9.1 ആമുഖം

പ്രകൃതി മനുഷ്യനെതിരിലെ (റെറ്റിന) വിദ്യുത്കാന്തിക വർണ്ണരാജിയുടെ ഒരു ചെറിയ പരിധിക്കുള്ളിൽ വിദ്യുത്കാന്തിക തരംഗങ്ങൾ കണ്ടെത്താനുള്ള സംവേദനക്ഷമത നൽകിയിട്ടുണ്ട്. ഈ വർണ്ണരാജി പ്രദേശത്തിന്റെ (തരംഗദൈർഘ്യം ഏകദേശം $400 \mathrm{~nm}$ മുതൽ $750 \mathrm{~nm}$ വരെ) വിദ്യുത്കാന്തിക വികിരണത്തെ പ്രകാശം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പ്രധാനമായും പ്രകാശത്തിലൂടെയും ദർശന ഇന്ദ്രിയത്തിലൂടെയുമാണ് നമ്മൾ നമ്മുടെ ചുറ്റുമുള്ള ലോകത്തെ അറിയുകയും വ്യാഖ്യാനിക്കുകയും ചെയ്യുന്നത്.

സാധാരണ അനുഭവത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് പ്രകാശത്തെക്കുറിച്ച് അന്തർബോധപൂർവ്വം പറയാൻ കഴിയുന്ന രണ്ട് കാര്യങ്ങളുണ്ട്. ഒന്നാമതായി, അത് വളരെ വലിയ വേഗതയിൽ സഞ്ചരിക്കുന്നു എന്നും രണ്ടാമതായി, അത് ഒരു നേർരേഖയിൽ സഞ്ചരിക്കുന്നു എന്നുമാണ്. പ്രകാശത്തിന്റെ വേഗത പരിമിതവും അളക്കാവുന്നതുമാണെന്ന് ആളുകൾക്ക് മനസ്സിലാക്കാൻ കുറച്ച് സമയമെടുത്തു. ശൂന്യതയിലെ അതിന്റെ നിലവിൽ സ്വീകരിക്കപ്പെട്ട മൂല്യം $c=2.99792458 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ ആണ്. പല ആവശ്യങ്ങൾക്കും, $c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ എടുത്താൽ മതിയാകും. ശൂന്യതയിലെ പ്രകാശവേഗത പ്രകൃതിയിൽ ലഭിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും ഉയർന്ന വേഗതയാണ്.

പ്രകാശം ഒരു നേർരേഖയിൽ സഞ്ചരിക്കുന്നു എന്ന അന്തർബോധപൂർവ്വമുള്ള ധാരണ, പ്രകാശം വർണ്ണരാജിയുടെ ദൃശ്യമായ ഭാഗത്തിന്റെ തരംഗദൈർഘ്യമുള്ള ഒരു വിദ്യുത്കാന്തിക തരംഗമാണെന്ന് അദ്ധ്യായം 8-ൽ നമ്മൾ പഠിച്ചതിന് വിരുദ്ധമാണെന്ന് തോന്നുന്നു. ഈ രണ്ട് വസ്തുതകളെ എങ്ങനെ പൊരുത്തപ്പെടുത്താം? ഉത്തരം ഇതാണ്: പ്രകാശത്തിന്റെ തരംഗദൈർഘ്യം നമ്മൾ സാധാരണയായി കണ്ടുമുട്ടുന്ന സാധാരണ വസ്തുക്കളുടെ വലുപ്പത്തോട് (സാധാരണയായി കുറച്ച് $\mathrm{cm}$ അല്ലെങ്കിൽ അതിലും വലുത്) താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ വളരെ ചെറുതാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അദ്ധ്യായം 10-ൽ നിങ്ങൾ പഠിക്കുന്നതുപോലെ, ഒരു പ്രകാശ തരംഗം ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക്, അവയെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു നേർരേഖയിലൂടെ സഞ്ചരിക്കുന്നതായി കണക്കാക്കാം. ഈ പാതയെ പ്രകാശത്തിന്റെ ഒരു കിരണം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അത്തരം കിരണങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം പ്രകാശത്തിന്റെ ഒരു കിരണപുഞ്ജം ഉണ്ടാക്കുന്നു.

ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, പ്രകാശത്തിന്റെ കിരണ ചിത്രം ഉപയോഗിച്ച്, പ്രകാശത്തിന്റെ പ്രതിഫലനം, അപവർത്തനം, വിസരണം എന്നീ പ്രതിഭാസങ്ങൾ നമ്മൾ പരിഗണിക്കുന്നു. പ്രതിഫലനത്തിന്റെയും അപവർത്തനത്തിന്റെയും അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, സമതലവും ഗോളാകൃതിയിലുള്ളതുമായ പ്രതിഫലിക്കുന്നതും അപവർത്തിക്കുന്നതുമായ പ്രതലങ്ങൾ വഴിയുള്ള പ്രതിബിംബ രൂപീകരണം നമ്മൾ പഠിക്കും. തുടർന്ന് മനുഷ്യനെതിരുൾപ്പടെ ചില പ്രധാന പ്രകാശിക ഉപകരണങ്ങളുടെ നിർമ്മാണവും പ്രവർത്തനവും വിവരിക്കുന്നു.

9.2 ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ദർപ്പണങ്ങളിൽ പ്രകാശത്തിന്റെ പ്രതിഫലനം

ചിത്രം 9.1 പതനകിരണം, പ്രതിഫലിത കിരണം, പ്രതിഫലിക്കുന്ന പ്രതലത്തിലേക്കുള്ള ലംബം എന്നിവ ഒരേ തലത്തിലാണ്.

പ്രതിഫലന നിയമങ്ങളുമായി നമുക്ക് പരിചയമുണ്ട്. പ്രതിഫലന കോൺ (അതായത്, പ്രതിഫലിത കിരണവും പ്രതിഫലിക്കുന്ന പ്രതലത്തിലേക്കുള്ള ലംബത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോൺ) പതനകോണിന് (പതനകിരണവും ലംബത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോൺ) തുല്യമാണ്. കൂടാതെ പതനകിരണം, പ്രതിഫലിത കിരണം, പതനബിന്ദുവിലെ പ്രതിഫലിക്കുന്ന പ്രതലത്തിലേക്കുള്ള ലംബം എന്നിവ ഒരേ തലത്തിലാണ് (ചിത്രം 9.1). ഈ നിയമങ്ങൾ സമതലമോ വളഞ്ഞതോ ആയ ഏത് പ്രതിഫലിക്കുന്ന പ്രതലത്തിലെയും ഓരോ ബിന്ദുവിലും സാധുതയുള്ളതാണ്. എന്നിരുന്നാലും, നമ്മുടെ ചർച്ച വളഞ്ഞ പ്രതലങ്ങളുടെ പ്രത്യേക കേസായ ഗോളാകൃതിയിലുള്ള പ്രതലങ്ങളിലേക്ക് പരിമിതപ്പെടുത്തും. ഈ കേസിൽ ലംബം പതനബിന്ദുവിലെ പ്രതലത്തിലേക്കുള്ള സ്പർശരേഖയിലേക്കുള്ള ലംബമായി കണക്കാക്കണം. അതായത്, ലംബം ദർപ്പണത്തിന്റെ വക്രതാകേന്ദ്രത്തെ പതനബിന്ദുവുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന രേഖയായ ആരത്തിനൊപ്പമാണ്.

