എല്ലാ ഗണിത സത്യങ്ങളും ആപേക്ഷികവും വ്യവസ്ഥാപിതവുമാണ് - സി.പി. സ്റ്റൈൻമെറ്റ്സ്

4.1 ആമുഖം

മുമ്പത്തെ അദ്ധ്യായത്തിൽ, മെട്രിക്സുകളെയും മെട്രിക്സുകളുടെ ബീജഗണിതത്തെയും കുറിച്ച് നാം പഠിച്ചു. ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം മെട്രിക്സുകളുടെ രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാമെന്നും നാം മനസ്സിലാക്കി. അതായത്,

$$ \begin{aligned} & a _{1} x+b _{1} y=c _{1} \\ & a _{2} x+b _{2} y=c _{2} \end{aligned} $$

എന്നതുപോലുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തെ $\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x \\ y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}c_1 \\ c_2\end{vmatrix}$ എന്ന് പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ഇപ്പോൾ, ഈ സമവാക്യ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ടോ ഇല്ലയോ എന്നത് $a_1 b_2-a_2 b_1$ എന്ന സംഖ്യയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. ($\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ അല്ലെങ്കിൽ $a_1 b_2-a_2 b_1 \neq 0$ ആണെങ്കിൽ, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ടെന്ന് ഓർക്കുക).

പി.എസ്. ലാപ്ലേസ് $(1749-1827)$ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്). പരിഹാരത്തിന്റെ അദ്വിതീയത നിർണ്ണയിക്കുന്ന $a_1 b_2-a_2 b_1$ എന്ന സംഖ്യ ⟦70⟎ എന്ന മെട്രിക്സുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, ഇതിനെ A യുടെ ഡിറ്റർമിനന്റ് അല്ലെങ്കിൽ det A എന്ന് വിളിക്കുന്നു. എഞ്ചിനീയറിംഗ്, സയൻസ്, ഇക്കോണോമിക്സ്, സോഷ്യൽ സയൻസ് തുടങ്ങിയവയിൽ ഡിറ്റർമിനന്റുകൾക്ക് വിശാലമായ പ്രയോഗങ്ങളുണ്ട്.

ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, നമ്മൾ യഥാർത്ഥ പ്രവേശനങ്ങളുള്ള മൂന്നാം ക്രമം വരെയുള്ള ഡിറ്റർമിനന്റുകൾ മാത്രമേ പഠിക്കൂ. കൂടാതെ, ഡിറ്റർമിനന്റുകളുടെ വിവിധ ഗുണങ്ങൾ, മൈനറുകൾ, കോഫാക്ടറുകൾ, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിൽ ഡിറ്റർമിനന്റുകളുടെ പ്രയോഗങ്ങൾ, ഒരു സ്ക്വയർ മെട്രിക്സിന്റെ അഡ്ജോയിന്റും ഇൻവേഴ്സും, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ സ്ഥിരതയും അസ്ഥിരതയും, രണ്ടോ മൂന്നോ വേരിയബിളുകളിലുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരവും ഒരു മെട്രിക്സിന്റെ ഇൻവേഴ്സ് ഉപയോഗിച്ച് പഠിക്കും.

4.2 ഡിറ്റർമിനന്റ്

⟦72⟎ ക്രമമുള്ള ഓരോ സ്ക്വയർ മെട്രിക്സ് $A=[a _{i j}]$-നും, നമുക്ക് ഒരു സംഖ്യ (യഥാർത്ഥമോ സങ്കീർണ്ണമോ) ബന്ധിപ്പിക്കാം, ഇതിനെ സ്ക്വയർ മെട്രിക്സ് A യുടെ ഡിറ്റർമിനന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇവിടെ ⟦73⟎ A യുടെ മൂലകമാണ്.

ഇതിനെ ഓരോ സ്ക്വയർ മെട്രിക്സിനെയും ഒരു അദ്വിതീയ സംഖ്യയുമായി (യഥാർത്ഥമോ സങ്കീർണ്ണമോ) ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷനായി കണക്കാക്കാം. ⟦74⟎ സ്ക്വയർ മെട്രിക്സുകളുടെ സെറ്റ് ആണെങ്കിൽ, ⟦75⟎ സംഖ്യകളുടെ സെറ്റ് (യഥാർത്ഥമോ സങ്കീർണ്ണമോ) ആണെങ്കിൽ, ⟦76⟎ ⟦77⟎ എന്നത് നിർവചിക്കുകയും, ഇവിടെ ⟦78⟎ ഉം ⟦79⟎ ഉം ആണെങ്കിൽ, ⟦80⟎ ⟦81⟎ യുടെ ഡിറ്റർമിനന്റ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു. ഇത് ⟦82⟎ അല്ലെങ്കിൽ ⟦83⟎ അല്ലെങ്കിൽ ⟦84⟎ എന്നും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

