5.1 ആമുഖം

നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം തന്നെ ഒരു രൂപത്തിൽ വിവിധ വരകൾ, രേഖാഖണ്ഡങ്ങൾ, കോണുകൾ തിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രങ്ങളിൽ (ചിത്രം 5.1) രൂപം കൊള്ളുന്ന വിവിധ രേഖാഖണ്ഡങ്ങളും കോണുകളും നിങ്ങൾക്ക് തിരിച്ചറിയാമോ?

രൂപം കൊള്ളുന്ന കോണുകൾ ലഘുകോണാണോ, വിശാലകോണാണോ അതോ സമകോണാണോ എന്നും നിങ്ങൾക്ക് തിരിച്ചറിയാമോ?

ഒരു രേഖാഖണ്ഡത്തിന് രണ്ട് അന്ത്യബിന്ദുക്കൾ ഉണ്ടെന്ന് ഓർക്കുക. ഈ രണ്ട് അന്ത്യബിന്ദുക്കളും ഇരുവശത്തേക്കും അനന്തമായി നീട്ടിയാൽ നമുക്ക് ഒരു വര ലഭിക്കും. അതിനാൽ, ഒരു വരയ്ക്ക് അന്ത്യബിന്ദുക്കളില്ലെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. മറുവശത്ത്, ഒരു കിരണത്തിന് ഒരു അന്ത്യബിന്ദു (അതായത് അതിന്റെ ആരംഭ ബിന്ദു) മാത്രമേ ഉള്ളൂ എന്ന് ഓർക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രങ്ങൾ നോക്കുക:

ഇവിടെ, ചിത്രം 5.2 (i) ഒരു രേഖാഖണ്ഡത്തെ കാണിക്കുന്നു, ചിത്രം 5.2 (ii) ഒരു വരയെ കാണിക്കുന്നു, ചിത്രം 5.2 (iii) ഒരു കിരണത്തെ കാണിക്കുന്നു. ഒരു രേഖാഖണ്ഡം $PQ$ സാധാരണയായി $\overline{PQ}$ എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഒരു വര $AB$ $\overrightarrow{{}AB}$ എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, OP എന്ന കിരണം $\stackrel{\text{ UP }}{OP}$ എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. നിങ്ങളുടെ ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ നിന്ന് രേഖാഖണ്ഡങ്ങളുടെയും കിരണങ്ങളുടെയും ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുകയും അവ നിങ്ങളുടെ സുഹൃത്തുക്കളുമായി ചർച്ച ചെയ്യുകയും ചെയ്യുക.

വീണ്ടും ഓർക്കുക: വരകളോ രേഖാഖണ്ഡങ്ങളോ കൂടിച്ചേരുമ്പോൾ ഒരു കോൺ രൂപം കൊള്ളുന്നു. ചിത്രം 5.1-ൽ, മൂലകൾ നോക്കുക. ഈ മൂലകൾ രണ്ട് വരകളോ രേഖാഖണ്ഡങ്ങളോ ഒരു ബിന്ദുവിൽ ഛേദിക്കുമ്പോൾ രൂപം കൊള്ളുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രങ്ങൾ നോക്കുക:

ചിത്രം 5.3 (i) ൽ രേഖാഖണ്ഡങ്ങൾ $AB$ ഉം $BC$ ഉം $B$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഛേദിച്ച് $A B C$ എന്ന കോൺ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു, വീണ്ടും രേഖാഖണ്ഡങ്ങൾ $B C$ ഉം $A C$ ഉം $C$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഛേദിച്ച് $ACB$ എന്ന കോൺ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു, ഇതുപോലെ തുടരുന്നു. എന്നാൽ, ചിത്രം 5.3 (ii) ൽ വരകൾ $PQ$ ഉം $RS$ ഉം $O$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഛേദിച്ച് POS, SOQ, QOR, ROP എന്നീ നാല് കോണുകൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു. ഒരു കോൺ ABC $\angle ABC$ എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ചിത്രം 5.3 (i) ൽ രൂപം കൊള്ളുന്ന മൂന്ന് കോണുകൾ $\angle ABC, \angle BCA$ ഉം $\angle BAC$ ഉം ആണ്, ചിത്രം 5.3 (ii) ൽ രൂപം കൊള്ളുന്ന നാല് കോണുകൾ $\angle POS, \angle SOQ, \angle QOR$ ഉം $\angle POR$ ഉം ആണ്. കോണുകളെ ലഘുകോൺ, വിശാലകോൺ അല്ലെങ്കിൽ സമകോൺ എന്നിങ്ങനെ വർഗ്ഗീകരിക്കുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് നിങ്ങൾ ഇതിനകം പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്.

ഇത് ശ്രമിക്കുക

നിങ്ങളുടെ ചുറ്റുമുള്ള പത്ത് വസ്തുക്കൾ പട്ടികപ്പെടുത്തുകയും അവയിൽ കാണപ്പെടുന്ന ലഘുകോണുകൾ, വിശാലകോണുകൾ, സമകോണുകൾ തിരിച്ചറിയുകയും ചെയ്യുക.

