ഗണിതത്തിന്റെ സാരാംശം അതിന്റെ സ്വാതന്ത്ര്യത്തിലാണ്. - കാൻറർ

3.1 ആമുഖം

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വിവിധ ശാഖകളിലും മാട്രിക്സുകളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ആവശ്യമാണ്. ഗണിതത്തിലെ ഏറ്റവും ശക്തമായ ഉപകരണങ്ങളിലൊന്നാണ് മാട്രിക്സുകൾ. മറ്റ് നേരിട്ടുള്ള രീതികളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ഈ ഗണിത ഉപകരണം നമ്മുടെ ജോലി വളരെയധികം ലഘൂകരിക്കുന്നു. രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒതുക്കമുള്ളതും ലളിതവുമായ രീതികൾ നേടാനുള്ള ശ്രമത്തിന്റെ ഫലമാണ് മാട്രിക്സുകളുടെ ആശയത്തിന്റെ പരിണാമം. രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിലെ ഗുണകങ്ങളുടെ പ്രതിനിധാനമായി മാത്രമല്ല, മാട്രിക്സുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത്, മാട്രിക്സുകളുടെ ഉപയോഗം ആ ഉപയോഗത്തെ വളരെയധികം കവിയുന്നു. വ്യക്തിഗത കമ്പ്യൂട്ടറുകൾക്കുള്ള ഇലക്ട്രോണിക് സ്പ്രെഡ്ഷീറ്റ് പ്രോഗ്രാമുകളിൽ മാട്രിക്സ് നൊട്ടേഷനും പ്രവർത്തനങ്ങളും ഉപയോഗിക്കുന്നു, അത് ബിസിനസ്സിന്റെയും ശാസ്ത്രത്തിന്റെയും വിവിധ മേഖലകളായ ബജറ്റ് തയ്യാറാക്കൽ, വിൽപ്പന പ്രൊജക്ഷൻ, ചെലവ് കണക്കാക്കൽ, ഒരു പരീക്ഷണത്തിന്റെ ഫലങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യൽ തുടങ്ങിയവയിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു. കൂടാതെ, വിസ്തരണം, ഭ്രമണം, ഒരു തലത്തിലൂടെയുള്ള പ്രതിഫലനം തുടങ്ങിയ പല ഭൗതിക പ്രവർത്തനങ്ങളും മാട്രിക്സുകൾ വഴി ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ക്രിപ്റ്റോഗ്രാഫിയിലും മാട്രിക്സുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഈ ഗണിത ഉപകരണം ചില ശാസ്ത്രശാഖകളിൽ മാത്രമല്ല, ജനിതകശാസ്ത്രം, സാമ്പത്തികശാസ്ത്രം, സാമൂഹ്യശാസ്ത്രം, ആധുനിക മനഃശാസ്ത്രം, വ്യാവസായിക മാനേജ്മെന്റ് എന്നിവയിലും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, മാട്രിക്സിന്റെയും മാട്രിക്സ് ബീജഗണിതത്തിന്റെയും അടിസ്ഥാനങ്ങളുമായി പരിചയപ്പെടുന്നത് രസകരമായിരിക്കുമെന്ന് നമുക്ക് കാണാം.

3.2 മാട്രിക്സ്

രാധയ്ക്ക് 15 നോട്ട്ബുക്കുകൾ ഉണ്ടെന്ന വിവരം പ്രകടിപ്പിക്കാൻ നമുക്ക് ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെന്ന് കരുതുക. ⟦ ⟧ ഉള്ളിലെ സംഖ്യ രാധയ്ക്കുള്ള നോട്ട്ബുക്കുകളുടെ എണ്ണമാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കി നമുക്ക് അത് [15] എന്ന് പ്രകടിപ്പിക്കാം. ഇപ്പോൾ, രാധയ്ക്ക് 15 നോട്ട്ബുക്കുകളും 6 പേനകളും ഉണ്ടെന്ന് പ്രകടിപ്പിക്കണമെങ്കിൽ. ⟦ ⟧ ഉള്ളിലെ ആദ്യ സംഖ്യ നോട്ട്ബുക്കുകളുടെ എണ്ണവും മറ്റൊന്ന് രാധയ്ക്കുള്ള പേനകളുടെ എണ്ണവുമാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കി നമുക്ക് അത് $\begin{bmatrix}15 & 6\end{bmatrix}$ എന്ന് പ്രകടിപ്പിക്കാം. രാധയ്ക്കും അവരുടെ രണ്ട് സുഹൃത്തുക്കളായ ഫൗസിയയ്ക്കും സിംറാനിനും ഉള്ള നോട്ട്ബുക്കുകളുടെയും പേനകളുടെയും കൈവശമുള്ള വിവരം പ്രകടിപ്പിക്കാൻ നമുക്ക് ഇപ്പോൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെന്ന് കരുതുക, അത് ഇപ്രകാരമാണ്:

$$ \begin{array}{llllll} \text { Radha } & \text { has } & 15 & \text { notebooks } & \text { and } & 6 \text { pens, } \\ \text { Fauzia } & \text { has } & 10 & \text { notebooks } & \text { and } & 2 \text { pens, } \\ \text { Simran } & \text { has } & 13 & \text { notebooks } & \text { and } & 5 \text { pens. } \end{array} $$

ഇപ്പോൾ ഇത് ടാബുലാർ രൂപത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ക്രമീകരിക്കാം:

$$ \begin{array}{lcc} & \text { Notebooks } & \text { Pens } \\ \text { Radha } & 15 & 6 \\ \text { Fauzia } & 10 & 2 \\ \text { Simran } & 13 & 5 \end{array} $$

അല്ലെങ്കിൽ

ഇത് ഇങ്ങനെ പ്രകടിപ്പിക്കാം:

ആദ്യ ക്രമീകരണത്തിൽ, ആദ്യ നിരയിലെ എൻട്രികൾ യഥാക്രമം രാധ, ഫൗസിയ, സിംറാൻ എന്നിവരുടെ കൈവശമുള്ള നോട്ട്ബുക്കുകളുടെ എണ്ണത്തെയും രണ്ടാമത്തെ നിരയിലെ എൻട്രികൾ യഥാക്രമം രാധ, ഫൗസിയ, സിംറാൻ എന്നിവരുടെ കൈവശമുള്ള പേനകളുടെ എണ്ണത്തെയും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. അതുപോലെ, രണ്ടാമത്തെ ക്രമീകരണത്തിൽ, ആദ്യ വരിയിലെ എൻട്രികൾ യഥാക്രമം രാധ, ഫൗസിയ, സിംറാൻ എന്നിവരുടെ കൈവശമുള്ള നോട്ട്ബുക്കുകളുടെ എണ്ണത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. രണ്ടാമത്തെ വരിയിലെ എൻട്രികൾ യഥാക്രമം രാധ, ഫൗസിയ, സിംറാൻ എന്നിവരുടെ കൈവശമുള്ള പേനകളുടെ എണ്ണത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. മുകളിലെ തരത്തിലുള്ള ഒരു ക്രമീകരണമോ പ്രദർശനമോ ആണ് മാട്രിക്സ് എന്ന് അറിയപ്പെടുന്നത്. ഔപചാരികമായി, മാട്രിക്സ് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിക്കുന്നു:

നിർവചനം 1 സംഖ്യകളുടെയോ ഫംഗ്ഷനുകളുടെയോ ക്രമീകരിച്ച ചതുരാകൃതിയിലുള്ള bmatrix ആണ് മാട്രിക്സ്. സംഖ്യകളോ ഫംഗ്ഷനുകളോ മാട്രിക്സിന്റെ ഘടകങ്ങളോ എൻട്രികളോ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

മാട്രിക്സുകൾ കാപ്പിറ്റൽ അക്ഷരങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. മാട്രിക്സുകളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ്:

$$ A=\begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 0 & \sqrt{5} \\ 3 & 6 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 2+i & 3 & -\frac{1}{2} \\ 3.5 & -1 & 2 \\ \sqrt{3} & 5 & \frac{5}{7} \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} 1+x & x^{3} & 3 \\ \cos x & \sin x+2 & \tan x \end{bmatrix} $$

മുകളിലെ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, ഘടകങ്ങളുടെ തിരശ്ചീന വരികൾ മാട്രിക്സിന്റെ വരികളെയും ഘടകങ്ങളുടെ ലംബ വരികൾ മാട്രിക്സിന്റെ നിരകളെയും രൂപീകരിക്കുന്നുവെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ $A$ ന് 3 വരികളും 2 നിരകളും ഉണ്ട്, $B$ ന് 3 വരികളും 3 നിരകളും ഉണ്ട്, $C$ ന് 2 വരികളും 3 നിരകളും ഉണ്ട്.