⟦85⟎ ആണെങ്കിൽ, A യുടെ ഡിറ്റർമിനന്റ് ⟦86⟎ എന്ന് എഴുതുന്നു

ശ്രദ്ധിക്കുക

(i) മെട്രിക്സ് A-യ്ക്ക്, ⟦87⟎ ⟦88⟎ യുടെ ഡിറ്റർമിനന്റ് എന്ന് വായിക്കുന്നു, ⟦89⟎ യുടെ മോഡുലസ് അല്ല.

(ii) സ്ക്വയർ മെട്രിക്സുകൾക്ക് മാത്രമേ ഡിറ്റർമിനന്റുകൾ ഉള്ളൂ.

4.2.1 ഒന്നാം ക്രമത്തിലുള്ള ഒരു മെട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ്

⟦90⟎ ഒന്നാം ക്രമത്തിലുള്ള മെട്രിക്സ് ആയിരിക്കട്ടെ, അപ്പോൾ ⟦91⟎ യുടെ ഡിറ്റർമിനന്റ് ⟦92⟎ ന് തുല്യമായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു

4.2.2 രണ്ടാം ക്രമത്തിലുള്ള ഒരു മെട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ്

$\text{Let}\qquad A=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22} \end{vmatrix} \text{ be a matrix of order } 2 \times 2, $

അപ്പോൾ ⟦93⟎ യുടെ ഡിറ്റർമിനന്റ് ഇങ്ങനെ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു:

$ det(A)=|A|=\Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & & a _{12} \\ a _{21} & & a _{22} \end{vmatrix}=a _{11} a _{22}-a _{21} a _{12} $

ഉദാഹരണം 1 ⟦94⟎ വിലയിരുത്തുക.

പരിഹാരം നമുക്ക് ⟦95⟎ ഉണ്ട്.

ഉദാഹരണം 2 ⟦96⟎ വിലയിരുത്തുക

പരിഹാരം നമുക്ക്

$ \begin{vmatrix} x & x+1 \\ x-1 & x \end{vmatrix}=x(x)-(x+1)(x-1)=x^{2}-(x^{2}-1)=x^{2}-x^{2}+1=1 $

4.2.3 ⟦97⟎ ക്രമത്തിലുള്ള ഒരു മെട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ്

മൂന്നാം ക്രമത്തിലുള്ള ഒരു മെട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് രണ്ടാം ക്രമത്തിലുള്ള ഡിറ്റർമിനന്റുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ നിർണ്ണയിക്കാം. ഇത് ഒരു വരിയിലൂടെ (അല്ലെങ്കിൽ ഒരു കോളത്തിലൂടെ) ഒരു ഡിറ്റർമിനന്റ് വികസിപ്പിക്കൽ എന്നറിയപ്പെടുന്നു. ഒരു ഡിറ്റർമിനന്റ് വികസിപ്പിക്കാനുള്ള ആറ് വഴികളുണ്ട്

3, മൂന്ന് വരികൾ ⟦98⟎, ⟦99⟎ എന്നിവയിലും മൂന്ന് കോളങ്ങൾ ⟦100⟎, ⟦101⟎ എന്നിവയിലും അനുയോജ്യമായി, താഴെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഒരേ മൂല്യം നൽകുന്നു.

സ്ക്വയർ മെട്രിക്സ് ⟦102⟎ യുടെ ഡിറ്റർമിനന്റ് പരിഗണിക്കുക

$\text{i.e}\qquad |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $

ആദ്യ വരിയിലൂടെ വികസിപ്പിക്കൽ ⟦103⟎

ഘട്ടം 1 ⟦105⟎ യുടെ ആദ്യ മൂലകം ⟦104⟎ ⟦106⟎ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, ⟦109⟎ യുടെ ആദ്യ വരി ⟦107⟎, ആദ്യ കോളം ⟦108⟎ എന്നിവയുടെ മൂലകങ്ങൾ ഇല്ലാതാക്കിയതിലൂടെ ലഭിക്കുന്ന രണ്ടാം ക്രമ ഡിറ്റർമിനന്റ് ഉപയോഗിക്കുക, കാരണം ⟦110⟎ ⟦111⟎, ⟦112⟎ എന്നിവയിൽ കിടക്കുന്നു,