ഒരു ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ദർപ്പണത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ കേന്ദ്രത്തെ അതിന്റെ ധ്രുവം എന്നും ഒരു ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ലെൻസിന്റെ ജ്യാമിതീയ കേന്ദ്രത്തെ അതിന്റെ പ്രകാശിക കേന്ദ്രം എന്നും നമ്മൾ ഇതിനകം പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ധ്രുവവും ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ദർപ്പണത്തിന്റെ വക്രതാകേന്ദ്രവും ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന രേഖയെ പ്രധാന അക്ഷം എന്ന് അറിയപ്പെടുന്നു. ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ലെൻസുകളുടെ കാര്യത്തിൽ, പ്രധാന അക്ഷം അതിന്റെ പ്രധാന ഫോക്കസുമായി പ്രകാശിക കേന്ദ്രത്തെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന രേഖയാണ്, ഇത് നിങ്ങൾ പിന്നീട് കാണും.

9.2.1 ചിഹ്ന സമ്പ്രദായം

ചിത്രം 9.2 കാർട്ടീഷ്യൻ ചിഹ്ന സമ്പ്രദായം.

ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ദർപ്പണങ്ങളിലൂടെയുള്ള പ്രതിഫലനത്തിനും ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ലെൻസുകളിലൂടെയുള്ള അപവർത്തനത്തിനുമുള്ള പ്രസക്തമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉരുത്തിരിയ്ക്കാൻ, നമ്മൾ ആദ്യം ദൂരങ്ങൾ അളക്കുന്നതിന് ഒരു ചിഹ്ന സമ്പ്രദായം സ്വീകരിക്കണം. ഈ പുസ്തകത്തിൽ, നമ്മൾ കാർട്ടീഷ്യൻ ചിഹ്ന സമ്പ്രദായം പിന്തുടരും. ഈ സമ്പ്രദായം അനുസരിച്ച്, എല്ലാ ദൂരങ്ങളും ദർപ്പണത്തിന്റെ ധ്രുവത്തിൽ നിന്നോ ലെൻസിന്റെ പ്രകാശിക കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്നോ അളക്കുന്നു. പതനപ്രകാശത്തിന്റെ ദിശയിൽ അളക്കുന്ന ദൂരങ്ങൾ പോസിറ്റീവായി എടുക്കുകയും പതനപ്രകാശത്തിന്റെ ദിശയ്ക്ക് വിപരീത ദിശയിൽ അളക്കുന്ന ദൂരങ്ങൾ നെഗറ്റീവായി എടുക്കുകയും ചെയ്യുന്നു (ചിത്രം 9.2). x-അക്ഷവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് മുകളിലേക്ക് അളക്കുന്ന ഉയരങ്ങളും ദർപ്പണത്തിന്റെ/ലെൻസിന്റെ പ്രധാന അക്ഷത്തിന് ($x$-അക്ഷം) ലംബവും പോസിറ്റീവായി എടുക്കുന്നു (ചിത്രം 9.2). താഴേക്ക് അളക്കുന്ന ഉയരങ്ങൾ നെഗറ്റീവായി എടുക്കുന്നു.

ഒരു പൊതുവായി സ്വീകരിക്കപ്പെട്ട സമ്പ്രദായം ഉപയോഗിച്ച്, ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ദർപ്പണങ്ങൾക്ക് ഒരൊറ്റ സൂത്രവാക്യവും ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ലെൻസുകൾക്ക് ഒരൊറ്റ സൂത്രവാക്യവും എല്ലാ വ്യത്യസ്ത കേസുകളും കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്ന് മാറുന്നു.

9.2.2 ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ദർപ്പണങ്ങളുടെ ഫോക്കസ് ദൂരം

