“ശാസ്ത്രം മുഴുവനും ദൈനംദിന ചിന്തയുടെ ശുദ്ധീകരണം മാത്രമാണ്.” - ആൽബർട്ട് ഐൻസ്റ്റൈൻ

5.1 ആമുഖം

ഈ അധ്യായം അടിസ്ഥാനപരമായി ക്ലാസ് XI-ൽ നാം പഠിച്ച ഫലനങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ തുടർച്ചയാണ്. ബഹുപദ ഫലനങ്ങളും ത്രികോണമിതി ഫലനങ്ങളും പോലുള്ള ചില ഫലനങ്ങളെ വേർതിരിക്കാൻ നാം പഠിച്ചിരുന്നു. ഈ അധ്യായത്തിൽ, തുടർച്ച, വ്യത്യസ്തത, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ബന്ധങ്ങൾ എന്നിവയുടെ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ആശയങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിചയപ്പെടുത്തുന്നു. വിപരീത ത്രികോണമിതി ഫലനങ്ങളുടെ വ്യത്യാസവും നാം പഠിക്കും. കൂടാതെ, എക്സ്പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് ഫലനങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു പുതിയ ക്ലാസ് ഫലനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിചയപ്പെടുത്തുന്നു. ഈ ഫലനങ്ങൾ വ്യത്യാസത്തിന്റെ ശക്തമായ സാങ്കേതിക വിദ്യകളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസ് വഴി ചില ജ്യാമിതീയമായി വ്യക്തമായ വ്യവസ്ഥകൾ ഞങ്ങൾ ചിത്രീകരിക്കുന്നു. ഈ പ്രക്രിയയിൽ, ഈ മേഖലയിലെ ചില അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തങ്ങൾ നാം പഠിക്കും.

5.2 തുടർച്ച

ഞങ്ങൾ ആരംഭിക്കുന്നത് ഈ വിഭാഗം തുടർച്ചയുടെ ഒരു അനുഭവം ലഭിക്കാൻ രണ്ട് അനൗപചാരിക ഉദാഹരണങ്ങളോടെയാണ്. ഫലനം പരിഗണിക്കുക

$$ f(x)=\begin{cases} 1, \text{ if } x \leq 0 \\ 2, \text{ if } x>0 \end{cases}. $$

ഈ ഫലനം തീർച്ചയായും യഥാർത്ഥ രേഖയുടെ എല്ലാ ബിന്ദുവിലും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ ഫലനത്തിന്റെ ഗ്രാഫ് ചിത്രം 5.1-ൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. $x$-അക്ഷത്തിലെ അടുത്തുള്ള ബിന്ദുക്കളിലെ ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യം $x=0$ ഒഴികെ പരസ്പരം അടുത്തായി തുടരുന്നുവെന്ന് ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് ഒരാൾക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാനാകും. 0-ന്റെ അടുത്തും ഇടതുവശത്തുമുള്ള ബിന്ദുക്കളിൽ, അതായത് $-0.1,-0.01,-0.001$ പോലുള്ള ബിന്ദുക്കളിൽ, ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യം 1 ആണ്. 0-ന്റെ അടുത്തും വലതുവശത്തുമുള്ള ബിന്ദുക്കളിൽ, അതായത് $0.1,0.01$ പോലുള്ള ബിന്ദുക്കളിൽ,

0.001 , ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യം 2 ആണ്. ഇടത്, വലത് പരിധികളുടെ ഭാഷ ഉപയോഗിച്ച്, $f$-ന്റെ 0-ൽ ഇടത് (അനുസൃതമായി വലത്) പരിധി 1 (അനുസൃതമായി 2) ആണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. പ്രത്യേകിച്ചും, ഇടത്, വലത് പരിധികൾ ഒത്തുപോകുന്നില്ല. $x=0$-ൽ ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യം ഇടത് പരിധിയുമായി യോജിക്കുന്നുവെന്നും നമ്മൾ നിരീക്ഷിക്കുന്നു. ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കാൻ ശ്രമിക്കുമ്പോൾ, അത് ഒരു വരയ്ക്കൽ കൊണ്ട് വരയ്ക്കാൻ കഴിയില്ല, അതായത്, പേപ്പറിന്റെ തലത്തിൽ നിന്ന് പേന ഉയർത്താതെ, ഈ ഫലനത്തിന്റെ ഗ്രാഫ് നമുക്ക് വരയ്ക്കാൻ കഴിയില്ല. വാസ്തവത്തിൽ, ഇടത് വശത്ത് നിന്ന് 0-ലേക്ക് വരുമ്പോൾ പേന ഉയർത്തേണ്ടതുണ്ട്. $x=0$-ൽ ഫലനം തുടർച്ചയായിരിക്കാത്തതിന്റെ ഇത് ഒരു ഉദാഹരണമാണ്.

ഇപ്പോൾ, ഇങ്ങനെ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഫലനം പരിഗണിക്കുക

$$ f(x)=\begin{cases} & 1, \text{ if } x \neq 0 \\ & 2, \text{ if } x=0 \end{cases} $$

ഈ ഫലനവും എല്ലാ ബിന്ദുവിലും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. $x=0$-ൽ ഇടത്, വലത് പരിധികൾ രണ്ടും 1-ന് തുല്യമാണ്. എന്നാൽ $x=0$-ൽ ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യം 2 ആണ്, ഇത് ഇടത്, വലത് പരിധികളുടെ പൊതു മൂല്യവുമായി യോജിക്കുന്നില്ല. വീണ്ടും, പേന ഉയർത്താതെ ഫലനത്തിന്റെ ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് നമ്മൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു. $x=0$-ൽ ഒരു ഫലനം തുടർച്ചയായിരിക്കാത്തതിന്റെ ഇത് മറ്റൊരു ഉദാഹരണമാണ്.

ലളിതമായി, ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിൽ ഫലനം തുടർച്ചയായിരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പേപ്പറിന്റെ തലത്തിൽ നിന്ന് പേന ഉയർത്താതെ ആ ബിന്ദുവിന് ചുറ്റുമുള്ള ഫലനത്തിന്റെ ഗ്രാഫ് നമുക്ക് വരയ്ക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് നമുക്ക് പറയാം.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി, ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കൃത്യമായി രൂപപ്പെടുത്താം:

നിർവചനം 1 $f$ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഒരു ഉപഗണത്തിലെ ഒരു യഥാർത്ഥ ഫലനമാണെന്നും $c$ $f$-ന്റെ ഡൊമെയ്നിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണെന്നും കരുതുക. അപ്പോൾ

$$ \lim _{x \to c} f(x)=f(c) $$

ആണെങ്കിൽ $f$ $c$-ൽ തുടർച്ചയായിരിക്കും.

കൂടുതൽ വിശദമായി, $x=c$-ൽ ഇടത് പരിധി, വലത് പരിധി, ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യം എന്നിവ നിലവിലുണ്ടെങ്കിലും പരസ്പരം തുല്യമാണെങ്കിൽ, $f$ $x=c$-ൽ തുടർച്ചയായിരിക്കുമെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. $x=c$-ൽ വലത്, ഇടത് പരിധികൾ ഒത്തുപോയാൽ, ആ പൊതു മൂല്യം $x=c$-ൽ ഫലനത്തിന്റെ പരിധിയാണെന്ന് നമ്മൾ പറയുന്നുവെന്ന് ഓർക്കുക. അതിനാൽ തുടർച്ചയുടെ നിർവചനം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ വീണ്ടും രൂപപ്പെടുത്താം: $x=c$-ൽ ഫലനം നിർവചിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിലും $x=c$-ൽ ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യം $x=c$-ൽ ഫലനത്തിന്റെ പരിധിക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ ഒരു ഫലനം $x=c$-ൽ തുടർച്ചയായിരിക്കും. $f$ $c$-ൽ തുടർച്ചയായിരിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, $f$ $c$-ൽ തുടർച്ചയറ്റമുണ്ടെന്ന് പറയുകയും $c$ $f$-ന്റെ തുടർച്ചയറ്റ ബിന്ദു എന്ന് വിളിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം 1 $f$ $f(x)=2 x+3$ എന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫലനത്തിന്റെ $x=1$-ൽ തുടർച്ച പരിശോധിക്കുക.

പരിഹാരം ആദ്യം, നൽകിയിരിക്കുന്ന ബിന്ദു $x=1$-ൽ ഫലനം നിർവചിച്ചിട്ടുണ്ടെന്നും അതിന്റെ മൂല്യം 5 ആണെന്നും ശ്രദ്ധിക്കുക. അപ്പോൾ $x=1$-ൽ ഫലനത്തിന്റെ പരിധി കണ്ടെത്തുക. വ്യക്തമായും

$$ \lim _{x \to 1} f(x)=\lim _{x \to 1}(2 x+3)=2(1)+3=5 $$

അങ്ങനെ $\qquad \lim _{x \to 1} f(x)=5=f(1)$

അതിനാൽ, $f$ $x=1$-ൽ തുടർച്ചയായിരിക്കും.

ഉദാഹരണം 2 $f$ $f(x)=x^{2}$ എന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫലനം $x=0$-ൽ തുടർച്ചയായിരിക്കുന്നുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കുക.

പരിഹാരം ആദ്യം, നൽകിയിരിക്കുന്ന ബിന്ദു $x=0$-ൽ ഫലനം നിർവചിച്ചിട്ടുണ്ടെന്നും അതിന്റെ മൂല്യം 0 ആണെന്നും ശ്രദ്ധിക്കുക. അപ്പോൾ $x=0$-ൽ ഫലനത്തിന്റെ പരിധി കണ്ടെത്തുക. വ്യക്തമായും

$$ \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} x^{2}=0^{2}=0 $$

അങ്ങനെ $\qquad \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0=f(0)$

അതിനാൽ, $f$ $x=0$-ൽ തുടർച്ചയായിരിക്കും.

ഉദാഹരണം 3 $f$ $f(x)=|x|$ എന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫലനത്തിന്റെ $x=0$-ൽ തുടർച്ച ചർച്ച ചെയ്യുക.

പരിഹാരം നിർവചനം അനുസരിച്ച്

$$ f(x)= \begin{cases}-x, & \text{ if } x<0 \\ x, & \text{ if } x \geq 0\end{cases} $$

വ്യക്തമായും ഫലനം 0-ൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു, $f(0)=0$. $f$-ന്റെ 0-ൽ ഇടത് പരിധി

$$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{-}}(-x)=0 $$

സമാനമായി, $f$-ന്റെ 0-ൽ വലത് പരിധി

$$ \lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}} x=0 $$

അങ്ങനെ, ഇടത് പരിധി, വലത് പരിധി, ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യം എന്നിവ $x=0$-ൽ ഒത്തുപോകുന്നു. അതിനാൽ, $f$ $x=0$-ൽ തുടർച്ചയായിരിക്കും.

ഉദാഹരണം 4 $f$ എന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫലനം

$$ f(x)= \begin{cases}x^{3}+3, & \text{ if } x \neq 0 \\ 1, & \text{ if } x=0\end{cases} $$

$x=0$-ൽ തുടർച്ചയായിരിക്കുന്നില്ലെന്ന് കാണിക്കുക.

പരിഹാരം ഫലനം $x=0$-ൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു, $x=0$-ൽ അതിന്റെ മൂല്യം 1 ആണ്. $x \neq 0$ ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ഫലനം ഒരു ബഹുപദം വഴി നൽകിയിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ,

$$ \lim _{x \to 0} f(x)=\lim _{x \to 0}(x^{3}+3)=0^{3}+3=3 $$

$f$-ന്റെ $x=0$-ൽ പരിധി $f(0)$-നൊപ്പം ഒത്തുപോകാത്തതിനാൽ, ഫലനം $x=0$-ൽ തുടർച്ചയായിരിക്കുന്നില്ല. $x=0$ ഈ ഫലനത്തിനുള്ള ഏക തുടർച്ചയറ്റ ബിന്ദുവാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കാം.

ഉദാഹരണം 5 സ്ഥിരാങ്ക ഫലനം $f(x)=k$ തുടർച്ചയായിരിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കൾ പരിശോധിക്കുക.

പരിഹാരം ഫലനം എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളിലും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യയിലെ അതിന്റെ മൂല്യം $k$ ന് തുല്യമാണ്. $c$ ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യയായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ

$$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} k=k $$

ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യ $c$-ന് $f(c)=k=\lim _{x \to c} f(x)$ ആയതിനാൽ, ഫലനം $f$ എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയിലും തുടർച്ചയായിരിക്കും.

ഉദാഹരണം 6 യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളിലെ ഐഡന്റിറ്റി ഫലനം $f(x)=x$ എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയിലും തുടർച്ചയായിരിക്കുമെന്ന് തെളിയിക്കുക.

പരിഹാരം ഫലനം വ്യക്തമായും എല്ലാ ബിന്ദുവിലും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു, എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യ $c$-നും $f(c)=c$ ആണ്.

കൂടാതെ, $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} x=c$

അങ്ങനെ, $\lim _{x \to c} f(x)=c=f(c)$, അതിനാൽ ഫലനം എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയിലും തുടർച്ചയായിരിക്കും.

ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിൽ ഒരു ഫലനത്തിന്റെ തുടർച്ച നിർവചിച്ചതിന് ശേഷം, ഇപ്പോൾ ഒരു ഫലനത്തിന്റെ തുടർച്ച ചർച്ച ചെയ്യാൻ ഈ നിർവചനത്തിന്റെ ഒരു സ്വാഭാവിക വിപുലീകരണം ഞങ്ങൾ നടത്തുന്നു.

നിർവചനം 2 ഒരു യഥാർത്ഥ ഫലനം $f$ അതിന്റെ ഡൊമെയ്നിലെ എല്ലാ ബിന്ദുവിലും തുടർച്ചയായിരിക്കുകയാണെങ്കിൽ തുടർച്ചയായതായി പറയപ്പെടുന്നു. ഈ നിർവചനത്തിന് കുറച്ച് വിശദീകരണം ആവശ്യമാണ്. $f$ ഒരു അടഞ്ഞ ഇടവേള $[a, b]$-ൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ഫലനമാണെന്ന് കരുതുക, അപ്പോൾ $f$ തുടർച്ചയായിരിക്കാൻ, അത് $[a, b]$-ലെ എല്ലാ ബിന്ദുക്കളിലും, അവസാന ബിന്ദുക്കൾ $a$, $b$ എന്നിവ ഉൾപ്പെടെ, തുടർച്ചയായിരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. $f$-ന്റെ $a$-ൽ തുടർച്ച എന്നാൽ, $f$-ന്റെ $b$-ൽ തുടർച്ച എന്നാൽ

$$ \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=f(a) $$

$$ \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=f(b) $$

$\lim _{x \to a^{-}} f(x)$, $\lim _{x \to b^{+}} f(x)$ എന്നിവ അർത്ഥവത്തല്ലെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഈ നിർവചനത്തിന്റെ ഒരു പരിണതഫലമായി, f ഒരു ബിന്ദുവിൽ മാത്രം നിർവചിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അത് അവിടെ തുടർച്ചയായിരിക്കും, അതായത്, $f$-ന്റെ ഡൊമെയ്ന് ഒരു സിംഗിൾട്ടൺ ആണെങ്കിൽ, $f$ ഒരു തുടർച്ചയായ ഫലനമാണ്.

ഉദാഹരണം 7 $f(x)=|x|$ എന്ന് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഫലനം ഒരു തുടർച്ചയായ ഫലനമാണോ?

പരിഹാരം $f$ ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം:

$ f(x)= \begin{cases}-x, & \text{ if } x<0 \\ x, & \text{ if } x \geq 0\end{cases} $

ഉദാഹരണം 3 വഴി, $f$ $x=0$-ൽ തുടർച്ചയായിരിക്കുമെന്ന് നമുക്കറിയാം.

$c$ $c<0$ ആയ ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ $f(c)=-c$.

കൂടാതെ $$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(-x)=-c$$

$\lim _{x \to c} f(x)=f(c), f$ ആയതിനാൽ, എല്ലാ നെഗറ്റീവ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളിലും തുടർച്ചയായിരിക്കും.

ഇപ്പോൾ, $c$ $c>0$ ആയ ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ $f(c)=c$. കൂടാതെ

$$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} x=c $$

$\lim _{x \to c} f(x)=f(c), f$ ആയതിനാൽ, എല്ലാ പോസിറ്റീവ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളിലും തുടർച്ചയായിരിക്കും. അതിനാൽ, $f$ എല്ലാ ബിന്ദുക്കളിലും തുടർച്ചയായിരിക്കും.

ഉദാഹരണം 8 $f$ $f(x)=x^{3}+x^{2}-1$ എന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫലനത്തിന്റെ തുടർച്ച ചർച്ച ചെയ്യുക.

പരിഹാരം വ്യക്തമായും $f$ എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യ $c$-ലും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു, $c$-ൽ അതിന്റെ മൂല്യം $c^{3}+c^{2}-1$ ആണ്. ഇതും നമുക്കറിയാം:

$$ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c}\left(x^{3}+x^{2}-1\right)=c^{3}+c^{2}-1 $$

അങ്ങനെ $\lim _{x \to c} f(x)=f(c)$, അതിനാൽ $f$ എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയിലും തുടർച്ചയായിരിക്കും. ഇതിനർത്ഥം $f$ ഒരു തുടർച്ചയായ ഫലനമാണ്.

ഉദാഹരണം 9 $f$ $f(x)=\frac{1}{x}, x \neq 0$ എന്ന് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഫലനത്തിന്റെ തുടർച്ച ചർച്ച ചെയ്യുക.

പരിഹാരം ഏതെങ്കിലും പൂജ്യമല്ലാത്ത യഥാർത്ഥ സംഖ്യ $c$ ഫിക്സ് ചെയ്യുക, നമുക്കുള്ളത്

$$ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c} \frac{1}{x}=\frac{1}{c} $$

കൂടാതെ, $c \neq 0, f(c)=\frac{1}{c}$ ആയതിനാൽ, നമുക്ക് $\lim _{x \to c} f(x)=f(c)$ ഉണ്ട്, അതിനാൽ, $f$ $f$-ന്റെ ഡൊമെയ്നിലെ എല്ലാ ബിന്ദുവിലും തുടർച്ചയായിരിക്കും. അങ്ങനെ $f$ ഒരു തുടർച്ചയായ ഫലനമാണ്.

അനന്തതയുടെ ആശയം വിശദീകരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഈ അവസരം ഉപയോഗിക്കുന്നു. $f(x)=\frac{1}{x}$ ഫലനം $x=0$-യ്ക്ക് സമീപം വിശകലനം ചെയ്തുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യുന്നു. ഈ വിശകലനം നടത്താൻ, 0-യ്ക്ക് സമീപമുള്ള യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളിൽ ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സാധാരണ തന്ത്രം ഞങ്ങൾ പിന്തുടരുന്നു. അടിസ്ഥാനപരമായി, $f$-ന്റെ 0-ൽ വലത് പരിധി കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കുന്നു. ഇത് ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടികയിൽ (പട്ടിക 5.1) ടാബുലേറ്റ് ചെയ്യുന്നു.

പട്ടിക 5.1

$x$ വലതുവശത്ത് നിന്ന് 0-യോട് അടുക്കുമ്പോൾ, $f(x)$-ന്റെ മൂല്യം ഉയർന്നു പോകുന്നതായി നമ്മൾ നിരീക്ഷിക്കുന്നു. ഇത് ഇങ്ങനെ പുനർവിവരിക്കാം: 0-യ്ക്ക് വളരെ അടുത്തായി ഒരു പോസിറ്റീവ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലൂടെ $f(x)$-ന്റെ മൂല്യം ഏതെങ്കിലും നൽകിയ സംഖ്യയേക്കാൾ വലുതാക്കാം. ചിഹ്നങ്ങളിൽ, ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു

$$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=+\infty $$

($f(x)$-ന്റെ 0-ൽ വലത് പരിധി പ്ലസ് അനന്തമാണ് എന്ന് വായിക്കണം). $+\infty$ ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയല്ല, അതിനാൽ $f$-ന്റെ 0-ൽ വലത് പരിധി (ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയായി) നിലവിലില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ ഊന്നിപ്പറയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു.

സമാനമായി, $f$-ന്റെ 0-ൽ ഇടത് പരിധി കണ്ടെത്താം. ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടിക സ്വയം വിശദീകരിക്കുന്നു.

പട്ടിക 5.2

പട്ടിക 5.2-ൽ നിന്ന്, 0-യ്ക്ക് വളരെ അടുത്തായി ഒരു നെഗറ്റീവ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലൂടെ $f(x)$-ന്റെ മൂല്യം ഏതെങ്കിലും നൽകിയ സംഖ്യയേക്കാൾ ചെറുതാക്കാമെന്ന് നമ്മൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു. ചിഹ്നങ്ങളിൽ, ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു

$$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=-\infty $$

($f(x)$-ന്റെ 0-ൽ ഇടത് പരിധി മൈനസ് അനന്തമാണ് എന്ന് വായിക്കണം). വീണ്ടും, $-\infty$ ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയല്ല, അതിനാൽ $f$-ന്റെ 0-ൽ ഇടത് പരിധി (ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയായി) നിലവിലില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ ഊന്നിപ്പറയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ചിത്രം 5.3-ൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന റെസിപ്രോക്കൽ ഫലനത്തിന്റെ ഗ്രാഫ് മുകളിൽ പറഞ്ഞ വസ്തുതകളുടെ ഒരു ജ്യാമിതീയ പ്രതിനിധാനമാണ്.

ചിത്രം 5.3

ഉദാഹരണം 10 $f$ എന്ന് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഫലനത്തിന്റെ തുടർച്ച ചർച്ച ചെയ്യുക

$$ f(x)=\begin{cases} x+2, \text{ if } x \leq 1 \\ x-2, \text{ if } x1 > 1 \\ \end{cases}. $$

പരിഹാരം ഫലനം $f$ യഥാർത്ഥ രേഖയിലെ എല്ലാ ബിന്ദുക്കളിലും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു.

കേസ് 1 $c<1$ ആണെങ്കിൽ, $f(c)=c+2$. അതിനാൽ, $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x+2)=c+2$

അങ്ങനെ, $f$ 1-ൽ കുറവുള്ള എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളിലും തുടർച്ചയായിരിക്കും.

കേസ് 2 $c>1$ ആണെങ്കിൽ, $f(c)=c-2$. അതിനാൽ,

$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x-2)=c-2=f(c) $

അങ്ങനെ, $f$ എല്ലാ ബിന്ദുക്കള