പൊതുവേ, ഗണിതം അടിസ്ഥാനപരമായി രൂപങ്ങളുടെയും ബന്ധങ്ങളുടെയും ശാസ്ത്രമാണ്. — ഫെലിക്സ് ക്ലൈൻ

2.1 ആമുഖം

അദ്ധ്യായം 1-ൽ, ഒരു ഫലനത്തിന്റെ വിപരീതം $f$, $f^{-1}$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, $f$ ഒന്ന്-ഒന്നും ഓണ്ടുമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ നിലനിൽക്കൂ എന്ന് നമ്മൾ പഠിച്ചു. ഒന്ന്-ഒന്നോ, ഓണ്ടോ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും അല്ലാത്ത പല ഫലനങ്ങളും ഉണ്ട്, അതിനാൽ അവയുടെ വിപരീതങ്ങളെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് സംസാരിക്കാനാവില്ല. ക്ലാസ് XI-ൽ, ത്രികോണമിതി ഫലനങ്ങൾ അവയുടെ സ്വാഭാവിക ഡൊമെയ്നുകളിലും റേഞ്ചുകളിലും ഒന്ന്-ഒന്നോ ഓണ്ടോ അല്ലെന്നും അതിനാൽ അവയുടെ വിപരീതങ്ങൾ നിലവിലില്ലെന്നും നമ്മൾ പഠിച്ചു. ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, അവയുടെ വിപരീതങ്ങളുടെ അസ്തിത്വം ഉറപ്പാക്കുന്ന ത്രികോണമിതി ഫലനങ്ങളുടെ ഡൊമെയ്നുകളിലും റേഞ്ചുകളിലും ഉള്ള നിയന്ത്രണങ്ങളെക്കുറിച്ചും ഗ്രാഫിക്കൽ പ്രതിനിധാനങ്ങളിലൂടെ അവയുടെ സ്വഭാവം നിരീക്ഷിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചും നമ്മൾ പഠിക്കും. കൂടാതെ, ചില പ്രാഥമിക ഗുണങ്ങളും ചർച്ച ചെയ്യും. വിപരീത ത്രികോണമിതി ഫലനങ്ങൾ കലനശാസ്ത്രത്തിൽ (calculus) പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു, കാരണം അവ പല സമാകലനങ്ങളെയും (integrals) നിർവചിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു. വിപരീത ത്രികോണമിതി ഫലനങ്ങളുടെ ആശയങ്ങൾ ശാസ്ത്രത്തിലും എഞ്ചിനീയറിംഗിലും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ആര്യഭടൻ

($476-550$ A. D.)

2.2 അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ

ക്ലാസ് XI-ൽ, ത്രികോണമിതി ഫലനങ്ങൾ നമ്മൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്, അവ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു:

സൈൻ ഫലനം, അതായത്, sine : $\mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

കോസൈൻ ഫലനം, അതായത്, $\cos : \mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

ടാൻജെന്റ് ഫലനം, അതായത്, $\tan : \mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}$

കോടാൻജെന്റ് ഫലനം, അതായത്, $\cot : \mathbf{R}-\{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}$

സെക്കന്റ് ഫലനം, അതായത്, sec : $\mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

കോസീക്കന്റ് ഫലനം, അതായത്, $cosec: \mathbf{R}-\{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

$f: X \rightarrow Y$ എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഒരു ഫലനം $f(x)=y$ ഒന്ന്-ഒന്നും ഓണ്ടുമാണെങ്കിൽ, ഒരു അദ്വിതീയ ഫലനം $g: Y \rightarrow X$ നിർവചിക്കാമെന്നും അദ്ധ്യായം 1-ൽ നമ്മൾ പഠിച്ചു, അതായത് $g(y)=x$, ഇവിടെ $x \in X$ ഉം $y=f(x), y \in$ Y ഉം ആണ്. ഇവിടെ, $g=$ ന്റെ ഡൊമെയ്ന് $f$ ന്റെ റേഞ്ച് ആണ്, $g=$ ന്റെ റേഞ്ച് $f$ ന്റെ ഡൊമെയ്ന് ആണ്. $g$ എന്ന ഫലനത്തെ $f$ ന്റെ വിപരീതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിനെ $f^{-1}$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. കൂടാതെ, $g$ ഉം ഒന്ന്-ഒന്നും ഓണ്ടുമാണ്, $g$ ന്റെ വിപരീതം $f$ ആണ്. അതിനാൽ, $g^{-1}=(f^{-1})^{-1}=f$. നമുക്ക് ഇതും ഉണ്ട്