3.2.1 ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ ക്രമം

$m$ വരികളും $n$ നിരകളും ഉള്ള ഒരു മാട്രിക്സിനെ $m \times n$ ക്രമത്തിലുള്ള മാട്രിക്സ് അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി $m \times n$ മാട്രിക്സ് ($m$ by $n$ മാട്രിക്സ് എന്ന് വായിക്കുക) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ മാട്രിക്സുകളുടെ മുകളിലെ ഉദാഹരണങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് $A$ $3 \times 2$ മാട്രിക്സായും, $B$ $3 \times 3$ മാട്രിക്സായും, $C$ $2 \times 3$ മാട്രിക്സായും ഉണ്ട്. $A$ ന് $3 \times 2=6$ ഘടകങ്ങളുണ്ടെന്നും, $B$, $C$ എന്നിവയ്ക്ക് യഥാക്രമം 9 ഉം 6 ഉം ഘടകങ്ങളുണ്ടെന്നും നമ്മൾ നിരീക്ഷിക്കുന്നു.

പൊതുവേ, ഒരു $m \times n$ മാട്രിക്സിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ചതുരാകൃതിയിലുള്ള bmatrix ഉണ്ട്:

$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & a_{i3} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} _{m \times n} $

അല്ലെങ്കിൽ $ A=[a_{i j}]_{m \times n}, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n \quad i, j \in N $

അതിനാൽ $i^{\text {th }}$ വരിയിൽ $a_{i 1}, a_{i 2}, a_{i 3}, \ldots, a_{i n}$ എന്നീ ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, $j^{\text {th }}$ നിരയിൽ $a_{1 j}, a_{2 j}, a_{3 j}, \ldots, a_{m j}$ എന്നീ ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു,

പൊതുവേ $a_{i j}$, $i^{\text {th }}$ വരിയിലും $j^{\text {th }}$ നിരയിലുമുള്ള ഒരു ഘടകമാണ്. നമുക്ക് അതിനെ $A$ ന്റെ $(i, j)^{\text {th }}$ ഘടകം എന്നും വിളിക്കാം. ഒരു $m \times n$ മാട്രിക്സിലെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം $m n$ ന് തുല്യമായിരിക്കും.

കുറിപ്പ് ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ

1. $m \times n$ ക്രമത്തിലുള്ള മാട്രിക്സാണ് $A$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാൻ നമ്മൾ $A=[a_{i j}]_{m \times n}$ എന്ന നൊട്ടേഷൻ പാലിക്കും.

2. യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്ന യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളോ ഫംഗ്ഷനുകളോ ആയ ഘടകങ്ങൾ ഉള്ള മാട്രിക്സുകൾ മാത്രമേ നമ്മൾ പരിഗണിക്കൂ.

ഒരു തലത്തിലെ ഏത് ബിന്ദുവും $(x, y)$ ഒരു മാട്രിക്സ് (കോളം അല്ലെങ്കിൽ വരി) ആയി $\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$ (അല്ലെങ്കിൽ $.[x, y]$) എന്ന് പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന് ബിന്ദു $P(0,1)$ ഒരു മാട്രിക്സ് പ്രതിനിധാനമായി നൽകാം

$$ \mathbf{P}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \text { or }\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} $$

ഈ രീതിയിൽ ഒരു അടഞ്ഞ റെക്റ്റിലീനിയർ രൂപത്തിന്റെ ശീർഷകങ്ങളെയും ഒരു മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാമെന്ന് നിരീക്ഷിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, ശീർഷകങ്ങൾ A $(1,0), B(3,2), C(1,3), D(-1,2)$ ഉള്ള ഒരു ചതുർഭുജം $A B C D$ പരിഗണിക്കുക.

ഇപ്പോൾ, ചതുർഭുജം $ABCD$ മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ, ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം

അങ്ങനെ, ഒരു തലത്തിലെ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുടെ ശീർഷകങ്ങളുടെ പ്രതിനിധാനമായി മാട്രിക്സുകൾ ഉപയോഗിക്കാം.