കുറിപ്പ്: ഒരു കോണിന്റെ അളവ് $ABC$ സൂചിപ്പിക്കുമ്പോൾ, നമ്മൾ $m \angle ABC$ എന്നത് $\angle ABC$ എന്ന് ലളിതമായി എഴുതും. കോണിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നതാണോ അതോ അതിന്റെ അളവിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നതാണോ എന്നത് സന്ദർഭം വ്യക്തമാക്കും.

5.2 ബന്ധപ്പെട്ട കോണുകൾ

5.2.1 പൂരക കോണുകൾ

രണ്ട് കോണുകളുടെ അളവുകളുടെ തുക $90^{\circ}$ ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ആ കോണുകളെ പൂരക കോണുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഈ രണ്ട് കോണുകളും പൂരക കോണുകളാണോ?

ചിത്രം 5.4

ഇല്ല: രണ്ട് കോണുകൾ പൂരകങ്ങളാകുമ്പോഴെല്ലാം, ഓരോ കോണിനെയും മറ്റേ കോണിന്റെ പൂരകം എന്ന് പറയുന്നു. മുകളിലെ ചിത്രത്തിൽ (ചിത്രം 5.4), ‘$30^{\circ}$ കോൺ’ എന്നത് ‘$60^{\circ}$ കോണിന്റെ’ പൂരകമാണ്, തിരിച്ചും.

ചിന്തിക്കുക, ചർച്ച ചെയ്യുക, എഴുതുക

1. രണ്ട് ലഘുകോണുകൾ പരസ്പരം പൂരകങ്ങളാകുമോ?

2. രണ്ട് വിശാലകോണുകൾ പരസ്പരം പൂരകങ്ങളാകുമോ?

3. രണ്ട് സമകോണുകൾ പരസ്പരം പൂരകങ്ങളാകുമോ?

ഇത് ശ്രമിക്കുക

1. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന കോണുകളിൽ ഏതൊക്കെ ജോഡികൾ പൂരക കോണുകളാണ്? (ചിത്രം 5.5)

2. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഓരോ കോണിന്റെയും പൂരക കോണിന്റെ അളവ് എന്താണ്?

(i) $45^{\circ}$

(ii) $65^{\circ}$

(iii) $41^{\circ}$

(iv) $54^{\circ}$

3. രണ്ട് പൂരക കോണുകളുടെ അളവുകളിലെ വ്യത്യാസം $12^{\circ}$ ആണ്. കോണുകളുടെ അളവുകൾ കണ്ടെത്തുക.

5.2.2 സംപൂരക കോണുകൾ

ഇനി നമുക്ക് താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന കോണുകളുടെ ജോഡികൾ നോക്കാം (ചിത്രം 5.6):

മുകളിലെ ഓരോ ജോഡിയിലും (ചിത്രം 5.6) കോണുകളുടെ അളവുകളുടെ തുക $180^{\circ}$ ആയി വരുന്നത് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നുണ്ടോ? ഇത്തരം കോണുകളുടെ ജോഡികളെ സംപൂരക കോണുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. രണ്ട് കോണുകൾ സംപൂരകങ്ങളാകുമ്പോൾ, ഓരോ കോണിനെയും മറ്റേ കോണിന്റെ സംപൂരകം എന്ന് പറയുന്നു.

ചിന്തിക്കുക, ചർച്ച ചെയ്യുക, എഴുതുക

1. രണ്ട് വിശാലകോണുകൾ സംപൂരകങ്ങളാകുമോ?

2. രണ്ട് ലഘുകോണുകൾ സംപൂരകങ്ങളാകുമോ?

3. രണ്ട് സമകോണുകൾ സംപൂരകങ്ങളാകുമോ?

ഇത് ശ്രമിക്കുക

1. ചിത്രം 5.7 ൽ സംപൂരക കോണുകളുടെ ജോഡികൾ കണ്ടെത്തുക:

2. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഓരോ കോണിന്റെയും സംപൂരക കോണിന്റെ അളവ് എന്തായിരിക്കും?

(i) $100^{\circ}$

(ii) $90^{\circ}$

(iii) $55^{\circ}$

(iv) $125^{\circ}$

3. രണ്ട് സംപൂരക കോണുകളിൽ, വലിയ കോണിന്റെ അളവ് ചെറിയ കോണിന്റെ അളവിനേക്കാൾ $44^{\circ}$ കൂടുതലാണ്. അവയുടെ അളവുകൾ കണ്ടെത്തുക.

