5.1 ആമുഖം

‘പ്രവൃത്തി’, ‘ഊർജ്ജം’, ‘പവർ’ എന്നീ പദങ്ങൾ നമ്മുടെ ദൈനംദിന ഭാഷയിൽ പതിവായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു. വയലുകൾ ഉഴുതുമാറ്റുന്ന ഒരു കർഷകൻ, ഇഷ്ടികകൾ ചുമക്കുന്ന ഒരു നിർമ്മാണ തൊഴിലാളി, ഒരു മത്സരപരീക്ഷയ്ക്ക് പഠിക്കുന്ന വിദ്യാർത്ഥി, മനോഹരമായ ഒരു ഭൂദൃശ്യം വരയ്ക്കുന്ന ഒരു കലാകാരൻ എന്നിവരെല്ലാം പ്രവൃത്തി ചെയ്യുന്നുവെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. എന്നാൽ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ, ‘പ്രവൃത്തി’ എന്ന വാക്കിന് ഒരു നിശ്ചിതവും കൃത്യവുമായ അർത്ഥമുണ്ട്. ഒരു ദിവസം 14-16 മണിക്കൂർ വരെ പ്രവൃത്തി ചെയ്യാനുള്ള കഴിവുള്ള ഒരാളെ വലിയ സ്റ്റാമിന അല്ലെങ്കിൽ ഊർജ്ജമുള്ളവനായി പറയപ്പെടുന്നു. ദീർഘദൂര ഓട്ടക്കാരിയുടെ സ്റ്റാമിന അല്ലെങ്കിൽ ഊർജ്ജത്തെ നമ്മൾ അഭിനന്ദിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, ഊർജ്ജം എന്നത് പ്രവൃത്തി ചെയ്യാനുള്ള നമ്മുടെ കഴിവാണ്. ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും, ‘ഊർജ്ജം’ എന്ന പദം ഈ അർത്ഥത്തിൽ പ്രവൃത്തിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, എന്നാൽ മുകളിൽ പറഞ്ഞതുപോലെ തന്നെ ‘പ്രവൃത്തി’ എന്ന പദത്തിന് തന്നെ കൂടുതൽ കൃത്യമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ‘പവർ’ എന്ന വാക്ക് ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ വ്യത്യസ്ത അർത്ഥഛായകളോടെ ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു. കരാട്ടെയിലോ ബോക്സിങ്ങിലോ നമ്മൾ ‘ശക്തമായ’ പഞ്ചുകളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു. ഇവ വളരെ വേഗത്തിൽ ഏൽപ്പിക്കപ്പെടുന്നു. ഈ അർത്ഥഛായ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന ‘പവർ’ എന്ന വാക്കിന്റെ അർത്ഥത്തോട് അടുത്താണ്. ഈ പദങ്ങൾ നമ്മുടെ മനസ്സിൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന ഭൗതിക നിർവചനങ്ങൾക്കും ശരീരശാസ്ത്രപരമായ ചിത്രങ്ങൾക്കും ഇടയിൽ അത്യുത്തമമായി ഒരു ശിഥിലമായ ബന്ധം മാത്രമേയുള്ളൂ എന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തും. ഈ മൂന്ന് ഭൗതിക അളവുകളെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു ധാരണ വികസിപ്പിക്കുക എന്നതാണ് ഈ അദ്ധ്യായത്തിന്റെ ലക്ഷ്യം. ഈ ജോലിയിലേക്ക് നാം മുന്നോട്ട് പോകുന്നതിന് മുമ്പ്, ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ മുൻഅവശ്യകത വികസിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത് രണ്ട് സദിശങ്ങളുടെ സ്കെയിലർ ഗുണനഫലം.

