7.1 ആമുഖം

നമ്മുടെ ജീവിതത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽത്തന്നെ, എല്ലാ ദ്രവ്യവസ്തുക്കളും ഭൂമിയിലേക്ക് ആകർഷിക്കപ്പെടുന്ന പ്രവണതയെക്കുറിച്ച് നാം അറിയുന്നു. മുകളിലേക്ക് എറിയുന്ന എന്തും താഴേക്ക് വീഴുന്നു, മലയുടെ മുകളിലേക്ക് പോകുന്നത് താഴേക്ക് പോകുന്നതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ ക്ഷീണിപ്പിക്കുന്നതാണ്, മേഘങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള മഴത്തുള്ളികൾ ഭൂമിയിലേക്ക് വീഴുന്നു, ഇതുപോലെയുള്ള നിരവധി പ്രതിഭാസങ്ങൾ നിലനിൽക്കുന്നു. ചരിത്രപരമായി, എല്ലാ വസ്തുക്കളും അവയുടെ പിണ്ഡം എന്തായാലും ഒരേ ത്വരണത്തോടെ ഭൂമിയിലേക്ക് ത്വരണം പ്രാപിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുത തിരിച്ചറിഞ്ഞത് ഇറ്റാലിയൻ ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഗലീലിയോ (1564-1642) ആണ്. ഈ വസ്തുത അദ്ദേഹം പൊതുജനങ്ങൾക്ക് മുന്നിൽ പ്രദർശിപ്പിച്ചുവെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. സത്യം കണ്ടെത്താൻ, അദ്ദേഹം ചരിഞ്ഞ തലങ്ങളിൽ താഴേക്ക് ഉരുളുന്ന വസ്തുക്കളുമായി പരീക്ഷണങ്ങൾ നടത്തി, പിന്നീട് ലഭിച്ച കൂടുതൽ കൃത്യമായ മൂല്യത്തോട് അടുത്തുള്ള ഗുരുത്വാകർഷണ ത്വരണത്തിന്റെ ഒരു മൂല്യത്തിലെത്തി.