$\text{i.e.,}\qquad (-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right| $

ഘട്ടം 2 ⟦114⟎ യുടെ രണ്ടാം മൂലകം ⟦113⟎ ⟦115⟎ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, ⟦118⟎ യുടെ ആദ്യ വരി ⟦116⟎, രണ്ടാം കോളം ⟦117⟎ എന്നിവയുടെ മൂലകങ്ങൾ ഇല്ലാതാക്കിയതിലൂടെ ലഭിക്കുന്ന രണ്ടാം ക്രമ ഡിറ്റർമിനന്റ് ഉപയോഗിക്കുക, കാരണം ⟦119⟎ ⟦120⟎, ⟦121⟎ എന്നിവയിൽ കിടക്കുന്നു,

i.e., ⟦122⟎

ഘട്ടം 3 ⟦124⟎ യുടെ മൂന്നാം മൂലകം ⟦123⟎ ⟦125⟎ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, ⟦128⟎ യുടെ ആദ്യ വരി ⟦126⟎, മൂന്നാം കോളം ⟦127⟎ എന്നിവയുടെ മൂലകങ്ങൾ ഇല്ലാതാക്കിയതിലൂടെ ലഭിക്കുന്ന രണ്ടാം ക്രമ ഡിറ്റർമിനന്റ് ഉപയോഗിക്കുക, കാരണം ⟦129⟎ ⟦130⟎, ⟦131⟎ എന്നിവയിൽ കിടക്കുന്നു,

i.e., ⟦132⟎

ഘട്ടം 4 ഇപ്പോൾ A യുടെ ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ വികാസം, അതായത്, ⟦133⟎, ഘട്ടങ്ങൾ 1,2,3 എന്നിവയിൽ ലഭിച്ച മൂന്ന് പദങ്ങളുടെയും ആകെത്തുകയായി നൽകിയിരിക്കുന്നത്

$$ \begin{aligned} & \operatorname{det} \mathrm{A}=|\mathrm{A}|=(-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right|+(-1)^{1+2} \quad a _{12}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{array}\right| \\ & +(-1)^{1+3} a _{13}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{array}\right| \end{aligned} $$

$ \begin{align*} \text{or} \qquad |\mathrm{A}|= & a _{11}\left(a _{22} a _{33}-a _{32} a _{23}\right)-a _{12}\left(a _{21} a _{33}-a _{31} a _{23}\right) \\ & +a _{13}\left(a _{21} a _{32}-a _{31} a _{22}\right) \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{32} a _{23}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{31} a _{23}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \tag{1} \end{align*} $

കുറിപ്പ് നാം നാല് ഘട്ടങ്ങളും ഒരുമിച്ച് പ്രയോഗിക്കും.

രണ്ടാം വരിയിലൂടെ വികസിപ്പിക്കൽ ⟦134⟎

$$ |A|=\begin{vmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \end{vmatrix} $$

⟦135⟎ എന്നതിലൂടെ വികസിപ്പിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$ \begin{aligned} |A|= & (-1)^{2+1} a _{21}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{2+2} a _{22}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{13} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +(-1)^{2+3} a _{23}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ = & -a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{32} a _{13})+a _{22}(a _{11} a _{33}-a _{31} a _{13}) \\ & -a _{23}(a _{11} a _{32}-a _{31} a _{12}) \\ |A|= & -a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{32} a _{13}+a _{22} a _{11} a _{33}-a _{22} a _{31} a _{13}-a _{23} a _{11} a _{32} \\ & +a _{23} a _{31} a _{12} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

ആദ്യ കോളത്തിലൂടെ വികസിപ്പിക്കൽ ⟦136⟎

$$ |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $$

⟦137⟎ എന്നതിലൂടെ വികസിപ്പിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$ \begin{aligned} |A|= & a _{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{21}(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +a _{31}(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{22} & a _{23} \end{vmatrix} \\ = & a _{11}(a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32})-a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})+a _{31}(a _{12} a _{23}-a _{13} a _{22}) \end{aligned} $ $ \begin{aligned} |A|= & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{13} a _{32}+a _{31} a _{12} a _{23} \\ & -a _{31} a _{13} a _{22} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

വ്യക്തമായും, (1), (2), (3) എന്നിവയിലെ ⟦138⟎ യുടെ മൂല്യങ്ങൾ തുല്യമാണ്. ⟦140⟎, ⟦141⟎ എന്നിവയിലൂടെ വികസിപ്പിച്ച് ⟦139⟎ യുടെ മൂല്യങ്ങൾ (1), (2) അല്ലെങ്കിൽ (3) എന്നിവയിൽ ലഭിച്ച ⟦142⟎ യുടെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് സ്ഥിരീകരിക്കുന്നത് വായനക്കാരനായ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വ്യായാമമായി നൽകിയിരിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, ഏത് വരിയിലൂടെയോ കോളത്തിലൂടെയോ ഒരു ഡിറ്റർമിനന്റ് വികസിപ്പിച്ചാൽ ഒരേ മൂല്യം ലഭിക്കും.