ഇപ്പോൾ, ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1 I, II, III എന്നീ മൂന്ന് ഫാക്ടറികളിലെ പുരുഷ, സ്ത്രീ തൊഴിലാളികളുടെ എണ്ണത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഇനിപ്പറയുന്ന വിവരങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക

മുകളിലെ വിവരം ഒരു $3 \times 2$ മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുക. മൂന്നാം വരിയിലും രണ്ടാം നിരയിലുമുള്ള എൻട്രി എന്താണ് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത്?

പരിഹാരം വിവരം ഒരു $3 \times 2$ മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു:

$$ A=\begin{bmatrix} 30 & 25 \\ 25 & 31 \\ 27 & 26 \end{bmatrix} $$

മൂന്നാം വരിയിലും രണ്ടാം നിരയിലുമുള്ള എൻട്രി ഫാക്ടറി III-ലെ സ്ത്രീ തൊഴിലാളികളുടെ എണ്ണത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 2 ഒരു മാട്രിക്സിന് 8 ഘടകങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, അതിന് എന്തെല്ലാം സാധ്യമായ ക്രമങ്ങൾ ഉണ്ടാകും?

പരിഹാരം ഒരു മാട്രിക്സ് $m \times n$ ക്രമത്തിലാണെങ്കിൽ, അതിന് $m n$ ഘടകങ്ങളുണ്ടെന്ന് നമുക്കറിയാം. അതിനാൽ, 8 ഘടകങ്ങളുള്ള ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ ക്രമങ്ങളും കണ്ടെത്താൻ, ഗുണനഫലം 8 ആയ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ എല്ലാ ക്രമീകരിച്ച ജോഡികളും നമ്മൾ കണ്ടെത്തും.

അങ്ങനെ, സാധ്യമായ എല്ലാ ക്രമീകരിച്ച ജോഡികളും $(1,8),(8,1),(4,2),(2,4)$ അതിനാൽ, സാധ്യമായ ക്രമങ്ങൾ $1 \times 8,8 \times 1,4 \times 2,2 \times 4$

ഉദാഹരണം 3 $3 \times 2$ മാട്രിക്സ് നിർമ്മിക്കുക, അതിന്റെ ഘടകങ്ങൾ $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|$ നൽകുന്നു.

പരിഹാരം പൊതുവേ ഒരു $3 \times 2$ മാട്രിക്സ് $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{bmatrix}$ നൽകുന്നു.

ഇപ്പോൾ $\quad$ $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|, i=1,2,3 \text { and } j=1,2$

അതിനാൽ $\quad a_{11}=\frac{1}{2}|1-3 \times 1|=1 \quad a_{12}=\frac{1}{2}|1-3 \times 2|=\frac{5}{2}$

$$ \begin{matrix} a_{21}= \frac{1}{2}|2-3 \times 1|=\frac{1}{2} & a_{22}=\frac{1}{2}|2-3 \times 2|=2 \\ \\ a_{31} =\frac{1}{2}|3-3 \times 1|=0 & a_{32} =\frac{1}{2}|3-3 \times 2|=\frac{3}{2} \end{matrix} $$

അതിനാൽ ആവശ്യമായ മാട്രിക്സ് $A=\begin{bmatrix}1 & \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{3}{2}\end{bmatrix}$ നൽകുന്നു.

3.3 മാട്രിക്സുകളുടെ തരങ്ങൾ

ഈ വിഭാഗത്തിൽ, വ്യത്യസ്ത തരം മാട്രിക്സുകൾ ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്യും.

(i) കോളം മാട്രിക്സ്

ഒരു മാട്രിക്സിന് ഒരു കോളം മാത്രമേ ഉള്ളൂ എങ്കിൽ അതിനെ കോളം മാട്രിക്സ് എന്ന് പറയുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, $A=\begin{bmatrix}{c}0 \\ \sqrt{3} \\ -1 \\ 1 / 2\end{bmatrix}$ എന്നത് $4 \times 1$ ക്രമത്തിലുള്ള ഒരു കോളം മാട്രിക്സാണ്.

പൊതുവേ, $A=[a_{i j}]_{m \times 1}$ എന്നത് $m \times 1$ ക്രമത്തിലുള്ള ഒരു കോളം മാട്രിക്സാണ്.