ഒപ്പം $$ (f^{-1} \circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x $$ $$ (f \circ f^{-1})(y)=f(f^{-1}(y))=f(x)=y $$

സൈൻ ഫലനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ന് എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും സമുച്ചയവും റേഞ്ച് $[-1,1]$ എന്ന അടഞ്ഞ ഇടവേളയുമാണ്. അതിന്റെ ഡൊമെയ്ന് $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ എന്നതിലേക്ക് നിയന്ത്രിച്ചാൽ, അത് ഒന്ന്-ഒന്നും ഓണ്ടുമായി മാറുകയും റേഞ്ച് $[-1,1]$ ആകുകയും ചെയ്യുന്നു. യഥാർത്ഥത്തിൽ, സൈൻ ഫലനം $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}], [\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], [\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$ തുടങ്ങിയ ഏതെങ്കിലും ഇടവേളകളിലേക്ക് നിയന്ത്രിച്ചാൽ, അത് ഒന്ന്-ഒന്നാകുകയും അതിന്റെ റേഞ്ച് $[-1,1]$ ആകുകയും ചെയ്യുന്നു. അതിനാൽ, ഈ ഓരോ ഇടവേളകളിലും സൈൻ ഫലനത്തിന്റെ വിപരീതം നിർവചിക്കാം. സൈൻ ഫലനത്തിന്റെ വിപരീതത്തെ $\sin ^{-1}$ (ആർക്ക് സൈൻ ഫലനം) എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, $\sin ^{-1}$ എന്നത് ഡൊമെയ്ന് $[-1,1]$ ഉം റേഞ്ച് $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}],[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ അല്ലെങ്കിൽ $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$ തുടങ്ങിയവയിൽ ഏതെങ്കിലും ഒന്നുമായിരിക്കാവുന്ന ഒരു ഫലനമാണ്. ഇത്തരം ഓരോ ഇടവേളയ്ക്കും അനുയോജ്യമായി, $\sin ^{-1}$ ഫലനത്തിന്റെ ഒരു ശാഖ (branch) നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു. റേഞ്ച് $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ആയ ശാഖയെ പ്രധാന മൂല്യ ശാഖ (principal value branch) എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതേസമയം മറ്റ് ഇടവേളകൾ റേഞ്ചായി ഉള്ളവ $\sin ^{-1}$ ന്റെ വ്യത്യസ്ത ശാഖകൾ നൽകുന്നു. $\sin ^{-1}$ ഫലനത്തെക്കുറിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുമ്പോൾ, അതിന്റെ ഡൊമെയ്ന് $[-1,1]$ ഉം റേഞ്ച് $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ഉം ആയ ഫലനമായി ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു. നമ്മൾ എഴുതുന്നു $\sin ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

വിപരീത ഫലനങ്ങളുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന്, $\sin (\sin ^{-1} x)=x$ ആണെങ്കിൽ $-1 \leq x \leq 1$ ഉം $\sin ^{-1}(\sin x)=x$ ആണെങ്കിൽ $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ ഉം എന്ന് പിന്തുടരുന്നു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, $y=\sin ^{-1} x$ ആണെങ്കിൽ, $\sin y=x$ ആണ്.

അഭിപ്രായങ്ങൾ

(i) അദ്ധ്യായം 1-ൽ നിന്ന് നമുക്കറിയാം, $y=f(x)$ ഒരു വിപരീതീകരിക്കാവുന്ന ഫലനമാണെങ്കിൽ, $x=f^{-1}(y)$ ആണ്. അങ്ങനെ, $\sin^{-1}$ ഫലനത്തിന്റെ ഗ്രാഫ് യഥാർത്ഥ ഫലനത്തിന്റെ ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് $x$, $y$ അക്ഷങ്ങൾ പരസ്പരം മാറ്റി ലഭിക്കും, അതായത്, $(a, b)$ സൈൻ ഫലനത്തിന്റെ ഗ്രാഫിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണെങ്കിൽ, ⟦71⟎ സൈൻ ഫലനത്തിന്റെ വിപരീതത്തിന്റെ ഗ്രാഫിലെ അനുയോജ്യമായ ബിന്ദുവായി മാറുന്നു. അങ്ങനെ, $y=\sin ^{-1} x$ ഫലനത്തിന്റെ ഗ്രാഫ് $y=\sin x$ ന്റെ ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് $x$, $y$ മൂല്യങ്ങൾ പരസ്പരം മാറ്റി ലഭിക്കും. $y=\sin x$, $y=\sin ^{-1} x$ എന്നിവയുടെ ഗ്രാഫുകൾ ചിത്രം 2.1 (i), (ii), (iii) ൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. $y=\sin ^{-1} x$ ന്റെ ഗ്രാഫിലെ ഇരുണ്ട ഭാഗം പ്രധാന മൂല്യ ശാഖയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

