സംഭാവ്യതാ സിദ്ധാന്തം എന്നത് യുക്തിയുടെ ശാസ്ത്രത്തെ അളവിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി പരിഗണിക്കുന്നതാണ് - സി.എസ്. പിയേഴ്സ്

13.1 പരിചയം

പിയറി ഡി ഫെർമാറ്റ് $(1601-1665)$

മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിൽ, ഒരു റാൻഡം പരീക്ഷണത്തിലെ സംഭവങ്ങളുടെ അനിശ്ചിതത്വത്തിന്റെ അളവായി സംഭാവ്യതയെ നമ്മൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. റഷ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ എ.എൻ. കോൾമോഗോറോവ് (1903-1987) രൂപപ്പെടുത്തിയ സിദ്ധാന്തപരമായ സമീപനം നമ്മൾ ചർച്ച ചെയ്തു, പരീക്ഷണത്തിന്റെ ഫലങ്ങളുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷനായി സംഭാവ്യതയെ കണക്കാക്കി. തുല്യമായ സാധ്യതയുള്ള ഫലങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, സിദ്ധാന്തപരമായ സിദ്ധാന്തവും ക്ലാസിക്കൽ സംഭാവ്യതാ സിദ്ധാന്തവും തമ്മിലുള്ള തുല്യതയും നമ്മൾ സ്ഥാപിച്ചു. ഈ ബന്ധത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, വിവിക്ത സാമ്പിൾ സ്പേസുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സംഭവങ്ങളുടെ സംഭാവ്യതകൾ നമുക്ക് ലഭിച്ചു. സംഭാവ്യതയുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ നിയമവും നമ്മൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, മറ്റൊരു സംഭവം സംഭവിച്ചുവെന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്ന ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സോപാധിക സംഭാവ്യതയുടെ പ്രധാന ആശയം നമ്മൾ ചർച്ച ചെയ്യും, ഇത് ബേയ്സ് സിദ്ധാന്തം, സംഭാവ്യതയുടെ ഗുണന നിയമം, സംഭവങ്ങളുടെ സ്വാതന്ത്ര്യം എന്നിവ മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായകരമാകും. റാൻഡം വേരിയബിളിന്റെയും അതിന്റെ സംഭാവ്യതാ വിതരണത്തിന്റെയും ഒരു പ്രധാന ആശയവും ഒരു സംഭാവ്യതാ വിതരണത്തിന്റെ മാധ്യവും വ്യതിയാനവും നമ്മൾ പഠിക്കും. അദ്ധ്യായത്തിന്റെ അവസാന വിഭാഗത്തിൽ, ബൈനോമിയൽ വിതരണം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു പ്രധാന വിവിക്ത സംഭാവ്യതാ വിതരണം നമ്മൾ പഠിക്കും. ഈ അദ്ധ്യായം മുഴുവനും, വ്യത്യസ്തമായി പറയാത്തിടത്തോളം, തുല്യമായ സാധ്യതയുള്ള ഫലങ്ങളുള്ള പരീക്ഷണങ്ങളെയാണ് നമ്മൾ പരിഗണിക്കുക.

13.2 സോപാധിക സംഭാവ്യത

സംഭാവ്യതയിൽ ഇതുവരെ, സംഭവങ്ങളുടെ സംഭാവ്യത കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള രീതികൾ നമ്മൾ ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. ഒരേ സാമ്പിൾ സ്പേസിൽ നിന്ന് രണ്ട് സംഭവങ്ങൾ നമുക്കുണ്ടെങ്കിൽ, ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭവത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരം മറ്റൊരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യതയെ ബാധിക്കുമോ? ഫലങ്ങൾ സംഭവിക്കാൻ തുല്യമായ സാധ്യതയുള്ള ഒരു റാൻഡം പരീക്ഷണം എടുക്കുന്നതിലൂടെ ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ ശ്രമിക്കാം.

