മിക്ക ശാസ്ത്രങ്ങളിലും ഒരു തലമുറ മറ്റൊരു തലമുറ പണിതുയർത്തിയത് തകർക്കുകയും, ഒരാൾ സ്ഥാപിച്ചത് മറ്റൊരാൾ നിർത്തലാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ മാത്രമാണ് ഓരോ തലമുറയും പഴയ ഘടനയ്ക്ക് ഒരു പുതിയ നിലകൊള്ളുന്ന നിലവാരം കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നത്. - ഹെർമൻ ഹാങ്കൽ

10.1 ആമുഖം

നമ്മുടെ ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ, നിങ്ങളുടെ ഉയരം എത്രയാണ്? ഒരു ഫുട്ബോൾ കളിക്കാരൻ തന്റെ ടീമിലെ മറ്റൊരു കളിക്കാരന് പാസ് നൽകാൻ എങ്ങനെ പന്തടിക്കണം? - ഇതുപോലുള്ള നിരവധി ചോദ്യങ്ങൾ നാം കണ്ടുമുട്ടാറുണ്ട്. ആദ്യ ചോദ്യത്തിനുള്ള സാധ്യമായ ഉത്തരം 1.6 മീറ്റർ ആയിരിക്കാം, ഇത് ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയായ ഒരു മൂല്യം (പരിമാണം) മാത്രമുള്ള ഒരു അളവാണ്. ഇത്തരം അളവുകളെ സ്കെയിലറുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം ഒരു അളവാണ് (ബലം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു), അതിൽ പേശിശക്തി (പരിമാണം) ദിശ (മറ്റൊരു കളിക്കാരൻ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ദിശ) എന്നിവ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഇത്തരം അളവുകളെ വെക്ടറുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രം, ഭൗതികശാസ്ത്രം, എഞ്ചിനീയറിംഗ് എന്നിവയിൽ നീളം, പിണ്ഡം, സമയം, ദൂരം, വേഗത, വിസ്തീർണ്ണം, വ്യാപ്തം, താപനില, പ്രവൃത്തി, പണം, വോൾട്ടേജ്, സാന്ദ്രത, പ്രതിരോധം തുടങ്ങിയ സ്കെയിലർ അളവുകളും സ്ഥാനാന്തരം, പ്രവേഗം, ത്വരണം, ബലം, ഭാരം, ആക്കം, വൈദ്യുതക്ഷേത്ര തീവ്രത തുടങ്ങിയ വെക്ടർ അളവുകളും പോലുള്ള രണ്ട് തരം അളവുകളും നാം പതിവായി കണ്ടുമുട്ടാറുണ്ട്.

W.R. ഹാമിൽട്ടൺ $(1805-1865)$

ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, വെക്ടറുകളെക്കുറിച്ചുള്ള ചില അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ, വെക്ടറുകളിലെ വിവിധ പ്രവർത്തനങ്ങൾ, അവയുടെ ബീജഗണിതപരവും ജ്യാമിതീയവുമായ ഗുണങ്ങൾ എന്നിവ നമ്മൾ പഠിക്കും. ഈ രണ്ട് തരം ഗുണങ്ങളും ഒരുമിച്ച് പരിഗണിക്കുമ്പോൾ വെക്ടറുകളുടെ ആശയത്തിന് പൂർണ്ണമായ ബോധ്യം ലഭിക്കുകയും മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ച പോലെ വിവിധ മേഖലകളിൽ അവയുടെ നിർണായക പ്രയോഗക്ഷമതയിലേക്ക് നയിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

10.2 ചില അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ

’ $l$ ’ ഒരു തലത്തിലോ ത്രിമാന സ്ഥലത്തോ ഉള്ള ഏതെങ്കിലും നേർരേഖയായിരിക്കട്ടെ. ഈ രേഖയ്ക്ക് അമ്പടയാളങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ രണ്ട് ദിശകൾ നൽകാം. ഈ ദിശകളിൽ ഒന്ന് നിർദ്ദേശിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു രേഖയെ ദിശാസൂചക രേഖ (directed line) എന്ന് വിളിക്കുന്നു (ചിത്രം 10.1 (i), (ii)).