5.1.1 സ്കെയിലർ ഗുണനഫലം

അദ്ധ്യായം 3-ൽ സദിശങ്ങളെക്കുറിച്ചും അവയുടെ ഉപയോഗത്തെക്കുറിച്ചും നാം പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. സ്ഥാനാന്തരം, പ്രവേഗം, ത്വരണം, ബലം തുടങ്ങിയ ഭൗതിക അളവുകൾ സദിശങ്ങളാണ്. സദിശങ്ങൾ എങ്ങനെ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യുന്നുവെന്നും നാം പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. സദിശങ്ങൾ എങ്ങനെ ഗുണിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് അറിയേണ്ടതുണ്ട്. സദിശങ്ങളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള രണ്ട് വഴികളാണ് നമുക്ക് കാണാൻ കഴിയുക: സ്കെയിലർ ഗുണനഫലം എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഒരു വഴി രണ്ട് സദിശങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരു സ്കെയിലർ നൽകുന്നു, സദിശ ഗുണനഫലം എന്നറിയപ്പെടുന്ന മറ്റൊന്ന് രണ്ട് സദിശങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരു പുതിയ സദിശം ഉണ്ടാക്കുന്നു. അദ്ധ്യായം 6-ൽ നമ്മൾ സദിശ ഗുണനഫലം നോക്കും. ഇവിടെ നമ്മൾ രണ്ട് സദിശങ്ങളുടെ സ്കെയിലർ ഗുണനഫലം എടുക്കുന്നു. ഏതെങ്കിലും രണ്ട് സദിശങ്ങളായ A യുടെയും B യുടെയും സ്കെയിലർ ഗുണനഫലം അല്ലെങ്കിൽ ഡോട്ട് ഗുണനഫലം, A.B എന്ന് സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു (വായിക്കുക $\mathbf{A} \operatorname{dot} \mathbf{B}$) ഇങ്ങനെ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു

$$ \begin{equation*} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=A B \cos \theta \tag{5.1a} \end{equation*} $$

ഇവിടെ $\theta$ എന്നത് ചിത്രം 5.1(a) ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ രണ്ട് സദിശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള കോണാണ്. $A, B$ ഉം $\cos \theta$ ഉം സ്കെയിലറുകളായതിനാൽ, $\mathbf{A}$ ഉം $\mathbf{B}$ ഉം തമ്മിലുള്ള ഡോട്ട് ഗുണനഫലം ഒരു സ്കെയിലർ അളവാണ്. ഓരോ സദിശത്തിനും, $\mathbf{A}$ ഉം $\mathbf{B}$ ഉം ഒരു ദിശയുണ്ട്, എന്നാൽ അവയുടെ സ്കെയിലർ ഗുണനഫലത്തിന് ദിശയില്ല.

സമവാക്യം (5.1a) ൽ നിന്ന്, നമുക്കുള്ളത്

$$ \begin{aligned} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} & =A(B \cos \theta) \\ & =B(A \cos \theta) \end{aligned} $$

ജ്യാമിതീയമായി, $B \cos \theta$ എന്നത് ചിത്രം 5.1 (b) ൽ $\mathbf{B}$ ന്റെ $\mathbf{A}$ മേലുള്ള പ്രൊജക്ഷനാണ്, $A \cos \theta$ എന്നത് ചിത്രം 5.1 (c) ൽ $\mathbf{A}$ ന്റെ $\mathbf{B}$ മേലുള്ള പ്രൊജക്ഷനാണ്. അതിനാൽ, A.B എന്നത് $\mathbf{A}$ ന്റെ പരിമാണവും $\mathbf{B}$ ന്റെ A യുടെ ദിശയിലുള്ള ഘടകവും തമ്മിലുള്ള ഗുണനഫലമാണ്. അല്ലെങ്കിൽ, ഇത് $\mathbf{B}$ ന്റെ പരിമാണവും $\mathbf{A}$ ന്റെ $\mathbf{B}$ യുടെ ദിശയിലുള്ള ഘടകവും തമ്മിലുള്ള ഗുണനഫലമാണ്.

