ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ

ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ#

ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ എന്നത് സാധ്യതാ സിദ്ധാന്തത്തിലും സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കിലും ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു രീതിയാണ്, ചില സംഭവങ്ങൾ മറ്റുള്ളവയേക്കാൾ സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത കൂടുതലാണെന്ന വസ്തുത കണക്കിലെടുക്കാൻ സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ ക്രമീകരിക്കുന്നതിന്. 18-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഈ ആശയം ആദ്യമായി മുന്നോട്ടുവച്ച ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ പിയറി-സൈമൺ ലാപ്ലേസിന്റെ പേരിലാണ് ഇത് അറിയപ്പെടുന്നത്.

ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ സൂത്രവാക്യം#

ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ സൂത്രവാക്യം ഒരു സംഭവം സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതിയാണ്, പ്രത്യേകിച്ച് സാമ്പിൾ വലിപ്പം ചെറുതാകുമ്പോൾ. 18-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഇത് ആദ്യമായി മുന്നോട്ടുവച്ച ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ പിയറി-സൈമൺ ലാപ്ലേസിന്റെ പേരിലാണ് ഇത് അറിയപ്പെടുന്നത്.

ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ സൂത്രവാക്യം ഇങ്ങനെ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

$$P(X = x) = \frac{x + 1}{n + 1}$$

ഇവിടെ:

$P(X = x)$ എന്നത് റാൻഡം വേരിയബിൾ $X$ $x$ എന്ന മൂല്യം എടുക്കാനുള്ള സാധ്യതയാണ്

• $x$ എന്നത് സാമ്പിളിൽ സംഭവം $X$ സംഭവിച്ച തവണകളുടെ എണ്ണമാണ്
• $n$ എന്നത് സാമ്പിൾ വലിപ്പമാണ്

ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ സൂത്രവാക്യം എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം#

ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കാൻ, $x$, $n$ എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ സൂത്രവാക്യത്തിൽ പ്രതിസ്ഥാപിച്ച് സാധ്യത കണക്കാക്കുക.

ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ ഒരു നാണയം എറിയുമ്പോൾ തല കിട്ടാനുള്ള സാധ്യത കണക്കാക്കാൻ താൽപ്പര്യപ്പെടുന്നുവെന്ന് കരുതുക. നിങ്ങൾ നാണയം 10 തവണ എറിഞ്ഞ് 5 തവണ തല കിട്ടി. ലാപ്ലേസ് സ്മൂത്തിംഗ് സൂത്രവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന സാധ്യത നൽകും:

$$P(X = 5) = \frac{\binom{5}{5} \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^{10-5}}{\binom{10}{5}} = \frac{1 \cdot 0.5^{10}}{252} \approx 0.0009766$$

ഇതിനർത്ഥം ഒരു നാണയം എറിയുമ്പോൾ തല കിട്ടാനുള്ള സാധ്യത 0.5 അല്ലെങ്കിൽ 50% ആണെന്നാണ്.

ലാപ്ലേസ് തിരുത്തലിന്റെ ഗുണങ്ങളും പോരായ്മകളും#

സാമ്പിൾ വലിപ്പം ചെറുതാകുമ്പോൾ സാധ്യതകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ സൂത്രവാക്യം ലളിതവും ഉപയോഗിക്കാൻ എളുപ്പമുള്ളതുമായ ഒരു രീതിയാണ്. എന്നിരുന്നാലും, അതിന് ചില പരിമിതികളുണ്ട്.

ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ ഒരു പരിമിതി എന്നത്, പരിമിതമായ തവണകളിൽ മാത്രം സംഭവിക്കാവുന്ന സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യത കണക്കാക്കാൻ മാത്രമേ ഇത് ഉപയോഗിക്കാനാകൂ എന്നതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വ്യക്തി 100 വയസ്സ് വരെ ജീവിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കാനാവില്ല, കാരണം ഒരു വ്യക്തി എത്രത്തോളം ജീവിക്കാം എന്നതിന് പരിധിയില്ല.

ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ മറ്റൊരു പരിമിതി എന്നത്, സാമ്പിൾ വലിപ്പം വളരെ ചെറുതാകുമ്പോൾ അത് കൃത്യമല്ലാതിരിക്കാം എന്നതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ ഒരു നാണയം രണ്ട് തവണ മാത്രം എറിഞ്ഞ് രണ്ട് തലയും നേടിയാൽ, ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ സൂത്രവാക്യം 1 അല്ലെങ്കിൽ 100% സാധ്യത നൽകും, ഇത് വ്യക്തമായും കൃത്യമല്ല.

ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ സൂത്രവാക്യം സാമ്പിൾ വലിപ്പം ചെറുതാകുമ്പോൾ സാധ്യതകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉപയോഗപ്രദമായ ഉപകരണമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് മുമ്പ് അതിന്റെ പരിമിതികൾ അറിയുന്നത് പ്രധാനമാണ്.

ന്യൂട്ടന്റെ സൂത്രവാക്യത്തിനുള്ള ലാപ്ലേസ് തിരുത്തലിന്റെ വ്യുത്പത്തി#

പരിചയം

ഒരു ബഹുപദ സമവാക്യത്തിന്റെ മൂലങ്ങൾ ഏകദേശം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ന്യൂട്ടന്റെ രീതി സംഖ്യാ വിശകലനത്തിലെ ഒരു ശക്തമായ ഉപകരണമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, മൂലങ്ങൾ പരസ്പരം അടുത്താകുമ്പോൾ അത് കൃത്യമല്ലാതിരിക്കാം. ന്യൂട്ടൺ-റാഫ്സൺ രീതി ന്യൂട്ടന്റെ രീതിയുടെ ഒരു പരിഷ്കരണമാണ്, ഇത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ അതിന്റെ കൃത്യത വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു.

ന്യൂട്ടന്റെ സൂത്രവാക്യം

ബഹുപദ സമവാക്യം $$p(x) = 0$$ ന്റെ മൂലങ്ങൾ ഏകദേശം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ന്യൂട്ടന്റെ സൂത്രവാക്യം ഇങ്ങനെ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p’(x_n)}$$

ഇവിടെ $x_n$ എന്നത് മൂലത്തിലേക്കുള്ള n-ആം ഏകദേശമാണ്, $p’(x)$ എന്നത് $p(x)$ ന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്.

ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ

ന്യൂട്ടന്റെ സൂത്രവാക്യത്തിലേക്കുള്ള ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ ഇങ്ങനെ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p’(x_n)} \left( 1 - \frac{p(x_n)p’’(x_n)}{2p’(x_n)^2} \right)$$

ഇവിടെ $p’’(x)$ എന്നത് $p(x)$ ന്റെ രണ്ടാം ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്.

ലാപ്ലേസ് തിരുത്തലിന്റെ വ്യുത്പത്തി

മൂലം $x=r$ ചുറ്റുമുള്ള $p(x)$ ന്റെ ടെയ്ലർ സീരീസ് വികാസം ഉപയോഗിച്ചാണ് ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ കണ്ടെത്തിയത്. നമുക്കുള്ളത്:

$$p(x) = p(r) + p’(r)(x - r) + \frac{p’’(r)}{2!}(x - r)^2 + \cdots$$

ഇത് ന്യൂട്ടന്റെ സൂത്രവാക്യത്തിൽ പ്രതിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

$$x_{n+1} = r - \frac{p(r) + p’(r)(x_n - r) + \frac{p’’(r)}{2!}(x_n - r)^2 + \cdots}{p’(r)}$$

ലഘൂകരിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

$$x_{n+1} = r - \left( x_n - r \right) - \frac{p’’(r)}{2p’(r)}(x_n - r)^2 + \cdots$$

പുനഃക്രമീകരിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p’(x_n)} \left( 1 - \frac{p’’(x_n)}{2p’(x_n)} (x_n - r) + \cdots \right)$$

