10.1 പരിചയം

ചുവരില്‍ കാണിക്കുന്ന ചില പ്ലെയിന്‍ ഫിഗറുകളെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ അവയുടെ പ്രദേശങ്ങളും അവയുടെ അതിര്‍പ്പാടുകളും ചിന്തിക്കുന്നു. അവയെ താരതമ്യം ചെയ്യാന്‍ ഞങ്ങൾക്ക് ചില അളവുകള്‍ ആവശ്യമാണ്. ഇവിടെ നമുക്ക് അവയെക്കുറിച്ച് പഠിക്കാം.

10.2 പെരിമീറ്റര്‍

ഇനി ചുവരില്‍ കാണിക്കുന്ന ചില ചിത്രങ്ങളെക്കുറിച്ച് പരിശോധിക്കൂ (ചി. 10.1). നിങ്ങൾക്ക് അവയെ ഒരു ചുറ്റുമുറിയാലോ ഒരു പാറയാലോ ഉപയോഗിച്ച് നടത്താം.

നിങ്ങൾ ഓരോ കാര്യത്തിലും പോയി ലൈന്‍ സെഗ്മെന്റുകളില്‍ നടക്കുകയും പോയാല്‍ പോകുന്നത് പുനരാവര്‍ത്തനം ചെയ്യുന്നതാണ്. നിങ്ങൾ ഓരോ കാര്യത്തിലും (a), (b) & (c) ചുവര്‍പ്പാട്ടിന്റെ ഒരു പൂര്‍ണ്ണ ചുറ്റുപാട് നടത്തിയിരിക്കുന്നു. നടന്ന ദൂരം ചിത്രം വരയിട്ട് ഉപയോഗിച്ച് വരയിട്ടതായിരിക്കും.

ഈ ദൂരം ചുവരില്‍ നിന്നുള്ള ഒരു ചുവര്‍പ്പാട്ടിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ എന്ന് അറിയപ്പെടുന്നു. ചിത്രങ്ങള്‍ നിര്‍മ്മാണത്തിനായി ആവശ്യമായ ചുറ്റുപാട് നിര്‍മ്മാണത്തിന് ആവശ്യമായ വാലിന്റെ നീളം ആണത്ര.

പെരിമീറ്റര്‍ ആശയം നമ്മുടെ ദൈനംദിന ജീവിതത്തില്‍ വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്.

• അവന്റെ ക്ഷേതത്തിന് ചുറ്റുമുറിയാല്‍ നോക്കാന്‍ ആഗ്രഹിക്കുന്ന ഒരു ക്ഷേത്രിക.
• ഒരു വീട്ടിന്റെ എല്ലാ അതിരുകളിലും ഒരു കോമ്പണ്ട് ചുവര്‍ നിര്‍മ്മാണം ചെയ്യാന്‍ ആഗ്രഹിക്കുന്ന ഒരു പ്രൊഫഷണല്‍.
• ഒരു കായിക ട്രാക്ക് തയ്യാറാക്കുന്ന ഒരു വ്യക്തി.

ഇവയിലെ എല്ലായറിലും നിങ്ങൾക്ക് പെരിമീറ്റര്‍ അറിയേണ്ടത് ആവശ്യമുള്ള മൂന്ന് ഉദാഹരണങ്ങള്‍ നല്‍കൂ.

പെരിമീറ്റര്‍ എന്നത് ഒരു ചുവര്‍ നിന്നുള്ള ഒരു ചുവര്‍പ്പാട്ടില്‍ നിങ്ങൾ ഒരിക്കല്‍ ചുറ്റുപാട് നടത്തുമ്പോള്‍ അതിരില്‍ നടന്ന ദൂരാണ്.

പരിശോധിക്കൂ

1. നിങ്ങളുടെ പഠനക്കടയായിരിക്കുന്ന കുട്ടിയവരുടെ മുകളിലെ നാല് അതിരുകളുടെ നീളം കണക്കാക്കി എഴുതൂ.