ചിത്രം 9.3 ഒരു സമാന്തര പ്രകാശകിരണപുഞ്ജം (a) ഒരു കോൺകേവ് ദർപ്പണത്തിലും, (b) ഒരു കോൺവെക്സ് ദർപ്പണത്തിലും പതിക്കുമ്പോൾ എന്ത് സംഭവിക്കുന്നുവെന്ന് കാണിക്കുന്നു. കിരണങ്ങൾ പാരാക്സിയൽ ആണെന്ന് നമ്മൾ അനുമാനിക്കുന്നു, അതായത്, അവ ദർപ്പണത്തിന്റെ ധ്രുവത്തിന് ($\mathrm{P}$) അടുത്തുള്ള ബിന്ദുക്കളിൽ പതിക്കുകയും പ്രധാന അക്ഷത്തോട് ചെറിയ കോണുകൾ ഉണ്ടാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. പ്രതിഫലിത കിരണങ്ങൾ ഒരു കോൺകേവ് ദർപ്പണത്തിന്റെ പ്രധാന അക്ഷത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ ($\mathrm{F}$) ഒത്തുചേരുന്നു [ചിത്രം 9.3(a)]. ഒരു കോൺവെക്സ് ദർപ്പണത്തിന്, പ്രതിഫലിത കിരണങ്ങൾ അതിന്റെ പ്രധാന അക്ഷത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ($\mathrm{F}$) വ്യതിചലിക്കുന്നതായി കാണപ്പെടുന്നു [ചിത്രം 9.3(b)]. ബിന്ദു $\mathrm{F}$ ദർപ്പണത്തിന്റെ പ്രധാന ഫോക്കസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സമാന്തര പാരാക്സിയൽ പ്രകാശകിരണപുഞ്ജം പ്രധാന അക്ഷത്തോട് ചില കോണുകൾ ഉണ്ടാക്കിക്കൊണ്ട് പതിച്ചിരുന്നെങ്കിൽ, പ്രതിഫലിത കിരണങ്ങൾ $\mathrm{F}$ വഴി പ്രധാന അക്ഷത്തിന് ലംബമായ ഒരു തലത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഒത്തുചേരുകയോ (അല്ലെങ്കിൽ വ്യതിചലിക്കുന്നതായി കാണപ്പെടുകയോ) ചെയ്യും. ഇതിനെ ദർപ്പണത്തിന്റെ ഫോക്കൽ തലം എന്ന് വിളിക്കുന്നു [ചിത്രം 9.3(c)].

ചിത്രം 9.3 ഒരു കോൺകേവ്, കോൺവെക്സ് ദർപ്പണത്തിന്റെ ഫോക്കസ്.

ഫോക്കസ് ($\mathrm{F}$) ഉം ദർപ്പണത്തിന്റെ ധ്രുവവും ($\mathrm{P}$) ഇടയിലുള്ള ദൂരത്തെ ദർപ്പണത്തിന്റെ ഫോക്കസ് ദൂരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് $f$ ആയി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. $f=R / 2$ ആണെന്ന് ഇപ്പോൾ നമ്മൾ കാണിക്കുന്നു, ഇവിടെ $R$ ദർപ്പണത്തിന്റെ വക്രതാ ആരമാണ്. ഒരു പതനകിരണത്തിന്റെ പ്രതിഫലനത്തിന്റെ ജ്യാമിതി ചിത്രം 9.4-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

ചിത്രം 9.4 (a) കോൺകേവ് ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ദർപ്പണത്തിലും, (b) കോൺവെക്സ് ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ദർപ്പണത്തിലും ഒരു പതനകിരണത്തിന്റെ പ്രതിഫലനത്തിന്റെ ജ്യാമിതി.

$\mathrm{C}$ ദർപ്പണത്തിന്റെ വക്രതാകേന്ദ്രമായിരിക്കട്ടെ. പ്രധാന അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി $\mathrm{M}$-ൽ ദർപ്പണത്തിൽ പതിക്കുന്ന ഒരു കിരണം പരിഗണിക്കുക. അപ്പോൾ $\mathrm{CM}$ M-ൽ ദർപ്പണത്തിന് ലംബമായിരിക്കും. $\theta$ പതനകോണായിരിക്കട്ടെ, MD എന്നത് $\mathrm{M}$-ൽ നിന്ന് പ്രധാന അക്ഷത്തിലേക്കുള്ള ലംബമായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ,

$$ \angle \mathrm{MCP}=\theta \text { and } \angle \mathrm{MFP}=2 \theta $$

ഇപ്പോൾ,

$$ \begin{equation*} \tan \theta=\frac{\mathrm{MD}}{\mathrm{CD}} \text { and } \tan 2 \theta=\frac{\mathrm{MD}}{\mathrm{FD}} \tag{9.1} \end{equation*} $$