സമവാക്യം (5.1a) സ്കെയിലർ ഗുണനഫലം കമ്യൂട്ടേറ്റീവ് നിയമം പാലിക്കുന്നുവെന്ന് കാണിക്കുന്നു:

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}$

സ്കെയിലർ ഗുണനഫലം ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് നിയമം പാലിക്കുന്നു:

$\mathbf{A} \cdot(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}+\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}$

കൂടാതെ, $\quad \mathbf{A} \cdot(\lambda \mathbf{B})=\lambda(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$

ഇവിടെ $\lambda$ ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്.

മുകളിലെ സമവാക്യങ്ങളുടെ തെളിവുകൾ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വ്യായാമമായി വിട്ടുകൊടുക്കുന്നു.

യൂണിറ്റ് സദിശങ്ങൾക്കായി $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}$ നമുക്കുള്ളത്

$$ \begin{aligned} & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=1 \\ & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=0 \end{aligned} $$

രണ്ട് സദിശങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു

$$ \begin{aligned} & \mathbf{A}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}} \\ & \mathbf{B}=B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}} \end{aligned} $$

അവയുടെ സ്കെയിലർ ഗുണനഫലം

$$ \begin{align*} & \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\left(A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \cdot\left(B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \\ & =A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z} \tag{5.1b} \end{align*} $$

സ്കെയിലർ ഗുണനഫലത്തിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്നും (സമവാക്യം 5.1b) യിൽ നിന്നും നമുക്കുള്ളത്:

$$ \begin{equation*} \text{(i)} \quad \quad \quad \quad \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=A_{x} A_{x}+A_{y} A_{y}+A_{z} A_{z} \end{equation*} $$

$$\text{Or, } \quad\quad\quad\quad A^{2}=A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2} \tag{5.1c}$$

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=|\mathbf{A}||\mathbf{A}| \cos 0=A^{2}$ ആയതിനാൽ.

(ii) $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=0$, $\mathbf{A}$ ഉം $\mathbf{B}$ ഉം പരസ്പരം ലംബമാണെങ്കിൽ.

ഉദാഹരണം 5.1 ബലം $\mathbf{F}=(3 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}-5 \hat{\mathbf{k}})$ യൂണിറ്റും സ്ഥാനാന്തരം $\mathbf{d}=(5 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}})$ യൂണിറ്റും തമ്മിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുക. കൂടാതെ $\mathbf{F}$ ന്റെ $\mathbf{d}$ മേലുള്ള പ്രൊജക്ഷൻ കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരം $\mathbf{F} \cdot \mathbf{d}=F_{x} d_{x}+F_{y} d_{y}+F_{z} d_{z}$

$$ \begin{aligned} & =3(5)+4(4)+(-5)(3) \\ & =16 \text { unit } \end{aligned} $$

അതിനാൽ $\mathbf{F} \cdot \mathbf{d}=F d \cos \theta=16$ യൂണിറ്റ്

ഇപ്പോൾ $\mathbf{F} \cdot \mathbf{F}$ $$ =F^{2}=F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2} $$

$$ \begin{aligned} & =9+16+25 \\ & =50 \text { unit } \end{aligned} $$

ഒപ്പം $\mathbf{d} \cdot \mathbf{d} \quad=d^{2}=d_{x}^{2}+d_{y}^{2}+d_{z}^{2}$

$$ =25+16+9 $$

$$ =50 \text { unit } $$

$\therefore \cos \theta=\frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{50}}=\frac{16}{50}=0.32$,

$\theta=\cos ^{-1} 0.32$

ചിത്രം 5.1 (a) രണ്ട് സദിശങ്ങളായ A യുടെയും B യുടെയും സ്കെയിലർ ഗുണനഫലം ഒരു സ്കെയിലറാണ്: A.B = A B cos θ. (b) B cos θ എന്നത് B യുടെ A യുടെ മേലുള്ള പ്രൊജക്ഷൻ ആണ്. (c) A cos θ എന്നത് A യുടെ B യുടെ മേലുള്ള പ്രൊജക്ഷൻ ആണ്.