$x_n$ എന്നത് മൂലം $r$ ലേക്കുള്ള ഒരു ഏകദേശമായതിനാൽ, $(x_n - r)$ ചെറുതാണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. അതിനാൽ, ടെയ്ലർ സീരീസ് വികാസത്തിലെ ഉയർന്ന ക്രമ പദങ്ങൾ നമുക്ക് അവഗണിക്കാനാകും, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p’(x_n)} \left( 1 - \frac{p’’(x_n)}{2p’(x_n)^2} \right)$$

ഇതാണ് ന്യൂട്ടന്റെ സൂത്രവാക്യത്തിലേക്കുള്ള ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ.

ഒരു ബഹുപദ സമവാക്യത്തിന്റെ മൂലങ്ങൾ പരസ്പരം അടുത്താകുമ്പോൾ ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ ന്യൂട്ടന്റെ സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ കൃത്യത വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു. സംഖ്യാ വിശകലന സോഫ്റ്റ്വെയറിൽ എളുപ്പത്തിൽ നടപ്പിലാക്കാവുന്ന ഒരു ലളിതമായ പരിഷ്കരണമാണിത്.

ശബ്ദവേഗതയ്ക്കുള്ള ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ#

ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ എന്നത് താപ വികാസത്തിന്റെ ഫലങ്ങൾക്കായി ഒരു വാതകത്തിലെ ശബ്ദവേഗത ശരിയാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു രീതിയാണ്. 1816-ൽ ഇത് ആദ്യമായി കണ്ടെത്തിയ ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ പിയറി-സൈമൺ ലാപ്ലേസിന്റെ പേരിലാണ് ഇത് അറിയപ്പെടുന്നത്.

പശ്ചാത്തലം#

ഒരു ദ്രാവകത്തിലെ ശബ്ദവേഗത ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം നൽകുന്നു:

$$c = \sqrt{\frac{K}{\rho}}$$

ഇവിടെ:

• $c$ എന്നത് മീറ്റർ പ്രതി സെക്കൻഡിൽ (m/s) ശബ്ദവേഗതയാണ്
• $K$ എന്നത് പാസ്കലുകളിൽ (Pa) ദ്രാവകത്തിന്റെ ബൾക്ക് മോഡുലസ് ആണ്
• $\rho$ എന്നത് കിലോഗ്രാം പ്രതി ക്യൂബിക് മീറ്ററിൽ (kg/m³) ദ്രാവകത്തിന്റെ സാന്ദ്രതയാണ്

ബൾക്ക് മോഡുലസ് എന്നത് ദ്രാവകത്തിന്റെ സമ്പീഡനത്തെ ചെറുക്കാനുള്ള കഴിവിന്റെ അളവാണ്. സാന്ദ്രത എന്നത് യൂണിറ്റ് വ്യാപ്തത്തിലുള്ള ദ്രാവകത്തിന്റെ പിണ്ഡത്തിന്റെ അളവാണ്.

ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ#

ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ സമ്പീഡ്യതയുടെയും താപ വികാസത്തിന്റെയും ഫലങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കാൻ മുകളിലുള്ള സമവാക്യം പരിഷ്കരിക്കുന്നു. തിരുത്തിയ സമവാക്യം ഇതാണ്:

$$c = \sqrt{\frac{K}{\rho}\left(1 + \frac{4}{3}\frac{\mu}{\rho c}\right)}$$

ഇവിടെ:

$\mu$ എന്നത് പാസ്കൽ-സെക്കൻഡിൽ (Pa·s) ദ്രാവകത്തിന്റെ ഡൈനാമിക് വിസ്കോസിറ്റി ആണ്

$\frac{4}{3}\frac{\mu}{\rho c}$ എന്ന പദം വിസ്കോസിറ്റിയുടെയും താപ ചാലകതയുടെയും ഫലങ്ങൾക്കുള്ള തിരുത്തലിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഈ പദം സാധാരണയായി ചെറുതാണ്, എന്നാൽ ഉയർന്ന പ്രവേഗ പ്രവാഹങ്ങൾക്കോ താപ, വിസ്കസ് ഫലങ്ങൾ അവഗണിക്കാനാവാത്ത സന്ദർഭങ്ങളിലോ ഇത് പ്രാധാന്യമർഹിക്കും.

