രസതന്ത്രത്തിലെ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങൾ

സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങൾ#

ഒരു കണത്തിന്റെ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങൾ എന്നത് അതിന് ചലിക്കാൻ കഴിയുന്ന വഴികളാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഏകമാന സ്ഥലത്തുള്ള ഒരു കണത്തിന് ഒരു സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം മാത്രമേയുള്ളൂ, കാരണം അതിന് വരിയിലൂടെ മുന്നോട്ടും പിന്നോട്ടും മാത്രമേ ചലിക്കാൻ കഴിയൂ. രണ്ട് മാന സ്ഥലത്തുള്ള ഒരു കണത്തിന് രണ്ട് സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങളുണ്ട്, കാരണം അതിന് ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും മുന്നോട്ടും പിന്നോട്ടും ചലിക്കാൻ കഴിയും. മൂന്ന് മാന സ്ഥലത്തുള്ള ഒരു കണത്തിന് മൂന്ന് സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങളുണ്ട്, കാരണം അതിന് മുകളിലേക്കും താഴേക്കും, ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും, മുന്നോട്ടും പിന്നോട്ടും ചലിക്കാൻ കഴിയും.

താപ സന്തുലിതാവസ്ഥ#

ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ താപനില എല്ലായിടത്തും ഒരേപോലെയുള്ള ഒരു അവസ്ഥയാണ് താപ സന്തുലിതാവസ്ഥ. ഇതിനർത്ഥം സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗത്ത് നിന്ന് മറ്റൊരു ഭാഗത്തേക്ക് താപത്തിന്റെ ഒരു ശുദ്ധ പ്രവാഹവും ഇല്ല എന്നാണ്.

ശരാശരി ഊർജ്ജം#

ഒരു കണത്തിന്റെ ശരാശരി ഊർജ്ജം എന്നത് സിസ്റ്റത്തിലെ എല്ലാ കണികകളുടെയും ഊർജ്ജങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയെ കണികകളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിച്ചതാണ്.

ഊർജ്ജത്തിന്റെ സമവിതരണം#

ഊർജ്ജത്തിന്റെ സമവിതരണ നിയമം പ്രസ്താവിക്കുന്നത്, താപ സന്തുലിതാവസ്ഥയിലുള്ള കണികകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൽ, ഓരോ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരത്തിന്റെയും ശരാശരി ഊർജ്ജം തുല്യമാണെന്നാണ്. ഇതിനർത്ഥം കണികകൾക്ക് ചലിക്കാൻ കഴിയുന്ന എല്ലാ സാധ്യമായ വഴികളിലും ഊർജ്ജം തുല്യമായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു എന്നാണ്.

ഉദാഹരണം#

ഒരു ഏകമാന സ്ഥലത്തുള്ള രണ്ട് കണികകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കുക. കണികകൾ താപ സന്തുലിതാവസ്ഥയിലാണ്, അതിനാൽ ഓരോ കണത്തിന്റെയും ശരാശരി ഊർജ്ജം ഒന്നുതന്നെയാണ്. ഓരോ കണത്തിനും ഒരു സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരമുണ്ട്, അതിനാൽ ഓരോ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരത്തിന്റെയും ശരാശരി ഊർജ്ജവും ഒന്നുതന്നെയാണ്. ഇതിനർത്ഥം കണികകൾക്ക് ഇടത്തോട്ടോ വലത്തോട്ടോ ചലിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ സാധ്യതയുണ്ട് എന്നാണ്.

വാതകങ്ങളുടെ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങൾ#

ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം എന്നത് സിസ്റ്റത്തിന് ചലിക്കാനോ വിറക്കാനോ കഴിയുന്ന സ്വതന്ത്രമായ വഴികളുടെ എണ്ണമാണ്. ഒരു വാതകത്തിന്, സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം വാതകത്തിലെ ആറ്റങ്ങളുടെയോ തന്മാത്രകളുടെയോ എണ്ണവും വാതകത്തിന്റെ താപനിലയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

സ്ഥാനാന്തര സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം

ഒരു വാതകത്തിലെ ഓരോ ആറ്റത്തിനും അല്ലെങ്കിൽ തന്മാത്രയ്ക്കും മൂന്ന് സ്ഥാനാന്തര സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങളുണ്ട്, അത് ബഹിരാകാശത്തിലെ മൂന്ന് ദിശകളുമായി (x, y, z) യോജിക്കുന്നു. ഈ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങൾ ആറ്റത്തിനോ തന്മാത്രയ്ക്കോ ഏത് ദിശയിലും ചലിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു.

