ഒരു നിശ്ചിത പ്രശ്നം മനസ്സിൽ കരുതാതെ രീതികൾ തിരയുന്നവൻ മിക്കവാറും വ്യർത്ഥമായി തിരയുന്നു. - ഡി. ഹിൽബർട്ട്

9.1 പരിചയം

ക്ലാസ് XI-ൽ ഈ പുസ്തകത്തിന്റെ അദ്ധ്യായം 5-ൽ, ഒരു സ്വതന്ത്ര ചരത്തിനെ സംബന്ധിച്ച് ഒരു നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫലനം $f$ എങ്ങനെ അവകലനം ചെയ്യാമെന്ന് ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ട്, അതായത്, ഒരു നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫലനത്തിന് $f$ അതിന്റെ നിർവചന ഡൊമെയ്നിലെ ഓരോ $x$-നും $f^{\prime}(x)$ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന്. കൂടാതെ, സമാകലന കലനത്തിന്റെ അദ്ധ്യായത്തിൽ, ഒരു ഫലനം $f$ എന്താണെന്ന് കണ്ടെത്താനുള്ള രീതി ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ട്, അതിന്റെ അവകലജം $g$ ഫലനമാണ്, ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിലും രൂപപ്പെടുത്താം:

ഒരു നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫലനത്തിന് $g$, ഒരു ഫലനം $f$ കണ്ടെത്തുക, അതായത്

$$ \frac{d y}{d x}=g(x) \text { where } y=f(x) $$

ഹെൻറി പൊയിൻകെയർ $(1854-1912)$

(1) എന്ന രൂപത്തിലുള്ള ഒരു സമവാക്യം അവകലന സമവാക്യം എന്നറിയപ്പെടുന്നു. ഒരു ഔപചാരിക നിർവചനം പിന്നീട് നൽകും.

ഭൗതികശാസ്ത്രം, രസതന്ത്രം, ജീവശാസ്ത്രം, നരവംശശാസ്ത്രം, ഭൂവിജ്ഞാനീയം, സാമ്പത്തികശാസ്ത്രം തുടങ്ങിയ വിവിധ ആപ്ലിക്കേഷനുകളിൽ ഈ സമവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ടാകുന്നു. അതിനാൽ, ആധുനിക ശാസ്ത്രീയ അന്വേഷണങ്ങളെല്ലാംതന്നെ അവകലന സമവാക്യങ്ങളുടെ ആഴത്തിലുള്ള പഠനം പ്രാഥമിക പ്രാധാന്യം നേടിയിട്ടുണ്ട്.

ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, അവകലന സമവാക്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചില അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ, ഒരു അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായതും പ്രത്യേകവുമായ പരിഹാരങ്ങൾ, അവകലന സമവാക്യങ്ങളുടെ രൂപീകരണം, ഒന്നാം ക്രമത്തിന്റെ - ഒന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ അവകലന സമവാക്യം പരിഹരിക്കാനുള്ള ചില രീതികൾ, വിവിധ മേഖലകളിൽ അവകലന സമവാക്യങ്ങളുടെ ചില ആപ്ലിക്കേഷനുകൾ എന്നിവ പഠിക്കും.

9.2 അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ

ഇനിപ്പറയുന്ന തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളുമായി നമുക്ക് ഇതിനകം പരിചയമുണ്ട്:

$$ \begin{align*} x^{2}-3 x+3=0 \tag{1} \\ \sin x+\cos x=0 \tag{2} \\ x+y=7 \tag{3} \end{align*} $$