5.2 പ്രവൃത്തിയുടെയും ഗതികോർജ്ജത്തിന്റെയും ആശയങ്ങൾ: പ്രവൃത്തി-ഊർജ്ജ സിദ്ധാന്തം

അദ്ധ്യായം 3-ൽ സ്ഥിര ത്വരണത്തിൽ നേർരേഖാ ചലനത്തിനായുള്ള $a$ എന്ന താഴെയുള്ള ബന്ധം നാം കണ്ടുമുട്ടിയിട്ടുണ്ട്,

$$ \begin{equation*} v^{2}-u^{2}=2 a s \tag{5.2} \end{equation*} $$

ഇവിടെ $u$ ഉം $v$ ഉം ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും വേഗതകളാണ്, $s$ എന്നത് സഞ്ചരിച്ച ദൂരമാണ്. ഇരുവശങ്ങളെയും $m / 2$ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, നമുക്കുള്ളത്

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m a s=F s \tag{5.2a} \end{equation*} $$

ഇവിടെ അവസാനത്തെ ഘട്ടം ന്യൂട്ടന്റെ രണ്ടാം നിയമത്തിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നു. സദിശങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യം (5.2) മൂന്ന് അളവുകളിലേക്ക് നമുക്ക് സാമാന്യവൽക്കരിക്കാം

$$ v^{2}-u^{2}=2 \text { a.d } $$

ഇവിടെ $\mathbf{a}$ ഉം ⟦165⟉ ഉം യഥാക്രമം വസ്തുവിന്റെ ത്വരണവും സ്ഥാനാന്തര സദിശങ്ങളാണ്. വീണ്ടും ഇരുവശങ്ങളെയും $\mathrm{m} / 2$ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m \mathbf{a} \cdot \mathbf{d}=\mathbf{F} . \mathbf{d} \tag{5.2b} \end{equation*} $$

മുകളിലെ സമവാക്യം പ്രവൃത്തിയുടെയും ഗതികോർജ്ജത്തിന്റെയും നിർവചനങ്ങൾക്ക് ഒരു പ്രേരണ നൽകുന്നു. സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശം ‘പിണ്ഡത്തിന്റെ പകുതി തവണ വേഗതയുടെ വർഗ്ഗം’ എന്ന അളവിലെ അതിന്റെ ആദ്യ മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് അവസാന മൂല്യത്തിലേക്കുള്ള വ്യത്യാസമാണ്. ഈ ഓരോ അളവുകളെയും നമ്മൾ ‘ഗതികോർജ്ജം’ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, $K$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. വലതുവശം സ്ഥാനാന്തരത്തിന്റെയും സ്ഥാനാന്തരത്തിന്റെ ദിശയിലുള്ള ബലത്തിന്റെ ഘടകത്തിന്റെയും ഗുണനഫലമാണ്. ഈ അളവിനെ ‘പ്രവൃത്തി’ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, W എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. സമവാക്യം (5.2b) അപ്പോൾ

$$ \begin{equation*} K_{f}-K_{i}=W \tag{5.3} \end{equation*} $$

ഇവിടെ $K_{i}$ ഉം $K_{f}$ ഉം യഥാക്രമം വസ്തുവിന്റെ ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും ഗതികോർജ്ജങ്ങളാണ്. പ്രവൃത്തി ഒരു ബലത്തെയും അത് പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഒരു നിശ്ചിത സ്ഥാനാന്തരത്തെയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു നിശ്ചിത സ്ഥാനാന്തരത്തിൽ ഒരു ബലം വസ്തുവിൽ ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തിയാണിത്.

സമവാക്യം (5.2) പ്രവൃത്തി-ഊർജ്ജ (WE) സിദ്ധാന്തത്തിന്റെയും ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ്: ഒരു കണത്തിന്റെ ഗതികോർജ്ജത്തിലെ മാറ്റം അതിൽ ചെലുത്തുന്ന ആകെ ബലം ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തിക്ക് തുല്യമാണ്. ഒരു പരിവർത്തനശീല ബലത്തിനായി മുകളിലെ ഡെറിവേഷൻ പിന്നീടുള്ള ഒരു വിഭാഗത്തിൽ നമ്മൾ സാമാന്യവൽക്കരിക്കും.