ദ്രാവകങ്ങളിലെ ശബ്ദവേഗത മനസ്സിലാക്കാനും പ്രവചിക്കാനും ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ ഒരു വിലപ്പെട്ട ഉപകരണമാണ്. ശബ്ദവേഗതയ്ക്കുള്ള അടിസ്ഥാന സമവാക്യത്തിലേക്ക് എളുപ്പത്തിൽ പ്രയോഗിക്കാവുന്ന ഒരു ലളിതമായ തിരുത്തലാണിത്.

ലാപ്ലേസ് തിരുത്തലിന്റെ പ്രയോഗം#

ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ എന്നത് സാധ്യതാ സിദ്ധാന്തത്തിലും സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കിലും ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു രീതിയാണ്, ചില സംഭവങ്ങൾ മറ്റുള്ളവയേക്കാൾ സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത കൂടുതലാണെന്ന വസ്തുത കണക്കിലെടുക്കാൻ സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ ക്രമീകരിക്കുന്നതിന്. 18-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഈ ആശയം ആദ്യമായി മുന്നോട്ടുവച്ച ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ പിയറി-സൈമൺ ലാപ്ലേസിന്റെ പേരിലാണ് ഇത് അറിയപ്പെടുന്നത്.

ലാപ്ലേസിന്റെ സക്സെഷൻ നിയമം#

ലാപ്ലേസ് തിരുത്തലിന്റെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ പ്രയോഗങ്ങളിലൊന്ന് ലാപ്ലേസിന്റെ സക്സെഷൻ നിയമത്തിന്റെ സന്ദർഭത്തിലാണ്. ഭാവിയിൽ ഒരു സംഭവം സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത, ഭൂതകാലത്ത് സംഭവം സംഭവിച്ച തവണകളുടെ എണ്ണം, മൊത്തം ട്രയലുകളുടെ എണ്ണത്തിന് ഒന്ന് കൂട്ടിയതിന് തുല്യമാണെന്നാണ് ഈ നിയമം പ്രസ്താവിക്കുന്നത്.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു നാണയം 10 തവണ എറിഞ്ഞ് 5 തവണ തല വന്നിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അടുത്ത തവണ എറിയുമ്പോൾ നാണയം തല വരാനുള്ള സാധ്യത ഇപ്പോഴും 0.5 ആണ്.

ചെറിയ സാധ്യത കണക്കുകൾക്കുള്ള ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ#

സാമ്പിൾ വലിപ്പം ചെറുതാകുമ്പോൾ ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ പ്രത്യേകിച്ചും ഉപയോഗപ്രദമാണ്. കാരണം, സാമ്പിൾ വലിപ്പം ചെറുതാകുമ്പോൾ സക്സെഷൻ നിയമം തെറ്റിദ്ധാരണയുണ്ടാക്കാം, കാരണം ചില സംഭവങ്ങൾ മറ്റുള്ളവയേക്കാൾ സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത കൂടുതലാണെന്ന വസ്തുത അത് കണക്കിലെടുക്കുന്നില്ല.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു നാണയം രണ്ട് തവണ മാത്രം എറിഞ്ഞ് രണ്ട് തവണയും തല വന്നിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അടുത്ത തവണ എറിയുമ്പോൾ നാണയം തല വരാനുള്ള സാധ്യത 2/2 = 1 അല്ല. എന്നിരുന്നാലും, ഈ സാധ്യത കൃത്യമല്ല, കാരണം നാണയം തലയും വാലും വരാനുള്ള സാധ്യത തുല്യമാണെന്ന വസ്തുത അത് കണക്കിലെടുക്കുന്നില്ല.

