2.1 ആമുഖം

അദ്ധ്യായങ്ങൾ 6, 8 (ക്ലാസ് XI) എന്നിവയിൽ സ്ഥിതികോർജ്ജത്തിന്റെ ആശയം അവതരിപ്പിച്ചിരുന്നു. ഒരു പുറമെയുള്ള ബലം ഒരു വസ്തുവിനെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് മറ്റൊരു ബിന്ദുവിലേക്ക് സ്പ്രിംഗ് ബലം അല്ലെങ്കിൽ ഗുരുത്വാകർഷണ ബലം പോലുള്ള ഒരു ബലത്തിനെതിരെ കൊണ്ടുപോകുമ്പോൾ, ആ പ്രവൃത്തി വസ്തുവിന്റെ സ്ഥിതികോർജ്ജമായി സംഭരിക്കപ്പെടുന്നു. പുറമെയുള്ള ബലം നീക്കംചെയ്യുമ്പോൾ, വസ്തു ചലിക്കുന്നു, ഗതികോർജ്ജം നേടുകയും തുല്യമായ അളവിൽ സ്ഥിതികോർജ്ജം നഷ്ടപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു. അങ്ങനെ ഗതികോർജ്ജവും സ്ഥിതികോർജ്ജവും കൂടിച്ചേർന്നത് സംരക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു. ഇത്തരം ബലങ്ങളെ സംരക്ഷണ ബലങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സ്പ്രിംഗ് ബലവും ഗുരുത്വാകർഷണ ബലവും സംരക്ഷണ ബലങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്.

രണ്ട് (നിശ്ചല) ചാർജുകൾ തമ്മിലുള്ള കൂളോംബ് ബലവും ഒരു സംരക്ഷണ ബലമാണ്. ഇത് അതിശയകരമല്ല, കാരണം രണ്ടിനും ദൂരത്തിന്റെ വിപരീത-വർഗ്ഗ ആശ്രിതത്വമുണ്ട്, പ്രധാനമായും ആനുപാതിക സ്ഥിരാങ്കങ്ങളിൽ വ്യത്യാസമുണ്ട് - ഗുരുത്വാകർഷണ നിയമത്തിലെ പിണ്ഡങ്ങൾ കൂളോംബിന്റെ നിയമത്തിൽ ചാർജുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു ഗുരുത്വാകർഷണ മണ്ഡലത്തിലെ ഒരു പിണ്ഡത്തിന്റെ സ്ഥിതികോർജ്ജം പോലെ, നമുക്ക് ഒരു സ്ഥിതവൈദ്യുത മണ്ഡലത്തിലെ ഒരു ചാർജിന്റെ സ്ഥിതവൈദ്യുത സ്ഥിതികോർജ്ജം നിർവചിക്കാം.

ചില ചാർജ് വിന്യാസം മൂലമുണ്ടാകുന്ന ഒരു സ്ഥിതവൈദ്യുത മണ്ഡലം $\mathbf{E}$ പരിഗണിക്കുക. ആദ്യം, ലാളിത്യത്തിനായി, ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ചാർജ് $Q$ മൂലമുണ്ടാകുന്ന മണ്ഡലം $\mathbf{E}$ പരിഗണിക്കുക. ഇപ്പോൾ, ഒരു പരീക്ഷണ ചാർജ് $q$ നമ്മൾ ഒരു ബിന്ദു $\mathrm{R}$ ൽ നിന്ന് ഒരു ബിന്ദു $\mathrm{P}$ ലേക്ക് ചാർജ് $Q$ മൂലം അതിൽ ഉണ്ടാകുന്ന വികർഷണ ബലത്തിനെതിരെ കൊണ്ടുവരുന്നുവെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക. ചിത്രം 2.1 ലേക്ക് സൂചിപ്പിച്ചാൽ, $Q$ ഉം $q$ ഉം രണ്ടും പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ ഇത് സംഭവിക്കും. നിശ്ചിതത്വത്തിനായി, നമുക്ക് $Q, q>0$ എടുക്കാം.

ചിത്രം 2.1 ഒരു പരീക്ഷണ ചാർജ് $q(>0)$ ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്ന ചാർജ് $Q(>0)$ മൂലം അതിൽ ഉണ്ടാകുന്ന വികർഷണ ബലത്തിനെതിരെ ബിന്ദു $\mathrm{R}$ ൽ നിന്ന് ബിന്ദു $\mathrm{P}$ ലേക്ക് നീക്കുന്നു.