ഉദാഹരണം 5.2 താഴോട്ടുള്ള ഗുരുത്വാകർഷണ ബലത്തിന്റെയും എതിർക്കുന്ന പ്രതിരോധ ബലത്തിന്റെയും സ്വാധീനത്തിൽ ഒരു മഴത്തുള്ളി വീഴുന്നുവെന്ന് അറിയാവുന്നതാണ്. പിന്നീടുള്ളത് തുള്ളിയുടെ വേഗതയ്ക്ക് ആനുപാതികമാണെന്ന് അറിയപ്പെടുന്നു, എന്നാൽ അല്ലാത്തപക്ഷം നിർണ്ണയിക്കപ്പെടാത്തതാണ്. $1.00 \mathrm{~g}$ പിണ്ഡമുള്ള ഒരു തുള്ളി $1.00 \mathrm{~km}$ ഉയരത്തിൽ നിന്ന് വീഴുന്നത് പരിഗണിക്കുക. അത് $50.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ വേഗതയോടെ നിലത്തു തട്ടുന്നു. (a) ഗുരുത്വാകർഷണ ബലം ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തി എന്താണ്? അജ്ഞാതമായ പ്രതിരോധ ബലം ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തി എന്താണ്?

ഉത്തരം (a) തുള്ളിയുടെ ഗതികോർജ്ജത്തിലെ മാറ്റം

$$ \begin{aligned} & \Delta K=\frac{1}{2} m v^{2}-0 \\ & =\frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 50 \times 50 \\ & =1.25 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

ഇവിടെ തുള്ളി തുടക്കത്തിൽ നിശ്ചലാവസ്ഥയിലാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിച്ചിരിക്കുന്നു. $g$ $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ എന്ന മൂല്യമുള്ള ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണെന്ന് അനുമാനിക്കുമ്പോൾ, ഗുരുത്വാകർഷണ ബലം ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തി,

$$ \begin{aligned} W_{g} & =m g h \\ & =10^{-3} \times 10 \times 10^{3} \\ & =10.0 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

(b) പ്രവൃത്തി-ഊർജ്ജ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന്

$$ \Delta K=W_{g}+W_{r} $$

ഇവിടെ $W_{r}$ എന്നത് മഴത്തുള്ളിയിൽ പ്രതിരോധ ബലം ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തിയാണ്. അങ്ങനെ

$$ \begin{aligned} W_{r} & =\Delta K-W_{g} \\ & =1.25-10 \\ & =-8.75 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

നെഗറ്റീവ് ആണ്.

5.3 പ്രവൃത്തി

മുമ്പ് കണ്ടതുപോലെ, പ്രവൃത്തി ബലവുമായും അത് പ്രവർത്തിക്കുന്ന സ്ഥാനാന്തരവുമായും ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. $m$ പിണ്ഡമുള്ള ഒരു വസ്തുവിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഒരു സ്ഥിര ബലം $\mathbf{F}$ പരിഗണിക്കുക. വസ്തു ചിത്രം 5.2 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ പോസിറ്റീവ് $x$-ദിശയിൽ $\mathbf{d}$ സ്ഥാനാന്തരം അനുഭവിക്കുന്നു.

ചിത്രം 5.2 ബലം F യുടെ സ്വാധീനത്തിൽ ഒരു വസ്തു d സ്ഥാനാന്തരം അനുഭവിക്കുന്നു.