ഭൂതകാലത്ത് സംഭവം സംഭവിച്ച തവണകളുടെ എണ്ണത്തിന് 1 കൂട്ടുകയും മൊത്തം ട്രയലുകളുടെ എണ്ണത്തിന് 1 കൂട്ടുകയും ചെയ്തുകൊണ്ടാണ് ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ ഭാവിയിൽ ഒരു സംഭവം സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത ക്രമീകരിക്കുന്നത്. ചില സംഭവങ്ങൾ മറ്റുള്ളവയേക്കാൾ സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത കൂടുതലാണെന്ന വസ്തുത ഇത് കണക്കിലെടുക്കുന്നതിനാൽ ഈ ക്രമീകരണം സാധ്യത കൂടുതൽ കൃത്യമാക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു നാണയം രണ്ട് തവണ എറിഞ്ഞ് രണ്ട് തവണയും തല വന്നിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ അടുത്ത തവണ എറിയുമ്പോൾ നാണയം തല വരാനുള്ള സാധ്യത (2 + 1)/(2 + 2) = 3/4 ആയി ക്രമീകരിക്കും. നാണയം ന്യായമായതാണെന്നില്ല എന്ന വസ്തുത ഇത് കണക്കിലെടുക്കുന്നതിനാൽ, 1 എന്ന സാധ്യതയേക്കാൾ ഈ സാധ്യത കൂടുതൽ കൃത്യമാണ്.

ലാപ്ലേസ് തിരുത്തലിന്റെ മറ്റ് പ്രയോഗങ്ങൾ#

ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ ഇനിപ്പറയുന്നവയുൾപ്പെടെ മറ്റ് പ്രയോഗങ്ങളിലും ഉപയോഗിക്കാം:

• ബയേസിയൻ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക്: ബയേസിയൻ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കിൽ സംഭവങ്ങളുടെ മുൻ സാധ്യതകൾ ക്രമീകരിക്കാൻ ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ ഉപയോഗിക്കാം. മുൻ സാധ്യതകൾ കൃത്യമായി അറിയാത്തപ്പോൾ ഇത് ഉപയോഗപ്രദമാകും.
• മെഷീൻ ലേണിംഗ്: മെഷീൻ ലേണിംഗ് മോഡലുകൾ റെഗുലറൈസ് ചെയ്യാൻ ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ ഉപയോഗിക്കാം. ഡാറ്റയിൽ ഓവർഫിറ്റിംഗ് ഒഴിവാക്കാൻ ഇത് സഹായിക്കും.
• നിർണയ സിദ്ധാന്തം: അനിശ്ചിതത്വത്തിന് കീഴിൽ തീരുമാനങ്ങൾ എടുക്കാൻ ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ ഉപയോഗിക്കാം. സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ കൃത്യമായി അറിയാത്തപ്പോൾ ഇത് ഉപയോഗപ്രദമാകും.

ചില സംഭവങ്ങൾ മറ്റുള്ളവയേക്കാൾ സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത കുറവാണെന്ന വസ്തുത കണക്കിലെടുക്കാൻ സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ ക്രമീകരിക്കാൻ ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ ഒരു ശക്തമായ രീതിയാണ്. സാധ്യതാ സിദ്ധാന്തം, സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക്, മറ്റ് രംഗങ്ങൾ എന്നിവയ്ക്കുള്ള ഒരു വിലപ്പെട്ട ഉപകരണമാണിത്.