ചിത്രം 10.1

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ രേഖ $l$ AB എന്ന രേഖാഖണ്ഡത്തിലേക്ക് പരിമിതപ്പെടുത്തിയാൽ, രണ്ട് ദിശകളിൽ ഒന്ന് ഉപയോഗിച്ച് രേഖ $l$-ൽ ഒരു പരിമാണം നിർദ്ദേശിക്കപ്പെടുന്നു, അങ്ങനെ നമുക്ക് ഒരു ദിശാസൂചക രേഖാഖണ്ഡം (directed line segment) ലഭിക്കുന്നു (ചിത്രം 10.1(iii)). അങ്ങനെ, ഒരു ദിശാസൂചക രേഖാഖണ്ഡത്തിന് പരിമാണവും ദിശയും ഉണ്ട്.

നിർവ്വചനം 1 പരിമാണവും ദിശയും ഉള്ള ഒരു അളവിനെ വെക്ടർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ദിശാസൂചക രേഖാഖണ്ഡം ഒരു വെക്ടറാണെന്ന് (ചിത്രം 10.1(iii)) ശ്രദ്ധിക്കുക, ഇത് $\overrightarrow{{}AB}$ അല്ലെങ്കിൽ ലഘുവായി $\vec{a}$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുകയും ‘വെക്ടർ $\overrightarrow{{}AB}$’ അല്ലെങ്കിൽ ‘വെക്ടർ $\vec{a}$’ എന്ന് വായിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

വെക്ടർ $\overrightarrow{{}AB}$ ആരംഭിക്കുന്ന ബിന്ദു $A$ അതിന്റെ പ്രാരംഭ ബിന്ദു (initial point) എന്നും അത് അവസാനിക്കുന്ന ബിന്ദു $B$ അതിന്റെ അന്തിമ ബിന്ദു (terminal point) എന്നും വിളിക്കുന്നു. ഒരു വെക്ടറിന്റെ പ്രാരംഭ ബിന്ദുവും അന്തിമ ബിന്ദുവും തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തെ വെക്ടറിന്റെ പരിമാണം (അല്ലെങ്കിൽ നീളം) എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് $|\overrightarrow{{}AB}|$, അല്ലെങ്കിൽ $|\vec{a}|$, അല്ലെങ്കിൽ $a$ എന്നിങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അമ്പടയാളം വെക്ടറിന്റെ ദിശ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

കുറിപ്പ് നീളം ഒരിക്കലും നെഗറ്റീവ് ആകാത്തതിനാൽ, $|\vec{a}|<0$ എന്ന നൊട്ടേഷന് അർത്ഥമില്ല.

സ്ഥാന വെക്ടർ (Position Vector)

ക്ലാസ് XI-ൽ നിന്ന്, ത്രിമാന വലതുകൈ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം (ചിത്രം 10.2(i)) ഓർക്കുക. ഉത്ഭവം $O(0,0,0)$-നെ സംബന്ധിച്ച് $(x, y, z)$ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉള്ള ഒരു ബിന്ദു $P$ സ്ഥലത്ത് ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. അപ്പോൾ, $O$, $P$ എന്നിവ യഥാക്രമം അതിന്റെ പ്രാരംഭ, അന്തിമ ബിന്ദുക്കളായി ഉള്ള വെക്ടർ $\overrightarrow{{}OP}$, $O$-നെ സംബന്ധിച്ച് ബിന്ദു $P$-ന്റെ സ്ഥാന വെക്ടർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ദൂര സൂത്രവാക്യം (ക്ലാസ് XI-ൽ നിന്ന്) ഉപയോഗിച്ച്, $\overrightarrow{{}OP}$ (അല്ലെങ്കിൽ $\vec{r}$) ന്റെ പരിമാണം നൽകിയിരിക്കുന്നത്

$$ |\overrightarrow{{}OP}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} $$

പ്രായോഗികമായി, ഉത്ഭവം $O$-നെ സംബന്ധിച്ച് $A, B, C$ മുതലായ ബിന്ദുക്കളുടെ സ്ഥാന വെക്ടറുകൾ യഥാക്രമം $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ മുതലായവയാൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു (ചിത്രം 10.2 (ii)).

