പി.വൈ.ക്യു. നീറ്റ്- ഭ്രമണ ചലനം എൽ-1

ചോദ്യം: $M$ മാസും $R$ ആരവുമുള്ള ഒരു ഖരഗോളത്തിന്റെ അതിന്റെ സ്വന്തം അക്ഷത്തെ സംബന്ധിച്ച ജൈറേഷൻ ആരത്തിന്റെയും, ഒരേ മാസും ആരവുമുള്ള ഒരു നേർത്ത പൊള്ളയായ ഗോളത്തിന്റെ അതിന്റെ അക്ഷത്തെ സംബന്ധിച്ച ജൈറേഷൻ ആരത്തിന്റെയും അനുപാതം :-#

A) $5: 3$

B) $2: 5$

C) $\sqrt{5}: \sqrt{3}$

D) $\sqrt{3}: \sqrt{5}$

ഉത്തരം: $\sqrt{3}: \sqrt{5}$#

പരിഹാരം:#

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ, ഒരു ഖരഗോളത്തിന്റെ $\left(\mathrm{K}_1\right)$ ജൈറേഷൻ ആരത്തിന്റെയും, ഒരേ മാസ് $M$ ഉം ആരം $R$ ഉം ഉള്ള ഒരു നേർത്ത പൊള്ളയായ ഗോളത്തിന്റെ $\left(\mathrm{K}_2\right)$ ജൈറേഷൻ ആരത്തിന്റെയും അനുപാതം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ഒരു ഖരഗോളത്തിന്റെ അതിന്റെ സ്വന്തം അക്ഷത്തെ സംബന്ധിച്ച ജഡത്വ മാസ് മൊമന്റ് (I) നൽകുന്നത് : $$ I_{\text {solid }}=\frac{2}{5} M R^2 $$

ജൈറേഷൻ ആരം $(\mathrm{K})$ ജഡത്വ മാസ് മൊമന്റ് $(\mathrm{I})$ ഉം മാസ് $(\mathrm{M})$ ഉം ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത് : $$ I=M K^2 $$

അതിനാൽ ഖരഗോളത്തിന്, നമുക്ക് $\mathrm{K}1$ കണ്ടെത്താം : $$ \begin{aligned} & K_1^2=\frac{I{\text {solid }}}{M}=\frac{2}{5} R^2 \ & K_1=R \sqrt{\frac{2}{5}} \end{aligned} $$

ഇപ്പോൾ, ഒരു നേർത്ത പൊള്ളയായ ഗോളത്തിന്, അതിന്റെ അക്ഷത്തെ സംബന്ധിച്ച ജഡത്വ മാസ് മൊമന്റ് നൽകുന്നത് : $$ I_{\text {hollow }}=\frac{2}{3} M R^2 $$

നമുക്ക് $\mathrm{K}2$ കണ്ടെത്താം : $$ K_2^2=\frac{I{\text {hollow }}}{M}=\frac{2}{3} R^2 $$ $$ K_2=R \sqrt{\frac{2}{3}} $$

ഇപ്പോൾ, നമുക്ക് അനുപാതം $K_1: K_2$ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് : $$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{R \sqrt{\frac{2}{5}}}{R \sqrt{\frac{2}{3}}} $$

R ടേമുകൾ റദ്ദാകുന്നു, നമുക്ക് ബാക്കി വരുന്നത് : $$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{\sqrt{\frac{2}{5}}}{\sqrt{\frac{2}{3}}} $$

ഭിന്നസംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലം എടുത്ത് ലഘൂകരിക്കുക : $$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{5} \sqrt{2}} $$

ഇപ്പോൾ, 2 ന്റെ വർഗ്ഗമൂലം റദ്ദാകുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് : $$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} $$