മൂന്ന് നീതിയുള്ള നാണയങ്ങൾ ടോസ് ചെയ്യുന്ന പരീക്ഷണം പരിഗണിക്കുക. പരീക്ഷണത്തിന്റെ സാമ്പിൾ സ്പേസ്

$$ \mathrm{S}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{TTT}\} $$

നാണയങ്ങൾ നീതിയുള്ളവയായതിനാൽ, ഓരോ സാമ്പിൾ പോയിന്റിനും $\frac{1}{8}$ സംഭാവ്യത നിയോഗിക്കാം. $E$ എന്നത് ‘കുറഞ്ഞത് രണ്ട് തലകൾ കാണപ്പെടുന്നു’ എന്ന സംഭവവും $F$ എന്നത് ‘ആദ്യ നാണയം വാല് കാണിക്കുന്നു’ എന്ന സംഭവവുമായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ

$\mathrm{E}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\}$

അല്ലെങ്കിൽ $\mathrm{F}=\{ \mathrm{THH, THT, TTH, TTT} \}$

അതിനാൽ $$ \mathrm{P}(\mathrm{E})=\mathrm{P}(\{\mathrm{HHH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{HHT}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{HTH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\}) $$

$$ =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2} \text { (क्यों ?) } $$

അല്ലെങ്കിൽ $$ \mathrm{P}(\mathrm{F})=\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{THT}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{TTH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{TTT}\}) $$

$$ =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2} $$

$\mathrm{E} \cap \mathrm{F}=\{\mathrm{THH}\}$ ഉപയോഗിച്ച്

അതിനാൽ $\quad \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})=\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\})=\frac{1}{8}$

ഇപ്പോൾ, ആദ്യ നാണയം വാല് കാണിക്കുന്നുവെന്ന്, അതായത് F സംഭവിക്കുന്നുവെന്ന് നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, $E$ സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത എന്താണ്? $F$ സംഭവത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരത്തോടെ, $E$ ന്റെ സംഭാവ്യത കണ്ടെത്തുമ്പോൾ ആദ്യ നാണയം ഒരു വാലിലേക്ക് ഫലിക്കാത്ത കേസുകൾ പരിഗണിക്കാൻ പാടില്ലെന്ന് നമുക്ക് ഉറപ്പാണ്. ഈ വിവരം $E$ സംഭവത്തിനായി നമ്മുടെ സാമ്പിൾ സ്പേസ് $S$ സെറ്റിൽ നിന്ന് അതിന്റെ ഉപഗണമായ $F$ ലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു. വേറൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, അധിക വിവരം യഥാർത്ഥത്തിൽ സാമ്പിൾ സ്പേസിൽ $F$ സംഭവത്തിന്റെ സംഭവത്തിന് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങൾ മാത്രമുള്ള ഒരു പുതിയ റാൻഡം പരീക്ഷണത്തിന്റെ സാഹചര്യമായി കണക്കാക്കാമെന്ന് നമ്മോട് പറയുന്നു.

ഇപ്പോൾ, $F$ ന്റെ സാമ്പിൾ പോയിന്റ് $E$ സംഭവത്തിന് അനുകൂലമാണ് THH ആണ്.

അങ്ങനെ, $F$ സാമ്പിൾ സ്പേസായി കണക്കാക്കിയ $E$ ന്റെ സംഭാവ്യത $=\frac{1}{4}$,

അല്ലെങ്കിൽ $\quad$ $F$ സംഭവം സംഭവിച്ചുവെന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്ന $E$ ന്റെ സംഭാവ്യത $=\frac{1}{4}$

$E$ സംഭവത്തിന്റെ ഈ സംഭാവ്യതയെ $F$ ഇതിനകം സംഭവിച്ചുവെന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്ന $E$ ന്റെ സോപാധിക സംഭാവ്യത എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് $P(E \mid F)$ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

അങ്ങനെ $\quad P(E \mid F)=\frac{1}{4}$

$F$ ന്റെ ഘടകങ്ങൾ $E$ സംഭവത്തെ അനുകൂലിക്കുന്നത് $E$, $F$ എന്നിവയുടെ പൊതുവായ ഘടകങ്ങളാണ്, അതായത് $E \cap F$ ന്റെ സാമ്പിൾ പോയിന്റുകൾ.