(ii) ഒരു വിപരീത ഫലനത്തിന്റെ ഗ്രാഫ്, അതിന്റെ യഥാർത്ഥ ഫലനത്തിന്റെ ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് $y=x$ എന്ന രേഖയിൽ കണ്ണാടി പ്രതിബിംബം (അതായത്, പ്രതിഫലനം) ആയി ലഭിക്കുമെന്ന് കാണിക്കാം. ഇത് $y=\sin x$, $y=\sin ^{-1} x$ എന്നിവയുടെ ഗ്രാഫുകൾ ഒരേ അക്ഷങ്ങളിൽ നോക്കിയാൽ ദൃശ്യമാക്കാം (ചിത്രം 2.1 (iii)).

സൈൻ ഫലനം പോലെ, കോസൈൻ ഫലനവും ഡൊമെയ്ന് എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും സമുച്ചയവും റേഞ്ച് $[-1,1]$ എന്ന സമുച്ചയവുമായ ഒരു ഫലനമാണ്. കോസൈൻ ഫലനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ന് $[0, \pi]$ എന്നതിലേക്ക് നിയന്ത്രിച്ചാൽ, അത് ഒന്ന്-ഒന്നും ഓണ്ടുമായി മാറുകയും റേഞ്ച് $[-1,1]$ ആകുകയും ചെയ്യുന്നു. യഥാർത്ഥത്തിൽ, കോസൈൻ ഫലനം $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ തുടങ്ങിയ ഏതെങ്കിലും ഇടവേളകളിലേക്ക് നിയന്ത്രിച്ചാൽ, ദ്വിഭാഷിക (bijective) ആകുകയും റേഞ്ച് $[-1,1]$ ആകുകയും ചെയ്യുന്നു. അതിനാൽ, ഈ ഓരോ ഇടവേളകളിലും കോസൈൻ ഫലനത്തിന്റെ വിപരീതം നിർവചിക്കാം. കോസൈൻ ഫലനത്തിന്റെ വിപരീതത്തെ $\cos ^{-1}$ (ആർക്ക് കോസൈൻ ഫലനം) എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, $\cos ^{-1}$ എന്നത് ഡൊമെയ്ന് $[-1,1]$ ഉം റേഞ്ച് $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ തുടങ്ങിയവയിൽ ഏതെങ്കിലും ഒന്നുമായിരിക്കാവുന്ന ഒരു ഫലനമാണ്. ഇത്തരം ഓരോ ഇടവേളയ്ക്കും അനുയോജ്യമായി, $\cos ^{-1}$ ഫലനത്തിന്റെ ഒരു ശാഖ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു. റേഞ്ച് $[0, \pi]$ ആയ ശാഖയെ $\cos ^{-1}$ ഫലനത്തിന്റെ പ്രധാന മൂല്യ ശാഖ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നമ്മൾ എഴുതുന്നു

$$ \cos ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[0, \pi] . $$

$y=\cos ^{-1} x$ നൽകുന്ന ഫലനത്തിന്റെ ഗ്രാഫ് $y=\sin ^{-1} x$ എന്നതിനെക്കുറിച്ച് ചർച്ച ചെയ്ത അതേ രീതിയിൽ വരയ്ക്കാം. $y=\sin x$, $y=\cos ^{-1} x$ എന്നിവയുടെ ഗ്രാഫുകൾ ചിത്രം 2.2 (i), (ii) എന്നിവയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

ചിത്രം. 2.2 (i)

ചിത്രം 2.2 (ii)

$\csc^{-1} x$, $\sec^{-1} x$ എന്നിവ ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ചർച്ച ചെയ്യാം:

$cosec x=\frac{1}{\sin x}$ ആയതിനാൽ, കോസീക്കന്റ് ഫലനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ന് $\{x: x \in \mathbf{R}$, $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ എന്നീ സമുച്ചയങ്ങളാണ്, റേഞ്ച് $\{y: y \in \mathbf{R}, y \geq 1$ അല്ലെങ്കിൽ $y \leq -1\}$ എന്ന സമുച്ചയമാണ്, അതായത് $\mathbf{R}-(-1,1)$ എന്ന സമുച്ചയം. ഇതിനർത്ഥം $y=cosec x$ $-1<y<1$ ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങളും സ്വീകരിക്കുകയും $\pi$ ന്റെ പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണിതങ്ങൾക്ക് നിർവചിക്കപ്പെടാതിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു എന്നാണ്. കോസീക്കന്റ് ഫലനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ന് $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$ എന്നതിലേക്ക് നിയന്ത്രിച്ചാൽ, അത് ഒന്ന്-ഒന്നും ഓണ്ടുമായി മാറുകയും അതിന്റെ റേഞ്ച് $\mathbf{R}-(-1,1)$ എന്ന സമുച്ചയമാകുകയും ചെയ്യുന്നു. യഥാർത്ഥത്തിൽ, കോസീക്കന്റ് ഫലനം $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}]-\{-\pi\},[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$, $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]-\{\pi\}$ തുടങ്ങിയ ഏതെങ്കിലും ഇടവേളകളിലേക്ക് നിയന്ത്രിച്ചാൽ, ദ്വിഭാഷികമാകുകയും അതിന്റെ റേഞ്ച് എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും സമുച്ചയം $\mathbf{R}-(-1,1)$ ആകുകയും ചെയ്യുന്നു. അങ്ങനെ $cosec^{-1}$ എന്നത് ഡൊമെയ്ന് $\mathbf{R}-(-1,1)$ ഉം റേഞ്ച് $[-\frac{3 \pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]-{-\pi}, [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0}, [\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]-{\pi}$ തുടങ്ങിയ ഇടവേളകളിൽ ഏതെങ്കിലും ഒന്നുമായിരിക്കാവുന്ന ഒരു ഫലനമായി നിർവചിക്കാം. റേഞ്ച് $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0}$ ഉള്ള ഫലനത്തെ $cosec^{-1}$ ന്റെ പ്രധാന മൂല്യ ശാഖ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അങ്ങനെ നമുക്ക് പ്രധാന ശാഖ ഇങ്ങനെ ഉണ്ട്:

$$ cosec^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0} $$

$y=\csc x$, $y=\csc^{-1} x$ എന്നിവയുടെ ഗ്രാഫുകൾ ചിത്രം 2.3 (i), (ii) എന്നിവയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

കൂടാതെ, $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ ആയതിനാൽ, $y=\sec x$ ന്റെ ഡൊമെയ്ന് $\mathbf{R}-\left{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}\right}$, $n \in \mathbf{Z}$ എന്നീ സമുച്ചയങ്ങളാണ്, റേഞ്ച് $\mathbf{R}-(-1,1)$ എന്ന സമുച്ചയമാണ്. ഇതിനർത്ഥം സെക്കന്റ് ഫലനം $-1<y<1$ ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങളും സ്വീകരിക്കുകയും $\frac{\pi}{2}$ ന്റെ ഒറ്റ ഗുണിതങ്ങൾക്ക് നിർവചിക്കപ്പെടാതിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു എന്നാണ്. സെക്കന്റ് ഫലനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ന് $[0, \pi]-\left{\frac{\pi}{2}\right}$ എന്നതിലേക്ക് നിയന്ത്രിച്ചാൽ, അത് ഒന്ന്-ഒന്നും ഓണ്ടുമായി മാറുകയും അതിന്റെ റേഞ്ച് $\mathbf{R}-(-1,1)$ എന്ന സമുച്ചയമാകുകയും ചെയ്യുന്നു. യഥാർത്ഥത്തിൽ, സെക്കന്റ് ഫലനം $[-\pi, 0]-{\frac{-\pi}{2}},[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}},[\pi, 2 \pi]-{\frac{3 \pi}{2}}$ തുടങ്ങിയ ഏതെങ്കിലും ഇടവേളകളിലേക്ക് നിയന്ത്രിച്ചാൽ, ദ്വിഭാഷികമാകുകയും അതിന്റെ റേഞ്ച് $\mathbf{R}-{-1,1}$ ആകുകയും ചെയ്യുന്നു. അങ്ങനെ $\sec ^{-1}$ എന്നത് ഡൊമെയ്ന് $\mathbf{R}-(-1,1)$ ഉം റേഞ്ച് $[-\pi, 0]-{\frac{-\pi}{2}},[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}},[\pi, 2 \pi]-{\frac{3 \pi}{2}}$ തുടങ്ങിയ ഇടവേളകളിൽ ഏതെങ്കിലും ഒന്നുമായിരിക്കാവുന്ന ഒരു ഫലനമായി നിർവചിക്കാം. ഈ ഓരോ ഇടവേളകൾക്കും അനുയോജ്യമായി, $sec^{-1}$ ഫലനത്തിന്റെ വ്യത്യസ്ത ശാഖകൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു. റേഞ്ച് $[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}}$ ഉള്ള ശാഖയെ $sec^{-1}$ ഫലനത്തിന്റെ പ്രധാന മൂല്യ ശാഖ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അങ്ങനെ നമുക്ക് ഇവ ഉണ്ട്:

$$ \sec ^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[0, \pi]-\{\frac{\pi}{2}\} $$