AB= _______ cm
BC= _______ cm
CD= _______ cm
DA= _______ cm

ഇപ്പോള്‍, നാല് അതിരുകളുടെ നീളങ്ങളുടെ യോഗം

$=AB+BC+CD+DA$

$=$ _____ cm+ _____ cm+ _____ cm+ _____ cm

$=$ ______cm

പെരിമീറ്റര്‍ എന്താണ്?

2. നിങ്ങളുടെ നോട്ട്ബുക്കിന്റെ ഒരു പേജിന്റെ നാല് അതിരുകളുടെ നീളങ്ങള്‍ കണക്കാക്കി എഴുതൂ. നാല് അതിരുകളുടെ നീളങ്ങളുടെ യോഗം

$=AB+BC+CD+DA$

$=$ _____ cm+ _____ cm+ _____ cm+ _____ cm

$=$ ______cm

പേജിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ എന്താണ്?

3. മീറ ഒരു പാര്‍ക്കിലേക്ക് ചെന്നു അതിന്റെ അതിരില്‍ ഒരു പൂര്‍ണ്ണ ചുറ്റുപാട് നടത്തി. അവള്‍ നടന്ന ദൂരാണ് എന്ത്?

4. ഇനിപ്പറയുന്ന ചിത്രങ്ങളുടെ പെരിമീറ്റര്‍ കണക്കാക്കൂ:

അതായത്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ചുവര്‍ നിന്നുള്ള ചുവര്‍പ്പാട്ടിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം? നാല് അതിരുകളുടെ നീളങ്ങളുടെ യോഗം കണക്കാക്കുക.

10.2.1 ആയത്തിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍

ഒരു ആയത്തിന്റെ നീളവും വീതിയും എന്നിവ പരിഗണിക്കൂ ആയത്ത് $ABCD$ (ചി. 10.2) എന്ന് അറിയാം. അതിന്റെ നീളവും വീതിയും എന്നിവ പരിഗണിക്കൂ $15 cm$ എന്നും $9 cm$ എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു. അതിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ എന്തായിരിക്കും?

ആയത്തിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ $=$ അതിന്റെ നാല് അതിരുകളുടെ നീളങ്ങളുടെ യോഗം.

$ \begin{aligned} & =AB+BC+CD+DA \\ & =AB+BC+AB+BC \\ & =2 \times AB+2 \times BC \\ & =2 \times(AB+BC) \\ & =2 \times(15 cm+9 cm) \\ & =2 \times(24 cm) \\ & =48 cm \end{aligned} $

ആയത്തിന്റെ എതിരെയുള്ള അതിരുകള്‍ തുല്യമാണെന്ന് ഓർക്കൂ അതിനാല്‍ AB = CD, AD = BC

പരിശോധിക്കൂ

ഇനിപ്പറയുന്ന ആയത്തുകളുടെ പെരിമീറ്റര്‍ കണക്കാക്കൂ:

ആയത്തിന്റെ നീളം	ആയത്തിന്റെ വീതി	നാല് അതിരുകളുടെ നീളങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്ത് പെരിമീറ്റര്‍	നീളവും വീതിയും ചേര്‍ത്ത് $2 \times($ പെരിമീറ്റര്‍ $)$
$25 cm$	$12 cm$	$=25 cm+12 cm$ $+25 cm+12 cm$ $=74 cm$	$=2 \times(25 cm+12 cm)$ $=2 \times(37 cm)$ $=74 cm$
$0.5 m$	$0.25 m$
$18 cm$	$15 cm$
$10.5 cm$	$8.5 cm$

അതായത്, മുമ്പ് പറഞ്ഞ ഉദാഹരണത്തില്‍ നമുക്ക് കാണാം, ആയത്തിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ $=$ നീളവും വീതിയും ചേര്‍ത്ത് നീളവും വീതിയും എന്നാണ്. അതായത്, ആയത്തിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ $=\mathbf{2} \times($ നീളവും വീതിയും $)$

ഇപ്പോള്‍ ഈ ആശയത്തിന്റെ പ്രയോഗങ്ങള്‍ നോക്കാം :

ഉദാഹരണം 1 : ശബന ഒരു ആയത്തിന്റെ കവചത്തിന് ചുറ്റുമുറിയാല്‍ ഒരു ലേസ് ബോര്‍ഡര്‍ നല്‍കാന്‍ ആഗ്രഹിക്കുന്നു (ചി 10.3), $3 m$ നീളുന്നു എന്നും $2 m$ വീതിയാണെന്നും അറിയപ്പെടുന്നു. ശബനയ്ക്ക് ആവശ്യമായ ലേസിന്റെ നീളം എന്താണ്.