നമുക്ക് ഈ സമവാക്യം പരിഗണിക്കാം:

$$ \begin{equation*} x \frac{d y}{d x}+y=0 \tag{4} \end{equation*} $$

സമവാക്യങ്ങൾ (1), (2), (3) എന്നിവ സ്വതന്ത്ര ചരങ്ങളും/അല്ലെങ്കിൽ ആശ്രിത ചരങ്ങളും മാത്രം ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെന്ന് നാം കാണുന്നു, എന്നാൽ സമവാക്യം (4) ചരങ്ങളും ആശ്രിത ചരം $y$-ന്റെ സ്വതന്ത്ര ചരം $x$-നെ സംബന്ധിച്ച അവകലജവും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തെ അവകലന സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പൊതുവേ, ആശ്രിത ചരത്തിന്റെ അവകലജം(ങ്ങൾ) സ്വതന്ത്ര ചരം(ങ്ങൾ)ക്ക് സംബന്ധിച്ച് ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു സമവാക്യത്തെ അവകലന സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ആശ്രിത ചരത്തിന്റെ അവകലജങ്ങൾ ഒരു സ്വതന്ത്ര ചരത്തിനെ മാത്രം സംബന്ധിച്ച് ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു അവകലന സമവാക്യത്തെ സാധാരണ അവകലന സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഉദാ.

$ 2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+(\frac{d y}{d x})^{3}=0 \text{ ഒരു സാധാരണ അവകലന സമവാക്യമാണ് } $

തീർച്ചയായും, ഒന്നിലധികം സ്വതന്ത്ര ചരങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അവകലജങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന അവകലന സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്, അവയെ ഭാഗിക അവകലന സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഈ ഘട്ടത്തിൽ നമ്മൾ സാധാരണ അവകലന സമവാക്യങ്ങളുടെ പഠനത്തിലേക്ക് മാത്രം പരിമിതപ്പെടുത്തും. ഇനി മുതൽ, ‘സാധാരണ അവകലന സമവാക്യം’ എന്നതിന് പകരം ‘അവകലന സമവാക്യം’ എന്ന പദം ഉപയോഗിക്കും.

കുറിപ്പ്

1. അവകലജങ്ങൾക്കായി ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷനുകൾ ഉപയോഗിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു:

$$ \frac{d y}{d x}=y^{\prime}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=y^{\prime \prime}, \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=y^{\prime \prime \prime} $$

2. ഉയർന്ന ക്രമത്തിലുള്ള അവകലജങ്ങൾക്ക്, ഇത്രയധികം ഡാഷുകൾ സൂപ്പർസഫിക്സായി ഉപയോഗിക്കുന്നത് അസൗകര്യമായിരിക്കും, അതിനാൽ, $n$-ആം ക്രമത്തിലുള്ള അവകലജം $\frac{d^{n} y}{d x^{n}}$-ന് ഞങ്ങൾ $y_n$ എന്ന നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

9.2.1 ഒരു അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ ക്രമം

ഒരു നൽകിയിരിക്കുന്ന അവകലന സമവാക്യത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ആശ്രിത ചരത്തിന്റെ ഉയർന്ന ക്രമത്തിലുള്ള അവകലജത്തിന്റെ ക്രമമായി ഒരു അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ ക്രമം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഇനിപ്പറയുന്ന അവകലന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക:

$$ \begin{align*} & \frac{d y}{d x}=e^{x} \tag{6}\\ & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0 \tag{7}\\ & \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+x^{2}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}=0 \tag{8} \end{align*} $$

സമവാക്യങ്ങൾ (6), (7), (8) എന്നിവ യഥാക്രമം ഒന്നാം, രണ്ടാം, മൂന്നാം ക്രമത്തിലുള്ള ഉയർന്ന അവകലജങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. അതിനാൽ, ഈ സമവാക്യങ്ങളുടെ ക്രമം യഥാക്രമം 1,2,3 എന്നിവയാണ്.