ഭ്രമണ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം

സ്ഥാനാന്തര സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങൾക്ക് പുറമേ, തന്മാത്രകൾക്ക് ഭ്രമണ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങളും ഉണ്ട്. ഭ്രമണ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങളുടെ എണ്ണം തന്മാത്രയുടെ ആകൃതിയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു രേഖീയ തന്മാത്രയ്ക്ക് ($\ce{CO2)}$ പോലുള്ളവ) രണ്ട് ഭ്രമണ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങളുണ്ട്, അതേസമയം ഒരു അരേഖീയ തന്മാത്രയ്ക്ക് ($\ce{H2O}$ പോലുള്ളവ) മൂന്ന് ഭ്രമണ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങളുണ്ട്.

കമ്പന സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം

അവസാനമായി, തന്മാത്രകൾക്ക് കമ്പന സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങളും ഉണ്ട്. ഈ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങൾ ഒരു തന്മാത്രയ്ക്കുള്ളിലെ ആറ്റങ്ങൾക്ക് വിറക്കാൻ കഴിയുന്ന വിവിധ വഴികളുമായി യോജിക്കുന്നു. കമ്പന സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങളുടെ എണ്ണം തന്മാത്രയിലെ ആറ്റങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

മൊത്തം സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങൾ

ഒരു വാതകത്തിന്റെ മൊത്തം സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം എന്നത് സ്ഥാനാന്തര, ഭ്രമണ, കമ്പന സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്. ഒരു ഏകാറ്റോമിക് വാതകത്തിന് ($\ce{He}$ പോലുള്ളവ), മൊത്തം സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം 3 ആണ്. ഒരു ദ്വ്യാറ്റോമിക് വാതകത്തിന് ($\ce{H2}$ പോലുള്ളവ), മൊത്തം സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം 5 ആണ്. ഒരു ബഹുവാറ്റോമിക് വാതകത്തിന് ($\ce{CO2}$ പോലുള്ളവ), മൊത്തം സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം 6 അല്ലെങ്കിൽ അതിൽ കൂടുതലാണ്.

താപനിലയും സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരവും

ഒരു വാതകത്തിന്റെ താപനില വാതകത്തിലെ ആറ്റങ്ങളുടെയോ തന്മാത്രകളുടെയോ ശരാശരി ഗതികോർജ്ജവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഒരു വാതകത്തിന്റെ താപനില വർദ്ധിക്കുമ്പോൾ, ആറ്റങ്ങളുടെയോ തന്മാത്രകളുടെയോ ശരാശരി ഗതികോർജ്ജവും വർദ്ധിക്കുന്നു. ഈ ഗതികോർജ്ജത്തിലെ വർദ്ധനവ് വാതക കണികകളുടെ ശരാശരി വേഗത വർദ്ധിക്കുന്നതിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.

സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരത്തിന്റെ പ്രയോഗങ്ങൾ

ഒരു വാതകത്തിന്റെ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിന്റെയും രസതന്ത്രത്തിന്റെയും പല മേഖലകളിലും ഒരു പ്രധാന ആശയമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വാതകത്തിന്റെ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം ഒരു വാതകത്തിന്റെ നിർദ്ദിഷ്ട താപധാരിത, ഒരു വാതകത്തിന്റെ താപ ചാലകത, ഒരു വാതകത്തിന്റെ വിസ്കോസിറ്റി എന്നിവ കണക്കാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങളുടെ ഉപയോഗങ്ങൾ#

സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം എന്നത് സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കിലെ ഒരു അടിസ്ഥാന ആശയമാണ്, അത് ഒരു ഡാറ്റാ സെറ്റിൽ ലഭ്യമായ സ്വതന്ത്ര വിവരങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. വിവിധ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് വിശകലനങ്ങളിൽ ഇത് നിർണായക പങ്ക് വഹിക്കുന്നു, കൂടാതെ നിരവധി പ്രധാന ഉപയോഗങ്ങളുണ്ട്:

1. ജനസംഖ്യ പാരാമീറ്ററുകളുടെ കണക്കാക്കൽ:#

സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം സാമ്പിൾ മീനിന്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് എറർ കണക്കാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഇത് ജനസംഖ്യ പാരാമീറ്ററുകൾക്കായി ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിന് അത്യാവശ്യമാണ്. കൂടുതൽ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം ഒരു ഇടുങ്ങിയ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, കണക്കാക്കലിൽ കൂടുതൽ കൃത്യത സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

2. പരികല്പന പരിശോധന:#

പരികല്പന പരിശോധനയിൽ, പ്രാധാന്യത്തിന്റെ തലം ഫലങ്ങളുടെ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പ്രാധാന്യത്തെക്കുറിച്ച് തീരുമാനങ്ങൾ എടുക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന നിർണായക മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ശൂന്യ പരികല്പനയ്ക്ക് വിരുദ്ധമായി തള്ളുകയോ അംഗീകരിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഉചിതമായ പരിധി സജ്ജീകരിക്കാൻ ഇത് സഹായിക്കുന്നു.