ചെറിയ $\theta$-ന്, ഇത് പാരാക്സിയൽ കിരണങ്ങൾക്ക് ശരിയാണ്, $\tan \theta \approx \theta$, $\tan 2 \theta \approx 2 \theta$. അതിനാൽ, സമവാക്യം (9.1) നൽകുന്നു

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{MD}}{\mathrm{FD}}=2 \frac{\mathrm{MD}}{\mathrm{CD}} \tag{9.2} \end{equation*} $$

അല്ലെങ്കിൽ,

$$\mathrm{FD}=\frac{\mathrm{CD}}{2} {(9.3)} $$

ഇപ്പോൾ, ചെറിയ $\theta$-ന്, ബിന്ദു $D$ ബിന്ദു $P$-ന് വളരെ അടുത്താണ്. അതിനാൽ, $\mathrm{FD}=f$ ഉം $\mathrm{CD}=R$ ഉം. സമവാക്യം (9.2) അപ്പോൾ നൽകുന്നു $f=R / 2$

9.2.3 ദർപ്പണ സമവാക്യം

ചിത്രം 9.5 ഒരു കോൺകേവ് ദർപ്പണം വഴി പ്രതിബിംബ രൂപീകരണത്തിനുള്ള കിരണ രേഖാചിത്രം.

ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് പുറപ്പെടുന്ന കിരണങ്ങൾ പ്രതിഫലനത്തിനും/അല്ലെങ്കിൽ അപവർത്തനത്തിനും ശേഷം യഥാർത്ഥത്തിൽ മറ്റൊരു ബിന്ദുവിൽ എത്തിച്ചേരുകയാണെങ്കിൽ, ആ ബിന്ദുവിനെ ആദ്യത്തെ ബിന്ദുവിന്റെ പ്രതിബിംബം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. കിരണങ്ങൾ യഥാർത്ഥത്തിൽ ആ ബിന്ദുവിൽ ഒത്തുചേരുകയാണെങ്കിൽ പ്രതിബിംബം യഥാർത്ഥമാണ്; കിരണങ്ങൾ യഥാർത്ഥത്തിൽ കണ്ടുമുട്ടുന്നില്ലെങ്കിലും പിന്നോട്ട് നീട്ടിയാൽ ആ ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് വ്യതിചലിക്കുന്നതായി കാണപ്പെടുന്നെങ്കിൽ അത് വാസ്തവികമാണ്. അങ്ങനെ, ഒരു പ്രതിബിംബം പ്രതിഫലനത്തിലൂടെയും/അല്ലെങ്കിൽ അപവർത്തനത്തിലൂടെയും സ്ഥാപിച്ച വസ്തുവുമായുള്ള ഒരു ബിന്ദു-മുതൽ-ബിന്ദു യോജിപ്പാണ്.

തത്വത്തിൽ, ഒരു വസ്തുവിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് പുറപ്പെടുന്ന ഏതെങ്കിലും രണ്ട് കിരണങ്ങൾ എടുത്ത് അവയുടെ പാതകൾ കണ്ടെത്തി, അവയുടെ വിഭജന ബിന്ദു കണ്ടെത്തി, അങ്ങനെ ഒരു ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ദർപ്പണത്തിൽ പ്രതിഫലനം മൂലമുള്ള ബിന്ദുവിന്റെ പ്രതിബിംബം നേടാം. എന്നിരുന്നാലും, പ്രയോഗത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന കിരണങ്ങളിൽ ഏതെങ്കിലും രണ്ടെണ്ണം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്:

(i) പ്രധാന അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ ബിന്ദുവിൽ നിന്നുള്ള കിരണം. പ്രതിഫലിത കിരണം ദർപ്പണത്തിന്റെ ഫോക്കസിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു.