9.2.2 ഒരു അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ ഡിഗ്രി

ഒരു അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ ഡിഗ്രി പഠിക്കാൻ, കീ പോയിന്റ് എന്നത് അവകലന സമവാക്യം അവകലജങ്ങളിലെ ഒരു ബഹുപദ സമവാക്യമായിരിക്കണം എന്നതാണ്, അതായത്, $y^{\prime}, y^{\prime \prime}, y^{\prime \prime \prime}$ മുതലായവ. ഇനിപ്പറയുന്ന അവകലന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക:

$ \begin{aligned} \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+2(\frac{d^{2} y}{d x^{2}})^{2}-\frac{d y}{d x}+y & =0 \\ (\frac{d y}{d x})^{2}+(\frac{d y}{d x})-\sin ^{2} y & =0 \\ \frac{d y}{d x}+\sin (\frac{d y}{d x}) & =0 \end{aligned} $

സമവാക്യം (9) $y^{\prime \prime \prime}, y^{\prime \prime}$, $y^{\prime}$ എന്നിവയിലെ ഒരു ബഹുപദ സമവാക്യമാണെന്നും, സമവാക്യം (10) $y^{\prime}$-ൽ ഒരു ബഹുപദ സമവാക്യമാണെന്നും ($y$-ൽ ഒരു ബഹുപദമല്ലെങ്കിലും) ഞങ്ങൾ നിരീക്ഷിക്കുന്നു. അത്തരം അവകലന സമവാക്യങ്ങളുടെ ഡിഗ്രി നിർവചിക്കാവുന്നതാണ്. എന്നാൽ സമവാക്യം (11) $y^{\prime}$-ൽ ഒരു ബഹുപദ സമവാക്യമല്ല, അത്തരമൊരു അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ ഡിഗ്രി നിർവചിക്കാൻ കഴിയില്ല.

അവകലജങ്ങളിലെ ഒരു ബഹുപദ സമവാക്യമാകുമ്പോൾ, ഒരു അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ ഡിഗ്രി എന്നത് നൽകിയിരിക്കുന്ന അവകലന സമവാക്യത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഉയർന്ന ക്രമത്തിലുള്ള അവകലജത്തിന്റെ ഉയർന്ന ശക്തി (പോസിറ്റീവ് അഭിന്നക സൂചിക) എന്നാണ് നമ്മൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

മുകളിലുള്ള നിർവചനത്തിന്റെ വെളിച്ചത്തിൽ, അവകലന സമവാക്യങ്ങൾ (6), (7), (8), (9) എന്നിവ ഓരോന്നിന്റെയും ഡിഗ്രി ഒന്നാണെന്നും, സമവാക്യം (10) രണ്ട് ഡിഗ്രിയാണെന്നും, അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ (11) ഡിഗ്രി നിർവചിച്ചിട്ടില്ലെന്നും ഒരാൾ നിരീക്ഷിക്കാം.

കുറിപ്പ് ഒരു അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ ക്രമവും ഡിഗ്രിയും (നിർവചിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ) എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്.

ഉദാഹരണം 1 ഇനിപ്പറയുന്ന ഓരോ അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെയും ക്രമവും ഡിഗ്രിയും, നിർവചിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, കണ്ടെത്തുക:

(i) $\frac{d y}{d x}-\cos x=0$

(ii) $x y \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x(\frac{d y}{d x})^{2}-y \frac{d y}{d x}=0$

(iii) $y^{\prime \prime \prime}+y^{2}+e^{y^{\prime}}=0$

പരിഹാരം

(i) അവകലന സമവാക്യത്തിൽ നിലവിലുള്ള ഉയർന്ന ക്രമത്തിലുള്ള അവകലജം $\frac{d y}{d x}$ ആണ്, അതിനാൽ അതിന്റെ ക്രമം ഒന്നാണ്. ഇത് $y^{\prime}$-ൽ ഒരു ബഹുപദ സമവാക്യമാണ്, $\frac{d y}{d x}$-ന് ഉയർത്തിയ ഉയർന്ന ശക്തി ഒന്നാണ്, അതിനാൽ അതിന്റെ ഡിഗ്രി ഒന്നാണ്.