$y=\sec x$, $y=\sec^{-1} x$ എന്നീ ഫലനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകൾ ചിത്രം 2.4 (i), (ii) എന്നിവയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

അവസാനമായി, ഇപ്പോൾ നമുക്ക് $\tan ^{-1}$, $\cot ^{-1}$ എന്നിവ ചർച്ച ചെയ്യാം.

ടാൻ ഫലനത്തിന്റെ (ടാൻജെന്റ് ഫലനം) ഡൊമെയ്ന് $\{x: x \in \mathbf{R}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\}$ എന്ന സമുച്ചയവും റേഞ്ച് $\mathbf{R}$ ഉം ആണെന്ന് നമുക്കറിയാം. ഇതിനർത്ഥം ഫലനം $\frac{\pi}{2}$ ന്റെ ഒറ്റ ഗുണിതങ്ങൾക്ക് നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല എന്നാണ്. ടാൻജെന്റ് ഫലനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ന് $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ എന്നതിലേക്ക് നിയന്ത്രിച്ചാൽ, അത് ഒന്ന്-ഒന്നും ഓണ്ടുമായി മാറുകയും അതിന്റെ റേഞ്ച് $\mathbf{R}$ ആകുകയും ചെയ്യുന്നു. യഥാർത്ഥത്തിൽ, ടാൻജെന്റ് ഫലനം $(\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}),(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ തുടങ്ങിയ ഏതെങ്കിലും ഇടവേളകളിലേക്ക് നിയന്ത്രിച്ചാൽ, ദ്വിഭാഷികമാകുകയും അതിന്റെ റേഞ്ച് $\mathbf{R}$ ആകുകയും ചെയ്യുന്നു. അങ്ങനെ $\tan ^{-1}$ എന്നത് ഡൊമെയ്ന് $\mathbf{R}$ ഉം റേഞ്ച് $(\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}),(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ തുടങ്ങിയ ഇടവേളകളിൽ ഏതെങ്കിലും ഒന്നുമായിരിക്കാവുന്ന ഒരു ഫലനമായി നിർവചിക്കാം. ഈ ഇടവേളകൾ $\tan ^{-1}$ ഫലനത്തിന്റെ വ്യത്യസ്ത ശാഖകൾ നൽകുന്നു. റേഞ്ച് $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ ഉള്ള ശാഖയെ $\tan ^{-1}$ ഫലനത്തിന്റെ പ്രധാന മൂല്യ ശാഖ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അങ്ങനെ നമുക്ക് ഇവ ഉണ്ട്:

$$ \tan ^{-1}: \mathbf{R} \rightarrow(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $$

$y=\tan x$, $y=\arctan x$ എന്നീ ഫലനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകൾ ചിത്രം 2.5 (i), (ii) എന്നിവയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