രണ്ട് പരാമർശങ്ങൾ ഇവിടെ ഉണ്ടാക്കാം. ആദ്യം, പരീക്ഷണ ചാർജ് $q$ വളരെ ചെറുതാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു, അത് യഥാർത്ഥ വിന്യാസത്തെ, അതായത് ഉത്ഭവസ്ഥാനത്തുള്ള ചാർജ് $Q$ നെ തടസ്സപ്പെടുത്തുന്നില്ല (അല്ലെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ $Q$ ചില അവ്യക്തമായ ബലം ഉപയോഗിച്ച് ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് സ്ഥിരമായി നിലനിർത്തുന്നു). രണ്ടാമതായി, ചാർജ് $q$ $\mathrm{R}$ ൽ നിന്ന് $\mathrm{P}$ ലേക്ക് കൊണ്ടുവരുമ്പോൾ, വികർഷണ വൈദ്യുത ബലം $\mathbf{F_\mathrm{E}}$ (അതായത്, $\mathbf{F_\mathrm{ext}}=-\mathbf{F_\mathrm{E}}$) നെ പ്രതിരോധിക്കാൻ മതിയായ ഒരു പുറമെയുള്ള ബലം $\mathbf{F_\text {ext }}$ പ്രയോഗിക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം ചാർജ് $q$ $\mathrm{R}$ ൽ നിന്ന് $\mathrm{P}$ ലേക്ക് കൊണ്ടുവരുമ്പോൾ അതിൽ ഒരു ബലമോ ത്വരണമോ ഇല്ല എന്നാണ്, അതായത്, അത് അനന്തമായ ചെറിയ സ്ഥിര വേഗതയോടെ കൊണ്ടുവരുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പുറമെയുള്ള ബലം ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തി വൈദ്യുത ബലം ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തിയുടെ നെഗറ്റീവ് ആണ്, അത് പൂർണ്ണമായും ചാർജ് $q$ ന്റെ സ്ഥിതികോർജ്ജത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ സംഭരിക്കപ്പെടുന്നു. $P$ ലെത്തുമ്പോൾ പുറമെയുള്ള ബലം നീക്കംചെയ്താൽ, വൈദ്യുത ബലം ചാർജിനെ $Q$ ൽ നിന്ന് അകറ്റും - $\mathrm{P}$ ൽ സംഭരിച്ചിരിക്കുന്ന ഊർജ്ജം (സ്ഥിതികോർജ്ജം) ചാർജ് $q$ ന് ഗതികോർജ്ജം നൽകുന്നതിന് ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതായത് ഗതികോർജ്ജവും സ്ഥിതികോർജ്ജവും കൂടിച്ചേർന്നത് സംരക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു.

അങ്ങനെ, ഒരു ചാർജ് $q$ $\mathrm{R}$ ൽ നിന്ന് $\mathrm{P}$ ലേക്ക് നീക്കുന്നതിൽ പുറമെയുള്ള ബലങ്ങൾ ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തി

$$ \begin{align*} \mathrm{W_\mathrm{RP}} & =\int_{\mathrm{R^{\mathrm{P}}}} \mathbf{F_\text {ext }} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} \\ & =-\int_{\mathrm{R}}^{\mathrm{P}} \mathbf{F\text {ext }} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} \tag{2.1} \end{align*} $$

ഈ പ്രവൃത്തി സ്ഥിതവൈദ്യുത വികർഷണ ബലത്തിനെതിരെയാണ്, അത് സ്ഥിതികോർജ്ജമായി സംഭരിക്കപ്പെടുന്നു.

വൈദ്യുത മണ്ഡലത്തിലെ ഓരോ ബിന്ദുവിലും, ചാർജ് $q$ ഉള്ള ഒരു കണിക ഒരു നിശ്ചിത സ്ഥിതവൈദ്യുത സ്ഥിതികോർജ്ജം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, ഈ പ്രവൃത്തി അതിന്റെ സ്ഥിതികോർജ്ജം ബിന്ദുക്കൾ $\mathrm{R}$ ഉം $\mathrm{P}$ ഉം തമ്മിലുള്ള സ്ഥിതികോർജ്ജ വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമായ അളവിൽ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു.

