ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിക്കേണ്ടത്, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലൂടെ മാത്രമേ പ്രകൃതിയെ സാമഞ്ജസ്യപൂർണ്ണമായ രൂപത്തിൽ ധാരണ ചെയ്യാൻ കഴിയൂ എന്നതിനാലാണ്. - ബിർഖോഫ്

8.1 പരിചയം

ജ്യാമിതിയിൽ, ത്രികോണങ്ങൾ, ചതുരങ്ങൾ, സമലംബങ്ങൾ, വൃത്തങ്ങൾ എന്നിവയുൾപ്പെടെയുള്ള വിവിധ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നമ്മൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഇത്തരം സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ നിരവധി യഥാർത്ഥ ജീവിത പ്രശ്നങ്ങളിൽ പ്രയോഗിക്കുന്നതിന് അടിസ്ഥാനപരമാണ്. പ്രാഥമിക ജ്യാമിതിയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിരവധി ലളിതമായ രൂപങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാൻ നമ്മെ സഹായിക്കുന്നു. എന്നാൽ, വക്രങ്ങളാൽ പരിവൃതമായ പ്രദേശങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിന് അവ പര്യാപ്തമല്ല. അതിനായി നമുക്ക് സമാകലന കലനത്തിന്റെ ചില ആശയങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്.

മുമ്പത്തെ അദ്ധ്യായത്തിൽ, നിശ്ചിത സമാകലനം ഒരു തുകയുടെ പരിധിയായി കണ്ടെത്തുകയും, $y=f(x)$ വക്രത്താൽ, $x=a$, $x=b$ എന്നീ ലംബരേഖകളാൽ, $x$-അക്ഷത്താൽ പരിവൃതമായ പ്രദേശത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുകയും ചെയ്തു. ഇവിടെ, ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, ലളിത വക്രങ്ങൾക്ക് താഴെയുള്ള വിസ്തീർണ്ണം, വരികൾക്കും വൃത്തങ്ങളുടെ ചാപങ്ങൾക്കും, പരാബോളകൾക്കും

A.L. Cauchy (1789-1857) ദീർഘവൃത്തങ്ങൾക്കും (സാധാരണ രൂപങ്ങൾ മാത്രം) ഇടയിലുള്ള വിസ്തീർണ്ണം എന്നിവ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സമാകലനത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക പ്രയോഗം നമ്മൾ പഠിക്കും. മുകളിൽ പറഞ്ഞ വക്രങ്ങളാൽ പരിവൃതമായ പ്രദേശത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിനെക്കുറിച്ചും നമ്മൾ പരിഗണിക്കും.

8.2 ലളിത വക്രങ്ങൾക്ക് താഴെയുള്ള വിസ്തീർണ്ണം

മുമ്പത്തെ അദ്ധ്യായത്തിൽ, നിശ്ചിത സമാകലനം ഒരു തുകയുടെ പരിധിയായി നമ്മൾ പഠിച്ചു, കൂടാതെ ഫണ്ടമെന്റൽ തിയറം ഓഫ് കാൽക്കുലസ് ഉപയോഗിച്ച് നിശ്ചിത സമാകലനം എങ്ങനെ മൂല്യനിർണ്ണയം ചെയ്യാം എന്നും പഠിച്ചു. ഇപ്പോൾ, $y=f(x), x$ വക്രത്താൽ, $x=a$, $x=b$ എന്നീ ലംബരേഖകളാൽ പരിവൃതമായ പ്രദേശത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള എളുപ്പവും അന്തർജ്ഞാനപരവുമായ മാർഗ്ഗം നമ്മൾ പരിഗണിക്കുന്നു. ചിത്രം 8.1 ൽ നിന്ന്, വക്രത്തിന് താഴെയുള്ള വിസ്തീർണ്ണം വളരെ നിരവധി നേർത്ത ലംബ പട്ടകളാൽ നിർമ്മിച്ചതായി നമുക്ക് ചിന്തിക്കാം. $y$ ഉയരവും $d x$ വീതിയുമുള്ള ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പട്ട പരിഗണിക്കുക, അപ്പോൾ $d A$ (പ്രാഥമിക പട്ടയുടെ വിസ്തീർണ്ണം) $=y d x$, ഇവിടെ, $y=f(x)$.