ചിത്രം 10.2

ദിശ കോസൈനുകൾ (Direction Cosines)

ചിത്രം 10.3-ൽ ഉള്ളതുപോലെ ഒരു ബിന്ദു $P(x, y, z)$-ന്റെ സ്ഥാന വെക്ടർ $\overrightarrow{{}OP}$ (അല്ലെങ്കിൽ $\vec{r}$) പരിഗണിക്കുക. വെക്ടർ $\vec{r}$ $x, y$, $z$-അക്ഷങ്ങളുടെ ധനാത്മക ദിശകളുമായി ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണുകൾ $\alpha$, $\beta, \gamma$ എന്നിവയെ അതിന്റെ ദിശ കോണുകൾ (direction angles) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ കോണുകളുടെ കോസൈൻ മൂല്യങ്ങൾ, അതായത്, $\cos \alpha, \cos \beta$, $\cos \gamma$ എന്നിവയെ വെക്ടർ $\vec{r}$-ന്റെ ദിശ കോസൈനുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, സാധാരണയായി യഥാക്രമം $l, m$, $n$ എന്നിങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ചിത്രം 10.3-ൽ നിന്ന്, OAP ത്രികോണം ലംബകോണ ത്രികോണമാണെന്നും അതിൽ നമുക്ക് $\cos \alpha=\frac{x}{r}(r$ $|\vec{r}|)$-നെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെന്നും ശ്രദ്ധിക്കാം. അതുപോലെ, OBP, OCP എന്നീ ലംബകോണ ത്രികോണങ്ങളിൽ നിന്ന്, നമുക്ക് $\cos \beta=\frac{y}{r}$, $\cos \gamma=\frac{z}{r}$ എന്നിങ്ങനെ എഴുതാം. അങ്ങനെ, P ബിന്ദുവിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ $(l r, m r, n r)$ എന്നും പ്രകടിപ്പിക്കാം. ദിശ കോസൈനുകളുടെ അനുപാതത്തിലുള്ള $l r, m r$, $n r$ എന്നീ സംഖ്യകളെ വെക്ടർ $\vec{r}$-ന്റെ ദിശ അനുപാതങ്ങൾ (direction ratios) എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇവ യഥാക്രമം $a, b$, $c$ എന്നിങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

കുറിപ്പ് $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ എന്നാൽ $a^{2}+b^{2}+c^{2} \neq 1$ ആണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കാം, പൊതുവേ.

10.3 വെക്ടറുകളുടെ തരങ്ങൾ

സൂച്യ വെക്ടർ (Zero Vector) പ്രാരംഭ ബിന്ദുവും അന്തിമ ബിന്ദുവും ഒത്തുചേരുന്ന ഒരു വെക്ടറിനെ സൂച്യ വെക്ടർ (അല്ലെങ്കിൽ ശൂന്യ വെക്ടർ) എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് $\overrightarrow{{}0}$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. സൂച്യ വെക്ടറിന് പൂജ്യം പരിമാണമുള്ളതിനാൽ ഒരു നിശ്ചിത ദിശ നൽകാൻ കഴിയില്ല. അല്ലെങ്കിൽ, മറ്റൊരു വിധത്തിൽ, അതിന് ഏത് ദിശയും ഉണ്ടെന്ന് കണക്കാക്കാം. വെക്ടറുകൾ $\overrightarrow{{}AA}, \overrightarrow{{}BB}$ സൂച്യ വെക്ടറിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

ഏകക വെക്ടർ (Unit Vector) പരിമാണം ഏകത (അതായത്, 1 യൂണിറ്റ്) ആയ ഒരു വെക്ടറിനെ ഏകക വെക്ടർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു നൽകിയ വെക്ടർ $\vec{a}$-ന്റെ ദിശയിലുള്ള ഏകക വെക്ടറിനെ $\hat{a}$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

സഹപ്രാരംഭ വെക്ടറുകൾ (Coinitial Vectors) ഒരേ പ്രാരംഭ ബിന്ദു ഉള്ള രണ്ടോ അതിലധികമോ വെക്ടറുകളെ സഹപ്രാരംഭ വെക്ടറുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സരളരേഖീയ വെക്ടറുകൾ (Collinear Vectors) അവയുടെ പരിമാണങ്ങളും ദിശകളും പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ, രണ്ടോ അതിലധികമോ വെക്ടറുകൾ ഒരേ രേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമാണെങ്കിൽ അവയെ സരളരേഖീയ വെക്ടറുകൾ എന്ന് പറയുന്നു.