(ii) വരി മാട്രിക്സ്

ഒരു മാട്രിക്സിന് ഒരു വരി മാത്രമേ ഉള്ളൂ എങ്കിൽ അതിനെ വരി മാട്രിക്സ് എന്ന് പറയുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, $B=[\begin{bmatrix}-\frac{1}{2} & \sqrt{5} & 2 & 3\end{bmatrix}]_{1 \times 4}$ ഒരു വരി മാട്രിക്സാണ്.

പൊതുവേ, $B=[b_{i j}]_{1 \times n}$ എന്നത് $1 \times n$ ക്രമത്തിലുള്ള ഒരു വരി മാട്രിക്സാണ്.

(iii) സ്ക്വയർ മാട്രിക്സ്

വരികളുടെ എണ്ണം നിരകളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമായ ഒരു മാട്രിക്സിനെ സ്ക്വയർ മാട്രിക്സ് എന്ന് പറയുന്നു. അങ്ങനെ ഒരു $m \times n$ മാട്രിക്സ് $m=n$ ആണെങ്കിൽ സ്ക്വയർ മാട്രിക്സ് എന്ന് പറയുകയും ‘$n$’ ക്രമത്തിലുള്ള ഒരു സ്ക്വയർ മാട്രിക്സ് എന്ന് അറിയപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന് $A=\begin{bmatrix}3 & -1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 3 \sqrt{2} & 1 \\ 4 & 3 & -1\end{bmatrix}$ എന്നത് 3 ക്രമത്തിലുള്ള ഒരു സ്ക്വയർ മാട്രിക്സാണ്.

പൊതുവേ, $A=[a_{i j}]_{m \times m}$ എന്നത് $m$ ക്രമത്തിലുള്ള ഒരു സ്ക്വയർ മാട്രിക്സാണ്.

കുറിപ്പ് $A=[a_{i j}]$ എന്നത് $n$ ക്രമത്തിലുള്ള ഒരു സ്ക്വയർ മാട്രിക്സ് ആണെങ്കിൽ, ഘടകങ്ങൾ (എൻട്രികൾ) $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{n n}$

മാട്രിക്സ് A യുടെ വികർണ്ണം രൂപീകരിക്കുന്നുവെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ, $A=\begin{bmatrix}1 & -3 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 3 & 5 & 6\end{bmatrix}$ ആണെങ്കിൽ.

അപ്പോൾ A യുടെ വികർണ്ണത്തിന്റെ ഘടകങ്ങൾ 1, 4, 6 എന്നിവയാണ്.

(iv) ഡയഗണൽ മാട്രിക്സ്

എല്ലാ നോൺ ഡയഗണൽ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യമാണെങ്കിൽ ഒരു സ്ക്വയർ മാട്രിക്സ് $B=[b_{ij}]_ {m\times m} $ ഡയഗണൽ മാട്രിക്സ് ആണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു, അതായത് ഒരു മാട്രിക്സ് $B=[b_{ij}]_ {m\times m} $ $b_{i j}=0$ ആണെങ്കിൽ, $i \neq j$ ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ഡയഗണൽ മാട്രിക്സ് ആണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, $A=[4], B=\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix}-1.1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}$, യഥാക്രമം 1,2,3 ക്രമത്തിലുള്ള ഡയഗണൽ മാട്രിക്സുകളാണ്.

(v) സ്കെയിലർ മാട്രിക്സ്

ഒരു ഡയഗണൽ മാട്രിക്സിന്റെ ഡയഗണൽ ഘടകങ്ങൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ അതിനെ സ്കെയിലർ മാട്രിക്സ് എന്ന് പറയുന്നു, അതായത്, ഒരു സ്ക്വയർ മാട്രിക്സ് $B=[b_{i j}]_{n \times n}$ ആണെങ്കിൽ സ്കെയിലർ മാട്രിക്സ് എന്ന് പറയപ്പെടുന്നു

$$ \begin{aligned} & b_{i j}=0, \quad \text { when } i \neq j \\ & b_{i j}=k, \quad \text { when } i=j, \text { for some constant } k . \end{aligned} $$

ഉദാഹരണത്തിന് $A=[3], \quad B=[\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}], \quad C=\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3}\end{bmatrix}$

യഥാക്രമം 1,2,3 ക്രമത്തിലുള്ള സ്കെയിലർ മാട്രിക്സുകളാണ്.