ഈ വിസ്തീർണ്ണത്തെ പ്രാഥമിക വിസ്തീർണ്ണം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അത് $a$, $b$ എന്നിവയ്ക്കിടയിലുള്ള $x$ ന്റെ ചില മൂല്യങ്ങളാൽ വ്യക്തമാക്കിയ പ്രദേശത്തിനുള്ളിൽ ഒരു ഏകപക്ഷീയ സ്ഥാനത്താണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്. $x$-അക്ഷം, $x=a, x=b$, $y=f(x)$ എന്നീ ലംബരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള പ്രദേശത്തിന്റെ മൊത്തം വിസ്തീർണ്ണം A, PQRSP പ്രദേശത്തിലുടനീളം നേർത്ത പട്ടകളുടെ പ്രാഥമിക വിസ്തീർണ്ണങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിന്റെ ഫലമായി നമുക്ക് ചിന്തിക്കാം. പ്രതീകാത്മകമായി, നമ്മൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു

$$ \mathrm{A}=\int _{a}^{b} d \mathrm{~A}=\int _{a}^{b} y d x=\int _{a}^{b} f(x) d x $$

$x=g(y), y$ വക്രത്താൽ, $y=c$, $y=d$ എന്നീ വരികളാൽ പരിവൃതമായ പ്രദേശത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $A$ നൽകുന്നത്

$$ \mathrm{A}=\int _{c}^{d} x d y=\int _{c}^{d} g(y) d y $$

ഇവിടെ, ചിത്രം 8.2 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ നമ്മൾ തിരശ്ചീന പട്ടകൾ പരിഗണിക്കുന്നു

ചിത്രം 8.2

ശ്രദ്ധിക്കുക പരിഗണനയിലുള്ള വക്രത്തിന്റെ സ്ഥാനം $x$-അക്ഷത്തിന് താഴെയാണെങ്കിൽ, $x=a$ മുതൽ $x=b$ വരെ $f(x)<0$ ആയതിനാൽ, ചിത്രം 8.3 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, വക്രത്താൽ, $x$-അക്ഷത്താൽ, $x=a, x=b$ എന്നീ ലംബരേഖകളാൽ പരിവൃതമായ പ്രദേശത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം നെഗറ്റീവ് ആയി വരുന്നു. എന്നാൽ, പരിഗണനയിലെടുക്കുന്നത് വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ സംഖ്യാപരമായ മൂല്യം മാത്രമാണ്. അങ്ങനെ, വിസ്തീർണ്ണം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, അതിന്റെ കേവല മൂല്യം എടുക്കുന്നു, അതായത്, $|\int_a^{b} f(x) d x|$.

ചിത്രം 8.3

സാധാരണയായി, വക്രത്തിന്റെ ചില ഭാഗം $x$-അക്ഷത്തിന് മുകളിലും ചിലത് $x$-അക്ഷത്തിന് താഴെയും ആയിരിക്കാം, ചിത്രം 8.4 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ. ഇവിടെ, $A_1<0$, $A_2>0$. അതിനാൽ, $y=f(x), x$ വക്രത്താൽ, $x=a$, $x=b$ എന്നീ ലംബരേഖകളാൽ പരിവൃതമായ പ്രദേശത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം A നൽകുന്നത് $A=|A_1|+A_2$ ആണ്.

ചിത്രം 8.4

ഉദാഹരണം 1 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ വൃത്തത്താൽ പരിവൃതമായ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം ചിത്രം 8.5 ൽ നിന്ന്, തന്നിരിക്കുന്ന വൃത്തത്താൽ പൂർണ്ണമായും പരിവൃതമായ വിസ്തീർണ്ണം $=4$ (വക്രത്താൽ, $x$-അക്ഷത്താൽ, $x=0$, $x=a$ എന്നീ ലംബരേഖകളാൽ പരിവൃതമായ AOBA പ്രദേശത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം) [വൃത്തം $x$-അക്ഷത്തെയും $y$-അക്ഷത്തെയും സംബന്ധിച്ച് സമമിതിയായതിനാൽ]