ഒരു തോന്നിയപ്പോൾ ബന്ധമില്ലാത്ത പ്രതിഭാസം, നക്ഷത്രങ്ങൾ, ഗ്രഹങ്ങൾ, അവയുടെ ചലനം എന്നിവ നിരീക്ഷിക്കുന്നത് ഏറ്റവും പുരാതന കാലം മുതൽക്കേ നിരവധി രാജ്യങ്ങളിൽ ശ്രദ്ധയുടെ വിഷയമാണ്. പുരാതന കാലം മുതൽ നടത്തിയ നിരീക്ഷണങ്ങൾ, വർഷങ്ങളായി സ്ഥാനം മാറാതെ ആകാശത്ത് പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്ന നക്ഷത്രങ്ങളെ തിരിച്ചറിഞ്ഞു. കൂടുതൽ രസകരമായ വസ്തുക്കൾ ഗ്രഹങ്ങളാണ്, അവ നക്ഷത്രങ്ങളുടെ പശ്ചാത്തലത്തിൽ ക്രമമായ ചലനങ്ങൾ ഉള്ളതായി തോന്നുന്നു. ഏകദേശം 2000 വർഷം മുമ്പ് ടോളമി നിർദ്ദേശിച്ച ഗ്രഹചലനങ്ങളുടെ ആദ്യത്തെ രേഖപ്പെടുത്തപ്പെട്ട മാതൃക ഒരു ‘ഭൂകേന്ദ്രീയ’ മാതൃകയായിരുന്നു, അതിൽ എല്ലാ ഖഗോള വസ്തുക്കളും, നക്ഷത്രങ്ങൾ, സൂര്യൻ, ഗ്രഹങ്ങൾ എന്നിവയെല്ലാം ഭൂമിയെ ചുറ്റി പരിക്രമണം ചെയ്തു. ഖഗോള വസ്തുക്കൾക്ക് സാധ്യമായ ഏക ചലനം വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചലനം മാത്രമാണെന്ന് കരുതപ്പെട്ടു. ഗ്രഹങ്ങളുടെ നിരീക്ഷിച്ച ചലനം വിവരിക്കാൻ ടോളമി സങ്കീർണ്ണമായ ചലന പദ്ധതികൾ മുന്നോട്ട് വച്ചു. ഗ്രഹങ്ങൾ വൃത്തങ്ങളിൽ ചലിക്കുന്നതായി വിവരിച്ചു, ആ വൃത്തങ്ങളുടെ കേന്ദ്രങ്ങൾ തന്നെ വലിയ വൃത്തങ്ങളിൽ ചലിക്കുന്നു. ഏകദേശം 400 വർഷങ്ങൾക്ക് ശേഷം ഇന്ത്യൻ ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞരും സമാനമായ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ മുന്നോട്ട് വച്ചു. എന്നിരുന്നാലും, സൂര്യനാണ് കേന്ദ്രം, അതിനെ ചുറ്റി ഗ്രഹങ്ങൾ പരിക്രമണം ചെയ്യുന്ന ഒരു കൂടുതൽ മനോഹരമായ മാതൃക - ‘സൗരകേന്ദ്രീയ’ മാതൃക - ആര്യഭട്ടൻ ($5^{\text {th }}$ നൂറ്റാണ്ട് എ.ഡി.) തന്റെ ഗ്രന്ഥത്തിൽ ഇതിനകം പരാമർശിച്ചിരുന്നു. ആയിരം വർഷങ്ങൾക്ക് ശേഷം, നിക്കോളാസ് കോപ്പർനിക്കസ് (1473-1543) എന്ന പോളിഷ് സന്യാസി ഒരു നിശ്ചിത കേന്ദ്ര സൂര്യനെ ചുറ്റി ഗ്രഹങ്ങൾ വൃത്തങ്ങളിൽ ചലിക്കുന്ന ഒരു നിശ്ചിത മാതൃക നിർദ്ദേശിച്ചു. അദ്ദേഹത്തിന്റെ സിദ്ധാന്തത്തെ സഭ അവഗണിച്ചു, പക്ഷേ അതിന്റെ പിന്തുണക്കാരിൽ ശ്രദ്ധേയനായിരുന്നത് തന്റെ വിശ്വാസങ്ങൾക്ക് വേണ്ടി രാഷ്ട്രത്തിൽ നിന്ന് വിചാരണ നേരിടേണ്ടിവന്ന ഗലീലിയോ ആയിരുന്നു.

ഗലീലിയോയുടെ കാലത്തിന് ഏകദേശം ഒരേ സമയത്താണ്, ഡെന്മാർക്കിൽ നിന്നുള്ള ടൈക്കോ ബ്രാഹെ (1546-1601) എന്ന പ്രഭു, തന്റെ മുഴുവൻ ജീവിതവും നഗ്നനേത്രങ്ങളാൽ ഗ്രഹങ്ങളുടെ നിരീക്ഷണങ്ങൾ രേഖപ്പെടുത്തുന്നതിന് ചെലവഴിച്ചു. അദ്ദേഹത്തിന്റെ സഹായിയായ ജോഹന്നസ് കെപ്ലർ (1571-1640) പിന്നീട് അദ്ദേഹത്തിന്റെ സമാഹരിച്ച ഡാറ്റ വിശകലനം ചെയ്തു. ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് അദ്ദേഹത്തിന് ഇപ്പോൾ കെപ്ലറുടെ നിയമങ്ങൾ എന്ന് അറിയപ്പെടുന്ന മൂന്ന് മനോഹരമായ നിയമങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിഞ്ഞു. ഈ നിയമങ്ങൾ ന്യൂട്ടന് അറിയാമായിരുന്നു, അവ അദ്ദേഹത്തെ തന്റെ സാർവത്രിക ഗുരുത്വാകർഷണ നിയമം നിർദ്ദേശിക്കുന്നതിൽ ഒരു വലിയ ശാസ്ത്രീയ ചാട്ടം എടുക്കാൻ പ്രാപ്തമാക്കി.