അങ്ങനെ, സ്ഥിതികോർജ്ജ വ്യത്യാസം

$$ \begin{equation*} \Delta U=U_{P}-U_{R}=W_{R P} \tag{2.2} \end{equation*} $$

(ഇവിടെ ശ്രദ്ധിക്കുക, ഈ സ്ഥാനാന്തരം വൈദ്യുത ബലത്തിന്റെ വിപരീത ദിശയിലാണ്, അതിനാൽ വൈദ്യുത മണ്ഡലം ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തി നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതായത്, $-W_{R P}$.)

അതിനാൽ, ഏതെങ്കിലും ഏകപക്ഷീയ ചാർജ് വിന്യാസത്തിന്റെ വൈദ്യുത മണ്ഡലത്തിനായി ഒരു ചാർജ് $q$ ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് (ത്വരണം ഇല്ലാതെ) നീക്കുന്നതിൽ ഒരു പുറമെയുള്ള ബലം ചെയ്യേണ്ട പ്രവൃത്തിയായി നമുക്ക് രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള വൈദ്യുത സ്ഥിതികോർജ്ജ വ്യത്യാസം നിർവചിക്കാം.

ഈ ഘട്ടത്തിൽ രണ്ട് പ്രധാനപ്പെട്ട അഭിപ്രായങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കാം:

(i) സമവാക്യം (2.2) ന്റെ വലതുവശം ചാർജിന്റെ പ്രാരംഭ, അന്തിമ സ്ഥാനങ്ങളെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് ഒരു ചാർജ് നീക്കുന്നതിൽ ഒരു സ്ഥിതവൈദ്യുത മണ്ഡലം ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തി പ്രാരംഭ, അന്തിമ ബിന്ദുക്കളെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് പോകാൻ എടുക്കുന്ന പാതയിൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രമാണ്. ഇത് ഒരു സംരക്ഷണ ബലത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന സ്വഭാവമാണ്. പ്രവൃത്തി പാതയെ ആശ്രയിച്ചിരുന്നെങ്കിൽ സ്ഥിതികോർജ്ജത്തിന്റെ ആശയം അർത്ഥവത്തായിരിക്കുമായിരുന്നില്ല. ഒരു സ്ഥിതവൈദ്യുത മണ്ഡലം ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തിയുടെ പാത-സ്വാതന്ത്ര്യം കൂളോംബിന്റെ നിയമം ഉപയോഗിച്ച് തെളിയിക്കാം. ഈ തെളിവ് ഞങ്ങൾ ഇവിടെ ഒഴിവാക്കുന്നു.

കൗണ്ട് അലെസാണ്ട്രോ വോൾട്ട

(1745 – 1827) ഇറ്റാലിയൻ ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞൻ, പാവിയയിലെ പ്രൊഫസർ. ലുയിഗി ഗാൽവാനി (1737–1798) തവളയുടെ പേശി ടിഷ്യു വ്യത്യസ്ത ലോഹങ്ങളുമായി സമ്പർക്കത്തിൽ വെച്ച് നടത്തിയ പരീക്ഷണങ്ങളിൽ നിരീക്ഷിച്ച മൃഗ വൈദ്യുതി, മൃഗങ്ങളുടെ ടിഷ്യുക്കളുടെ ഒരു അസാധാരണ സവിശേഷത മൂലമല്ല, എന്തെങ്കിലും നനഞ്ഞ വസ്തു വ്യത്യസ്ത ലോഹങ്ങൾക്കിടയിൽ സാൻഡ്വിച്ച് ചെയ്യുമ്പോഴും ഉത്പാദിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു എന്ന് വോൾട്ട സ്ഥാപിച്ചു. ഇത് അദ്ദേഹത്തെ ആദ്യത്തെ വോൾട്ടായിക് പൈൽ അല്ലെങ്കിൽ ബാറ്ററി വികസിപ്പിക്കാൻ നയിച്ചു, അതിൽ ധാരാളം നനഞ്ഞ കാർഡ്ബോർഡ് ഡിസ്കുകൾ (ഇലക്ട്രോലൈറ്റ്) ലോഹ ഡിസ്കുകൾക്കിടയിൽ (ഇലക്ട്രോഡുകൾ) സാൻഡ്വിച്ച് ചെയ്തിരിക്കുന്നു.