3. സാമ്പിൾ വലിപ്പം നിർണ്ണയിക്കൽ:#

ഒരു പഠനത്തിനായി ഉചിതമായ സാമ്പിൾ വലിപ്പം നിർണ്ണയിക്കുമ്പോൾ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു. ഒരു വലിയ സാമ്പിൾ വലിപ്പം കൂടുതൽ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങൾ നൽകുന്നു, ഇത് സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പരിശോധനയുടെ ശക്തി വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും ഒരു ടൈപ്പ് II പിശക് (തെറ്റായ ശൂന്യ പരികല്പനയ്ക്ക് വിരുദ്ധമായി തള്ളുന്നതിൽ പരാജയപ്പെടൽ) സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

4. വ്യതിയാന വിശകലനം (ANOVA):#

ANOVA-യിൽ, സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം ഗ്രൂപ്പ് മീനുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങളുടെ പ്രാധാന്യം പരിശോധിക്കുന്നതിന് അത്യാവശ്യമായ മീൻ സ്ക്വയർ മൂല്യങ്ങളും F-സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കും കണക്കാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

5. ചി-സ്ക്വയർ പരിശോധനകൾ:#

സ്വാതന്ത്ര്യത്തിനും ഗുഡ്നെസ് ഓഫ് ഫിറ്റിനും ഏകതാനതയ്ക്കുമുള്ള ചി-സ്ക്വയർ പരിശോധനകളിൽ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം നിർണായകമാണ്. പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന ആവൃത്തികളിൽ നിന്നുള്ള നിരീക്ഷിച്ച വ്യതിയാനങ്ങളുടെ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പ്രാധാന്യം വിലയിരുത്തുന്നതിനുള്ള നിർണായക മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കാൻ ഇത് സഹായിക്കുന്നു.

6. t-പരിശോധനകൾ:#

മീനുകൾ താരതമ്യം ചെയ്യുന്ന t-പരിശോധനകളിൽ, സാമ്പിൾ മീനുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന്റെ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പ്രാധാന്യം വിലയിരുത്തുന്നതിന് ഉപയോഗിക്കുന്ന നിർണായക മൂല്യം സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

7. റിഗ്രഷൻ വിശകലനം:#

റിഗ്രഷൻ വിശകലനത്തിൽ, സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം ശേഷിക്കുന്ന സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഇത് റിഗ്രഷൻ ഗുണകങ്ങളുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് എറർ കണക്കാക്കുന്നതിനും മോഡൽ പാരാമീറ്ററുകളിൽ പരികല്പന പരിശോധനകൾ നടത്തുന്നതിനും അത്യാവശ്യമാണ്.

8. നോൺ-പാരാമെട്രിക് പരിശോധനകൾ:#

ക്രുസ്കൽ-വാലിസ് പരിശോധന, മാൻ-വിറ്റ്നി യു പരിശോധന തുടങ്ങിയ നോൺ-പാരാമെട്രിക് പരിശോധനകൾ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് അനുമാനങ്ങൾ എടുക്കുന്നതിനുള്ള നിർണായക മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം ഉപയോഗിക്കുന്നില്ല.

9. ബയേസിയൻ വിശകലനം:#

ബയേസിയൻ വിശകലനത്തിൽ, ഫലപ്രദമായ സാമ്പിൾ വലിപ്പം സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം കണക്കാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഇത് പാരാമീറ്ററുകളുടെ പോസ്റ്റീരിയർ വിതരണം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഡാറ്റയിലെ വിവരങ്ങളുടെ അളവിന്റെ അളവുകോലാണ്.

10. മോഡൽ തിരഞ്ഞെടുപ്പ്:#

വ്യത്യസ്ത സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് മോഡലുകൾ താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു. കുറഞ്ഞ പാരാമീറ്ററുകളും കുറഞ്ഞ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങളുമുള്ള മോഡലുകൾ സാധാരണയായി ഓവർഫിറ്റിംഗ് ഒഴിവാക്കാനും മികച്ച സാമാന്യവൽക്കരണം ഉറപ്പാക്കാനും ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു.