7.2 കെപ്ലറുടെ നിയമങ്ങൾ

കെപ്ലറുടെ മൂന്ന് നിയമങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രസ്താവിക്കാം:

1. ഭ്രമണപഥങ്ങളുടെ നിയമം : എല്ലാ ഗ്രഹങ്ങളും സൂര്യൻ ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ ഒരു ഫോക്കസിൽ (ചിത്രം 7.1a) സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ദീർഘവൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഭ്രമണപഥങ്ങളിൽ ചലിക്കുന്നു (ചിത്രം 7.1a). വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഭ്രമണപഥങ്ങൾ മാത്രമേ അനുവദിച്ചിരുന്ന കോപ്പർനിക്കൻ മാതൃകയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു വ്യതിയാനമായിരുന്നു ഈ നിയമം. വൃത്തം ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ്, ദീർഘവൃത്തം ഒരു അടഞ്ഞ വക്രമാണ്, അത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ വളരെ ലളിതമായി വരയ്ക്കാം.

ചിത്രം. 7.1(a) ഒരു ഗ്രഹം സൂര്യനെ ചുറ്റി വരയ്ക്കുന്ന ഒരു ദീർഘവൃത്തം. ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള ബിന്ദു P യും ഏറ്റവും അകലെയുള്ള ബിന്ദു A യും ആണ്, P-യെ പെരിഹീലിയൻ എന്നും A-യെ അപീലിയൻ എന്നും വിളിക്കുന്നു. സെമിമേജർ അക്ഷം AP ദൂരത്തിന്റെ പകുതിയാണ്

ചിത്രം. 7.1(b) ഒരു ദീർഘവൃത്തം വരയ്ക്കുന്നു. ഒരു കയറിന്റെ അറ്റങ്ങൾ F1, F2 എന്നിവയിൽ ഉറപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു പെൻസിലിന്റെ അഗ്രം കയർ ചുറുചുറുക്കോടെ പിടിച്ച് ചുറ്റും നീക്കുന്നു

രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ $\mathrm{F}_1$, $\mathrm{F}_2$ തിരഞ്ഞെടുക്കുക. ഒരു കയറിന്റെ നീളം എടുത്ത് അതിന്റെ അറ്റങ്ങൾ $F_1$, $F_2$ എന്നിവയിൽ പിന്നുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉറപ്പിക്കുക. ഒരു പെൻസിലിന്റെ അഗ്രം ഉപയോഗിച്ച് കയർ ചുറുചുറുക്കോടെ വലിച്ചുനീട്ടി, പിന്നീട് കയർ മുഴുവൻ ചുറുചുറുക്കോടെ നിലനിർത്തിക്കൊണ്ട് പെൻസിൽ നീക്കി ഒരു വക്രം വരയ്ക്കുക. (ചിത്രം. 7.1(b)) നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്ന അടഞ്ഞ വക്രത്തെ ദീർഘവൃത്തം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. വ്യക്തമായും, ദീർഘവൃത്തത്തിലെ ഏത് ബിന്ദുവിനും $\mathrm{T}$, $\mathrm{F}_1$, $\mathrm{F}_2$ എന്നിവയിൽ നിന്നുള്ള ദൂരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ്. $\mathrm{F}_1, \mathrm{~F}_2$ ഫോസൈ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു. ബിന്ദുക്കൾ $\mathrm{F}_1$, $\mathrm{F}_2$ എന്നിവ ചേർത്ത് രേഖ ദീർഘവൃത്തത്തെ ബിന്ദുക്കളിൽ $\mathrm{P}$, $\mathrm{A}$ എന്നിവയിൽ ഛേദിക്കുന്നതിന് നീട്ടുക, ചിത്രം 7.1(b) ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ. PA രേഖയുടെ മധ്യബിന്ദു ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രമാണ് $\mathrm{O}$, നീളം $\mathrm{PO}=$ AO ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ സെമി-മേജർ അക്ഷം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു. ഒരു വൃത്തത്തിന്, രണ്ട് ഫോസൈ ഒന്നായി ലയിക്കുകയും സെമി-മേജർ അക്ഷം വൃത്തത്തിന്റെ ആരമായി മാറുകയും ചെയ്യുന്നു.

2. പ്രദേശങ്ങളുടെ നിയമം : ഏത് ഗ്രഹത്തെയും സൂര്യനുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന രേഖ തുല്യ സമയ ഇടവേളകളിൽ തുല്യമായ പ്രദേശങ്ങൾ വീശുന്നു (ചിത്രം 7.2). ഗ്രഹങ്ങൾ സൂര്യനിൽ നിന്ന് അകലെയാകുമ്പോൾ അടുത്താകുമ്പോൾ കാണുന്നതിനേക്കാൾ മന്ദഗതിയിൽ നീങ്ങുന്നതായി തോന്നുന്ന നിരീക്ഷണങ്ങളിൽ നിന്നാണ് ഈ നിയമം വരുന്നത്.

ചിത്രം. 7.2 ഗ്രഹം P സൂര്യനെ ചുറ്റി ഒരു ദീർഘവൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഭ്രമണപഥത്തിൽ നീങ്ങുന്നു. നിഴലിട്ട പ്രദേശം ഒരു ചെറിയ സമയ ഇടവേളയിൽ ∆t വീശിയെടുത്ത ∆A പ്രദേശമാണ്.

3. കാലയളവുകളുടെ നിയമം : ഒരു ഗ്രഹത്തിന്റെ പരിക്രമണ കാലയളവിന്റെ വർഗ്ഗം ഗ്രഹം വരയ്ക്കുന്ന ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ സെമി-മേജർ അക്ഷത്തിന്റെ ഘനത്തിന് ആനുപാതികമാണ്.

പട്ടിക 7.1 സൂര്യനെ ചുറ്റി എട്ട്* ഗ്രഹങ്ങളുടെ പരിക്രമണത്തിന്റെ ഏകദേശ കാലയളവുകൾ അവയുടെ സെമി-മേജർ അക്ഷങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളോടൊപ്പം നൽകുന്നു.

പട്ടിക 7.1

ഗ്രഹചലനങ്ങളുടെ അളവിൽ നിന്നുള്ള ഡാറ്റ ചുവടെ നൽകിയിരിക്കുന്നു, കെപ്ലറുടെ കാലയളവുകളുടെ നിയമം സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു

$$ \begin{aligned} & (a \equiv \text{Semi-major axis in units of } 10^{10} \mathrm{~m}. \\ & T \equiv \text{Time period of revolution of the planet in years }(y). \\ & Q \equiv \text{The quotient } ( T^{2} / a^{3})\\ & \text{in units of } 10^{-34} \mathrm{y}^{2} \mathrm{~m}^{-3}.) \end{aligned} $$

പ്രദേശങ്ങളുടെ നിയമം ഏതെങ്കിലും കേന്ദ്ര ബലത്തിന് സാധുതയുള്ള കോണീയ ആക്ക സംരക്ഷണത്തിന്റെ ഫലമായി മനസ്സിലാക്കാം. ഒരു കേന്ദ്ര ബലം എന്നത് ഗ്രഹത്തിലെ ബലം സൂര്യനെയും ഗ്രഹത്തെയും ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന വെക്റ്ററിനൊപ്പമാണ്. സൂര്യൻ ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് ആയിരിക്കട്ടെ, ഗ്രഹത്തിന്റെ സ്ഥാനവും ആക്കവും യഥാക്രമം $\mathbf{r}$, $\mathbf{p}$ എന്നിവയാൽ സൂചിപ്പിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ $\mathrm{m}$ പിണ്ഡമുള്ള ഗ്രഹം $\Delta t$ സമയ ഇടവേളയിൽ വീശിയെടുത്ത പ്രദേശം (ചിത്രം 7.2) $\Delta \mathbf{A}$ നൽകിയിരിക്കുന്നു

$$ \begin{equation*} \Delta \mathbf{A}=1 / 2(\mathbf{r} \times \mathbf{v} \Delta t) \tag{7.1} \end{equation*} $$

അതിനാൽ

$$ \Delta \mathbf{A} / \Delta \mathrm{t}=1 / 2(\mathbf{r} \times \mathbf{p}) / \mathrm{m},(\text { since } \mathbf{v}=\mathbf{p} / \mathrm{m}) $$ $$ \begin{equation*} =\mathrm{L} /(2 \mathrm{~m}) \tag{7.2} \end{equation*} $$

ഇവിടെ $\mathbf{v}$ പ്രവേഗമാണ്, $\mathbf{L}$ $(\mathbf{r} \times \mathbf{p})$ ന് തുല്യമായ കോണീയ ആക്കമാണ്. ഒരു കേന്ദ്ര ബലത്തിന്, അത് $\mathbf{r}, \mathbf{L}$ നൊപ്പം നയിക്കപ്പെടുന്നു, ഗ്രഹം ചുറ്റും പോകുമ്പോൾ ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ്. അതിനാൽ, $\Delta \mathbf{A} / \Delta t$ അവസാന സമവാക്യം അനുസരിച്ച് ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ്. ഇതാണ് പ്രദേശങ്ങളുടെ നിയമം. ഗുരുത്വാകർഷണം ഒരു കേന്ദ്ര ബലമാണ്, അതിനാൽ പ്രദേശങ്ങളുടെ നിയമം പിന്തുടരുന്നു.

ഉദാഹരണം 7.1 ചിത്രം 7.1(a) ൽ പെരിഹീലിയൻ $P$ ൽ ഗ്രഹത്തിന്റെ വേഗത $V_P$ ആയിരിക്കട്ടെ, സൂര്യൻ-ഗ്രഹ ദൂരം SP $r_P$ ആയിരിക്കട്ടെ. $\{r_P, V_P\}$ അപീലിയൻ $\{r_A, V_A\}$ ൽ അനുബന്ധ അളവുകളുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തുക. ഗ്രഹത്തിന് $B A C$, $C P B$ എന്നിവ കടന്നുപോകാൻ തുല്യ സമയമെടുക്കുമോ?

ഉത്തരം $P$ ൽ കോണീയ ആക്കത്തിന്റെ പരിമാണം $L_p=m_p r_p V_p$ ആണ്, കാരണം $\mathbf{r}_p$, $\mathbf{v}_p$ എന്നിവ പരസ്പരം ലംബമാണെന്ന് പരിശോധന നമ്മോട് പറയുന്നു. അതുപോലെ, $L_A=m_p r_A V_A$. കോണീയ ആക്ക സംരക്ഷണത്തിൽ നിന്ന്

$$ m_{p} r_{p} v_{p}=m_{p} r_{A} v_{A} $$

അല്ലെങ്കിൽ $\frac{v_{p}}{v_{A}}=\frac{r_{A}}{r_{p}}$

$r_{A}>r_{p}, V_{p}>v_{A}$ ആയതിനാൽ.

ദീർഘവൃത്തവും ആര വെക്റ്ററുകളും $S B$, $S C$ എന്നിവയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന പ്രദേശം $S B A C$ ചിത്രം 7.1 ൽ $\mathrm{SBPC}$ നേക്കാൾ വലുതാണ്. കെപ്ലറുടെ രണ്ടാം നിയമത്തിൽ നിന്ന്, തുല്യമായ പ്രദേശങ്ങൾ തുല്യ സമയ ഇടവേളകളിൽ വീശപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ ഗ്രഹത്തിന് $B A C$ നേക്കാൾ $C P B$ കടന്നുപോകാൻ കൂടുതൽ സമയമെടുക്കും.

7.3 സാർവത്രിക ഗുരുത്വാകർഷണ നിയമം

ഒരു മരത്തിൽ നിന്ന് ഒരു ആപ്പിൾ വീഴുന്നത് നിരീക്ഷിച്ച്, ഭൗമ ഗുരുത്വാകർഷണത്തിന്റെ വിശദീകരണത്തിലേക്കും കെപ്ലറുടെ നിയമങ്ങളിലേക്കും നയിച്ച ഒരു സാർവത്രിക ഗുരുത്വാകർഷണ നിയമത്തിലെത്താൻ ന്യൂട്ടൻ പ്രചോദനം ഉൾക്കൊണ്ടുവെന്ന് ഐതിഹ്യം പറയുന്നു. $R_{m}$ ആരമുള്ള ഒരു ഭ്രമണപഥത്തിൽ പരിക്രമണം ചെയ്യുന്ന ചന്ദ്രൻ ഭൂമിയുടെ ഗുരുത്വാകർഷണം മൂലമുള്ള ഒരു അഭികേന്ദ്ര ത്വരണത്തിന് വിധേയമാണെന്നായിരുന്നു ന്യൂട്ടന്റെ യുക്തി

$$ \begin{equation*} a_{m}=\frac{V^{2}}{R_{m}}=\frac{4 \pi^{2} R_{m}}{T^{2}} \tag{7.3} \end{equation*} $$

ഇവിടെ $V$ ചന്ദ്രന്റെ വേഗതയാണ്, അത് കാലയളവ് $T$ ഉപയോഗിച്ച് $V=2 \pi R_{m} / T$ എന്ന ബന്ധത്താൽ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. കാലയളവ് $T$ ഏകദേശം 27.3 ദിവസമാണ്, $R_{m}$ അതിനകം ഏകദേശം $3.84 \quad 10^{8} \mathrm{~m}$ ആണെന്ന് അറിയാമായിരുന്നു. നമ്മൾ ഈ സംഖ്യകൾ സമവാക്യത്തിൽ (7.3) പകരം വയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് $a_{m}$ ന്റെ ഒരു മൂല്യം ലഭിക്കും, അത് ഭൂമിയുടെ ഗുരുത്വാകർഷണം മൂലമുള്ള ഭൂമിയുടെ ഉപരിതലത്തിലെ ഗുരുത്വാകർഷണ ത്വരണത്തിന്റെ മൂല്യമായ $g$ നേക്കാൾ വളരെ ചെറുതാണ്. ഭൂമിയുടെ ഗുരുത്വാകർഷണം മൂലമുള്ള ബലം ദൂരത്തിനനുസരിച്ച് കുറയുന്നുവെന്ന് ഇത് വ്യക്തമായി കാണിക്കുന്നു. ഭൂമിയുടെ ഗുരുത്വാകർഷണ ബലം ഭൂമിയുടെ കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്നുള്ള ദൂരത്തിന്റെ വിപരീത വർഗ്ഗത്തിന് ആനുപാതികമായി കുറയുന്നുവെന്ന് ഒരാൾ അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് $a_{m} \alpha R_{m}^{-2} ; g \alpha R_{E}^{-2}$ ഉണ്ടാകും, നമുക്ക് ലഭിക്കും

$$ \begin{equation*} \frac{g}{a_{m}}=\frac{R_{m}^{2}}{R_{E}^{2}} \simeq 3600 \tag{7.4} \end{equation*} $$

$g \simeq 9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ ന്റെ ഒരു മൂല്യവുമായും സമവാക്യത്തിൽ നിന്നുള്ള (7.3) $a_{\mathrm{m}}$ ന്റെ മൂല്യവുമായും യോജിക്കുന്നു. ഈ നിരീക്ഷണങ്ങൾ ന്യൂട്ടനെ ഇനിപ്പറയുന്ന സാർവത്രിക ഗുരുത്വാകർഷണ നിയമം നിർദ്ദേശിക്കാൻ പ്രേരിപ്പിച്ചു:

പ്രപഞ്ചത്തിലെ ഓരോ വസ്തുവും മറ്റെല്ലാ വസ്തുക്കളെയും അവയുടെ പിണ്ഡങ്ങളുടെ ഗുണനഫലത്തിന് നേർ അനുപാതത്തിലും അവ തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തിന്റെ വർഗ്ഗത്തിന് വിപരീത അനുപാതത്തിലുമുള്ള ഒരു ബലം കൊണ്ട് ആകർഷിക്കുന്നു.