(ii) സമവാക്യം (2.2) ഭൗതികമായി അർത്ഥവത്തായ അളവായ പ്രവൃത്തിയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ സ്ഥിതികോർജ്ജ വ്യത്യാസം നിർവചിക്കുന്നു. വ്യക്തമായും, ഇങ്ങനെ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന സ്ഥിതികോർജ്ജം ഒരു സങ്കലന സ്ഥിരാങ്കത്തിനുള്ളിൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടാത്തതാണ്. ഇതിന്റെ അർത്ഥം സ്ഥിതികോർജ്ജത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യം ഭൗതികമായി പ്രാധാന്യമുള്ളതല്ല; സ്ഥിതികോർജ്ജ വ്യത്യാസം മാത്രമാണ് പ്രാധാന്യമുള്ളത്. സ്ഥിതികോർജ്ജ വ്യത്യാസം മാറില്ലാത്തതിനാൽ ഓരോ ബിന്ദുവിലും സ്ഥിതികോർജ്ജത്തിലേക്ക് ഒരു ഏകപക്ഷീയ സ്ഥിരാങ്കം $\alpha$ എപ്പോഴും ചേർക്കാം:

$$ \left(U_{P}+\alpha\right)-\left(U_{R}+\alpha\right)=U_{P}-U_{R} $$

വേറൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, സ്ഥിതികോർജ്ജം പൂജ്യമായിരിക്കുന്ന ബിന്ദു തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിൽ ഒരു സ്വാതന്ത്ര്യമുണ്ട്. അനന്തതയിൽ സ്ഥിതവൈദ്യുത സ്ഥിതികോർജ്ജം പൂജ്യമാക്കുന്നത് ഒരു സൗകര്യപ്രദമായ തിരഞ്ഞെടുപ്പാണ്. ഈ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് ഉപയോഗിച്ച്, നമ്മൾ $\mathrm{R}$ ബിന്ദു അനന്തതയിൽ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, സമവാക്യം (2.2) ൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും

$$ \begin{equation*} W_{\infty P}=U_{P}-U_{\infty}=U_{P} \tag{2.3} \end{equation*} $$

$\mathrm{P}$ ബിന്ദു ഏകപക്ഷീയമായതിനാൽ, സമവാക്യം (2.3) ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവിൽ ഒരു ചാർജ് $q$ ന്റെ സ്ഥിതികോർജ്ജത്തിന്റെ നിർവചനം നൽകുന്നു. ഒരു ബിന്ദുവിലെ ചാർജ് $q$ ന്റെ സ്ഥിതികോർജ്ജം (ഏതെങ്കിലും ചാർജ് വിന്യാസം മൂലമുള്ള മണ്ഡലത്തിന്റെ സാന്നിധ്യത്തിൽ) അനന്തതയിൽ നിന്ന് ആ ബിന്ദുവിലേക്ക് ചാർജ് $q$ കൊണ്ടുവരുന്നതിൽ പുറമെയുള്ള ബലം (വൈദ്യുത ബലത്തിന് തുല്യവും വിപരീതവും) ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തിയാണ്.

2.2 സ്ഥിതവൈദ്യുത പൊട്ടൻഷ്യൽ

ഏതെങ്കിലും പൊതു സ്ഥിര ചാർജ് വിന്യാസം പരിഗണിക്കുക. ചാർജ് $q$ ന്റെ പ്രവൃത്തിയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു പരീക്ഷണ ചാർജ് $q$ ന്റെ സ്ഥിതികോർജ്ജം ഞങ്ങൾ നിർവചിക്കുന്നു. ഈ പ്രവൃത്തി വ്യക്തമായും $q$ ന് ആനുപാതികമാണ്, കാരണം ഏത് ബിന്ദുവിലും ബലം $q \mathbf{E}$ ആണ്, ഇവിടെ $\mathbf{E}$ നൽകിയിരിക്കുന്ന ചാർജ് വിന്യാസം മൂലം ആ ബിന്ദുവിലുള്ള വൈദ്യുത മണ്ഡലമാണ്. അതിനാൽ, പ്രവൃത്തിയെ ചാർജ് $q$ ന്റെ അളവ് കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്, അങ്ങനെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന അളവ് $q$ ൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രമാണ്. വേറൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, യൂണിറ്റ് പരീക്ഷണ ചാർജിന് ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തി ചാർജ് വിന്യാസവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട വൈദ്യുത മണ്ഡലത്തിന്റെ സ്വഭാവമാണ്. ഇത് നൽകിയിരിക്കുന്ന ചാർജ് വിന്യാസം മൂലമുള്ള സ്ഥിതവൈദ്യുത പൊട്ടൻഷ്യൽ $V$ ന്റെ ആശയത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. സമവാക്യം (2.1) ൽ നിന്ന്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