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} y d x \text{ (taking vertical strips) } \\ & =4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \end{aligned} $$

$x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ആയതിനാൽ $\quad y= \pm \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ നൽകുന്നു

ചിത്രം 8.5

AOBA പ്രദേശം ആദ്യ ചതുര്ത്ഥാംശത്തിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്, $y$ പോസിറ്റീവ് ആയി എടുക്കുന്നു. സമാകലനം ചെയ്ത്, തന്നിരിക്കുന്ന വൃത്തത്താൽ പൂർണ്ണമായും പരിവൃതമായ വിസ്തീർണ്ണം നമുക്ക് ലഭിക്കും

$ \begin{aligned} & =4[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0]=4(\frac{a^{2}}{2})(\frac{\pi}{2})=\pi a^{2} \end{aligned} $

ബദലായി, ചിത്രം 8.6 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ തിരശ്ചീന പട്ടകൾ പരിഗണിച്ചാൽ, വൃത്തത്താൽ പരിവൃതമായ പ്രദേശത്തിന്റെ മൊത്തം വിസ്തീർണ്ണം

$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} x d y=4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-y^{2}} d y \text{(എന്തുകൊണ്ട്?)} \\ & =4[\frac{y}{2} \sqrt{a^{2}-y^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =4 \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a^{2} \end{aligned} $

ചിത്രം 8.6

ഉദാഹരണം 2 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ദീർഘവൃത്തത്താൽ പരിവൃതമായ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം ചിത്രം 8.7 ൽ നിന്ന്, ദീർഘവൃത്തത്താൽ പരിവൃതമായ $ABA^{\prime} B^{\prime} A$ പ്രദേശത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം

$=4(\begin{matrix} \text{ area of the region } A O B A \text{ in the first quadrant bounded } \\ \text{ by the curve, } x-\text{ axis and theordinates } x=0, x=a\end{matrix} )$

(ദീർഘവൃത്തം $x$-അക്ഷത്തെയും $y$-അക്ഷത്തെയും സംബന്ധിച്ച് സമമിതിയായതിനാൽ)

$=4 \int_0^{a} y d x \quad$ (ലംബ പട്ടകൾ എടുക്കുമ്പോൾ)

ഇപ്പോൾ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $y= \pm \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ നൽകുന്നു, എന്നാൽ AOBA പ്രദേശം ആദ്യ ചതുര്ത്ഥാംശത്തിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്, $y$ പോസിറ്റീവ് ആയി എടുക്കുന്നു. അതിനാൽ, ആവശ്യമായ വിസ്തീർണ്ണം

$ \begin{aligned} & =4 \int _{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}\right] _{0}^{a} \text { (എന്തുകൊണ്ട്) } \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\left(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1\right)-0\right] \\ & =\frac{4 b}{a} \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \text { } \end{aligned} $

ചിത്രം 8.7

ബദലായി, ചിത്രം 8.8 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ തിരശ്ചീന പട്ടകൾ പരിഗണിച്ചാൽ, ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{b} x d y=4 \frac{a}{b} \int_0^{b} \sqrt{b^{2}-y^{2}} d y \text{ (Why?) } \\ & =\frac{4 a}{b}[\frac{y}{2} \sqrt{b^{2}-y^{2}}+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{b}]_0^{b} \\ & =\frac{4 a}{b}[(\frac{b}{2} \times 0+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =\frac{4 a}{b} \frac{b^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \end{aligned} $$

ചിത്രം 8.8

വൈവിധ്യമാർന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 3 $y=3 x+2$ രേഖയാൽ, $x$-അക്ഷത്താൽ, $x=-1$, $x=1$ എന്നീ ലംബരേഖകളാൽ പരിവൃതമായ പ്രദേശത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം ചിത്രം 8.9 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, $y=3 x+2$ രേഖ $x$-അക്ഷത്തെ $x=\frac{-2}{3}$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഖണ്ഡിക്കുന്നു, അതിന്റെ ഗ്രാഫ് $x \in(-1, \frac{-2}{3})$ ആയിരിക്കുമ്പോൾ $x$-അക്ഷത്തിന് താഴെയും $x \in(\frac{-2}{3}, 1)$ ആയിരിക്കുമ്പോൾ $x$-അക്ഷത്തിന് മുകളിലുമാണ്.