അതിനാൽ, $F$ സംഭവിച്ചുവെന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്ന $E$ ന്റെ സോപാധിക സംഭാവ്യത നമുക്ക് ഇങ്ങനെയും എഴുതാം:

$$ \begin{aligned} P(E \mid F) & =\frac{\text{ Number of elementary events favourable to } E \cap F}{\text{ Number of elementary events which are favourable to } F} \\ & =\frac{n(E \cap F)}{n(F)} \end{aligned} $$

സാമ്പിൾ സ്പേസിന്റെ മൊത്തം പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഹരിച്ചാൽ, $P(EIF)$ ഇങ്ങനെയും എഴുതാമെന്ന് നമുക്ക് കാണാം:

$$ P(E \mid F)=\frac{\frac{n(E \cap F)}{n(S)}}{\frac{n(F)}{n(S)}}=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \tag{1} $$

കുറിപ്പ് (1) സാധുതയുള്ളത് $P(F) \neq 0$ ആയിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമാണ്, അതായത് $F \neq \phi$ (എന്തുകൊണ്ട്?) അങ്ങനെ, സോപാധിക സംഭാവ്യത ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിക്കാം:

നിർവ്വചനം 1 $E$, $F$ എന്നിവ ഒരു റാൻഡം പരീക്ഷണത്തിന്റെ ഒരേ സാമ്പിൾ സ്പേസുമായി ബന്ധപ്പെട്ട രണ്ട് സംഭവങ്ങളാണെങ്കിൽ, $F$ സംഭവിച്ചുവെന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്ന $E$ സംഭവത്തിന്റെ സോപാധിക സംഭാവ്യത, അതായത് $P(E \mid F)$ നൽകുന്നത്

$$ P(EIF)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \text{ provided } P(F) \neq 0 $$

13.2.1 സോപാധിക സംഭാവ്യതയുടെ ഗുണങ്ങൾ

$E$, $F$ എന്നിവ ഒരു പരീക്ഷണത്തിന്റെ $S$ സാമ്പിൾ സ്പേസിന്റെ സംഭവങ്ങളായിരിക്കട്ടെ, അപ്പോൾ നമുക്ക് ഉണ്ട്

ഗുണം $1 P(S \mid F)=P(F \mid F)=1$

നമുക്കറിയാം $$ \mathrm{P}(\mathrm{S} \mid \mathrm{F})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{S} \cap \mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}=1 $$

അങ്ങനെ $$ P(F \mid F)=\frac{P(F \cap F)}{P(F)}=\frac{P(F)}{P(F)}=1 $$

അല്ലെങ്കിൽ $$ \mathrm{P}(\mathrm{S} \mid \mathrm{F})=\mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{F})=1 $$

ഗുണം 2 $A$, $B$ എന്നിവ ഒരു സാമ്പിൾ സ്പേസ് $S$ ന്റെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് സംഭവങ്ങളാണെങ്കിൽ $F$ എന്നത് $S$ ന്റെ ഒരു സംഭവമാണെങ്കിൽ $P(F) \neq 0$, അപ്പോൾ

$$ P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F)-P((A \cap B) \mid F) $$

പ്രത്യേകിച്ചും, $A$, $B$ എന്നിവ വിഭജിക്കപ്പെട്ട സംഭവങ്ങളാണെങ്കിൽ,

നമുക്കുണ്ട് $$ P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F) $$

നമുക്കറിയാം $$ \begin{aligned} P((A \cup B) \mid F) & =\frac{P[(A \cup B) \cap F]}{P(F)} \\ & =\frac{P[(A \cap F) \cup(B \cap F)]}{P(F)} \end{aligned} $$

(സെറ്റുകളുടെ യൂണിയന്റെ ഇന്റർസെക്ഷനിൽ ബിന്ദുവൽക്കരണ നിയമം പ്രകാരം)

$$ \begin{aligned} & =\frac{P(A \cap F)+P(B \cap F)-P(A \cap B \cap F)}{P(F)} \\ & =\frac{P(A \cap F)}{P(F)}+\frac{P(B \cap F)}{P(F)}-\frac{P[(A \cap B) \cap F]}{P(F)} \\ & =P(A \mid F)+P(B \mid F)-P((A \cap B) \mid F) \end{aligned} $$