ലാപ്ലേസ് തിരുത്തലിൽ പരിഹരിച്ച ഉദാഹരണങ്ങൾ#

സാമ്പിൾ വലിപ്പം ചെറുതാകുമ്പോൾ ബൈനോമിയൽ വിതരണത്തിലേക്കുള്ള സാധാരണ ഏകദേശത്തിന്റെ കൃത്യത മെച്ചപ്പെടുത്താൻ ലാപ്ലേസ് തിരുത്തൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു രീതിയാണ്. സാധാരണ ഏകദേശത്തിലേക്ക് ഒരു കണ്ടിന്യൂട്ടി തിരുത്തൽ ഘടകം ചേർക്കുന്ന ആശയത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണിത്.

ഉദാഹരണം 1#

$n = 10$, $p = 0.5$ എന്നീ പാരാമീറ്ററുകളുള്ള ഒരു ബൈനോമിയൽ വിതരണം നമുക്കുണ്ടെന്ന് കരുതുക. കൃത്യമായി 5 വിജയങ്ങൾ ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത നമുക്ക് കണ്ടെത്തണം.

ബൈനോമിയൽ വിതരണത്തിലേക്കുള്ള സാധാരണ ഏകദേശം ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യം നൽകുന്നു:

$$P(X = x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$$

ഇവിടെ $X$ എന്നത് വിജയങ്ങളുടെ എണ്ണം എണ്ണുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളാണ്, $\mu = np$ എന്നത് വിതരണത്തിന്റെ മാധ്യമാണ്, $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ എന്നത് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ആണ്.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമുക്കുള്ളത് $\mu = 10(0.5) = 5$, $\sigma = \sqrt{10(0.5)(0.5)} = 1.5811$ എന്നിവയാണ്. അതിനാൽ, കൃത്യമായി 5 വിജയങ്ങൾ ലഭിക്കാനുള്ള സാധാരണ ഏകദേശ സാധ്യത ഇതാണ്:

$$P(X = 5) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}(1.5811)} e^{-(5-5)^2/(2(1.5811)^2)} = 0.3829$$

എന്നിരുന്നാലും, കൃത്യമായി 5 വിജയങ്ങൾ ലഭിക്കാനുള്ള കൃത്യമായ സാധ്യത ഇതാണ്:

$$P(X = 5) = \binom{10}{5}(0.5)^5(0.5)^5 = 0.2461$$

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സാധാരണ ഏകദേശം വളരെ കൃത്യമല്ല. കാരണം സാമ്പിൾ വലിപ്പം ചെറുതാണ്, ബൈനോമിയൽ വിതരണം സാധാരണ വിതരണത്തോട് വളരെ അടുത്തല്ല.

ഉദാഹരണം 2#

ഇപ്പോൾ, $n = 100$, $p = 0.5$ എന്നീ പാരാമീറ്ററുകളുള്ള ഒരു ബൈനോമിയൽ വിതരണം പരിഗണിക്കാം. 45 മുതൽ 55 വരെ വിജയങ്ങൾ ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത നമുക്ക് കണ്ടെത്തണം.

ബൈനോമിയൽ വിതരണത്തിലേക്കുള്ള സാധാരണ ഏകദേശം ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യം നൽകുന്നു:

$$P(a < X < b) = \int_a^b \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2} dx$$

ഇവിടെ $X$ എന്നത് വിജയങ്ങളുടെ എണ്ണം എണ്ണുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളാണ്, $\mu = np$ എന്നത് വിതരണത്തിന്റെ മാധ്യമാണ്, $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ എന്നത് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ആണ്.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമുക്കുള്ളത് $\mu = 100(0.5) = 50$, $\sigma = \sqrt{100(0.5)(0.5)} = 5$ എന്നിവയാണ്. അതിനാൽ, 45 മുതൽ 55 വരെ വിജയങ്ങൾ ലഭിക്കാനുള്ള സാധാരണ ഏകദേശ സാധ്യത ഇതാണ്:

$$P(45 < X < 55) = \int_{45}^{55} \frac{1}{5\sqrt{2\pi}} e^{-(x-50)^2/2(5)^2} dx = 0.6826$$

45 മുതൽ 55 വരെ വിജയങ്ങൾ ലഭിക്കാനുള്ള കൃത്യ