പരിഹാരം : ആയത്തിന്റെ കവചത്തിന്റെ നീളം $=3 m$

ആയത്തിന്റെ കവചത്തിന്റെ വീതി $=2 m$

ശബന ആയത്തിന്റെ കവചത്തിന് ചുറ്റുമുറിയാല്‍ ഒരു ലേസ് ബോര്‍ഡര്‍ നല്‍കാന്‍ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. അതിനാല്‍, ആവശ്യമായ ലേസിന്റെ നീളം ആയത്തിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ തുല്യമായിരിക്കും.

ഇപ്പോള്‍, ആയത്തിന്റെ കവചത്തിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍

$=2 \times($ നീളവും വീതിയും $)=2 \times(3 m+2 m)=2 \times 5 m=10 m$

അതായത്, ആവശ്യമായ ലേസിന്റെ നീളം $10 m$.

ഉദാഹരണം 2 : ഒരു ആയത്തിന്റെ പാര്‍ക്കില്‍ ഒരു കായിക പ്രവാസി ഒരു പൂര്‍ണ്ണ ചുറ്റുപാട് നടത്തുന്നു, അതിന്റെ നീളവും വീതിയും എന്നിവ പരിഗണിക്കൂ $50 m$ എന്നും $25 m$ എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു. അവന് നടത്തുന്ന മൊത്തം ദൂരാണ് എന്ത്.

പരിഹാരം : ആയത്തിന്റെ പാര്‍ക്കിന്റെ നീളം $=50 m$

ആയത്തിന്റെ പാര്‍ക്കിന്റെ വീതി $=25 m$

ഒരു ചുറ്റുപാടില്‍ നടത്തുന്ന കായിക പ്രവാസിന്റെ മൊത്തം ദൂരാണ് ആയത്തിന്റെ പാര്‍ക്കിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍.

ഇപ്പോള്‍, ആയത്തിന്റെ പാര്‍ക്കിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍

$=2 \times($ നീളവും വീതിയും $)=2 \times(50 m+25 m)$

$=2 \times 75 m=150 m$

അതായത്, ഒരു ചുറ്റുപാടില്‍ നടത്തുന്ന കായിക പ്രവാസിന്റെ ദൂരാണ് $150 m$.

അതിനാല്‍, 10 ചുറ്റുപാടുകളില്‍ നടത്തുന്ന ദൂരാണ് $=10 \times 150 m=1500 m$

കായിക പ്രവാസിന്റെ മൊത്തം ദൂരാണ് $1500 m$.

ഉദാഹരണം 3 : നീളവും വീതിയും എന്നിവ പരിഗണിക്കൂ $150 cm$ എന്നും $1 m$ എന്നും അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു ആയത്തിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ കണക്കാക്കൂ.

പരിഹാരം : നീളം $=150 cm$

$ \text{ വീതി }=1 m=100 cm $

ആയത്തിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍

$=2 \times($ നീളവും വീതിയും $)$

$=2 \times(150 cm+100 cm)$

$=2 \times(250 cm)=500 cm=5 m$

ഉദാഹരണം 4 : ഒരു ക്ഷേത്രികയുടെ നീളവും വീതിയും എന്നിവ പരിഗണിക്കൂ $240 m$ എന്നും $180 m$ എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു. അവന് അതിന് ഒരു ചുറ്റുമുറിയാല്‍ 3 തവണ ഒരു ചുറ്റുപാട് നടത്താന്‍ ആഗ്രഹിക്കുന്നു എന്നാല്‍ ചിത്രം 10.4 പോലെ. അവന് ഉപയോഗിക്കേണ്ട മൊത്തം ചുറ്റുപാട് നീളം എന്താണ്?