(ii) നൽകിയിരിക്കുന്ന അവകലന സമവാക്യത്തിൽ നിലവിലുള്ള ഉയർന്ന ക്രമത്തിലുള്ള അവകലജം $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ആണ്, അതിനാൽ അതിന്റെ ക്രമം രണ്ടാണ്. ഇത് $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$, $\frac{d y}{d x}$ എന്നിവയിലെ ഒരു ബഹുപദ സമവാക്യമാണ്, $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$-ന് ഉയർത്തിയ ഉയർന്ന ശക്തി ഒന്നാണ്, അതിനാൽ അതിന്റെ ഡിഗ്രി ഒന്നാണ്.

(iii) അവകലന സമവാക്യത്തിൽ നിലവിലുള്ള ഉയർന്ന ക്രമത്തിലുള്ള അവകലജം $y^{\prime \prime \prime}$ ആണ്, അതിനാൽ അതിന്റെ ക്രമം മൂന്നാണ്. നൽകിയിരിക്കുന്ന അവകലന സമവാക്യം അതിന്റെ അവകലജങ്ങളിലെ ഒരു ബഹുപദ സമവാക്യമല്ല, അതിനാൽ അതിന്റെ ഡിഗ്രി നിർവചിച്ചിട്ടില്ല.

9.3 ഒരു അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായതും പ്രത്യേകവുമായ പരിഹാരങ്ങൾ

മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഹരിച്ചിട്ടുണ്ട്:

$$ \begin{align*} x^{2}+1=0 \tag{1} \\ \sin ^{2} x-\cos x=0 \tag{2} \end{align*} $$

സമവാക്യങ്ങളുടെ (1), (2) എന്നിവയുടെ പരിഹാരം സംഖ്യകളാണ്, യഥാർത്ഥമോ സങ്കീർണ്ണമോ, അത് നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തും, അതായത്, ആ സംഖ്യ അജ്ഞാതമായ $x$-ന് പകരം നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിൽ പ്രതിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, L.H.S. R.H.S.-ന് തുല്യമാകും.

ഇപ്പോൾ അവകലന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$

ആദ്യത്തെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുമായി വിപരീതമായി, ഈ അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം ഒരു ഫലനം $\phi$ ആണ്, അത് അതിനെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തും, അതായത്, ഫലനം $\phi$ അജ്ഞാതമായ $y$ (ആശ്രിത ചരം) ന് പകരം നൽകിയിരിക്കുന്ന അവകലന സമവാക്യത്തിൽ പ്രതിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, L.H.S. R.H.S.-ന് തുല്യമാകും.

വക്രം $y=\phi(x)$ നൽകിയിരിക്കുന്ന അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാര വക്രം (ഇന്റഗ്രൽ കർവ്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫലനം പരിഗണിക്കുക

$$ \begin{equation*} y=\phi(x)=a \sin (x+b) \tag{4} \end{equation*} $$

ഇവിടെ $a, b \in \mathbf{R}$. ഈ ഫലനവും അതിന്റെ അവകലജവും സമവാക്യം (3) ൽ പ്രതിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, L.H.S. = R.H.S.. അതിനാൽ ഇത് അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ (3) ഒരു പരിഹാരമാണ്.

$a$, $b$ എന്നിവയ്ക്ക് ചില പ്രത്യേക മൂല്യങ്ങൾ നൽകുക, $a=2$, $b=\frac{\pi}{4}$ എന്നിവ പോലെ, അപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു ഫലനം ലഭിക്കും

$$ \begin{equation*} y=\phi _{1}(x)=2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \tag{5} \end{equation*} $$

ഈ ഫലനവും അതിന്റെ അവകലജവും സമവാക്യം (3) ൽ വീണ്ടും പ്രതിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ L.H.S. = R.H.S.. അതിനാൽ $\phi_1$ സമവാക്യത്തിന്റെ (3) ഒരു പരിഹാരവുമാണ്.