കോട്ട് ഫലനത്തിന്റെ (കോടാൻജെന്റ് ഫലനം) ഡൊമെയ്ന് $\{x: x \in \mathbf{R}$, $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ എന്നീ സമുച്ചയങ്ങളാണെന്നും റേഞ്ച് $\mathbf{R}$ ആണെന്നും നമുക്കറിയാം. ഇതിനർത്ഥം കോടാൻജെന്റ് ഫലനം $\pi$ ന്റെ പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണിതങ്ങൾക്ക് നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല എന്നാണ്. കോടാൻജെന്റ് ഫലനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ന് $(0, \pi)$ എന്നതിലേക്ക് നിയന്ത്രിച്ചാൽ, അത് ദ്വിഭാഷികമാകുകയും റേഞ്ച് $\mathbf{R}$ ആകുകയും ചെയ്യുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, കോടാൻജെന്റ് ഫലനം $(-\pi, 0),(0, \pi),(\pi, 2 \pi)$ തുടങ്ങിയ ഏതെങ്കിലും ഇടവേളകളിലേക്ക് നിയന്ത്രിച്ചാൽ, ദ്വിഭാഷികമാകുകയും അതിന്റെ റേഞ്ച് $\mathbf{R}$ ആകുകയും ചെയ്യുന്നു. അങ്ങനെ $\cot ^{-1}$ എന്നത് ഡൊമെയ്ന് $\mathbf{R}$ ഉം റേഞ്ച് $(-\pi, 0),(0, \pi),(\pi, 2 \pi)$ തുടങ്ങിയ ഇടവേളകളിൽ ഏതെങ്കിലും ഒന്നുമായിരിക്കാവുന്ന ഒരു ഫലനമായി നിർവചിക്കാം. ഈ ഇടവേളകൾ $\cot ^{-1}$ ഫലനത്തിന്റെ വ്യത്യസ്ത ശാഖകൾ നൽകുന്നു. റേഞ്ച് $(0, \pi)$ ഉള്ള ഫലനത്തെ $\cot ^{-1}$ ഫലനത്തിന്റെ പ്രധാന മൂല്യ ശാഖ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അങ്ങനെ നമുക്ക് ഇവ ഉണ്ട്:

$$ \cot ^{-1}: \mathbf{R} \rightarrow(0, \pi) $$

$y=\cot x$, $y=\cot^{-1} x$ എന്നിവയുടെ ഗ്രാഫുകൾ ചിത്രം 2.6 (i), (ii) എന്നിവയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

വിപരീത ത്രികോണമിതി ഫലനങ്ങളുടെ (പ്രധാന മൂല്യ ശാഖകൾ) അവയുടെ ഡൊമെയ്നുകളും റേഞ്ചുകളും ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

കുറിപ്പ്

1. $\sin ^{-1} x$ നെ $(\sin x)^{-1}$ ഉപയോഗിച്ച് ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്. യഥാർത്ഥത്തിൽ $(\sin x)^{-1}=\frac{1}{\sin x}$ ആണ്, മറ്റ് ത്രികോണമിതി ഫലനങ്ങൾക്കും സമാനമായി.

2. ഒരു വിപരീത ത്രികോണമിതി ഫലനത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും ശാഖ പരാമർശിക്കാത്തപ്പോഴെല്ലാം, ആ ഫലനത്തിന്റെ പ്രധാന മൂല്യ ശാഖയാണ് ഞങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

3. ഒരു വിപരീത ത്രികോണമിതി ഫലനത്തിന്റെ പ്രധാന ശാഖയുടെ റേഞ്ചിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന മൂല്യത്തെ ആ വിപരീത ത്രികോണമിതി ഫലനത്തിന്റെ പ്രധാന മൂല്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം:

ഉദാഹരണം 1 $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$ ന്റെ പ്രധാന മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})=y$ ആയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ, $\sin y=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

$\sin ^{-1}$ ന്റെ പ്രധാന മൂല്യ ശാഖയുടെ റേഞ്ച് $\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$ ഉം $\sin (\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ഉം ആണെന്ന് നമുക്കറിയാം. അതിനാൽ, $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$ ന്റെ പ്രധാന മൂല്യം $\frac{\pi}{4}$ ആണ്.

ഉദാഹരണം 2 $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$ ന്റെ പ്രധാന മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})=y$ ആയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ,

$$ \cot y=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\cot (\frac{\pi}{3})=\cot (\pi-\frac{\pi}{3})=\cot (\frac{2 \pi}{3}) $$

$\cot ^{-1}$ ന്റെ പ്രധാന മൂല്യ ശാഖയുടെ റേഞ്ച് $(0, \pi)$ ഉം $\cot (\frac{2 \pi}{3})=\frac{-1}{\sqrt{3}}$ ഉം ആണെന്ന് നമുക്കറിയാം. അതിനാൽ, $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$ ന്റെ പ്രധാന മൂല്യം $\frac{2 \pi}{3}$ ആണ്.

2.3 വിപരീത ത്രികോണമിതി ഫലനങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങൾ

ഈ വിഭാഗത്തിൽ, വിപരീത ത്രികോണമിതി ഫലനങ്ങളുടെ ചില പ്രധാന ഗുണങ്ങൾ നമ്മൾ തെളിയിക്കും. ഈ ഫലങ്ങൾ അനുയോജ്യമായ വിപരീത ത്രികോണമിതി ഫലനങ്ങളുടെ പ്രധാന മൂല്യ ശാഖകൾക്കുള്ളിലും അവ നിർവചിച്ചിട്ടുള്ളിടത്തെല്ലാം