പരിഹാരം: ക്ഷേത്രത്തിന് മൂന്ന് തവണ ചുറ്റുപാട് നടത്താന്‍ ക്ഷേത്രികയ്ക്ക് ആവശ്യമായിരിക്കും. അതിനാല്‍, ആവശ്യമായ മൊത്തം ചുറ്റുപാട് നീളം അതിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ മൂന്ന് തവണ ആയിരിക്കും.

ക്ഷേത്രത്തിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ $=2 \times($ നീളവും വീതിയും $)$

$ \begin{aligned} & =2 \times(240 m+180 m) \\ & =2 \times 420 m=840 m \end{aligned} $

ആവശ്യമായ മൊത്തം ചുറ്റുപാട് നീളം $=3 \times 840 m=2520 m$

ഉദാഹരണം 5 : ഒരു ആയത്തിന്റെ നീളവും വീതിയും എന്നിവ പരിഗണിക്കൂ $250 m$ എന്നും $175 m$ എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു. അതിന് ചുറ്റുമുറിയാല്‍ നടത്തുന്നതിന്റെ വില ₹ 12 പ്രകാരം എടുക്കൂ.

പരിഹാരം : ആയത്തിന്റെ നീളം $=250 m$

ആയത്തിന്റെ വീതി $=175 m$

ചുറ്റുമുറിയാല്‍ നടത്തുന്നതിന്റെ വില കണക്കാക്കാന്‍ പെരിമീറ്റര്‍ ആവശ്യമാണ്.

ആയത്തിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ $=2 \times($ നീളവും വീതിയും $)$

$ =2 \times(250 m+175 m) $

$ =2 \times(425 m)=850 m $

പാര്‍ക്കിന് ചുറ്റുമുറിയാല്‍ നടത്തുന്നതിന്റെ വില $1 m$

അതായത്, പാര്‍ക്കിന്റെ മൊത്തം ചുറ്റുമുറിയാല്‍ നടത്തുന്നതിന്റെ വില

= ₹ $12 \times 850$=₹ $10200$

10.2.2 പതിവുള്ള ചുവര്‍പ്പാട്ടിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍

ഇത്തരം ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കൂ.

ബിസ്വാമിത്രന് ഒരു ചുവര്‍ ചിത്രത്തിന് ചുറ്റുമുറിയാല്‍ ഒരു വർണ്ണമുള്ള ടെയ്പ്പ് നല്‍കാന്‍ ആഗ്രഹിക്കുന്നു (ചി 10.5) അതിന്റെ ഒരു അതിര്‍ പരിധി $1 m$ ആണെന്ന് ചിത്രത്തില്‍ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. അവന് ആവശ്യമായ വർണ്ണമുള്ള ടെയ്പിന്റെ നീളം എന്തായിരിക്കും?

ബിസ്വാമിത്രന് ചുവര്‍ ചിത്രത്തിന് ചുറ്റുമുറിയാല്‍ വർണ്ണമുള്ള ടെയ്പ് നല്‍കാന്‍ ആഗ്രഹിക്കുന്നു, അവന് ചുവര്‍പ്പാട്ടിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

അതായത്, ആവശ്യമായ ടെയ്പിന്റെ നീളം

$=$ ചുവര്‍പ്പാട്ടിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ $=1 m+1 m+1 m+1 m=4 m$

ഇപ്പോള്‍, ചുവര്‍പ്പാട്ടിന്റെ നാല് അതിരുകളെല്ലാം തുല്യമാണെന്ന് നമുക്ക് അറിയുന്നു, അതിനാല്‍, അതിന്റെ നീളം നാല് തവണ ചേര്‍ത്ത് കണക്കാക്കുന്നതിന് പകരം, ഒരു അതിരിന്റെ നീളം 4 ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാം. അതായത്, ആവശ്യമായ ടെയ്പിന്റെ നീളം $=4 \times 1 m=4 m$

ഈ ഉദാഹരണത്തില്‍ നമുക്ക് കാണാം,

ചുവര്‍പ്പാട്ടിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ $=\mathbf{4} \times$ ഒരു അതിരിന്റെ നീളം

ഇതുപോലെയുള്ള ചുവര്‍പ്പാട്ടുകള്‍ കൂടുതല്‍ വരയിട്ട് വരയിട്ട് പെരിമീറ്റര്‍ കണക്കാക്കൂ.