സമ വെക്ടറുകൾ (Equal Vectors) രണ്ട് വെക്ടറുകൾ $\vec{a}$, $\vec{b}$ എന്നിവയ്ക്ക് ഒരേ പരിമാണവും ദിശയും ഉണ്ടെങ്കിൽ, അവയുടെ പ്രാരംഭ ബിന്ദുക്കളുടെ സ്ഥാനം പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ, അവയെ സമ വെക്ടറുകൾ എന്ന് പറയുകയും $\vec{a}=\vec{b}$ എന്ന് എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഒരു വെക്ടറിന്റെ നെഗറ്റീവ് (Negative of a Vector) ഒരു നൽകിയ വെക്ടറിന്റെ (ഉദാഹരണത്തിന്, $\overrightarrow{{}AB}$) പരിമാണം തന്നെ ഉള്ളതും ദിശ അതിന് വിപരീതമായതുമായ ഒരു വെക്ടറിനെ ആ നൽകിയ വെക്ടറിന്റെ നെഗറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, വെക്ടർ $\overrightarrow{{}BA}$ വെക്ടർ $\overrightarrow{{}AB}$-ന്റെ നെഗറ്റീവ് ആണ്, ഇത് $\overrightarrow{{}BA}=-\overrightarrow{{}AB}$ എന്ന് എഴുതുന്നു.

ശ്രദ്ധിക്കുക മുകളിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന വെക്ടറുകൾ അവയുടെ പരിമാണവും ദിശയും മാറ്റാതെ തന്നെ അവയുടെ സമാന്തര സ്ഥാനാന്തരണത്തിന് വിധേയമാക്കാവുന്നവയാണ്. ഇത്തരം വെക്ടറുകളെ സ്വതന്ത്ര വെക്ടറുകൾ (free vectors) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ അദ്ധ്യായം മുഴുവൻ നമ്മൾ സ്വതന്ത്ര വെക്ടറുകളുമായി മാത്രമേ ഇടപെടുകയുള്ളൂ.

ഉദാഹരണം 1 തെക്കിന് പടിഞ്ഞാറ് $40 km, 30^{\circ}$ സ്ഥാനാന്തരം ഗ്രാഫിക്കായി പ്രതിനിധീകരിക്കുക.

പരിഹാരം വെക്ടർ $\overrightarrow{{}OP}$ ആവശ്യമായ സ്ഥാനാന്തരം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു (ചിത്രം 10.4).

ചിത്രം 10.4

ഉദാഹരണം 2 ഇനിപ്പറയുന്ന അളവുകളെ സ്കെയിലറുകളായും വെക്ടറുകളായും തരംതിരിക്കുക.

(i) $5 \mathrm{~s}$ (ii) $1000 \mathrm{~cm}^{3}$ (iii) $10 \mathrm{~N}$ (iv) $30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ (v) $10 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}$ (vi) $20 m / s$ വടക്കോട്ട്

പരിഹാരം

(i) സമയം - സ്കെയിലർ (ii) വ്യാപ്തം - സ്കെയിലർ (iii) ബലം - വെക്ടർ (iv) വേഗത - സ്കെയിലർ (v) സാന്ദ്രത - സ്കെയിലർ (vi) പ്രവേഗം - വെക്ടർ

ഉദാഹരണം 3 ചിത്രം 10.5-ൽ, ഏതൊക്കെ വെക്ടറുകളാണ്:

(i) സരളരേഖീയം (ii) സമം (iii) സഹപ്രാരംഭം

പരിഹാരം

(i) സരളരേഖീയ വെക്ടറുകൾ: $\vec{a}, \vec{c}$, $\vec{d}$. (ii) സമ വെക്ടറുകൾ: $\vec{a}$, $\vec{c}$. (iii) സഹപ്രാരംഭ വെക്ടറുകൾ: $\vec{b}, \vec{c}$, $\vec{d}$.