ആവശ്യമായ വിസ്തീർണ്ണം $=$ $ACBA+$ പ്രദേശത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ADEA പ്രദേശത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം

$ \begin{aligned} & =|\int _{-1}^{\frac{-2}{3}}(3 x+2) d x|+\int _{\frac{-2}{3}}^{1}(3 x+2) d x \\ & =|[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{-1}^{\frac{-2}{3}}|+[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{\frac{-2}{3}}^{1}=\frac{1}{6}+\frac{25}{6}=\frac{13}{3} \end{aligned} $

ചിത്രം 8.9

ഉദാഹരണം 4 $y=\cos x$ വക്രത്താൽ $x=0$, $x=2 \pi$ എന്നിവയ്ക്കിടയിൽ പരിവൃതമായ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം ചിത്രം 8.10 ൽ നിന്ന്, ആവശ്യമായ വിസ്തീർണ്ണം $=$ $OABO+$ പ്രദേശത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $BCDB+$ പ്രദേശത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം DEFD പ്രദേശത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം.

ചിത്രം 8.10

അങ്ങനെ, നമുക്ക് ആവശ്യമായ വിസ്തീർണ്ണം ഉണ്ട്

$ \begin{aligned} & =\int_ 0^{\frac{\pi}{2}} \cos x d x+|\int_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \cos x d x|+\int_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \cos x d x \\ & =[\sin x]_ 0^{\frac{\pi}{2}}+|[\sin x]_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}}|+[\sin x]_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \\ & =1+2+1=4 \end{aligned} $

സംഗ്രഹം

$y=f(x), x$ വക്രത്താൽ, $x=a$, $x=b(b>a)$ എന്നീ വരികളാൽ പരിവൃതമായ പ്രദേശത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഈ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് നൽകുന്നു: വിസ്തീർണ്ണം $=\int_a^{b} y d x=\int_a^{b} f(x) d x$. $x=\phi(y), y$ വക്രത്താൽ, $y=c, y=d$ എന്നീ വരികളാൽ പരിവൃതമായ പ്രദേശത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഈ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് നൽകുന്നു: വിസ്തീർണ്ണം $=\int_c^{d} x d y=\int_c^{d} \phi(y) d y$.

ചരിത്രപരമായ കുറിപ്പ്

സമാകലന കലനത്തിന്റെ ഉത്ഭവം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വികസനത്തിന്റെ ആദ്യകാല കാലഘട്ടത്തിലേക്ക് തിരിച്ചുപോകുന്നു, ഇത് പുരാതന ഗ്രീസിലെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ വികസിപ്പിച്ചെടുത്ത ക്ഷയപദ്ധതിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണ്. ഈ രീതി സമതല രൂപങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം, ഖരവസ്തുക്കളുടെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണങ്ങളും വ്യാപ്തങ്ങളും എന്നിവ കണക്കാക്കുന്നതിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ഉടലെടുത്തു. ഈ അർത്ഥത്തിൽ, ക്ഷയപദ്ധതിയെ സമാകലനത്തിന്റെ ഒരു ആദ്യകാല രീതിയായി കണക്കാക്കാം. ആദ്യകാല കാലഘട്ടത്തിൽ ക്ഷയപദ്ധതിയുടെ ഏറ്റവും വലിയ വികസനം യുഡോക്സസിന്റെ (440 BC) ആർക്കിമിഡീസിന്റെ (300 BC) കൃതികളിൽ ലഭിച്ചു.

കലനശാസ്ത്ര സിദ്ധാന്തത്തിലേക്കുള്ള വ്യവസ്ഥാപിതമായ സമീപനം 17-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ആരംഭിച്ചു. 1665-ൽ, ന്യൂട്ടൻ തന്റെ ഫ്ലക്ഷൻ സിദ്ധാന്തം എന്ന് വിശേഷിപ്പിച്ച കലനശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള തന്റെ പ്രവർത്തനം ആരംഭിച്ചു, ഒരു വക്രത്തിലെ ഏത് ബിന്ദുവിലും സ്പർശരേഖയും വക്രതയുടെ ആരവും കണ്ടെത്തുന്നതിൽ തന്റെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചു. ന്യൂട്ടൻ ആന്റിഡെറിവേറ്റീവ് (അനിശ്ചിത സമാകലനം) അല്ലെങ്കിൽ സ്പർശരേഖകളുടെ വിപരീത രീതി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന വിപരീത ഫംഗ്ഷന്റെ അടിസ്ഥാന ആശയം അവതരിപ്പിച്ചു.

