാക്കാൻ കഴിയില്ല. ഒരു വെക്ടർ A-യെ പൂജ്യം എന്ന സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോഴും ശൂന്യ വെക്ടർ ലഭിക്കുന്നു. 0-യുടെ പ്രധാന ഗുണങ്ങൾ:

$$ \begin{align*} & \mathbf{A}+\mathbf{0}=\mathbf{A} \\ & \lambda \mathbf{0}=\mathbf{0} \\ & 0 \mathbf{A}=\mathbf{0} \tag{3.4} \end{align*} $$

ഒരു പൂജ്യ വെക്ടറിന്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം എന്താണ്? ചിത്രം 3.1(a) ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഒരു തലത്തിലെ സ്ഥാനവും സ്ഥാനാന്തര വെക്ടറുകളും പരിഗണിക്കുക. t സമയത്ത് P-യിൽ ഉള്ള ഒരു വസ്തു P′-ലേക്ക് നീങ്ങി, തുടർന്ന് P-ലേക്ക് തിരികെ വരുന്നുവെന്ന് കരുതുക. അപ്പോൾ, അതിന്റെ സ്ഥാനാന്തരം എന്താണ്? ആരംഭ, അന്തിമ സ്ഥാനങ്ങൾ യോജിക്കുന്നതിനാൽ, സ്ഥാനാന്തരം ഒരു “ശൂന്യ വെക്ടർ” ആണ്.

വെക്ടറുകളുടെ വ്യവകലനം വെക്ടറുകളുടെ സങ്കലനത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിർവചിക്കാം. രണ്ട് വെക്ടറുകൾ A, B എന്നിവയുടെ വ്യത്യാസം രണ്ട് വെക്ടറുകൾ A, –B എന്നിവയുടെ തുകയായി നമ്മൾ നിർവചിക്കുന്നു:

$$ \begin{equation*} \mathbf{A}-\mathbf{B}=\mathbf{A}+(-\mathbf{B}) \tag{3.5} \end{equation*} $$

ഇത് ചിത്രം 3.5 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. വെക്ടർ $-\mathbf{B}$ വെക്ടർ $\mathbf{A}$-ലേക്ക് കൂട്ടിച്ചേർത്ത് $\mathbf{R} _{2}=(\mathbf{A}-\mathbf{B})$ ലഭിക്കുന്നു. താരതമ്യത്തിനായി അതേ ചിത്രത്തിൽ വെക്ടർ $\mathbf{R} _{1}=\mathbf{A}+\mathbf{B}$ എന്നതും കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. രണ്ട് വെക്ടറുകളുടെ തുക കണ്ടെത്താൻ സമാന്തരചതുര രീതിയും നമുക്ക് ഉപയോഗിക്കാം. നമുക്ക് രണ്ട് വെക്ടറുകൾ $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ എന്നിവ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. ഈ വെക്ടറുകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കാൻ, ചിത്രം 3.6(a) ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ അവയുടെ വാലുകൾ ഒരു പൊതു ഉത്ഭവസ്ഥാനമായ $\mathrm{O}$-ലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു. തുടർന്ന