ശ്രദ്ധിക്കുക

(i) എളുപ്പമുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കായി, പരമാവധി പൂജ്യങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന വരി അല്ലെങ്കിൽ കോളത്തിലൂടെയാണ് ഡിറ്റർമിനന്റ് വികസിപ്പിക്കേണ്ടത്.

(ii) വികസിപ്പിക്കുമ്പോൾ, ⟦143⟎ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന് പകരം, ⟦144⟎ ഇരട്ട സംഖ്യയാണോ ഒറ്റ സംഖ്യയാണോ എന്നതിനനുസരിച്ച് +1 അല്ലെങ്കിൽ -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം.

(iii) ⟦145⟎ ഉം ⟦146⟎ ഉം ആയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ, ⟦147⟎ എന്ന് സ്ഥിരീകരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. കൂടാതെ ⟦148⟎ ഉം ⟦149⟎ ഉം.

⟦150⟎ അല്ലെങ്കിൽ ⟦151⟎ ആണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, ഇവിടെ ⟦152⟎ സ്ക്വയർ മെട്രിക്സുകൾ ⟦153⟎, ⟦154⟎ എന്നിവയുടെ ക്രമമാണ്.

പൊതുവേ, ⟦155⟎ ആണെങ്കിൽ, ഇവിടെ ⟦156⟎, ⟦157⟎ എന്നിവ ⟦158⟎ ക്രമത്തിലുള്ള സ്ക്വയർ മെട്രിക്സുകളാണെങ്കിൽ, ⟦159⟎ ⟦160⟎, ഇവിടെ ⟦161⟎

ഉദാഹരണം 3 ഡിറ്റർമിനന്റ് ⟦162⟎ വിലയിരുത്തുക.

പരിഹാരം മൂന്നാം കോളത്തിൽ, രണ്ട് എൻട്രികൾ പൂജ്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. അതിനാൽ മൂന്നാം കോളം ⟦163⟎ എന്നതിലൂടെ വികസിപ്പിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$$ \begin{aligned} \Delta & =4\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}-0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}+0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \\ & =4(-1-12)-0+0=-52 \end{aligned} $$

ഉദാഹരണം 4 ⟦164⟎ വിലയിരുത്തുക

പരിഹാരം ⟦165⟎ എന്നതിലൂടെ വികസിപ്പിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$ \begin{aligned} \Delta & =0\begin{vmatrix} 0 & \sin \beta \\ -\sin \beta & 0 \end{vmatrix}-\sin \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & \sin \beta \\ \cos \alpha & 0 \end{vmatrix}-\cos \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & 0 \\ \cos \alpha & -\sin \beta \end{vmatrix} \\ & =0-\sin \alpha(0-\sin \beta \cos \alpha)-\cos \alpha(\sin \alpha \sin \beta-0) \\ & =\sin \alpha \sin \beta \cos \alpha-\cos \alpha \sin \alpha \sin \beta=0 \end{aligned} $

ഉദാഹരണം 5 ⟦166⟎ ന്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക, അതായത് ⟦167⟎.

പരിഹാരം നമുക്ക് ⟦168⟎ ഉണ്ട്

i.e. ⟦169⟎

$\text{i.e.}\qquad \begin{aligned} x^{2} & =8 \\ \end{aligned} $

അതിനാൽ ⟦170⟎

4.3 ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം

മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിൽ, ⟦171⟎, ⟦172⟎ എന്നീ ശീർഷകങ്ങളുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ⟦173⟎ ⟦174⟎ എന്ന പദപ്രയോഗത്താൽ നൽകപ്പെടുന്നുവെന്ന് നാം പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഇപ്പോൾ ഈ പദപ്രയോഗം ഒരു ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ രൂപത്തിൽ ഇങ്ങനെ എഴുതാം

$$ \Delta=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} x _{1} & y _{1} & 1 \tag{1}\\ x _{2} & y _{2} & 1 \\ x _{3} & y _{3} & 1 \end{array}\right| $$

ശ്രദ്ധിക്കുക

(i) വിസ്തീർണ്ണം ഒരു പോസിറ്റീവ് അളവായതിനാൽ, (1) ലെ ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ കേവല മൂല്യം എല്ലായ്പ്പോഴും എടുക്കുന്നു.