(ii) ഒരു കോൺകേവ് ദർപ്പണത്തിന്റെ വക്രതാകേന്ദ്രത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന കിരണം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു കോൺവെക്സ് ദർപ്പണത്തിന് അതിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നതായി കാണപ്പെടുന്നു. പ്രതിഫലിത കിരണം പാത വീണ്ടും പിന്തുടരുന്നു.

(iii) കോൺകേവ് ദർപ്പണത്തിന്റെ ഫോക്കസിലൂടെ (അല്ലെങ്കിൽ അതിന് നേരെ നയിക്കപ്പെട്ട) കടന്നുപോകുന്ന കിരണം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു കോൺവെക്സ് ദർപ്പണത്തിന്റെ ഫോക്കസിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നതായി (അല്ലെങ്കിൽ അതിന് നേരെ നയിക്കപ്പെട്ട) കാണപ്പെടുന്നു. പ്രതിഫലിത കിരണം പ്രധാന അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ്.

(iv) ധ്രുവത്തിൽ ഏത് കോണിലും പതിക്കുന്ന കിരണം. പ്രതിഫലിത കിരണം പ്രതിഫലന നിയമങ്ങൾ പിന്തുടരുന്നു.

ചിത്രം 9.5 മൂന്ന് കിരണങ്ങൾ പരിഗണിച്ചുകൊണ്ടുള്ള കിരണ രേഖാചിത്രം കാണിക്കുന്നു. ഇത് ഒരു കോൺകേവ് ദർപ്പണം രൂപപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു വസ്തുവിന്റെ ($\mathrm{AB}$) പ്രതിബിംബം (ഈ കേസിൽ, യഥാർത്ഥം) ($\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$) കാണിക്കുന്നു. ബിന്ദു A-യിൽ നിന്ന് മൂന്ന് കിരണങ്ങൾ മാത്രമേ പുറപ്പെടുന്നുള്ളൂ എന്ന് ഇതിനർത്ഥമില്ല. ഏത് ഉറവിടത്തിൽ നിന്നും അനന്തമായ എണ്ണം കിരണങ്ങൾ എല്ലാ ദിശകളിലേക്കും പുറപ്പെടുന്നു. അങ്ങനെ, ബിന്ദു $\mathrm{A}^{\prime}$ ബിന്ദു $\mathrm{A}$-ന്റെ പ്രതിബിംബ ബിന്ദുവാണ്, ബിന്ദു $\mathrm{A}$-ൽ നിന്ന് ഉത്ഭവിക്കുന്ന ഓരോ കിരണവും കോൺകേവ് ദർപ്പണത്തിൽ പതിച്ച് പ്രതിഫലനത്തിന് ശേഷം ബിന്ദു $\mathrm{A}^{\prime}$ വഴി കടന്നുപോകുന്നുവെങ്കിൽ.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ദർപ്പണ സമവാക്യം അല്ലെങ്കിൽ വസ്തുവിന്റെ ദൂരം ($(u)$), പ്രതിബിംബ ദൂരം ($(v)$), ഫോക്കസ് ദൂരം ($(f)$) എന്നിവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ഉരുത്തിരിയ്ക്കുന്നു.