ഫലനം $\phi$ രണ്ട് അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ (പാരാമീറ്ററുകൾ) $a, b$ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അതിനെ നൽകിയിരിക്കുന്ന അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഫലനം $\phi_1$ അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളൊന്നും ഉൾക്കൊള്ളുന്നില്ല, പക്ഷേ പാരാമീറ്ററുകളുടെ $a$, $b$ എന്നിവയുടെ പ്രത്യേക മൂല്യങ്ങൾ മാത്രമേ ഉൾക്കൊള്ളുന്നുള്ളൂ, അതിനാൽ ഇതിനെ നൽകിയിരിക്കുന്ന അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന പരിഹാരത്തെ അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം (പ്രിമിറ്റീവ്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളിൽ നിന്ന് മുക്തമായ പരിഹാരം, അതായത്, അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾക്ക് പ്രത്യേക മൂല്യങ്ങൾ നൽകി പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്ന പരിഹാരത്തെ അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ പ്രത്യേക പരിഹാരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 2 $y=e^{-3 x}$ എന്ന ഫലനം $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}-6 y=0$ എന്ന അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു പരിഹാരമാണെന്ന് പരിശോധിക്കുക

പരിഹാരം നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫലനം $y=e^{-3 x}$ ആണ്. സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും $x$-നെ സംബന്ധിച്ച് വേർതിരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=3 e^{-3 x} \tag{1} \end{equation*} $$

ഇപ്പോൾ, (1) $x$-നെ സംബന്ധിച്ച് വേർതിരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്കുള്ളത്

$$ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=9 e^{-3 x} $$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d y}{d x}$, $y$ എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന അവകലന സമവാക്യത്തിൽ പ്രതിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

L.H.S. $=9 e^{-3 x}+(-3 e^{-3 x})-6 . e^{-3 x}=9 e^{-3 x}-9 e^{-3 x}=0=$ R.H.S..

അതിനാൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫലനം നൽകിയിരിക്കുന്ന അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു പരിഹാരമാണ്.

ഉദാഹരണം 3 $y=a \cos x+b \sin x$ എന്ന ഫലനം, ഇവിടെ, $a, b \in \mathbf{R}$ എന്നത് അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു പരിഹാരമാണെന്ന് പരിശോധിക്കുക $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$

പരിഹാരം നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫലനം

$$ \begin{equation*} y=a \cos x+b \sin x \tag{1} \end{equation*} $$

സമവാക്യത്തിന്റെ (1) ഇരുവശങ്ങളും $x$-നെ സംബന്ധിച്ച് തുടർച്ചയായി വേർതിരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =-a \sin x+b \cos x \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-a \cos x-b \sin x \end{aligned} $$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$, $y$ എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന അവകലന സമവാക്യത്തിൽ പ്രതിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

L.H.S. $=(-a \cos x-b \sin x)+(a \cos x+b \sin x)=0=$ R.H.S.

അതിനാൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫലനം നൽകിയിരിക്കുന്ന അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു പരിഹാരമാണ്.

9.4 ഒന്നാം ക്രമത്തിന്റെ, ഒന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ അവകലന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള രീതികൾ

ഈ വിഭാഗത്തിൽ ഒന്നാം ക്രമത്തിന്റെ ഒന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ അവകലന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള മൂന്ന് രീതികൾ ചർച്ച ചെയ്യും.

9.4.1 വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കാവുന്ന അവകലന സമവാക്യങ്ങൾ

ഒന്നാം ക്രമത്തിന്റെ-ഒന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു അവകലന സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിലാണ്

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\mathrm{F}(x, y) \tag{1} \end{equation*} $$

$F(x, y)$ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി $g(x) h(y)$ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, ഇവിടെ, $g(x)$ $x$-ന്റെ ഒരു ഫലനവും $h(y)$ $y$-ന്റെ ഒരു ഫലനവുമാണ്, അപ്പോൾ അവകലന സമവാക്യം (1) വേരിയബിൾ സെപ്പറബിൾ ടൈപ്പ് ആണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. അവകലന സമവാക്യം (1) ന് പിന്നീട് രൂപമുണ്ട്