ഇപ്പോള്‍, ത്രികോണത്തിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം? ഒരു ത്രികോണം (ചി. 10.6) എന്നത് ഓരോ അതിരും പരിധി $4 cm$ ആണെന്ന് ചിത്രത്തില്‍ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ കണക്കാക്കാം?

ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ $=4+4+4 cm$

$ =3 \times 4 cm=12 cm $

അതായത്, നമുക്ക് കാണാം,

ത്രികോണത്തിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ $=3 \times$ ഒരു അതിരിന്റെ നീളം

ഒരു ചുവര്‍പ്പാട്ടിനും ഒരു ത്രികോണത്തിനും തുല്യമായ കാര്യങ്ങള്‍ എന്തുണ്ട്? അവയെല്ലാം ഒരേ നീളത്തിലുള്ള അതിരുകളും ഒരേ കണ്ണാടികളും ഉള്ള ചുവര്‍പ്പാട്ടുകളാണ്. അതുപോലെയുള്ള ചുവര്‍പ്പാട്ടുകളെ നമുക്ക് പതിവുള്ള ചുവര്‍പ്പാട്ടുകളെ അറിയിക്കുന്നു. അതായത്, ഒരു ചുവര്‍പ്പാട്ടവും ഒരു ത്രികോണവും പതിവുള്ള ചുവര്‍പ്പാട്ടുകളാണ്.

പരിശോധിക്കൂ

നിങ്ങളുടെ ചുറ്റും ഉള്ള ചില വസ്തുക്കള്‍ പതിവുള്ള ചുവര്‍പ്പാട്ടുകളാണെന്ന് കണ്ടെത്തി, അവയുടെ പെരിമീറ്റര്‍ കണക്കാക്കൂ.

നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയത്,

ചുവര്‍പ്പാട്ടിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ $=4 \times$ ഒരു അതിരിന്റെ നീളം

ത്രികോണത്തിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ $=3 \times$ ഒരു അതിരിന്റെ നീളം

അതായത്, ഒരു പതിവുള്ള പെഞ്ചെക്ക്കോണത്തിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ എന്തായിരിക്കും? ഒരു പതിവുള്ള പെഞ്ചെക്ക്കോണത്തിന് അതിരുകള്‍ അഞ്ച് തുല്യമാണ്.

അതായത്, ഒരു പതിവുള്ള പെഞ്ചെക്ക്കോണത്തിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ $=5 \times$ ഒരു അതിരിന്റെ നീളവും ഒരു പതിവുള്ള ആക്കോണത്തിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ എന്തായിരിക്കും എന്നതും ഒരു ആറ്റിരിക്കോണത്തിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ എന്തായിരിക്കും എന്നതും നല്‍കൂ.

ഉദാഹരണം 6 : ഒരു ചുവര്‍പ്പാട്ടിന്റെ ഒരു പാര്‍ക്കില്‍ ശൈന മൂന്ന് തവണ ചുറ്റുപാട് നടത്തുമ്പോള്‍ നടന്ന ദൂരാണ് എന്ത്? ചുവര്‍പ്പാട്ടിന്റെ ഒരു അതിര്‍ പരിധി $70 m$ ആണെന്ന് ചിത്രത്തില്‍ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

പരിഹാരം : ചുവര്‍പ്പാട്ടിന്റെ പാര്‍ക്കിന്റെ പെരിമീറ്റര്‍ $=4 \times$ ഒരു അതിരിന്റെ നീളം $=4 \times 70 m=280 m$

ഒരു