ചിത്രം 9.5-ൽ നിന്ന്, രണ്ട് ലംബക ത്രികോണങ്ങൾ $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{F}$, MPF എന്നിവ സദൃശമാണ്. (പാരാക്സിയൽ കിരണങ്ങൾക്ക്, MP ഒരു നേർരേഖയായി CP-യ്ക്ക് ലംബമായി കണക്കാക്കാം.) അതിനാൽ,

$$ \frac{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}}{\mathrm{PM}}=\frac{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{F}}{\mathrm{FP}} $$

$$ \text {or }\frac{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}}{\mathrm{BA}}=\frac{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{F}}{\mathrm{FP}}(\mathrm{QPM}=\mathrm{AB})$$

$\angle \mathrm{APB}=\angle \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{PB}^{\prime}$ ആയതിനാൽ, ലംബക ത്രികോണങ്ങൾ $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{P}$, $\mathrm{ABP}$ എന്നിവയും സദൃശമാണ്. അതിനാൽ,

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}}{\mathrm{B} \mathrm{A}}=\frac{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{P}}{\mathrm{BP}} \tag{9.5} \end{equation*} $$

സമവാക്യങ്ങൾ (9.4), (9.5) എന്നിവ താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

$$ \begin{equation*} \frac{B^{\prime} F}{F P}=\frac{B^{\prime} P-F P}{F P}=\frac{B^{\prime} P}{B P} \tag{9.6} \end{equation*} $$

സമവാക്യം (9.6) ദൂരങ്ങളുടെ പരിമാണം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ബന്ധമാണ്. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ചിഹ്ന സമ്പ്രദായം പ്രയോഗിക്കുന്നു. പ്രകാശം വസ്തുവിൽ നിന്ന് ദർപ്പണം MPN-ലേക്ക് സഞ്ചരിക്കുന്നുവെന്ന് നമ്മൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു. അതിനാൽ ഇത് പോസിറ്റീവ് ദിശയായി എടുക്കുന്നു. ധ്രുവത്തിൽ നിന്ന് ($\mathrm{P}$) വസ്തു ($A B$), പ്രതിബിംബം ($\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$), ഫോക്കസ് ($\mathrm{F}$) എന്നിവയിലെത്താൻ, നമ്മൾ പതനപ്രകാശത്തിന്റെ ദിശയ്ക്ക് വിപരീതമായി സഞ്ചരിക്കണം. അതിനാൽ, മൂന്നിനും നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നങ്ങൾ ഉണ്ടാകും. അങ്ങനെ,

$$ \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{P}=-v, \mathrm{FP}=-f, \mathrm{BP}=-u $$

ഇവ സമവാക്യത്തിൽ (9.6) ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

$$ \frac{-v+f}{-f}=\frac{-v}{-u} $$

അല്ലെങ്കിൽ

$$\frac{v-f}{f}=\frac{v}{u}$$

$$ \frac{v}{f}=1+\frac{v}{u} $$

ഇതിനെ $v$ കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

$$ \begin{equation*} \frac{1}{v}+\frac{1}{u}=\frac{1}{f} \tag{9.7} \end{equation*} $$

ഈ ബന്ധം ദർപ്പണ സമവാക്യം എന്നറിയപ്പെടുന്നു.

വസ്തുവിന്റെ വലുപ്പവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ പ്രതിബിംബത്തിന്റെ വലുപ്പം പരിഗണിക്കേണ്ട മറ്റൊരു പ്രധാന അളവാണ്. പ്രതിബിംബത്തിന്റെ ഉയരത്തിന്റെ ($\left(h^{\prime}\right)$) വസ്തുവിന്റെ ഉയരത്തിന് ($(h)$) ഉള്ള അനുപാതമായി നമ്മൾ രേഖീയ വിസ്തൃതി ($(m)$) നിർവചിക്കുന്നു:

$$ \begin{equation*} m=\frac{h^{\prime}}{h} \tag{9.8} \end{equation*} $$

$h$, $h^{\prime}$ എന്നിവ സ്വീകരിച്ച ചിഹ്ന സമ്പ്രദായം അനുസരിച്ച് പോസിറ്റീവോ നെഗറ്റീവോ ആയി എടുക്കും. ത്രികോണങ്ങൾ $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{P}$, $\mathrm{ABP}$ എന്നിവയിൽ, നമുക്കുണ്ട്,