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=h(y) \cdot g(x) \tag{2} \end{equation*} $$

$h(y) \neq 0$ ആണെങ്കിൽ, വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിച്ച്, (2) ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാം

$$ \begin{equation*} \frac{1}{h(y)} d y=g(x) d x \tag{3} \end{equation*} $$

(3) ന്റെ ഇരുവശങ്ങളും സമാകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$$ \begin{equation*} \int \frac{1}{h(y)} d y=\int g(x) d x \tag{4} \end{equation*} $$

അങ്ങനെ, (4) നൽകിയിരിക്കുന്ന അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരങ്ങൾ നൽകുന്നു

$$ \begin{equation*} \mathrm{H}(y)=\mathrm{G}(x)+\mathrm{C} \tag{5} \end{equation*} $$

ഇവിടെ, $H(y)$, $G(x)$ എന്നിവ യഥാക്രമം $\frac{1}{h(y)}$, $g(x)$ എന്നിവയുടെ എതിർ അവകലജങ്ങളാണ്, $C$ അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കമാണ്.

ഉദാഹരണം 4 $\frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{2-y},(y \neq 2)$ എന്ന അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം നമുക്കുള്ളത്

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{2-y}(y \neq 2) \tag{1} \end{equation*} $$

സമവാക്യത്തിൽ (1) വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$$ \begin{equation*} (2-y) d y=(x+1) d x \tag{2} \end{equation*} $$

സമവാക്യത്തിന്റെ (2) ഇരുവശങ്ങളും സമാകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$$ \int(2-y) d y=\int(x+1) d x $$

$$ \text{ or } \qquad 2 y-\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}+x+\mathrm{C} _{1} $$

$$ \text{ or } \qquad x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+2 \mathrm{C} _{1}=0 $$

$\text{ or } \qquad x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+\mathrm{C}=0 \text { where } \mathrm{C}=2 \mathrm{C} _{1}$

ഇത് സമവാക്യത്തിന്റെ (1) പൊതുവായ പരിഹാരമാണ്.

ഉദാഹരണം 5 $\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}$ എന്ന അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം $1+y^{2} \neq 0$ ആയതിനാൽ, വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിച്ച്, നൽകിയിരിക്കുന്ന അവകലന സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{1+y^{2}}=\frac{d x}{1+x^{2}} \tag{1} \end{equation*} $$

സമവാക്യത്തിന്റെ (1) ഇരുവശങ്ങളും സമാകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$$ \int \frac{d y}{1+y^{2}}=\int \frac{d x}{1+x^{2}} $$

$$\text{ or }\qquad \tan ^{-1} y=\tan ^{-1} x+\mathrm{C} $$

ഇത് സമവാക്യത്തിന്റെ (1) പൊതുവായ പരിഹാരമാണ്.

ഉദാഹരണം 6 $\frac{d y}{d x}=-4 x y^{2}$ എന്ന അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക, $y=1$, $x=0$ ആകുമ്പോൾ.

പരിഹാരം $y \neq 0$ ആണെങ്കിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന അവകലന സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{y^{2}}=-4 x d x \tag{1} \end{equation*} $$

സമവാക്യത്തിന്റെ (1) ഇരുവശങ്ങളും സമാകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$ \begin{aligned} \int \frac{d y}{y^{2}} & =-4 \int x d x \\ \frac{1}{y} & =-2 x^{2}+C \\ \text{ or } \quad y & =\frac{1}{2 x^{2}-C} \end{aligned} $

$y=1$, $x=0$ എന്നിവ സമവാക്യത്തിൽ (2) പ്രതിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്, $C=-1$.

ഇപ്പോൾ $C$ എന്നതിന്റെ മൂല്യം സമവാക്യത്തിൽ (2) പ്രതിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നൽകിയിരിക്കുന്ന അവകലന സമവാക്യത്തിന്റെ പ