ബലം ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തി സ്ഥാനാന്തരത്തിന്റെ ദിശയിലുള്ള ബലത്തിന്റെ ഘടകത്തിന്റെയും ഈ സ്ഥാനാന്തരത്തിന്റെ പരിമാണത്തിന്റെയും ഗുണനഫലമായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു. അങ്ങനെ

$$ \begin{equation*} W=(F \cos \theta) d=\mathbf{F} \cdot \mathbf{d} \tag{5.4} \end{equation*} $$

സ്ഥാനാന്തരം ഇല്ലെങ്കിൽ, ബലം വലുതാണെങ്കിലും പ്രവൃത്തി ചെയ്യപ്പെടുന്നില്ലെന്ന് നാം കാണുന്നു. അങ്ങനെ, നിങ്ങൾ ഒരു കടുപ്പമുള്ള ഇഷ്ടിക മതിലിനെതിരെ കഠിനമായി തള്ളുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ മതിലിൽ ചെലുത്തുന്ന ബലം ഒരു പ്രവൃത്തിയും ചെയ്യുന്നില്ല. എന്നിട്ടും നിങ്ങളുടെ പേശികൾ ക്രമാനുഗതമായി ചുരുങ്ങുകയും ശിഥിലമാവുകയും ആന്തരിക ഊർജ്ജം ഉപയോഗിക്കപ്പെടുകയും നിങ്ങൾ ക്ഷീണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അങ്ങനെ, ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ പ്രവൃത്തിയുടെ അർത്ഥം ദൈനംദിന ഭാഷയിലെ അതിന്റെ ഉപയോഗത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്.

ഇനിപ്പറയുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ പ്രവൃത്തി ചെയ്യപ്പെടുന്നില്ല:

(i) മുകളിലെ ഉദാഹരണത്തിൽ കണ്ടതുപോലെ സ്ഥാനാന്തരം പൂജ്യമാണ്. 150 $\mathrm{kg}$ പിണ്ഡം തന്റെ തോളിൽ സ്ഥിരമായി $30 \mathrm{~s}$ നിരന്തരം പിടിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു വെയ്റ്റ്ലിഫ്റ്റർ ഈ സമയത്ത് ലോഡിൽ ഒരു പ്രവൃത്തിയും ചെയ്യുന്നില്ല.

(ii) ബലം പൂജ്യമാണ്. മിനുസമാർന്ന തിരശ്ചീന മേശയിൽ ചലിക്കുന്ന ഒരു ബ്ലോക്കിൽ ഒരു തിരശ്ചീന ബലം പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ല (ഘർഷണം ഇല്ലാത്തതിനാൽ), എന്നാൽ ഒരു വലിയ സ്ഥാനാന്തരം അനുഭവപ്പെടാം.

(iii) ബലവും സ്ഥാനാന്തരവും പരസ്പരം ലംബമാണ്. $\theta=\pi / 2 \mathrm{rad}$ $\left(=90^{\circ}\right), \cos (\pi / 2)=0$ ആയതിനാൽ ഇത് അങ്ങനെയാണ്. മിനുസമാർന്ന തിരശ്ചീന മേശയിൽ ചലിക്കുന്ന ബ്ലോക്കിന്, ഗുരുത്വാകർഷണ ബലം $m g$ പ്രവൃത്തി ചെയ്യുന്നില്ല, കാരണം അത് സ്ഥാനാന്തരത്തിന് വലത് കോണുകളിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ഭൂമിയെ ചുറ്റിയുള്ള ചന്ദ്രന്റെ ഭ്രമണപഥം തികച്ചും വൃത്താകൃതിയിലാണെന്ന് നമ്മൾ അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഭൂമിയുടെ ഗുരുത്വാകർഷണ ബലം ഒരു പ്രവൃത്തിയും ചെയ്യുന്നില്ല. ചന്ദ്രന്റെ തൽക്ഷണ സ്ഥാനാന്തരം സ്പർശരേഖാപരമാണ്, ഭൂമിയുടെ ബലം ആരത്തിലുള്ളതാണ്, $\theta=\pi / 2$.

