“കാൽക്കുലസിനെ താക്കോലാക്കി, പ്രകൃതിയുടെ ഗതിയുടെ വിശദീകരണത്തിലേക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രം വിജയകരമായി പ്രയോഗിക്കാം.” - വൈറ്റ്ഹെഡ്

6.1 ആമുഖം

അദ്ധ്യായം 5-ൽ, സംയുക്ത ഫലനങ്ങളുടെ, വിപരീത ത്രികോണമിതി ഫലനങ്ങളുടെ, ഗൂഢ ഫലനങ്ങളുടെ, ഘാതീയ ഫലനങ്ങളുടെ, ലഘുഗണക ഫലനങ്ങളുടെ അവകലജം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നമ്മൾ പഠിച്ചു. ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, എഞ്ചിനീയറിംഗ്, ശാസ്ത്രം, സാമൂഹികശാസ്ത്രം തുടങ്ങിയ വിവിധ ശാഖകളിലും മറ്റ് പല മേഖലകളിലും അവകലജത്തിന്റെ പ്രയോഗങ്ങൾ നമ്മൾ പഠിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, അവകലജം എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് നമ്മൾ പഠിക്കും (i) അളവുകളുടെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക് നിർണ്ണയിക്കാൻ, (ii) ഒരു വക്രത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലെ സ്പർശരേഖയുടെയും അഭിലംബരേഖയുടെയും സമവാക്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ, (iii) ഒരു ഫലനത്തിന്റെ ഗ്രാഫിലെ തിരിയുന്ന ബിന്ദുക്കൾ കണ്ടെത്താൻ, ഇത് ഒരു ഫലനത്തിന്റെ ഏറ്റവും വലുതോ ചെറുതോ (പ്രാദേശികമായി) ആയ മൂല്യം സംഭവിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കൾ കണ്ടെത്താൻ നമ്മെ സഹായിക്കും. ഒരു ഫലനം വർദ്ധിക്കുന്നതോ കുറയുന്നതോ ആയ ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്താനും നമ്മൾ അവകലജം ഉപയോഗിക്കും. ഒടുവിൽ, ചില അളവുകളുടെ ഏകദേശ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ നമ്മൾ അവകലജം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

6.2 അളവുകളുടെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക്

അവകലജം $\\ \frac{ds}{dt} $ എന്നത് സമയം $t$-നെ അപേക്ഷിച്ച് ദൂരം $s$-ന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കാണെന്ന് ഓർക്കുക. അതുപോലെ, ഒരു അളവ് $y$ മറ്റൊരു അളവ് $x$-നോടൊപ്പം വ്യത്യാസപ്പെടുമ്പോൾ, ചില നിയമങ്ങൾ $y=f(x)$ പാലിക്കുമ്പോൾ, $\frac{d y}{d x}$ (അല്ലെങ്കിൽ $f^{\prime}(x)$) $x$-നെ അപേക്ഷിച്ച് $y$-ന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. കൂടാതെ $\frac{d y}{d x} _{x=x_0}(.$ അല്ലെങ്കിൽ $.f^{\prime}(x_0))$ $x=x_0$-ൽ $x$-നെ അപേക്ഷിച്ച് $y$-ന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

കൂടുതലായി, രണ്ട് ചരങ്ങൾ $x$, $y$ മറ്റൊരു ചരം $t$-നെ അപേക്ഷിച്ച് വ്യത്യാസപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, അതായത്, $x=f(t)$, $y=g(t)$ ആണെങ്കിൽ, ചെയിൻ റൂൾ പ്രകാരം

$$ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d t} / \frac{d x}{d t}, \text{ if } \frac{d x}{d t} \neq 0 $$

അങ്ങനെ, $x$-നെ അപേക്ഷിച്ച് $y$-ന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക്, $t$-നെ അപേക്ഷിച്ച് $y$-ന്റെയും $x$-ന്റെയും മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക് ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാം.

നമുക്ക് ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1 ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക്, അതിന്റെ ആരം $r$ ആകുമ്പോൾ, സെക്കൻഡിന് അതിന്റെ ആരത്തെ അപേക്ഷിച്ച് കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം ആരം $r$ ഉള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം A നൽകുന്നത് $A=\pi r^{2}$ ആണ്. അതിനാൽ, ആരം $r$-നെ അപേക്ഷിച്ച് വിസ്തീർണ്ണം A-യുടെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക് നൽകുന്നത് $\frac{d A}{d r}=\frac{d}{d r}(\pi r^{2})=2 \pi r$ ആണ്. $r=5 cm, \frac{d A}{d r}=10 \pi$ ആകുമ്പോൾ. അങ്ങനെ, വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $10 \pi cm^{2} / s$ എന്ന നിരക്കിൽ മാറുന്നു.

ഉദാഹരണം 2 ഒരു ക്യൂബിന്റെ വ്യാപ്തം സെക്കൻഡിൽ 9 ക്യൂബിക് സെന്റീമീറ്റർ നിരക്കിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു. ഒരു വക്കിന്റെ നീളം 10 സെന്റീമീറ്റർ ആകുമ്പോൾ, ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം എത്ര വേഗത്തിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു?

പരിഹാരം $x$ വക്കിന്റെ നീളമായിരിക്കട്ടെ, $V$ വ്യാപ്തവും $S$ ക്യൂബിന്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണവും ആയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ, $V=x^{3}$, $S=6 x^{2}$, ഇവിടെ $x$ സമയം $t$-ന്റെ ഒരു ഫലനമാണ്.

ഇപ്പോൾ $ \qquad \frac{d V}{d t}=9 cm^{3} / s$ (നൽകിയിരിക്കുന്നു)

അതിനാൽ $ \qquad 9=\frac{d V}{d t}=\frac{d}{d t}(x^{3})=\frac{d}{d x}(x^{3}) \cdot \frac{d x}{d t} \quad(\text{ By Chain Rule })$

അല്ലെങ്കിൽ $ \qquad =3 x^{2} \cdot \frac{d x}{d t} $

ഇപ്പോൾ $ \qquad \frac{d x}{d t}=\frac{3}{x^{2}} \tag{1}$

$$ \begin{array}{rlr} \frac{d S}{d t} & =\frac{d}{d t}\left(6 x^{2}\right)=\frac{d}{d x}\left(6 x^{2}\right) \cdot \frac{d x}{d t} & \text { (By Chain Rule) } \\ & =12 x \cdot\left(\frac{3}{x^{2}}\right)=\frac{36}{x} & \text { (Using (1) ) } \end{array} $$

അതിനാൽ, എപ്പോൾ $ x=10 \mathrm{~cm}, \frac{d S}{d t}=3.6 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} $

ഉദാഹരണം 3 ഒരു കല്ല് ഒരു ശാന്തമായ തടാകത്തിലേക്ക് വീഴുകയും തരംഗങ്ങൾ വൃത്തങ്ങളിലായി $4 cm$ സെക്കൻഡിൽ എന്ന നിരക്കിൽ നീങ്ങുകയും ചെയ്യുന്നു. വൃത്താകൃതിയിലുള്ള തരംഗത്തിന്റെ ആരം $10 cm$ ആകുമ്പോൾ, ഉൾക്കൊള്ളപ്പെട്ട വിസ്തീർണ്ണം എത്ര വേഗത്തിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു?

പരിഹാരം ആരം $r$ ഉള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $A$ നൽകുന്നത് $A=\pi r^{2}$ ആണ്. അതിനാൽ, സമയം $t$-നെ അപേക്ഷിച്ച് വിസ്തീർണ്ണം A-യുടെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക്

$$ \frac{d \mathrm{~A}}{d t}=\frac{d}{d t}\left(\pi r^{2}\right)=\frac{d}{d r}\left(\pi r^{2}\right) \cdot \frac{d r}{d t}=2 \pi r \frac{d r}{d t} $$

$\frac{d r}{d t}=4 \mathrm{~cm}$ എന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്നു

അതിനാൽ, $ r=10 \mathrm{~cm} $ $ \frac{d \mathrm{~A}}{d t}=2 \pi(10)(4)=80 \pi $

അങ്ങനെ, $r=10 cm$ ആകുമ്പോൾ, ഉൾക്കൊള്ളപ്പെട്ട വിസ്തീർണ്ണം $80 \pi cm^{2} / s$ എന്ന നിരക്കിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു.

കുറിപ്പ് $x$ വർദ്ധിക്കുമ്പോൾ $y$ വർദ്ധിക്കുകയാണെങ്കിൽ $\frac{d y}{d x}$ പോസിറ്റീവ് ആണ്, $x$ വർദ്ധിക്കുമ്പോൾ $y$ കുറയുകയാണെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് ആണ്.

ഉദാഹരണം 4 ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ നീളം $x$ $3 cm /$ മിനിറ്റ് എന്ന നിരക്കിൽ കുറയുകയും വീതി $y$ $2 cm /$ മിനിറ്റ് എന്ന നിരക്കിൽ വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. $x=10 cm$, $y=6 cm$ ആകുമ്പോൾ, (a) ചുറ്റളവിന്റെയും (b) ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെയും മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക് കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം നീളം $x$ കുറയുകയും വീതി $y$ സമയത്തെ അപേക്ഷിച്ച് വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നതിനാൽ, നമുക്കുള്ളത്

$$ \frac{d x}{d t}=-3 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} \text { or } \frac{d y}{d t}=2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} $$

(a) ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് $P$ നൽകുന്നത്

$$ \mathrm{P}=2(x+y) $$

അതിനാൽ $ \frac{d \mathrm{P}}{d t}=2\left(\frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}\right)=2(-3+2)=-2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} $

(b) ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $A$ നൽകുന്നത്

$ A=x \cdot y $

അതിനാൽ $ \begin{aligned} \frac{d \mathrm{~A}}{d t} & =\frac{d x}{d t} \cdot y+x \cdot \frac{d y}{d t} \\ & =-3(6)+10(2)(\text { കാരണം } x=10 \mathrm{~cm} \text { ഉം } y=6 \mathrm{~cm} \text{ ഉം }) \\ & =2 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{min} \end{aligned} $

ഉദാഹരണം 5 $x$ യൂണിറ്റ് ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ഉത്പാദനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ആകെ ചെലവ് $C(x)$ രൂപയിൽ, നൽകുന്നത്

$$ C(x)=0.005 x^{3}-0.02 x^{2}+30 x+5000 $$

3 യൂണിറ്റ് ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ഉത്പാദിപ്പിക്കുമ്പോൾ സീമാന്ത ചെലവ് കണ്ടെത്തുക. ഇവിടെ സീമാന്ത ചെലവ് എന്നത് ഏതെങ്കിലും ഔട്ട്പുട്ട് തലത്തിൽ ആകെ ചെലവിന്റെ തൽക്ഷണ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കാണ്.

പരിഹാരം സീമാന്ത ചെലവ് എന്നത് ഔട്ട്പുട്ടിനെ അപേക്ഷിച്ച് ആകെ ചെലവിന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കാണ്, അതിനാൽ

$ \begin{aligned} \text{ സീമാന്ത } \qquad \mathrm{MC} & =\frac{d \mathrm{C}}{d x}=0.005\left(3 x^{2}\right)-0.02(2 x)+30 \\ \text{ എപ്പോൾ } \qquad \mathrm{MC} & =0.015\left(3^{2}\right)-0.04(3)+30 \\ & =0.135-0.12+30=30.015 \end{aligned} $

അതിനാൽ, ആവശ്യമായ സീമാന്ത ചെലവ് ₹ 30.02 (ഏകദേശം) ആണ്.

ഉദാഹരണം 6 $x$ യൂണിറ്റ് ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ വിൽപ്പനയിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്ന ആകെ വരുമാനം രൂപയിൽ $R(x)=3 x^{2}+36 x+5$ ആണ്. $x=5$ ആകുമ്പോൾ സീമാന്ത വരുമാനം കണ്ടെത്തുക. ഇവിടെ സീമാന്ത വരുമാനം എന്നത് ഒരു നിമിഷത്തിൽ വിൽക്കപ്പെടുന്ന ഇനങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ അപേക്ഷിച്ച് ആകെ വരുമാനത്തിന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കാണ്.

പരിഹാരം സീമാന്ത വരുമാനം എന്നത് വിൽക്കപ്പെടുന്ന യൂണിറ്റുകളുടെ എണ്ണത്തെ അപേക്ഷിച്ച് ആകെ വരുമാനത്തിന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കാണ്, അതിനാൽ

$ \begin{aligned} \text{ സീമാന്ത വരുമാനം } \qquad (MR) & =\frac{d R}{d x}=6 x+36 \end{aligned} $ $ \begin{aligned} \text{ എപ്പോൾ } \qquad x & =5, MR=6(5)+36=66 \end{aligned} $

അതിനാൽ, ആവശ്യമായ സീമാന്ത വരുമാനം ₹ 66 ആണ്.

6.3 വർദ്ധനവ്, ഹ്രാസവുമുള്ള ഫലനങ്ങൾ

ഈ വിഭാഗത്തിൽ, ഒരു ഫലനം വർദ്ധിക്കുകയാണോ, കുറയുകയാണോ അല്ലെങ്കിൽ ഒന്നുമല്ലയോ എന്ന് കണ്ടെത്താൻ നമ്മൾ അവകലനം ഉപയോഗിക്കും.

$f(x)=x^{2}, x \in \mathbf{R}$ നൽകുന്ന $f$ ഫലനം പരിഗണിക്കുക. ഈ ഫലനത്തിന്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരാബോള ആണ്, ചിത്രം 6.1-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നത് പോലെ.

ഉത്ഭവത്തിന്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള മൂല്യങ്ങൾ

ഇടതുവശത്ത് നിന്ന് വലതുവശത്തേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ, ഗ്രാഫിന്റെ ഉയരം കുറയുന്നു

ഇടതുവശത്ത് നിന്ന് വലതുവശത്തേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ, ഗ്രാഫിന്റെ ഉയരം വർദ്ധിക്കുന്നു ഉത്ഭവത്തിന്റെ വലതുവശത്തുള്ള മൂല്യങ്ങൾ

ആദ്യം ഉത്ഭവത്തിന്റെ വലതുവശത്തുള്ള ഗ്രാഫ് (ചിത്രം 6.1) പരിഗണിക്കുക. ഗ്രാഫിലൂടെ ഇടതുവശത്ത് നിന്ന് വലതുവശത്തേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ, ഗ്രാഫിന്റെ ഉയരം തുടർച്ചയായി വർദ്ധിക്കുന്നതായി നിരീക്ഷിക്കുക. ഇക്കാരണത്താൽ, ഫലനം $x>0$ എന്ന യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾക്ക് വർദ്ധിക്കുന്നതായി പറയപ്പെടുന്നു.

ഇപ്പോൾ ഉത്ഭവത്തിന്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള ഗ്രാഫ് പരിഗണിക്കുക, ഇവിടെ ഗ്രാഫിലൂടെ ഇടതുവശത്ത് നിന്ന് വലതുവശത്തേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ, ഗ്രാഫിന്റെ ഉയരം തുടർച്ചയായി കുറയുന്നതായി നിരീക്ഷിക്കുക. അതിനാൽ, ഫലനം $x<0$ എന്ന യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾക്ക് കുറയുന്നതായി പറയപ്പെടുന്നു.

ഒരു ഇടവേളയിൽ വർദ്ധിക്കുകയോ കുറയുകയോ ചെയ്യുന്ന ഒരു ഫലനത്തിനായി ഇപ്പോൾ ഇനിപ്പറയുന്ന വിശകലനാത്മക നിർവചനങ്ങൾ നൽകും.

നിർവചനം 1 I ഒരു യഥാർത്ഥ മൂല്യമുള്ള ഫലനം $f$-ന്റെ ഡൊമെയ്നിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഒരു ഇടവേളയായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ $f$ ഇങ്ങനെ പറയപ്പെടുന്നു:

(i) I-ൽ വർദ്ധിക്കുന്നത്, I-ൽ $I \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ ആണെങ്കിൽ എല്ലാ $x_1, x_2 \in I$-ക്കും.

(ii) $I$-ൽ കുറയുന്നത്, $I \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$-ൽ $x_1, x_2$ ആണെങ്കിൽ എല്ലാ $x_1, x_2 \in I$-ക്കും.

(iii) $I$-ൽ സ്ഥിരമായത്, എല്ലാ $x \in I$-ക്കും $f(x)=c$ ആണെങ്കിൽ, ഇവിടെ $c$ ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ്.

(iv) I-ൽ കുറയുന്നത്, $I \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$-ൽ $x_1<x_2$ ആണെങ്കിൽ എല്ലാ $x_1, x_2 \in I$-ക്കും.

(v) I-ൽ കർശനമായി കുറയുന്നത്, $I \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$-ൽ $x_1<x_2$ ആണെങ്കിൽ എല്ലാ $x_1, x_2 \in I$-ക്കും.

അത്തരം ഫലനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫിക്കൽ പ്രതിനിധാനത്തിനായി ചിത്രം 6.2 കാണുക.

ഒരു ഫലനം ഒരു ബിന്ദുവിൽ വർദ്ധിക്കുകയോ കുറയുകയോ ചെയ്യുമ്പോൾ ഇപ്പോൾ നമ്മൾ നിർവചിക്കും.

നിർവചനം 2 $x_0$ ഒരു യഥാർത്ഥ മൂല്യമുള്ള ഫലനം $f$-ന്റെ നിർവചന ഡൊമെയ്നിലെ ഒരു ബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ $f$ $x_0$-ൽ വർദ്ധിക്കുകയോ കുറയുകയോ ചെയ്യുന്നതായി പറയപ്പെടുന്നു, $x_0$ അടങ്ങുന്ന ഒരു തുറന്ന ഇടവേള I ഉണ്ടെങ്കിൽ, യഥാക്രമം I-ൽ $f$ വർദ്ധിക്കുകയോ കുറയുകയോ ചെയ്യുന്നു.

വർദ്ധനവ് ഫലനത്തിനായി ഈ നിർവചനം വ്യക്തമാക്കാം.

ഉദാഹരണം 7 $f(x)=7 x-3$ നൽകുന്ന ഫലനം $\mathbf{R}$-ൽ വർദ്ധിക്കുന്നതാണെന്ന് കാണിക്കുക.

പരിഹാരം $x_1$, $x_2$ $\mathbf{R}$-ലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് സംഖ്യകളായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ

$$ \begin{aligned} x _{1}<x _{2} & \Rightarrow 7 x _{1}<7 x _{2} \\ & \Rightarrow 7 x _{1}-3<7 x _{2}-3 \\ & \Rightarrow f\left(x _{1}\right)<f\left(x _{2}\right) \end{aligned} $$

അങ്ങനെ, നിർവചനം 1 പ്രകാരം, $f$ $\mathbf{R}$-ൽ കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നതാണ്.

വർദ്ധനവും ഹ്രാസവുമുള്ള ഫലനങ്ങൾക്കായി ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ആദ്യ അവകലജ പരീക്ഷണം നൽകും. ഈ പരീക്ഷണത്തിന്റെ തെളിവിന് അദ്ധ്യായം 5-ൽ പഠിച്ച മീൻ വാല്യൂ തിയറം ആവശ്യമാണ്.

സിദ്ധാന്തം 1 $f$ $[a, b]$-ൽ തുടർച്ചയായതും തുറന്ന ഇടവേള $(a, b)$-ൽ അവകലനീയവുമായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ

(a) $[a, b]$-ൽ $f$ വർദ്ധിക്കുന്നതാണ്, ഓരോ $x \in(a, b)$-ക്കും $f^{\prime}(x)>0$ ആണെങ്കിൽ

(b) $[a, b]$-ൽ $f$ കുറയുന്നതാണ്, ഓരോ $x \in(a, b)$-ക്കും $f^{\prime}(x)<0$ ആണെങ്കിൽ

(c) $[a, b]$-ൽ $f$ ഒരു സ്ഥിര ഫലനമാണ്, ഓരോ $x \in(a, b)$-ക്കും $f^{\prime}(x)=0$ ആണെങ്കിൽ

തെളിവ് (a) $x_1, x_2 \in[a, b]$ $x_1<x_2$ ആയിരിക്കട്ടെ.

അപ്പോൾ, മീൻ വാല്യൂ തിയറം (അദ്ധ്യായം 5-ലെ സിദ്ധാന്തം 8) പ്രകാരം, $x_1$, $x_2$ എന്നിവയ്ക്കിടയിൽ ഒരു ബിന്ദു $c$ ഉണ്ട്, അതായത്

$$ f\left(x _{2}\right)-f\left(x _{1}\right)=f^{\prime}(c)\left(x _{2}-x _{1}\right) $$

അതായത് $\begin{array}{ll} f\left(x _{2}\right)-f\left(x _{1}\right)>0 & \left(\text { given } f^{\prime}(c)>0\right) \end{array}$

അതായത് $f(x_2)>f(x_1)$

അങ്ങനെ, നമുക്കുള്ളത് $x_1<x_2 \quad f(x_1) \quad f(x_2), \text{ for all } x_1, x_2 \quad[a, b]$

അതിനാൽ, $f$ $[a, b]$-ൽ ഒരു വർദ്ധന ഫലനമാണ്.

ഭാഗം (b), (c) എന്നിവയുടെ തെളിവുകൾ സമാനമാണ്. ഇത് വായനക്കാരുടെ വ്യായാമത്തിനായി വിട്ടുകൊടുക്കുന്നു.

അഭിപ്രായങ്ങൾ

ഒരു കൂടുതൽ സാമാന്യവൽക്കരിച്ച സിദ്ധാന്തമുണ്ട്, അത് പറയുന്നത്, ഒരു ഇടവേളയിൽ അവസാന ബിന്ദുക്കൾ ഒഴികെയുള്ള $x$-ക്ക് $f \phi(x)>0$ ആണെങ്കിൽ, ഇടവേളയിൽ $f$ തുടർച്ചയായതാണെങ്കിൽ, $f$ വർദ്ധിക്കുന്നു എന്നാണ്. അതുപോലെ, ഒരു ഇടവേളയിൽ അവസാന ബിന്ദുക്കൾ ഒഴികെയുള്ള $x$-ക്ക് $f \phi(x)<0$ ആണെങ്കിൽ, ഇടവേളയിൽ $f$ തുടർച്ചയായതാണെങ്കിൽ, $f$ കുറയുന്നു എന്നാണ്.

ഉദാഹരണം 8 $f$ നൽകുന്ന ഫലനം

$\mathbf{R}$-ൽ വർദ്ധിക്കുന്നതാണെന്ന് കാണിക്കുക.

$$ f(x)=x^{3}-3 x^{2}+4 x, x \in \mathbf{R} $$

പരിഹാരം ശ്രദ്ധിക്കുക

$$ \begin{aligned} f^{\prime}(x) & =3 x^{2}-6 x+4 \\ & =3(x^{2}-2 x+1)+1 \\ & =3(x-1)^{2}+1>0, \text{ in every interval of } \mathbf{R} \end{aligned} $$

അതിനാൽ, ഫലനം $f$ $\mathbf{R}$-ൽ വർദ്ധിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 9 $f(x)=\cos x$ നൽകുന്ന ഫലനം ഇനിപ്പറയുന്നവയാണെന്ന് തെളിയിക്കുക:

(a) $(0, \pi)$-ൽ കുറയുന്നു

(b) $(\pi, 2 \pi)$-ൽ വർദ്ധിക്കുന്നു, കൂടാതെ

(c) $(0,2 \pi)$-ൽ വർദ്ധിക്കുകയോ കുറയുകയോ ചെയ്യുന്നില്ല.

പരിഹാരം ശ്രദ്ധിക്കുക $f^{\prime}(x)=-\sin x$

(a) ഓരോ $x \in(0, \pi), \sin x>0$-ക്കും, നമുക്കുള്ളത് $f^{\prime}(x)<0$, അതിനാൽ $f$ $(0, \pi)$-ൽ കുറയുന്നു.

(b) ഓരോ $x \in(\pi, 2 \pi)$-ക്കും, $\sin x<0$, നമുക്കുള്ളത് $f^{\prime}(x)>0$, അതിനാൽ $f$ $(\pi, 2 \pi)$-ൽ വർദ്ധിക്കുന്നു.

(c) മുകളിലെ (a), (b) പ്രകാരം വ്യക്തമായും, $f$ $(0,2 \pi)$-ൽ വർദ്ധിക്കുകയോ കുറയുകയോ ചെയ്യുന്നില്ല.

ഉദാഹരണം 10 $f(x)=x^{2}-4 x+6$ നൽകുന്ന $f$ ഫലനം ഏത് ഇടവേളകളിലാണ് (a) വർദ്ധിക്കുന്നത് (b) കുറയുന്നത്

പരിഹാരം നമുക്കുള്ളത്

$$ f(x)=x^{2}-4 x+6 $$ $ അല്ലെങ്കിൽ \qquad f^{\prime}(x)=2 x-4 $

അതിനാൽ, $f^{\prime}(x)=0$ $x=2$ നൽകുന്നു. ഇപ്പോൾ ബിന്ദു $x=2$ യഥാർത്ഥ രേഖയെ രണ്ട് വിഭജിത ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കുന്നു, അതായത് $(-\infty, 2)$, $(2, \infty)$ (ചിത്രം 6.3). ഇടവേള $(-\infty, 2), f^{\prime}(x)=2 x$-ൽ $-4<0$.

അതിനാൽ, ⟦229⟈ ഈ ഇടവേളയിൽ കുറയുന്നു. കൂടാതെ, ഇടവേള $(2, \infty), f^{\prime}(x)>0$-ൽ, അതിനാൽ ഫലനം $f$ ഈ ഇടവേളയിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 11 $f(x)=4 x^{3}-6 x^{2}-72 x$ +30 നൽകുന്ന $f$ ഫലനം ഏത് ഇടവേളകളിലാണ് (a) വർദ്ധിക്കുന്നത് (b) കുറയുന്നത്.

പരിഹാരം നമുക്കുള്ളത്

$$ \text{ or } \quad \begin{aligned} f(x) & =4 x^{3}-6 x^{2}-72 x+30 \\ f^{\prime}(x) & =12 x^{2}-12 x-72 \\ & =12(x^{2}-x-6) \\ & =12(x-3)(x+2) \end{aligned} $$

അതിനാൽ, $f^{\prime}(x)=0$ $x=-2,3$ നൽകുന്നു. ബിന്ദുക്കൾ $x=-2$, $x=3$ യഥാർത്ഥ രേഖയെ മൂന്ന് വിഭജിത ഇടവേളകളായി വിഭ