ഒരു യൂണിറ്റ് പോസിറ്റീവ് ചാർജ് ബിന്ദു $\mathrm{R}$ ൽ നിന്ന് $\mathrm{P}$ ലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നതിൽ പുറമെയുള്ള ബലം ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തി

$$ \begin{equation*} =V_{P}-V_{R} \quad=\frac{U_{P}-U_{R}}{q} \tag{2.4} \end{equation*} $$

ഇവിടെ $V_{P}$ ഉം $V_{R}$ ഉം യഥാക്രമം $\mathrm{P}$ ഉം $\mathrm{R}$ ഉം എന്നിവയിലെ സ്ഥിതവൈദ്യുത പൊട്ടൻഷ്യലുകളാണ്. മുമ്പ് പറഞ്ഞതുപോലെ, ഭൗതികമായി പ്രാധാന്യമുള്ളത് പൊട്ടൻഷ്യലിന്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യമല്ല, പൊട്ടൻഷ്യൽ വ്യത്യാസമാണ് എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. മുമ്പത്തെപ്പോലെ, അനന്തതയിൽ പൊട്ടൻഷ്യൽ പൂജ്യമാക്കാൻ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, സമവാക്യം (2.4) സൂചിപ്പിക്കുന്നു:

അനന്തതയിൽ നിന്ന് ഒരു ബിന്ദു $=$ ലേക്ക് ഒരു യൂണിറ്റ് പോസിറ്റീവ് ചാർജ് കൊണ്ടുവരുന്നതിൽ പുറമെയുള്ള ബലം ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തി ആ ബിന്ദുവിലെ സ്ഥിതവൈദ്യുത പൊട്ടൻഷ്യൽ $(V)$ ആണ്.

ചിത്രം 2.2 ഏതെങ്കിലും നൽകിയിരിക്കുന്ന ചാർജ് വിന്യാസം മൂലമുണ്ടാകുന്ന സ്ഥിതവൈദ്യുത മണ്ഡലം ഒരു പരീക്ഷണ ചാർജ് $q$ ന്റെ മേൽ ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തി പാതയിൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രമാണ്, അതിന്റെ പ്രാരംഭ, അന്തിമ സ്ഥാനങ്ങളെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

വേറൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, സ്ഥിതവൈദ്യുത മണ്ഡലമുള്ള ഒരു പ്രദേശത്തെ ഏത് ബിന്ദുവിലും സ്ഥിതവൈദ്യുത പൊട്ടൻഷ്യൽ $(V)$ അനന്തതയിൽ നിന്ന് ആ ബിന്ദുവിലേക്ക് ഒരു യൂണിറ്റ് പോസിറ്റീവ് ചാർജ് (ത്വരണം ഇല്ലാതെ) കൊണ്ടുവരുന്നതിൽ ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തിയാണ്.

സ്ഥിതികോർജ്ജത്തെക്കുറിച്ച് മുമ്പ് ഉണ്ടാക്കിയ യോഗ്യതാ പരാമർശങ്ങൾ പൊട്ടൻഷ്യലിന്റെ നിർവചനത്തിനും ബാധകമാണ്. യൂണിറ്റ് പരീക്ഷണ ചാർജിന് ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തി ലഭിക്കാൻ, നമ്മൾ ഒരു അനന്തമായ ചെറിയ പരീക്ഷണ ചാർജ് $\delta q$ എടുക്കണം, അനന്തതയിൽ നിന്ന് ബിന്ദുവിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നതിൽ ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തി $\delta W$ ലഭിക്കണം, അനുപാതം $\delta W / \delta q$ നിർണ്ണയിക്കണം. കൂടാതെ, പാതയിലെ ഓരോ ബിന്ദുവിലും പുറമെയുള്ള ബലം ആ ബിന്ദുവിലെ പരീക്ഷണ ചാർജിനുള്ള സ്ഥിതവൈദ്യുത ബലത്തിന് തുല്യവും വിപരീതവും ആയിരിക്കണം.