പ്രവൃത്തി പോസിറ്റീവും നെഗറ്റീവും ആകാം. $\theta$ $0^{\circ}$ നും $90^{\circ}, \cos \theta$ നും ഇടയിലാണെങ്കിൽ സമവാക്യത്തിൽ (5.4) $\theta$ പോസിറ്റീവ് ആണ്. $90^{\circ}$ $180^{\circ}, \cos \theta$ നും ഇടയിലാണെങ്കിൽ $\theta=180^{\circ}$ നെഗറ്റീവ് ആണ്. പല ഉദാഹരണങ്ങളിലും ഘർഷണ ബലം സ്ഥാനാന്തരത്തെ എതിർക്കുകയും $\left(\cos 180^{\circ}=-1\right)$ ആകുകയും ചെയ്യുന്നു. അപ്പോൾ ഘർഷണം ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തി നെഗറ്റീവ് ആണ് $\left[\mathrm{ML}^{2} \mathrm{~T}^{-2}\right]$.

സമവാക്യം (5.4) ൽ നിന്ന് പ്രവൃത്തിക്കും ഊർജ്ജത്തിനും ഒരേ അളവുകൾ ഉണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്, $\mathrm{J}$. ഇവയുടെ SI യൂണിറ്റ് ജൂൾ (J) ആണ്, പ്രശസ്ത ബ്രിട്ടീഷ് ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞനായ ജെയിംസ് പ്രെസ്കോട്ട് ജൂൾ (1811-1869) എന്നയാളുടെ പേരിലാണ് ഇത്. പ്രവൃത്തിയും ഊർജ്ജവും ഭൗതിക ആശയങ്ങളായി വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നതിനാൽ, ബദൽ യൂണിറ്റുകൾ ധാരാളമുണ്ട്, ഇവയിൽ ചിലത് പട്ടിക 5.1 ൽ പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

പട്ടിക 5.1 $10^{-7} \mathrm{~J}$ ൽ പ്രവൃത്തി/ഊർജ്ജത്തിന്റെ ബദൽ യൂണിറ്റുകൾ

ഉദാഹരണം 5.3 ഒരു സൈക്കിൾ യാത്രക്കാരൻ $200 \mathrm{~N}$ ൽ സ്കിഡ്ഡിംഗ് നിർത്തലിൽ എത്തുന്നു. ഈ പ്രക്രിയയിൽ, റോഡ് കാരണം സൈക്കിളിൽ ചെലുത്തുന്ന ബലം $180^{\circ}$ ആണ്, ഇത് ചലനത്തിന് നേരിട്ട് എതിർക്കുന്നു. (a) റോഡ് സൈക്കിളിൽ എത്രത്തോളം പ്രവൃത്തി ചെയ്യുന്നു? (b) സൈക്കിൾ റോഡിൽ എത്രത്തോളം പ്രവൃത്തി ചെയ്യുന്നു?

ഉത്തരം സൈക്കിളിൽ റോഡ് ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തി റോഡ് കാരണം സൈക്കിളിൽ ചെലുത്തുന്ന നിർത്തൽ (ഘർഷണ) ബലം ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തിയാണ്.

(a) നിർത്തൽ ബലവും സ്ഥാനാന്തരവും പരസ്പരം $\pi \mathrm{rad}$ ( $\mathrm{B}$) കോൺ ഉണ്ടാക്കുന്നു. അങ്ങനെ, റോഡ് ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തി,

$$ \begin{aligned} W_{r} & =F d \cos \theta \\ & =200 \times 10 \times \cos \pi \\ & =-2000 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

WE സിദ്ധാന്തത്തിന് അനുസൃതമായി സൈക്കിളിനെ നിർത്തലാക്കുന്നത് ഈ നെഗറ്റീവ് പ്രവൃത്തിയാണ്.

(b) ന്യൂട്ടന്റെ മൂന്നാം നിയമത്തിൽ നിന്ന്, സൈക്കിൾ കാരണം റോഡിൽ ഒരു തുല്യവും വിപരീതവുമായ ബലം പ്രവർത്തിക്കുന്നു. അതിന്റെ പരിമാണം 200 N ആണ്. എന്നിരുന്നാലും, റോഡ് ഒരു സ്ഥാനാന്തരവും അനുഭവിക്കുന്നില്ല. അങ്ങനെ, സൈക്കിൾ റോഡിൽ