10.4 വെക്ടറുകളുടെ സങ്കലനം

ഒരു വെക്ടർ $\overrightarrow{{}AB}$ എന്നത് ഒരു ബിന്ദു A-യിൽ നിന്ന് ബിന്ദു $B$-ലേക്കുള്ള സ്ഥാനാന്തരം എന്ന് ലഘുവായി അർത്ഥമാക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ ഒരു പെൺകുട്ടി $A$-ൽ നിന്ന് $B$-ലേക്കും പിന്നീട് $B$-ൽ നിന്ന് $C$-ലേക്കും നീങ്ങുന്ന ഒരു സാഹചര്യം പരിഗണിക്കുക (ചിത്രം 10.7). ബിന്ദു $A$-ൽ നിന്ന് ബിന്ദു $C$-ലേക്ക് പെൺകുട്ടി ചെയ്ത ആകെ സ്ഥാനാന്തരം, വെക്ടർ $\overrightarrow{{}AC}$ നൽകുന്നു, ഇത് ഇങ്ങനെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

ചിത്രം 10.7

$ \overrightarrow{{}AC}=\overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC} $

ഇത് വെക്ടർ സങ്കലനത്തിന്റെ ത്രികോണ നിയമം എന്നറിയപ്പെടുന്നു.

പൊതുവേ, നമുക്ക് രണ്ട് വെക്ടറുകൾ $\vec{a}$, $\vec{b}$ ഉണ്ടെങ്കിൽ (ചിത്രം 10.8 (i)), അവ കൂട്ടിച്ചേർക്കാൻ, ഒന്നിന്റെ പ്രാരംഭ ബിന്ദു മറ്റൊന്നിന്റെ അന്തിമ ബിന്ദുവുമായി യോജിക്കുന്ന വിധത്തിൽ അവ സ്ഥാപിക്കുന്നു (ചിത്രം 10.8(ii)).

ചിത്രം 10.8

ഉദാഹരണത്തിന്, ചിത്രം 10.8 (ii)-ൽ, വെക്ടർ $\vec{b}$ അതിന്റെ പരിമാണവും ദിശയും മാറ്റാതെ തന്നെ മാറ്റിയിട്ടുണ്ട്, അതിനാൽ അതിന്റെ പ്രാരംഭ ബിന്ദു $\vec{a}$-ന്റെ അന്തിമ ബിന്ദുവുമായി യോജിക്കുന്നു. അപ്പോൾ, ത്രികോണം $ABC$-ന്റെ മൂന്നാം വശം $AC$ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന വെക്ടർ $\vec{a}+\vec{b}$, വെക്ടറുകൾ $\vec{a}$, $\vec{b}$ എന്നിവയുടെ തുക (അല്ലെങ്കിൽ പരിണാമം) നൽകുന്നു, അതായത്, ത്രികോണം $ABC$-ൽ (ചിത്രം 10.8 (ii)), നമുക്ക് ഉണ്ട്

$ \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}=\overrightarrow{{}AC} $

ഇപ്പോൾ വീണ്ടും, $\overrightarrow{{}AC}=-\overrightarrow{{}CA}$ ആയതിനാൽ, മുകളിലുള്ള സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$$ \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}+\overrightarrow{{}CA}=\overrightarrow{{}AA}=\overrightarrow{{}0} $$

ഇതിനർത്ഥം ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ ക്രമത്തിൽ എടുത്താൽ, പ്രാരംഭ, അന്തിമ ബിന്ദുക്കൾ ഒത്തുചേരുന്നതിനാൽ (ചിത്രം 10.8(iii)) പൂജ്യം പരിണാമം ലഭിക്കുന്നു എന്നാണ്.