$A$, $B$ എന്നിവ വിഭജിക്കപ്പെട്ട സംഭവങ്ങളാണെങ്കിൽ, അപ്പോൾ

$$ \begin{matrix}
& P((A \cap B) \mid F)=0 \\ \Rightarrow \quad & P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F) \end{matrix} $$

$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ എന്നിവ വിഭജിക്കപ്പെട്ട സംഭവങ്ങളാണെങ്കിൽ, അപ്പോൾ $\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A} \mid F)+\mathrm{P}(\mathrm{B} \mid \mathrm{F})$

ഗുണം $3 P(E^{\prime} \mid F)=1-P(E \mid F)$

ഗുണം 1 ൽ നിന്ന്, നമുക്കറിയാം $P(SIF)=1$

$$ \begin{matrix} \Rightarrow & P(E \cup E^{\prime} \mid F)=1 & \text{ since } S=E \cup E^{\prime} \\ \Rightarrow & P(E \mid F)+P(E^{\prime} \mid F)=1 & \text{ since } E \text{ and } E^{\prime} \text{ are disjoint events } \\ \text{ Thus, } & P(E^{\prime} \mid F)=1-P(E \mid F) & \end{matrix} $$

ഇനി നമുക്ക് ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ എടുക്കാം.

ഉദാഹരണം 1 $P(A)=\frac{7}{13}, P(B)=\frac{9}{13}$, $P(A \cap B)=\frac{4}{13}$ ആണെങ്കിൽ, $P(A \mid B)$ കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം നമുക്കുണ്ട് $P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{4}{13}}{\frac{9}{13}}=\frac{4}{9}$

ഉദാഹരണം 2 ഒരു കുടുംബത്തിന് രണ്ട് കുട്ടികളുണ്ട്. അവയിൽ ഒരെണ്ണമെങ്കിലും ആൺകുട്ടിയാണെന്ന് നൽകിയാൽ രണ്ട് കുട്ടികളും ആൺകുട്ടികളാകാനുള്ള സംഭാവ്യത എന്താണ്?

പരിഹാരം $b$ എന്നത് ആൺകുട്ടിയെയും $g$ എന്നത് പെൺകുട്ടിയെയും സൂചിപ്പിക്കട്ടെ. പരീക്ഷണത്തിന്റെ സാമ്പിൾ സ്പേസ്

$$ S=\{(b, b),(g, b),(b, g),(g, g)\} $$

$E$, $F$ എന്നിവ ഇനിപ്പറയുന്ന സംഭവങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കട്ടെ:

E: ‘രണ്ട് കുട്ടികളും ആൺകുട്ടികളാണ്’

$F$: ‘കുറഞ്ഞത് ഒരു കുട്ടിയെങ്കിലും ആൺകുട്ടിയാണ്’

അപ്പോൾ $$E=\{(b, b)\} and F=\{(b, b),(g, b),(b, g)\}$$

ഇപ്പോൾ $$E \cap F=\{(b, b)\}$$

അങ്ങനെ $$ P(F)=\frac{3}{4} \text{ and } P(E \cap F)=\frac{1}{4} $$

അതിനാൽ $$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3} $$

ഉദാഹരണം 3 1 മുതൽ 10 വരെ നമ്പർ ചെയ്ത പത്ത് കാർഡുകൾ ഒരു ബോക്സിൽ വെച്ച് നന്നായി കലർത്തിയ ശേഷം ഒരു കാർഡ് റാൻഡമായി എടുക്കുന്നു. വരച്ച കാർഡിലെ നമ്പർ 3 നേക്കാൾ കൂടുതലാണെന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ, അത് ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാകാനുള്ള സംഭാവ്യത എന്താണ്?

പരിഹാരം A എന്നത് ‘വരച്ച കാർഡിലെ നമ്പർ ഇരട്ടയാണ്’ എന്ന സംഭവവും B എന്നത് ‘വരച്ച കാർഡിലെ നമ്പർ 3 നേക്കാൾ വലുതാണ്’ എന്ന സംഭവവുമായിരിക്കട്ടെ. നമ്മൾ $P(AlB)$ കണ്ടെത്തണം.