സംഗ്രഹത്തിൽ, സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം ഒരു അടിസ്ഥാന ആശയമാണ്, കണക്കാക്കൽ, പരികല്പന പരിശോധന, സാമ്പിൾ വലിപ്പം നിർണ്ണയിക്കൽ, മോഡൽ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് എന്നിവയുൾപ്പെടെ വിവിധ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് വിശകലനങ്ങളിൽ നിർണായക പങ്ക് വഹിക്കുന്നു. സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം മനസ്സിലാക്കുകയും ശരിയായി ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നത് സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് സാധുതയുള്ള നിഗമനങ്ങളിലെത്തിക്കുന്നതിന് അത്യാവശ്യമാണ്.

സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരത്തെക്കുറിച്ചുള്ള FAQs#

ഒരു സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം എന്താണ്?#

സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കിൽ, ഒരു സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരം (df) എന്നത് ഒരു ഡാറ്റാ സെറ്റിലെ സ്വതന്ത്ര വിവരങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്. ജനസംഖ്യ മീനിനെക്കുറിച്ചുള്ള പരികല്പനകൾ പരിശോധിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന മീനിന്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് എററും t-സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കും കണക്കാക്കാൻ ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു.

സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങൾ എന്തുകൊണ്ട് പ്രധാനമാണ്?#

സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങൾ പ്രധാനമാണ്, കാരണം അവ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയുടെ വീതിയെയും t-പരിശോധനയുടെ ശക്തിയെയും ബാധിക്കുന്നു. കൂടുതൽ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങൾ, ഇടുങ്ങിയ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയും കൂടുതൽ ശക്തമായ t-പരിശോധനയും.

സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങൾ എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം?#

ഒരു t-പരിശോധനയ്ക്കുള്ള സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങൾ (n - 1) ആയി കണക്കാക്കുന്നു, ഇവിടെ n എന്നത് സാമ്പിൾ വലിപ്പമാണ്.

$$ df = n - 1 $$

ഇവിടെ n എന്നത് സാമ്പിൾ വലിപ്പമാണ്.

വ്യത്യസ്ത തരം സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങൾ ഏതൊക്കെയാണ്?#

മൂന്ന് തരം സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങളുണ്ട്:

• ഗ്രൂപ്പുകൾക്കിടയിലുള്ള സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങൾ: ഇത് ഗ്രൂപ്പുകളുടെ എണ്ണം മൈനസ് ഒന്ന് ആണ്. ഗ്രൂപ്പുകൾക്കുള്ളിലെ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങൾ: ഇത് മൊത്തം നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം മൈനസ് ഗ്രൂപ്പുകളുടെ എണ്ണം മൈനസ് ഒന്ന് ആണ്.

ഒരു t-പരിശോധനയിൽ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം?#

ജനസംഖ്യ മീനിനെക്കുറിച്ചുള്ള പരികല്പനകൾ പരിശോധിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന t-സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് കണക്കാക്കാൻ സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. t-സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണക്കാക്കുന്നു:

$$t = (x̄ - μ) / (s / \sqrt n)$$

ഇവിടെ:

• x̄ എന്നത് സാമ്പിൾ മീൻ ആണ്
• μ എന്നത് ജനസംഖ്യ മീൻ ആണ്
• s എന്നത് സാമ്പിൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ആണ്
• n എന്നത് സാമ്പിൾ വലിപ്പമാണ്

t-സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് തുടർന്ന് ഒരു നിർണായക മൂല്യവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യപ്പെടുന്നു, അത് സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങളെയും പ്രാധാന്യത്തിന്റെ തലത്തെയും അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. t-സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് നിർണായക മൂല്യത്തേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ, ശൂന്യ പരികല്പനയ്ക്ക് വിരുദ്ധമായി തള്ളുകയും ബദൽ പരികല്പന അംഗീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഏതൊക്കെയാണ്?#

സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

• 100 ആളുകളുടെ ഉയരത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു പഠനത്തിൽ, സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങൾ 99 ആയിരിക്കും.
• 50 പുരുഷന്മാരുടെയും 50 സ്ത്രീകളുടെയും ഭാരത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു പഠനത്തിൽ, രണ്ട് ഗ്രൂപ്പുകളുടെ മീനുകൾ താരതമ്യം ചെയ്യുന്ന t-പരിശോധനയ്ക്കുള്ള സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങൾ 98 ആയിരിക്കും.
• 100 കുട്ടികളുടെ IQ സ്കോറുകളെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു പഠനത്തിൽ, ആൺകുട്ടികളുടെയും പെൺകുട്ടികളുടെയും മീനുകൾ താരതമ്യം ചെയ്യുന്ന t-പരിശോധനയ്ക്കുള്ള സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങൾ 98 ആയിരിക്കും.

ഉപസംഹാരം#

സ്വാതന്ത്ര്യാധികാരങ്ങൾ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കിലെ ഒരു