(ii) വിസ്തീർണ്ണം നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, കണക്കുകൂട്ടലിനായി ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ രണ്ടും ഉപയോഗിക്കുക.

(iii) മൂന്ന് കോളിനിയർ പോയിന്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് രൂപംകൊണ്ട ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം പൂജ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 6 ⟦175⟎, ⟦176⟎ എന്നീ ശീർഷകങ്ങളുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം നൽകിയിരിക്കുന്നത്

$$ \begin{aligned} \Delta & =\frac{1}{2}\left|\begin{array}{rrr} 3 & 8 & 1 \\ -4 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \end{array}\right|=\frac{1}{2}[3(2-1)-8(-4-5)+1(-4-10)] \\ & =\frac{1}{2}(3+72-14)=\frac{61}{2} \end{aligned} $$

ഉദാഹരണം 7 ⟦177⟎, ⟦178⟎ എന്നിവ ചേർന്ന വരിയുടെ സമവാക്യം ഡിറ്റർമിനന്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുക, ⟦179⟎ കണ്ടെത്തുക, ⟦180⟎ ആണെങ്കിൽ, ABD ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം 3 ചതുരശ്ര യൂണിറ്റാണ്.

പരിഹാരം ⟦181⟎ ⟦182⟎ എന്നതിലെ ഏത് പോയിന്റും ആയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ, ABP ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം പൂജ്യമാണ് (എന്തുകൊണ്ട്?).

$\text{so}\qquad \frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ x & y & 1 \end{array}\right|=0 $

$\text{This gives}\qquad \frac{1}{2}(y-3 x)=0 \text { या } y=3 x $

ഇത് ആവശ്യമായ വരി ⟦183⟎ യുടെ സമവാക്യമാണ്.

കൂടാതെ, ABD ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം 3 ചതുരശ്ര യൂണിറ്റ് ആയതിനാൽ, നമുക്ക്

$ \frac{1}{2}\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ k & 0 & 1 \end{vmatrix}= \pm 3 $ ഇത് നൽകുന്നത് ⟦184⟎, അതായത് ⟦185⟎.

4.4 മൈനറുകളും കോഫാക്ടറുകളും

ഈ വിഭാഗത്തിൽ, മൈനറുകളും കോഫാക്ടറുകളും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ വികാസം ഒതുക്കമുള്ള രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ നാം പഠിക്കും.

നിർവചനം 1 ഒരു ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ ⟦186⟎ മൂലകത്തിന്റെ മൈനർ എന്നത് ⟦187⟎-ാം വരിയും ⟦188⟎-ാം കോളവും ഇല്ലാതാക്കിയതിലൂടെ ലഭിക്കുന്ന ഡിറ്റർമിനന്റാണ്, ഇവിടെ ⟦189⟎ മൂലകം കിടക്കുന്നു. ⟦190⟎ മൂലകത്തിന്റെ മൈനർ ⟦191⟎ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ശ്രദ്ധിക്കുക ⟦192⟎ ക്രമത്തിലുള്ള ഒരു ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ ഒരു മൂലകത്തിന്റെ മൈനർ ⟦193⟎ ക്രമത്തിലുള്ള ഒരു ഡിറ്റർമിനന്റാണ്.

ഉദാഹരണം 8 ഡിറ്റർമിനന്റ് ⟦194⟎ ലെ 6 എന്ന മൂലകത്തിന്റെ മൈനർ കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം 6 രണ്ടാം വരിയിലും മൂന്നാം കോളത്തിലും കിടക്കുന്നതിനാൽ, അതിന്റെ മൈനർ ⟦195⟎ നൽകിയിരിക്കുന്നത്

$ M _{23}=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}=8-14=-6 \text{ (obtained by deleting } R_2 \text{ and } C_3 \text{ in } \Delta \text{ ). } $

നിർവചനം 2 ⟦196⟎ മൂലകത്തിന്റെ കോഫാക്ടർ, ⟦197⟎ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്

$ A _{i j}=(-1)^{i+j} M _{i j} \text{, where } M _{i j} \text{ is minor of } a _{i j} \text{. } $

ഉദാഹരണം 9 ഡിറ്റർമിനന്റ് ⟦198⟎ യുടെ എല്ലാ മൂലകങ്ങളുടെയും മൈനറുകളും കോഫ