ഈ ഉദ്ധരണി അടിസ്ഥാനപരമായി ന്യൂട്ടന്റെ ‘മാത്തമാറ്റിക്കൽ പ്രിൻസിപ്പിൾസ് ഓഫ് നാച്ചുറൽ ഫിലോസഫി’ (ചുരുക്കത്തിൽ പ്രിൻസിപ്പിയ) എന്ന പ്രസിദ്ധമായ ഗ്രന്ഥത്തിൽ നിന്നുള്ളതാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി പ്രസ്താവിച്ചാൽ, ന്യൂട്ടന്റെ ഗുരുത്വാകർഷണ നിയമം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ വായിക്കുന്നു: $m_{2}$ പോയിന്റ് പിണ്ഡത്തിൽ $\mathbf{F}$ ബലം മറ്റൊരു പോയിന്റ് പിണ്ഡം $m_{1}$ മൂലം പരിമാണമുണ്ട്

$$ \begin{equation*} |\mathbf{F}|=G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \tag{7.5} \end{equation*} $$

സമവാക്യം (7.5) വെക്റ്റർ രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം

$$ \begin{aligned} \mathbf{F} & =G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}(-\hat{\mathbf{r}})=-G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \\ \\ & =-G \frac{m_{1} m_{2}}{|\mathbf{r}|^{3}} \hat{\mathbf{r}} \end{aligned} $$

ഇവിടെ $\mathrm{G}$ സാർവത്രിക ഗുരുത്വാകർഷണ സ്ഥിരാങ്കമാണ്, $\hat{\mathbf{r}}$ $m_1$ മുതൽ $m_2$ വരെയുള്ള യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററാണ്, $\mathbf{r}=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$ ചിത്രം 7.3 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ.

ചിത്രം. 7.3 m1 ൽ ഗുരുത്വാകർഷണ ബലം m2 മൂലം r യുടെ ദിശയിലാണ്, ഇവിടെ വെക്റ്റർ r ആണ് (r2 – r1 ).

$m_1$ ൽ ഗുരുത്വാകർഷണ ബലം $m_2$ മൂലം $\mathbf{r}$ യുടെ ദിശയിലാണ്, ഇവിടെ വെക്റ്റർ $\mathbf{r}$ ($\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$) ആണ്. ഗുരുത്വാകർഷണ ബലം ആകർഷണാത്മകമാണ്, അതായത്, ബലം $\mathbf{F}$ $-\mathbf{r}$ യുടെ ദിശയിലാണ്. $m_2$ മൂലം $m_1$ പോയിന്റ് പിണ്ഡത്തിലെ ബലം തീർച്ചയായും ന്യൂട്ടന്റെ മൂന്നാം നിയമമനുസരിച്ച് $-\mathbf{F}$ ആണ്. അങ്ങനെ, F₁₂ ശരീരം 1-ലെ ഗുരുത്വാകർഷണ ബലം 2 മൂലവും F₂₁ ശരീരം 2-ലെ ബലം 1 മൂലവും ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു

F₁₂=-F₂₁.

സമവാക്യം (7.5) പരിഗണനയിലുള്ള വസ്തുക്കളിലേക്ക് പ്രയോഗിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, നാം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതുണ്ട്, കാരണം നിയമം പോയിന്റ് പിണ്ഡങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതേസമയം നമ്മൾ പരിമിത വലുപ്പ