ഇപ്പോൾ, പരീക്ഷണത്തിന്റെ സാമ്പിൾ സ്പേസ് $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ ആണ്

അപ്പോൾ $$ A=\{2,4,6,8,10\}, B=\{4,5,6,7,8,9,10\} $$

ഒപ്പം $$ A \cap B=\{4,6,8,10\} $$

കൂടാതെ $$ P(A)=\frac{5}{10}, P(B)=\frac{7}{10} \text{ and } P(A \cap B)=\frac{4}{10} $$

$$ P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{4}{10}}{\frac{7}{10}}=\frac{4}{7} $$

ഉദാഹരണം 4 ഒരു സ്കൂളിൽ, 1000 വിദ്യാർത്ഥികളുണ്ട്, അതിൽ 430 പെൺകുട്ടികളാണ്. $430,10 \%$ പെൺകുട്ടികൾ പന്ത്രണ്ടാം ക്ലാസിൽ പഠിക്കുന്നുവെന്ന് അറിയാം. തിരഞ്ഞെടുത്ത വിദ്യാർത്ഥി ഒരു പെൺകുട്ടിയാണെന്ന് നൽകിയാൽ ക്ലാസ് XII ൽ പഠിക്കാനുള്ള സംഭാവ്യത എന്താണ്?

പരിഹാരം E എന്നത് ഒരു വിദ്യാർത്ഥി ക്ലാസ് XII ൽ പഠിക്കുന്നുവെന്ന സംഭവവും $F$ എന്നത് റാൻഡമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത വിദ്യാർത്ഥി ഒരു പെൺകുട്ടിയാണെന്ന സംഭവവുമായിരിക്കട്ടെ. നമ്മൾ $P(EIF)$ കണ്ടെത്തണം.

ഇപ്പോൾ $\quad P(F)=\frac{430}{1000}=0.43$, $P(E \cap F)=\frac{43}{1000}=0.043$ (എന്തുകൊണ്ട്?)

അപ്പോൾ $$\quad P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{0.043}{0.43}=0.1$$

ഉദാഹരണം 5 ഒരു ഡൈ മൂന്ന് തവണ എറിയുന്നു. A, B എന്നീ സംഭവങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു:

A: മൂന്നാമത്തെ എറിയത്തിൽ 4

B: ആദ്യ എറിയത്തിൽ 6, രണ്ടാമത്തെ എറിയത്തിൽ 5

B ഇതിനകം സംഭവിച്ചുവെന്ന് നൽകിയാൽ A യുടെ സംഭാവ്യത കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം സാമ്പിൾ സ്പേസിന് 216 ഫലങ്ങളുണ്ട്.

ഇപ്പോൾ

$\mathrm{A} =\left\lbrace \begin{array}{ccccccc} (1,1,4) & (1,2,4) & \ldots & (1,6,4) & (2,1,4)& (2,2,4)& \ldots & (2,6,4) \\
(3,1,4) & (3,2,4) &\ldots & (3,6,4)& (4,1,4)& (4,2,4) &\ldots &(4,6,4) \\ (5,1,4) & (5,2,4) & \ldots & (5,6,4)& (6,1,4)&(6,2,4)& \ldots &(6,6,4) \\ \end{array}\right\rbrace $

$$ \begin{aligned} & B=\{(6,5,1),(6,5,2),(6,5,3),(6,5,4),(6,5,5),(6,5,6)\} \end{aligned} $$

ഒപ്പം $$ A \cap B=\{(6,5,4)\} . $$

ഇപ്പോൾ $$ P(B)=\frac{6}{216} \text{ and } P(A \cap B)=\frac{1}{216} $$

അപ്പോൾ $$ P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{216}}{\frac{6}{216}}=\frac{1}{6} $$

ഉദാഹരണം 6 ഒരു ഡൈ രണ്ട് തവണ എറിയുകയും പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്ന സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക 6 ആയി നിരീക്ഷിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. കുറഞ്ഞത് ഒരു തവണയെങ്കിലും നമ്പർ 4 പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ട സോപാധിക സംഭാവ്യത എന്താണ്?

പരിഹാരം $E$ എന്നത് ‘നമ്പർ 4 കുറഞ്ഞത് ഒരു തവണയെങ്കിലും പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു’ എന്ന സംഭവവും $F$ എന്നത് ‘പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്ന സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക 6 ആണ്’ എന്ന സംഭവവുമായിരിക്കട്ടെ.