2.3 ഒരു പോയിന്റ് ചാർജ് മൂലമുള്ള പൊട്ടൻഷ്യൽ

ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് ഒരു പോയിന്റ് ചാർജ് $Q$ പരിഗണിക്കുക (ചിത്രം 2.3). നിശ്ചിതത്വത്തിനായി, $Q$ പോസിറ്റീവ് ആയി എടുക്കുക. ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് നിന്ന് സ്ഥാന വെക്റ്റർ $\mathbf{r}$ ഉള്ള ഏതെങ്കിലും ബിന്ദു $\mathrm{P}$ ൽ പൊട്ടൻഷ്യൽ നിർണ്ണയിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. അതിനായി അനന്തതയിൽ നിന്ന് P ബിന്ദുവിലേക്ക് ഒരു യൂണിറ്റ് പോസിറ്റീവ് പരീക്ഷണ ചാർജ് കൊണ്ടുവരുന്നതിൽ ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തി കണക്കാക്കണം. $Q>0$ എന്നതിന്, പരീക്ഷണ ചാർജിനുള്ള വികർഷണ ബലത്തിനെതിരെ ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തി പോസിറ്റീവ് ആണ്. പ്രവൃത്തി പാതയിൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രമായതിനാൽ, അനന്തതയിൽ നിന്ന് ബിന്ദു $P$ വരെയുള്ള റേഡിയൽ ദിശയിലുള്ള ഒരു സൗകര്യപ്രദമായ പാത ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു.

ചിത്രം 2.3 അനന്തതയിൽ നിന്ന് ബിന്ദു $\mathrm{P}$ ലേക്ക് ഒരു യൂണിറ്റ് പോസിറ്റീവ് പരീക്ഷണ ചാർജ് കൊണ്ടുവരുന്നതിൽ ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തി, ചാർജ് $Q(Q>0)$ ന്റെ വികർഷണ ബലത്തിനെതിരെ, ചാർജ് $Q$ മൂലം $\mathrm{P}$ ലെ പൊട്ടൻഷ്യൽ ആണ്.

പാതയിലെ ചില ഇന്റർമീഡിയറ്റ് ബിന്ദു $\mathrm{P}^{\prime}$ ൽ, ഒരു യൂണിറ്റ് പോസിറ്റീവ് ചാർജിനുള്ള സ്ഥിതവൈദ്യുത ബലം $$ \begin{equation*} \frac{Q \times 1}{4 \pi \varepsilon _{o} r^{\prime 2}} \hat{\mathbf{r}}^{\prime} \tag{2.5} \end{equation*} $$

ഇവിടെ $\hat{\mathbf{r^\prime}}$ $\mathrm{OP^\prime}$ എന്നതിനൊപ്പമുള്ള യൂണിറ്റ് വെക്റ്റർ ആണ്. $\mathbf{r^\prime}$ ൽ നിന്ന് $\mathbf{r^\prime}+\Delta \mathbf{r^\prime}$ വരെ ഈ ബലത്തിനെതിരെ ചെയ്യുന്ന പ്രവൃത്തി

$$ \begin{equation*} \Delta W=-\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{\prime 2}} \Delta r^{\prime} \tag{2.6} \end{equation*} $$

$\Delta r^{\prime}<0, \Delta W$ പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നം പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു. സമവാക്യം (2.6) $r^{\prime}=\infty$ ൽ നിന്ന് $r^{\prime}=r$ വരെ സംയോജിപ്പിച്ച് ലഭിക്കുന്ന പുറമെയുള്ള ബലം ചെയ്യുന്ന ആകെ പ്രവൃത്തി (W),

$$ \begin{equation*} W=-\int _{\infty}^{r} \frac{Q}{4 \pi \varepsilon _{o} r^{\prime 2}} d r^{\prime}=\left.\frac{Q}{4 \pi \varepsilon _{o} r^{\prime}}\right| _{\infty} ^{r}=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon _{o} r} \tag{2.7} \end{equation*} $$

ഇത്, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ചാർജ് $Q$ മൂലം $\mathrm{P}$ ലെ പൊട്ടൻഷ്യൽ ആണ്

$$ \begin{equation*} V(r)=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon _{0} r} \tag{2.8} \end{equation*} $$

സമവ