(vi) ഐഡന്റിറ്റി മാട്രിക്സ്

വികർണ്ണത്തിലെ ഘടകങ്ങൾ എല്ലാം 1 ഉം ബാക്കിയുള്ളവ എല്ലാം പൂജ്യവുമായ ഒരു സ്ക്വയർ മാട്രിക്സിനെ ഐഡന്റിറ്റി മാട്രിക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, സ്ക്വയർ മാട്രിക്സ് $A=[a_{i j}]_{n \times n}$ ഒരു

ഐഡന്റിറ്റി മാട്രിക്സ് ആണ്, $a_{ij}=\begin{cases}1 & \text { if } & i=j \\ 0 & \text { if } & i \neq j\end{cases}.$ ആണെങ്കിൽ.

$n$ ക്രമത്തിലുള്ള ഐഡന്റിറ്റി മാട്രിക്സ് $I_{n}$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ക്രമം സന്ദർഭത്തിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാകുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ അത് I എന്ന് ലളിതമായി എഴുതുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന് [1], $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}\sqrt 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt 3\end{bmatrix}$ എന്നിവ യഥാക്രമം 1, 2, 3 ക്രമത്തിലുള്ള ഐഡന്റിറ്റി മാട്രിക്സുകളാണ്.

$k=1$ ആയിരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സ്കെയിലർ മാട്രിക്സ് ഒരു ഐഡന്റിറ്റി മാട്രിക്സ് ആണെന്ന് നിരീക്ഷിക്കുക. എന്നാൽ എല്ലാ ഐഡന്റിറ്റി മാട്രിക്സും വ്യക്തമായും ഒരു സ്കെയിലർ മാട്രിക്സാണ്.

(vii) സീറോ മാട്രിക്സ്

എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യമാണെങ്കിൽ ഒരു മാട്രിക്സിനെ സീറോ മാട്രിക്സ് അല്ലെങ്കിൽ നൾ മാട്രിക്സ് എന്ന് പറയുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, $[0],\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix},[0,0]$ എല്ലാം സീറോ മാട്രിക്സുകളാണ്. സീറോ മാട്രിക്സ് $O$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അതിന്റെ ക്രമം സന്ദർഭത്തിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാകും.

3.3.1 _മാട്രിക്സുകളുടെ തുല്യത

നിർവചനം 2 രണ്ട് മാട്രിക്സുകൾ $A=[a_{i j}]$, $B=[b_{i j}]$ എന്നിവ തുല്യമാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു

(i) അവ ഒരേ ക്രമത്തിലാണെങ്കിൽ

(ii) $A$ ന്റെ ഓരോ ഘടകവും $B$ ന്റെ അനുയോജ്യമായ ഘടകത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതായത് എല്ലാ $i$, $j$ എന്നിവയ്ക്കും $a_{i j}=b_{i j}$ ആണെങ്കിൽ.

ഉദാഹരണത്തിന്, $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ എന്നിവ തുല്യ മാട്രിക്സുകളാണ്, എന്നാൽ $\begin{bmatrix}3 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ എന്നിവ തുല്യമല്ലാത്ത മാട്രിക്സുകളാണ്. ചിഹ്നാത്മകമായി, രണ്ട് മാട്രിക്സുകൾ $A$, $B$ എന്നിവ തുല്യമാണെങ്കിൽ, $A=B$ എന്ന് ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു.

$ \text { }\begin{bmatrix} x & y \\ z & a \\ b & c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1.5 & 0 \\ 2 & \sqrt{6} \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \text { ആണെങ്കിൽ, }$ $x=-1.5, y=0, z=2, a=\sqrt{6}, b=3, c=2 $

ഉദാഹരണം 4 $\begin{bmatrix}x+3 & z+4 & 2 y-7 \\ -6 & a-1 & 0 \\ b-3 & -21 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 6 & 3 y-2 \\ -6 & -3 & 2 c+2 \\ 2 b+4 & -21 & 0\end{bmatrix}$ ആണെങ്കിൽ

$a, b, c, x, y$, $z$ എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം നൽകിയിരിക്കുന്ന മാട്രിക്സുകൾ തുല്യമായതിനാൽ, അവയുടെ അനുയോജ്യമായ ഘടകങ്ങൾ തുല്യമായിരിക്കണം. അനുയോജ്യമായ ഘടകങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ,