ഒരു പർവതാരോഹകൻ പർവതം കയറുന്നത് പോലെ - അത് അവിടെ ഉള്ളതുകൊണ്ട്, അതുപോലെ തന്നെ ഒരു നല്ല ഗണിത വിദ്യാർത്ഥി പുതിയ വിഷയം പഠിക്കുന്നതും അത് അവിടെ ഉള്ളതുകൊണ്ടാണ്. - ജെയിംസ് ബി. ബ്രിസ്റ്റോൾ

7.1 പരിചയം

അവകലന കലനത്തിന്റെ കേന്ദ്രബിന്ദു അവകലജത്തിന്റെ ആശയമാണ്. അവകലജത്തിനുള്ള ആദ്യത്തെ പ്രേരണ, ഫലനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകളിലേക്കുള്ള സ്പർശരേഖകളെ നിർവചിക്കുന്നതിനും അത്തരം രേഖകളുടെ ചരിവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുമുള്ള പ്രശ്നമായിരുന്നു. സമാകലന കലനം, ഫലനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന പ്രദേശത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം നിർവചിക്കുന്നതിനും കണക്കാക്കുന്നതിനുമുള്ള പ്രശ്നത്താൽ പ്രേരിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു.

ഒരു ഫലനം $f$ ഒരു ഇടവേള $I$-ൽ അവകലനീയമാണെങ്കിൽ, അതായത്, അതിന്റെ അവകലജം $f$ ’ എന്നത് $I$-ന്റെ ഓരോ ബിന്ദുവിലും നിലനിൽക്കുന്നുവെങ്കിൽ, $f^{\prime}$ I-യുടെ ഓരോ ബിന്ദുവിലും നൽകിയാൽ നമുക്ക് ഫലനം നിർണ്ണയിക്കാമോ എന്ന ഒരു സ്വാഭാവിക ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു. ഒരു ഫലനത്തെ അവകലജമായി നൽകാൻ സാധ്യതയുള്ള ഫലനങ്ങളെ ആ ഫലനത്തിന്റെ പ്രതിവ്യുൽപ്പന്നങ്ങൾ (അഥവാ പ്രാകൃത ഫലനങ്ങൾ) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. കൂടാതെ,

ജി.ഡബ്ല്യു. ലൈബ്നിറ്റ്സ് (1646 - 1716)

ഈ എല്ലാ പ്രതിവ്യുൽപ്പന്നങ്ങളും നൽകുന്ന സൂത്രവാക്യത്തെ ഫലനത്തിന്റെ അനിശ്ചിത സമാകലനം എന്നും പ്രതിവ്യുൽപ്പന്നങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്ന അത്തരം പ്രക്രിയയെ സമാകലനം എന്നും വിളിക്കുന്നു. ഇത്തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പല പ്രായോഗിക സാഹചര്യങ്ങളിലും ഉയർന്നുവരുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വസ്തുവിന്റെ തൽക്ഷണ പ്രവേഗം ഏത് നിമിഷവും നമുക്കറിയാമെങ്കിൽ, ഒരു സ്വാഭാവിക ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു, അതായത്, ഏത് നിമിഷവും വസ്തുവിന്റെ സ്ഥാനം നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാമോ? സമാകലന പ്രക്രിയ ഉൾപ്പെടുന്ന നിരവധി അത്തരം പ്രായോഗികവും സൈദ്ധാന്തികവുമായ സാഹചര്യങ്ങളുണ്ട്. സമാകലന കലനത്തിന്റെ വികസനം ഇനിപ്പറയുന്ന തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള ശ്രമങ്ങളിൽ നിന്നാണ് ഉയർന്നുവന്നത്:

(എ) അതിന്റെ അവകലജം നൽകുമ്പോൾ ഒരു ഫലനം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം,

(ബി) ചില നിബന്ധനകൾക്ക് കീഴിൽ ഒരു ഫലനത്തിന്റെ ഗ്രാഫ് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന പ്രദേശത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം.

ഈ രണ്ട് പ്രശ്നങ്ങളും സമാകലനങ്ങളുടെ രണ്ട് രൂപങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, ഉദാ., അനിശ്ചിത സമാകലനങ്ങളും നിശ്ചിത സമാകലനങ്ങളും, അവ ഒന്നിച്ച് സമാകലന കലനം ഉണ്ടാക്കുന്നു.

അനിശ്ചിത സമാകലനവും നിശ്ചിത സമാകലനവും തമ്മിൽ കാൽക്കുലസിന്റെ മൗലിക സിദ്ധാന്തം എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഒരു ബന്ധമുണ്ട്, അത് നിശ്ചിത സമാകലനത്തെ ശാസ്ത്രത്തിനും എഞ്ചിനീയറിംഗിനുമുള്ള ഒരു പ്രായോഗിക ഉപകരണമാക്കി മാറ്റുന്നു. സാമ്പത്തികശാസ്ത്രം, ധനകാര്യം, സാധ്യത എന്നിവയുൾപ്പെടെ വിവിധ വിഷയങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള നിരവധി രസകരമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും നിശ്ചിത സമാകലനം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, നമ്മൾ അനിശ്ചിത, നിശ്ചിത സമാകലനങ്ങളുടെയും അവയുടെ പ്രാഥമിക ഗുണങ്ങളുടെയും പഠനത്തിൽ മാത്രം പരിമിതപ്പെടും, ഇതിൽ സമാകലനത്തിന്റെ ചില സാങ്കേതിക വിദ്യകളും ഉൾപ്പെടുന്നു.

7.2 വ്യത്യാസത്തിന്റെ വിപരീത പ്രക്രിയയായി സമാകലനം

സമാകലനം വ്യത്യാസത്തിന്റെ വിപരീത പ്രക്രിയയാണ്. ഒരു ഫലനത്തെ വേർതിരിക്കുന്നതിന് പകരം, ഒരു ഫലനത്തിന്റെ അവകലജം നൽകുകയും അതിന്റെ പ്രാകൃത ഫലനം, അതായത്, യഥാർത്ഥ ഫലനം കണ്ടെത്താൻ ആവശ്യപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു. അത്തരമൊരു പ്രക്രിയയെ സമാകലനം അല്ലെങ്കിൽ പ്രതിവ്യത്യാസം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം:

$\text{ നമുക്കറിയാം }\quad \begin{equation*} \frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x \tag{1} \end{equation*} $

$$ \begin{equation*} \frac{d}{d x}\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=x^{2} \tag{2} \end{equation*} $$

$\text{ and }\quad \begin{equation*} \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=e^{x} \tag{3} \end{equation*} $

(1) ൽ, ഫലനം $\cos x$ എന്നത് $\sin x$-ന്റെ വ്യുൽപ്പന്ന ഫലനമാണെന്ന് നമ്മൾ നിരീക്ഷിക്കുന്നു. $\sin x$ എന്നത് $\cos x$-ന്റെ ഒരു പ്രതിവ്യുൽപ്പന്നം (അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സമാകലനം) ആണെന്ന് നമ്മൾ പറയുന്നു. അതുപോലെ, (2) ഉം (3) ഉം, $\frac{x^{3}}{3}$, $e^{x}$ എന്നിവ യഥാക്രമം $x^{2}$, $e^{x}$ എന്നിവയുടെ പ്രതിവ്യുൽപ്പന്നങ്ങളാണ് (അല്ലെങ്കിൽ സമാകലനങ്ങൾ). വീണ്ടും, ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യ $C$-ന്, സ്ഥിരാങ്ക ഫലനമായി കണക്കാക്കുമ്പോൾ, അതിന്റെ അവകലജം പൂജ്യമാണെന്നും അതിനാൽ, നമുക്ക് (1), (2), (3) എന്നിവ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:

$$ \frac{d}{d x}(\sin x+C)=\cos x, \frac{d}{d x}(\frac{x^{3}}{3}+C)=x^{2} \text{ and } \frac{d}{d x}(e^{x}+C)=e^{x} $$

അങ്ങനെ, മുകളിൽ ചേർത്ത ഫലനങ്ങളുടെ പ്രതിവ്യുൽപ്പന്നങ്ങൾ (അല്ലെങ്കിൽ സമാകലനങ്ങൾ) അദ്വിതീയമല്ല. യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഈ ഓരോ ഫലനങ്ങളുടെയും അനന്തമായ പ്രതിവ്യുൽപ്പന്നങ്ങൾ നിലനിൽക്കുന്നു, അവ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ സെറ്റിൽ നിന്ന് $C$ അനിയന്ത്രിതമായി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കും. ഈ കാരണത്താൽ $C$ സാധാരണയായി അനിയന്ത്രിത സ്ഥിരാങ്കം എന്നറിയപ്പെടുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, $C$ എന്നത് ഒരു പരാമീറ്ററാണ്, അത് മാറ്റിക്കൊണ്ട് നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫലനത്തിന്റെ വ്യത്യസ്ത പ്രതിവ്യുൽപ്പന്നങ്ങൾ (അല്ലെങ്കിൽ സമാകലനങ്ങൾ) ലഭിക്കും.

കൂടുതൽ പൊതുവായി, ഒരു ഫലനം $F$ ഉണ്ടെങ്കിൽ $\frac{d}{d x} F(x)=f(x), \forall x \in I$ (ഇടവേള), അപ്പോൾ ഏതെങ്കിലും അനിയന്ത്രിത യഥാർത്ഥ സംഖ്യ $C$-ന്, (സമാകലന സ്ഥിരാങ്കം എന്നും വിളിക്കുന്നു)

$ \frac{d}{d x}[F(x)+C]=f(x), x \in I $

അങ്ങനെ, $\qquad\{F+C, C \in \mathbf{R}\} \text{ denotes a family of anti derivatives of } f \text{. }$

ശ്രദ്ധിക്കുക ഒരേ അവകലജങ്ങളുള്ള ഫലനങ്ങൾ ഒരു സ്ഥിരാങ്കത്താൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഇത് കാണിക്കാൻ, $g$, $h$ എന്നിവ ഒരു ഇടവേള I-ൽ ഒരേ അവകലജങ്ങൾ ഉള്ള രണ്ട് ഫലനങ്ങളായിരിക്കട്ടെ.

$f=g-h$ എന്ന ഫലനം പരിഗണിക്കുക, അത് $f(x)=g(x)-h(x), \forall x \in I$ ആയി നിർവചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു

അപ്പോൾ $\qquad \frac{d f}{d x}=f^{\prime}=g^{\prime}-h^{\prime} \text{ giving } f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)-h^{\prime}(x) \forall x \in I$

അല്ലെങ്കിൽ $\qquad f^{\prime}(x)=0, \forall x \in I \text{ by hypothesis, }$

അതായത്, $f$-ന്റെ $x$-നെ അപേക്ഷിച്ചുള്ള മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക് $I$-ൽ പൂജ്യമാണ്, അതിനാൽ $f$ സ്ഥിരമാണ്.

മുകളിലെ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, $\{F+C, C \in \mathbf{R}\}$ കുടുംബം $f$-ന്റെ എല്ലാ സാധ്യതയുള്ള പ്രതിവ്യുൽപ്പന്നങ്ങളും നൽകുന്നുവെന്ന് അനുമാനിക്കുന്നത് ന്യായീകരിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

നമ്മൾ ഒരു പുതിയ ചിഹ്നം അവതരിപ്പിക്കുന്നു, അതായത്, $\int f(x) d x$, ഇത് പ്രതിവ്യുൽപ്പന്നങ്ങളുടെ മുഴുവൻ ക്ലാസിനെയും പ്രതിനിധീകരിക്കും, $f$-ന്റെ $x$-നെ അപേക്ഷിച്ചുള്ള അനിശ്ചിത സമാകലനം എന്ന് വായിക്കുന്നു.

ചിഹ്നാത്മകമായി, നമ്മൾ എഴുതുന്നു $\int f(x) d x=F(x)+C$.

നൊട്ടേഷൻ $\frac{d y}{d x}=f(x)$ നൽകിയിരിക്കുന്നു, നമ്മൾ എഴുതുന്നു $y=\int f(x) d x$.

സൗകര്യത്തിനായി, ഞങ്ങൾ ചുവടെയുള്ള ചിഹ്നങ്ങൾ/പദങ്ങൾ/വാക്യങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു

പട്ടിക 7.1

നിരവധി പ്രധാന ഫലനങ്ങളുടെ അവകലജങ്ങൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാം. ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന്, ഈ ഫലനങ്ങളുടെ സമാകലനങ്ങൾക്കായുള്ള അനുബന്ധ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ (സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോർമുലകൾ എന്നറിയപ്പെടുന്നു) ഉടനടി എഴുതാം, അവ ചുവടെ പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു, മറ്റ് ഫലനങ്ങളുടെ സമാകലനങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ ഇവ ഉപയോഗിക്കും.

$ \begin{array}{ll} \text{അവകലജങ്ങൾ} & \text{സമാകലനങ്ങൾ (പ്രതിവ്യുൽപ്പന്നങ്ങൾ)} \\ \\ \text{(i)} \frac{d}{d x}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^{n} & \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\mathrm{C}, n \neq-1 \\ \\ \text{പ്രത്യേകിച്ചും, ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു} & \\ \\ \frac{d}{d x}(x)=1 & \int d x=x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(ii)} \frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x & \int \cos x d x=\sin x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(iii)} \frac{d}{d x}(-\cos x)=\sin x & \int \sin x d x=-\cos x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(iv)} \frac{d}{d x}(\tan x)=\sec ^{2} x & \int \sec ^{2} x d x=\tan x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(v)} \frac{d}{d x}(-\cot x)=\operatorname{cosec}^{2} x & \int \operatorname{cosec}^{2} x d x=-\cot x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(vi)} \frac{d}{d x}(\sec x)=\sec x \tan x & \int \operatorname{cosec} x \cot x d x=-\operatorname{cosec} x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(vii)} \frac{d}{d x}(-\operatorname{cosec} x)=\operatorname{cosec} x \cot x & \int \sec x \tan x d x=\sec x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (viii) } \frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sin ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (ix) } \frac{d}{d x}\left(-\cos ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\cos ^{-1} x+\mathrm{C} \end{array} $

$ \begin{array}{ll} \text { (x) } \frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\tan ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xi) } \frac{d}{d x}\left(-\cot ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=-\cot ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xii) } \frac{d}{d x}\left(\sec ^{-1} x\right)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} & \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=\sec ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xiii) } \frac{d}{d x}\left(-\operatorname{cosec}^{-1} x\right)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} & \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=-\operatorname{cosec}^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xiv) } \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=e^{x} & \int e^{x} d x=e^{x}+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xv) } \frac{d}{d x}(\log |x|)=\frac{1}{x} & \int \frac{1}{x} d x=\log |x|+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xvi) } \frac{d}{d x}\left(\frac{a^{x}}{\log a}\right)=a^{x} & \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\log a}+\mathrm{C} \end{array} $

കുറിപ്പ് പ്രായോഗികമായി, വിവിധ ഫലനങ്ങൾ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഇടവേളയെ ഞങ്ങൾ സാധാരണയായി പരാമർശിക്കുന്നില്ല. എന്നിരുന്നാലും, ഏതെങ്കിലും പ്രത്യേക പ്രശ്നത്തിൽ അത് മനസ്സിൽ സൂക്ഷിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

7.2.1 അനിശ്ചിത സമാകലനത്തിന്റെ ചില ഗുണങ്ങൾ

ഈ ഉപവിഭാഗത്തിൽ, നമ്മൾ അനിശ്ചിത സമാകലനങ്ങളുടെ ചില ഗുണങ്ങൾ കണ്ടെത്തും.

(I) വ്യത്യാസം ചെയ്യുന്ന പ്രക്രിയയും സമാകലന പ്രക്രിയയും പരസ്പരം വിപരീതങ്ങളാണ്, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫലങ്ങളുടെ അർത്ഥത്തിൽ:

$$ \frac{d}{d x} \int f(x) d x=f(x) $$

ഒപ്പം $\qquad \int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C \text{, where } C \text{ is any arbitrary constant. }$

തെളിവ് $F$ എന്നത് $f$-ന്റെ ഏതെങ്കിലും പ്രതിവ്യുൽപ്പന്നമായിരിക്കട്ടെ, അതായത്,

$$ \frac{d}{d x} F(x)=f(x) $$

$$ \text{ }\qquad \int f(x) d x=F(x)+C $$

$ \text{ അതിനാൽ }\qquad \begin{aligned} \frac{d}{d x} \int f(x) d x & =\frac{d}{d x}(F(x)+C) \\ & =\frac{d}{d x} F(x)=f(x) \end{aligned} $

അതുപോലെ, നമ്മൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു

$$ f^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} f(x) $$

അതിനാൽ$\qquad \int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C$

ഇവിടെ $C$ എന്നത് അനിയന്ത്രിത സ്ഥിരാങ്കമാണ്, സമാകലന സ്ഥിരാങ്കം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

(II) ഒരേ അവകലജമുള്ള രണ്ട് അനിശ്ചിത സമാകലനങ്ങൾ ഒരേ കുടുംബത്തിലുള്ള വക്രങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, അതിനാൽ അവ തുല്യമാണ്.

തെളിവ് $f$, $g$ എന്നിവ രണ്ട് ഫലനങ്ങളായിരിക്കട്ടെ

$$\frac{d}{d x} \int f(x) d x=\frac{d}{d x} \int g(x) d x$$

അല്ലെങ്കിൽ $\qquad \frac{d}{d x}[\int f(x) d x-\int g(x) d x]=0$

അതിനാൽ $\quad \int f(x) d x-\int g(x) d x=C$, ഇവിടെ $C$ ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്

അല്ലെങ്കിൽ $\qquad \int f(x) d x=\int g(x) d x+C$

അതിനാൽ വക്രങ്ങളുടെ കുടുംബങ്ങൾ $\{\int f(x) d x+C_1, C_1 \in R\}$

ഒപ്പം $\qquad\{\int g(x) d x+C_2, C_2 \in R\} \text{ are identical. }$

അതിനാൽ, ഈ അർത്ഥത്തിൽ, $\int f(x) d x$, $\int g(x) d x$ എന്നിവ തുല്യമാണ്.

കുറിപ്പ് $\{\int f(x) d x+C_1, C_1 \in \mathbf{R}\}$, $\{\int g(x) d x+\mathbf{C} _2, \mathbf{C} _2 \in \mathbf{R}\}$ എന്നീ കുടുംബങ്ങളുടെ തുല്യത $\int f(x) d x=\int g(x) d x$ എന്ന് എഴുതിക്കൊണ്ട് പാരാമീറ്റർ പരാമർശിക്കാതെ തന്നെ പതിവായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

(III) $\int[f(x)+g(x)] d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x$

തെളിവ് പ്രോപ്പർട്ടി (I) പ്രകാരം, നമുക്കുണ്ട്

$ \frac{d}{d x}[\int[f(x)+g(x)] d x]=f(x)+g(x) $

മറുവശത്ത്, നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നു

$ \begin{aligned} \frac{d}{d x}[\int f(x) d x+\int g(x) d x] & =\frac{d}{d x} \int f(x) d x+\frac{d}{d x} \int g(x) d x \\ & =f(x)+g(x) \end{aligned} $

അങ്ങനെ, പ്രോപ്പർട്ടി (II) കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, (1), (2) എന്നിവയിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു

$$ \int(f(x)+g(x)) d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x . $$

(IV) ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യ $k, \int k f(x) d x=k \int f(x) d x$-ന്

തെളിവ് പ്രോപ്പർട്ടി (I) പ്രകാരം, $\frac{d}{d x} \int k f(x) d x=k f(x)$.

കൂടാതെ $\quad \frac{d}{d x}[k \int f(x) d x]=k \frac{d}{d x} \int f(x) d x=k f(x)$

അതിനാൽ, പ്രോപ്പർട്ടി (II) ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് $\int k f(x) d x=k \int f(x) d x$ ഉണ്ട്.

(V) പ്രോപ്പർട്ടികൾ (III), (IV) എന്നിവ ഒരു പരിമിത എണ്ണം ഫലനങ്ങളായ $f_1, f_2, \ldots, f_n$, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളായ $k_1, k_2, \ldots, k_n$ എന്നിവയിലേക്ക് പൊതുവൽക്കരിക്കാം, അത് നൽകുന്നു

$$ \begin{aligned} & \int[k_1 f_1(x)+k_2 f_2(x)+\ldots+k_n f_n(x)] d x \\ & =k_1 \int f_1(x) d x+k_2 \int f_2(x) d x+\ldots+k_n \int f_n(x) d x . \end{aligned} $$

നൽകിയിരിക്കുന്ന ഒരു ഫലനത്തിന്റെ ഒരു പ്രതിവ്യുൽപ്പന്നം കണ്ടെത്താൻ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫലനത്തിന്റെ അവകലജമായ ഒരു ഫലനത്തിനായി നമ്മൾ അന്തർജ്ഞാനത്തോടെ തിരയുന്നു. ഒരു പ്രതിവ്യുൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുന്നതിന് ആവശ്യമായ ഫലനത്തിനായുള്ള തിരയൽ നിരീക്ഷണ രീതി വഴിയുള്ള സമാകലനം എന്നറിയപ്പെടുന്നു. ചില ഉദാഹരണങ്ങളിലൂടെ ഞങ്ങൾ ഇത് വിവരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 1 നിരീക്ഷണ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഇനിപ്പറയുന്ന ഓരോ ഫലനങ്ങൾക്കും ഒരു പ്രതിവ്യുൽപ്പന്നം എഴുതുക:

(i) $\cos 2 x$

(ii) $3 x^{2}+4 x^{3}$

(iii) $\frac{1}{x}, x \neq 0$

പരിഹാരം

(i) $\cos 2 x$ ആയ ഒരു ഫലനത്തിനായി നമ്മൾ തിരയുന്നു. ഓർക്കുക

$ \begin{gathered} \frac{d}{d x} \sin 2 x=2 \cos 2 x \\ \end{gathered} $

അല്ലെങ്കിൽ $\cos 2 x=\frac{1}{2} \frac{d}{d x}(\sin 2 x)=\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{2} \sin 2 x\right)$

അതിനാൽ, $\cos 2 x$-ന്റെ ഒരു പ്രതിവ്യുൽപ്പന്നം $\frac{1}{2} \sin 2 x$ ആണ്.

(ii) $3 x^{2}+4 x^{3}$ ആയ ഒരു ഫലനത്തിനായി നമ്മൾ തിരയുന്നു. ശ്രദ്ധിക്കുക

$ \frac{d}{d x}(x^{3}+x^{4})=3 x^{2}+4 x^{3} $

അതിനാൽ, $3 x^{2}+4 x^{3}$-ന്റെ ഒരു പ്രതിവ്യുൽപ്പന്നം $x^{3}+x^{4}$ ആണ്.

(iii) നമുക്കറിയാം

$\frac{d}{d x}(\log x)=\frac{1}{x}, x>0$ ഒപ്പം $\frac{d}{d x}[\log (-x)]=\frac{1}{-x}(-1)=\frac{1}{x}, x<0$

മുകളിൽ സംയോജിപ്പിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു $\frac{d}{d x}(\log |x|)=\frac{1}{x}, x \neq 0$

അതിനാൽ, $\int \frac{1}{x} d x=\log |x|$ എന്നത് $\frac{1}{x}$-ന്റെ പ്രതിവ്യുൽപ്പന്നങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്.

ഉദാഹരണം 2 ഇനിപ്പറയുന്ന സമാകലനങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക:

(i) $\int \frac{x^{3}-1}{x^{2}} d x$

(ii) $\int(x^{\frac{2}{3}}+1) d x$

(iii) $\int(x^{\frac{3}{2}}+2 e^{x}-\frac{1}{x}) d x$

പരിഹാരം

(i) നമുക്കുണ്ട്

$$ \begin{aligned} \int \frac{x^{3}-1}{x^{2}} & d x=\int x d x-\int x^{-2} d x \quad(\text{ by Property } V) \\ = & (\frac{x^{1+1}}{1+1}+C_1)-(\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C_2) ; C_1, C_2 \text{ are constants of integration } \\ & =\frac{x^{2}}{2}+C_1-\frac{x^{-1}}{-1}-C_2=\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}+C_1-C_2 \\ & =\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}+C \text{, where } C=C_1-C_2 \text{ is another constant of integration. } \end{aligned} $$

കുറിപ്പ് ഇപ്പോൾ മുതൽ, ഞങ്ങൾ അന്തിമ ഉത്തരത്തിൽ ഒരു സമാകലന സ്ഥിരാങ്കം മാത്രമേ എഴുതൂ.

(ii) നമുക്കുണ്ട് $$ \begin{aligned} \int(x^{\frac{2}{3}}+1) d x & =\int x^{\frac{2}{3}} d x+\int d x \\ & =\frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1}+x+C=\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}+x+C \end{aligned} $$

(iii) നമുക്കുണ്ട് $\int(x^{\frac{3}{2}}+2 e^{x}-\frac{1}{x}) d x=\int x^{\frac{3}{2}} d x+\int 2 e^{x} d x-\int \frac{1}{x} d x$

$$ \begin{aligned} & =\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+2 e^{x}-\log |x|+C \\ & =\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}+2 e^{x}-\log |x|+C \end{aligned} $$

ഉദാഹരണം 3 ഇനിപ്പറയുന്ന സമാകലനങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക:

(i) $\int(\sin x+\cos x) d x$

(ii) $\int cosec x(cosec x+\cot x) d x$

(iii) $\int \frac{1-\sin x}{\cos ^{2} x} d x$

പരിഹാരം

(i) നമുക്കുണ്ട് $$ \begin{aligned} \int(\sin x+\cos x) d x & =\int \sin x d x+\int \cos x d x \\ & =-\cos x+\sin x+C \end{aligned} $$

(ii) നമുക്കുണ്ട് $$ \begin{aligned} \int(cosec x(cosec x+\cot x) d x & =\int cosec^{2} x d x+\int cosec x \cot x d x \\ & =-\cot x-cosec x+C \end{aligned} $$

(iii) നമുക്കുണ്ട് $$ \begin{aligned} \int \frac{1-\sin x}{\cos ^{2} x} d x & =\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x-\int \frac{\sin x}{\cos ^{2} x} d x \\ & =\int \sec ^{2} x d x-\int \tan x \sec x d x \\ & =\tan x-\sec x+C \end{aligned} $$

ഉദാഹരണം 4 $F$ എന്ന പ്രതിവ്യുൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക, അത് $f$ ആയി നിർവചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, $f(x)=4 x^{3}-6$, ഇവിടെ $F(0)=3$

പരിഹാരം $f(x)$-ന്റെ ഒരു പ്രതിവ്യുൽപ്പന്നം $x^{4}-6 x$ ആണ്, കാരണം

$$ \frac{d}{d x}(x^{4}-6 x)=4 x^{3}-6 $$

$$ F(x)=x^{4}-6 x+C \text{, where } C \text{ is constant. } $$

അതിനാൽ, പ്രതിവ്യുൽപ്പന്നം $F$ നൽകിയിരിക്കുന്നത്

നൽകിയിരിക്കുന്നു $$ \begin{aligned} F(0) & =3, \text{ which gives } \\ 3 & =0-6 \times 0+C \text{ or } C=3 \end{aligned} $$

അതിനാൽ, ആവശ്യമായ പ്രതിവ്യുൽപ്പന്നം $F$ എന്ന അദ്വിതീയ ഫലനമാണ