ഇപ്പോൾ, ഒരു വെക്ടർ $\overrightarrow{{}BC^{\prime}}$ നിർമ്മിക്കുക, അതിന്റെ പരിമാണം വെക്ടർ $\overrightarrow{{}BC}$-ന് തുല്യമാണ്, എന്നാൽ ദിശ അതിന് വിപരീതമാണ് (ചിത്രം 10.8 (iii)), അതായത്, $ \overrightarrow{{}BC^{\prime}}=-\overrightarrow{{}BC} $ അപ്പോൾ, ചിത്രം 10.8 (iii)-ൽ നിന്ന് ത്രികോണ നിയമം പ്രയോഗിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് $ \overrightarrow{{}AC^{\prime}}=\overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC^{\prime}}=\overrightarrow{{}AB}+(-\overrightarrow{{}BC})=\vec{a}-\vec{b} $

വെക്ടർ $\overrightarrow{{}AC^{\prime}}$ $\vec{a}$, $\vec{b}$ എന്നിവയുടെ വ്യത്യാസം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

ഇപ്പോൾ, ഒരു നദിയിലെ ഒരു ബോട്ട് നദിയുടെ ഒരു കരയിൽ നിന്ന് മറ്റേ കരയിലേക്ക് നദിയുടെ ഒഴുക്കിന് ലംബമായ ദിശയിൽ പോകുന്നത് പരിഗണിക്കുക. അപ്പോൾ, അത് രണ്ട് പ്രവേഗ വെക്ടറുകളാൽ പ്രവർത്തിക്കപ്പെടുന്നു - ഒന്ന് അതിന്റെ എഞ്ചിൻ ബോട്ടിന് നൽകുന്ന പ്രവേഗവും മറ്റൊന്ന് നദിയിലെ വെള്ളത്തിന്റെ ഒഴുക്കിന്റെ പ്രവേഗവും. ഈ രണ്ട് പ്രവേഗങ്ങളുടെയും ഒരേസമയം സ്വാധീനത്തിൽ, ബോട്ട് യഥാർത്ഥത്തിൽ വ്യത്യസ്ത പ്രവേഗത്തോടെ യാത്ര ആരംഭിക്കുന്നു. ബോട്ടിന്റെ ഫലപ്രദമായ വേഗതയും ദിശയും (അതായത്, പരിണാമ പ്രവേഗം) കുറിച്ച് കൃത്യമായ ധാരണ ലഭിക്കാൻ, നമുക്ക് വെക്ടർ സങ്കലനത്തിന്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമമുണ്ട്.

നമുക്ക് രണ്ട് വെക്ടറുകൾ $\vec{a}$, $\vec{b}$ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അവ ഒരു സമാന്തര ചതുഷ്കോണത്തിന്റെ രണ്ട് അടുത്തുള്ള വശങ്ങളാൽ പരിമാണത്തിലും ദിശയിലും പ്രതിനിധീകരിക്കപ്പെടുന്നു (ചിത്രം 10.9), അപ്പോൾ അവയുടെ തുക $\vec{a}+\vec{b}$ അവയുടെ പൊതു ബിന്ദുവിലൂടെയുള്ള സമാന്തര ചതുഷ്കോണത്തിന്റെ വികർണ്ണത്താൽ പരിമാണത്തിലും ദിശയിലും പ്രതിനിധീകരിക്കപ്പെടുന്നു. ഇത് വെക്ടർ സങ്കലനത്തിന്റെ സമാന്തര ചതുഷ്കോണ നിയമം എന്നറിയപ്പെടുന്നു.

ചിത്രം 10.9

കുറിപ്പ് ചിത്രം 10.9-ൽ നിന്ന്, ത്രികോണ നിയമം ഉപയോഗിച്ച്, ഒരാൾ ശ്രദ്ധിക്കാം

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ അല്ലെങ്കിൽ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ ($\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ ആയതിനാൽ)

ഇതാണ് സമാന്തര ചതുഷ്കോണ നിയമം. അങ്ങനെ, വെക്ടർ സങ്കലനത്തിന്റെ രണ്ട് നിയമങ്ങളും പരസ്പരം തുല്യമാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം.

വെക്ടർ സങ്കലനത്തിന്റെ ഗുണങ്ങൾ

ഗുണം 1 ഏതെങ്കിലും രണ്ട് വെക്ടറുകൾക്ക് $\vec{a}$, $\vec{b}$,

$ \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a} $

(കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് പ്രോപ്പർട്ടി) തെളിവ് സമാന്തര ചതുഷ്കോണം $ABCD$ പരിഗണിക്കുക (ചിത്രം 10.10).