അപ്പോൾ, $$ \begin{aligned} & E=\{(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(1,4),(2,4),(3,4),(5,4),(6,4)\} \\ & F=\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\} \end{aligned} $$

ഒപ്പം നമുക്കുണ്ട് $$ P(E)=\frac{11}{36} \text{ and } P(F)=\frac{5}{36} $$

കൂടാതെ $$ E \cap F=\{(2,4),(4,2)\} $$

അതിനാൽ $$ P(E \cap F)=\frac{2}{36} $$

അതിനാൽ, ആവശ്യമായ സംഭാവ്യത $$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{2}{36}}{\frac{5}{36}}=\frac{2}{5} $$

മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത സോപാധിക സംഭാവ്യതയ്ക്കായി, പരീക്ഷണത്തിന്റെ പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങൾ തുല്യമായ സാധ്യതയുള്ളവയായി കണക്കാക്കുകയും ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യതയുടെ അനുബന്ധ നിർവചനം ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. എന്നിരുന്നാലും, സാമ്പിൾ സ്പേസിന്റെ പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങൾ തുല്യമായ സാധ്യതയുള്ളവയല്ലാത്ത പൊതുവായ കേസിലും അതേ നിർവചനം ഉപയോഗിക്കാം, $P(E \cap F)$, $P(F)$ എന്നീ സംഭാവ്യതകൾ അതനുസരിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം 7 ഒരു നാണയം ടോസ് ചെയ്യുന്ന പരീക്ഷണം പരിഗണിക്കുക. നാണയം തല കാണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് വീണ്ടും ടോസ് ചെയ്യുക, പക്ഷേ അത് വാല് കാണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു ഡൈ എറിയുക. ‘കുറഞ്ഞത് ഒരു വാലെങ്കിലും ഉണ്ട്’ എന്ന് നൽകിയാൽ ‘ഡൈ 4 നേക്കാൾ വലിയ ഒരു സംഖ്യ കാണിക്കുന്നു’ എന്ന സംഭവത്തിന്റെ സോപാധിക സംഭാവ്യത കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം പരീക്ഷണത്തിന്റെ ഫലങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഡയഗ്രാമാറ്റിക് രീതിയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം, ഇതിനെ ‘ട്രീ ഡയഗ്രം’ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പരീക്ഷണത്തിന്റെ സാമ്പിൾ സ്പേസ് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ വിവരിക്കാം

$ S=\{(H, H),(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3),(T, 4),(T, 5),(T, 6)\} $

$(H, H)$ എന്നത് രണ്ട് ടോസുകളും തലയിലേക്ക് ഫലിക്കുന്നതും $(T, i)$ എന്നത് ആദ്യ ടോസ് ഒരു വാലിലേക്ക് ഫലിക്കുകയും $i$ എന്ന സംഖ്യ $i=1,2,3,4,5,6$ എന്നതിന് ഡൈയിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നതും സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, 8 പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളിലേക്ക് നിയോഗിച്ചിരിക്കുന്ന സംഭാവ്യതകൾ

$(H, H),(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3)(T, 4),(T, 5),(T, 6)$ എന്നിവ യഥാക്രമം $\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}$ ആണ്

ഇത് ചിത്രം 13.2 ൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്.

$F$ എന്നത് ‘കുറഞ്ഞത് ഒരു വാലെങ്കിലും ഉണ്ട്’ എന്ന സംഭവവും $E$ എന്നത് ‘ഡൈ 4 നേക്കാൾ വലിയ ഒരു സംഖ്യ കാണിക്കുന്നു’ എന്ന സംഭവവുമായിരിക്കട്ടെ.