1684-86 കാലഘട്ടത്തിൽ, ലീബ്നിറ്റ്സ് ആക്റ്റ എറുഡിറ്റോറത്തിൽ ഒരു ലേഖനം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു, അതിനെ അദ്ദേഹം കാൽക്കുലസ് സമ്മറ്റോറിയസ് എന്ന് വിളിച്ചു, കാരണം ഇത് അനന്തമായ ചെറിയ പ്രദേശങ്ങളുടെ ഒരു സംഖ്യയുടെ സംഗ്രഹവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണ്, അവയുടെ തുക അദ്ദേഹം ‘∫’ എന്ന പ്രതീകം ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിച്ചു. 1696-ൽ, ജെ. ബെർണൂലി നൽകിയ ഒരു നിർദ്ദേശം പിന്തുടർന്ന് ഈ ലേഖനം കാൽക്കുലസ് ഇന്റഗ്രാലി എന്നാക്കി മാറ്റി. ഇത് ന്യൂട്ടന്റെ സ്പർശരേഖകളുടെ വിപരീത രീതിയുമായി യോജിച്ചു.

ന്യൂട്ടനും ലീബ്നിറ്റ്സും തികച്ചും സ്വതന്ത്രവും റാഡിക്കലായി വ്യത്യസ്തവുമായ സമീപന രീതികൾ സ്വീകരിച്ചു. എന്നിരുന്നാലും, ബന്ധപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തങ്ങൾ പ്രായോഗികമായി സമാനമായ ഫലങ്ങൾ നേടി. ലീബ്നിറ്റ്സ് നിശ്ചിത സമാകലനത്തിന്റെ ആശയവും, ആന്റിഡെറിവേറ്റീവും നിശ്ചിത സമാകലനവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ആദ്യമായി വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കിയത് തീർച്ചയായും അദ്ദേഹമാണ്.

ഉപസംഹാരമായി, സമാകലന കലനത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളും സിദ്ധാന്തവും, പ്രാഥമികമായി വ്യത്യസ്ത കലനശാസ്ത്രവുമായുള്ള അതിന്റെ ബന്ധങ്ങൾ 17-ാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ അവസാനത്തിൽ പി.ഡി ഫെർമാറ്റ്, ഐ. ന്യൂട്ടൻ, ജി. ലീബ്നിറ്റ്സ് എന്നിവരുടെ കൃതികളിൽ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു. എന്നിരുന്നാലും, പരിധിയുടെ ആശയത്തിലൂടെയുള്ള ഈ ന്യായീകരണം 19-ാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ തുടക്കത്തിൽ എ.എൽ. കൗച്ചിയുടെ കൃതികളിൽ മാത്രമേ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തുള്ളൂ. അവസാനമായി, ലീ സോഫിയസിന്റെ ഈ ഉദ്ധരണി പരാമർശിക്കേണ്ടതാണ്:

“വ്യത്യസ്ത ക്വോട്ടിയന്റിന്റെയും സമാകലനത്തിന്റെയും ആശയങ്ങൾ, അവയുടെ ഉത്ഭവം തീർച്ചയായും ആർക്കിമിഡീസിലേക്ക് തിരിച്ചുപോകുന്നു, കെപ്ലർ, ഡെസ്കാർട്ടസ്, കാവാലിയറി, ഫെർമാറ്റ്, വാലിസ് എന്നിവരുടെ അന്വേഷണങ്ങളിലൂടെയാണ് ശാസ്ത്രത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചത് …. വ്യത്യാസവും സമാകലനവും വിപരീത പ്രവർത്തനങ്ങളാണെന്ന കണ്ടെത്തൽ ന്യൂട്ടനും ലീബ്നിറ്റ്സിനും ഉൾപ്പെടുന്നതാണ്”.