അപ്പോൾ $$ \begin{aligned} & F=\{(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3),(T, 4),(T, 5),(T, 6)\} \\ & E=\{(T, 5),(T, 6)\} \text{ and } E \cap F=\{(T, 5),(T, 6)\} \end{aligned} $$

ഇപ്പോൾ $$ \begin{aligned} P(F)= & P(\{(H, T)\})+P(\{(T, 1)\})+P(\{(T, 2)\})+P(\{(T, 3)\}) \\ & +P(\{(T, 4)\})+P(\{(T, 5)\})+P(\{(T, 6)\}) \\ = & \frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4} \end{aligned} $$

ഒപ്പം $\quad P(E \cap F)=P(\{(T, 5)\})+P(\{(T, 6)\})=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{6}$

അതിനാൽ $\quad P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{4}}=\frac{2}{9}$

13.3 സംഭാവ്യതയിലെ ഗുണന സിദ്ധാന്തം

$E$, $F$ എന്നിവ ഒരു സാമ്പിൾ സ്പേസ് $S$ ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധപ്പെട്ട രണ്ട് സംഭവങ്ങളായിരിക്കട്ടെ. വ്യക്തമായും, $E \cap F$ സെറ്റ് $E$, $F$ എന്നിവ രണ്ടും സംഭവിച്ച സംഭവത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. വേറൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, $E \cap F$ $E$, $F$ എന്നീ സംഭവങ്ങളുടെ ഏകകാലിക സംഭവത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. $E \cap F$ സംഭവം $EF$ എന്നും എഴുതാം.

EF സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത കണ്ടെത്തേണ്ടത് വളരെ പലപ്പോഴും ആവശ്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ട് കാർഡുകൾ ഒന്നിനുപുറകെ ഒന്നായി വരയ്ക്കുന്ന പരീക്ഷണത്തിൽ, ‘ഒരു രാജാവും ഒരു രാജ്ഞിയും’ എന്ന സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത കണ്ടെത്തുന്നതിൽ നമുക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടാകാം. സോപാധിക സംഭാവ്യത ഉപയോഗിച്ച് EF സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത ലഭിക്കുന്നു, അത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ലഭിക്കുന്നു:

$F$ സംഭവിച്ചുവെന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്ന $E$ സംഭവത്തിന്റെ സോപാധിക സംഭാവ്യത $P(E \mid F)$ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുകയും അത് നൽകുകയും ചെയ്യുന്നത്

$$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}, P(F) \neq 0 $$

ഈ ഫലത്തിൽ നിന്ന്, നമുക്ക് എഴുതാം

$$ P(E \cap F)=P(F) . P(E \mid F) \tag{1} $$

കൂടാതെ, നമുക്കറിയാം

$$ \begin{aligned} & P(F \mid E)=\frac{P(F \cap E)}{P(E)}, P(E) \neq 0 \\ & P(F \mid E)=\frac{P(E \cap F)}{P(E)}(\text{ since } E \cap F=F \cap E) \end{aligned} $$

അങ്ങനെ, $$ P(E \cap F)=P(E) . P(F \mid E) \tag{2} $$

(1), (2) എന്നിവ സംയോജിപ്പിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$$ \begin{aligned} P(E \cap F) & =P(E) P(F \mid E) \\ & =P(F) P(E \mid F) \text{ provided } P(E) \neq 0 \text{ and } P(F) \neq 0 . \end{aligned} $$

മുകളിലെ ഫലം സംഭാവ്യതയുടെ ഗുണന നിയമം എന്നറിയപ്പെടുന്നു.

ഇനി നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം എടുക്കാം.

ഉദാഹരണം 8 ഒരു കലത്തിൽ 10 കറുപ്പും 5 വെളുപ്പും ഉള്ള പന്തുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. രണ്ട് പന്തുകൾ കലത്തിൽ നിന്ന് ഒന്നിനുപുറകെ ഒന്നായി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാതെ വരയ്ക്കുന്നു. വരച്ച രണ്ട് പന്തുകളും കറുപ്പാകാനുള്ള സംഭാവ്യത എന്താണ്?

പരിഹാരം $E$, $F$ എന്നിവ യഥാക്രമം ആദ്യത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും പന്ത് വരച്ചത് കറുപ്പാണെന്ന സംഭവങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കട്ടെ. നമ്മൾ $P(E \cap F)$ അല്ലെങ്കിൽ $P(EF)$ കണ്ടെത്തണം.

ഇപ്പോൾ $$ P(E)=P(\text{ black ball in first draw })=\frac{10}{15} $$

കൂ