അഭ്യാസം 5.1

1. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഓരോ കോണിന്റെയും പൂരക കോൺ കണ്ടെത്തുക:

2. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഓരോ കോണിന്റെയും സംപൂരക കോൺ കണ്ടെത്തുക:

(iii)

3. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന കോണുകളുടെ ജോഡികളിൽ ഏതൊക്കെ പൂരക കോണുകളാണ്, ഏതൊക്കെ സംപൂരക കോണുകളാണ് എന്ന് തിരിച്ചറിയുക.

(i) $65^{\circ}, 115^{\circ}$

(ii) $63^{\circ}, 27^{\circ}$

(iii) $112^{\circ}, 68^{\circ}$

(iv) $130^{\circ}, 50^{\circ}$

(v) $45^{\circ}, 45^{\circ}$

(vi) $80^{\circ}, 10^{\circ}$

4. തനിക്ക് തന്നെ പൂരകമായ കോൺ കണ്ടെത്തുക.

5. തനിക്ക് തന്നെ സംപൂരകമായ കോൺ കണ്ടെത്തുക.

6. തന്നിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിൽ, $\angle 1$ ഉം $\angle 2$ ഉം സംപൂരക കോണുകളാണ്.

$\angle 1$ കുറയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ, രണ്ട് കോണുകളും സംപൂരകങ്ങളായി തുടരുന്നതിന് $\angle 2$ ൽ എന്ത് മാറ്റങ്ങൾ വരുത്തണം?

7. ഇനിപ്പറയുന്നവയാണെങ്കിൽ രണ്ട് കോണുകൾക്ക് സംപൂരകങ്ങളാകുമോ?

(i) ലഘുകോണുകൾ?

(ii) വിശാലകോണുകൾ?

(iii) സമകോണുകൾ?

8. ഒരു കോൺ $45^{\circ}$ നേക്കാൾ വലുതാണ്. അതിന്റെ പൂരക കോൺ $45^{\circ}$ നേക്കാൾ വലുതാണോ, $45^{\circ}$ ന് തുല്യമാണോ അതോ $45^{\circ}$ നേക്കാൾ ചെറുതാണോ?

9. ശൂന്യസ്ഥാനങ്ങൾ പൂരിപ്പിക്കുക:

(i) രണ്ട് കോണുകൾ പൂരകങ്ങളാണെങ്കിൽ, അവയുടെ അളവുകളുടെ തുക _______ ആയിരിക്കും.

(ii) രണ്ട് കോണുകൾ സംപൂരകങ്ങളാണെങ്കിൽ, അവയുടെ അളവുകളുടെ തുക _______ ആയിരിക്കും.

(iii) രണ്ട് അടുത്തടുത്തുള്ള കോണുകൾ സംപൂരകങ്ങളാണെങ്കിൽ, അവ _______ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു.

10. തൊട്ടടുത്തുള്ള ചിത്രത്തിൽ, താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന കോണുകളുടെ ജോഡികൾ പേരിടുക.

(i) വിശാല ലംബവിപരീത കോണുകൾ

(ii) അടുത്തടുത്തുള്ള പൂരക കോണുകൾ

(iii) തുല്യ സംപൂരക കോണുകൾ

(iv) അസമ സംപൂരക കോണുകൾ

(v) ഒരു രേഖീയ ജോഡി രൂപപ്പെടുത്താത്ത അടുത്തടുത്തുള്ള കോണുകൾ

5.3 വരകളുടെ ജോഡികൾ

5.3.1 ഛേദിക്കുന്ന വരകൾ

ചിത്രം 5.8

സ്റ്റാൻഡിലുള്ള ബ്ലാക്ക്ബോർഡ്, രേഖാഖണ്ഡങ്ങൾ കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ച Y അക്ഷരം, ഒരു ജനലിന്റെ ഗ്രിൽ-ദ്വാരം (ചിത്രം 5.8) എന്നിവയ്ക്കെല്ലാം പൊതുവായി എന്താണുള്ളത്? അവ ഛേദിക്കുന്ന വരകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്.

രണ്ട് വരകൾ $l$ ഉം $m$ ഉം ഒരു പൊതു ബിന്ദു ഉണ്ടെങ്കിൽ അവ ഛേദിക്കുന്നു. ഈ പൊതു ബിന്ദു $O$ അവയുടെ ഛേദന ബിന്ദു ആണ്.

ചിന്തിക്കുക, ചർച്ച ചെയ്യുക, എഴുതുക

ചിത്രം 5.9 ൽ, $AC$ ഉം $BE$ ഉം $P$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഛേദിക്കുന്നു.

$AC$ ഉം $BC$ ഉം $C, AC$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഛേദിക്കുന്നു, $EC$ ഉം $C$ ഉം ഛേദിക്കുന്നു.

ഛേദിക്കുന്ന രേഖാഖണ്ഡങ്ങളുടെ മറ്റ് പത്ത് ജോഡികൾ കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക.

ഏതെങ്കിലും രണ്ട് വരകളോ രേഖാഖണ്ഡങ്ങളോ ആവശ്യമായും ഛേദിക്കണമോ? ഈ ചിത്രത്തിൽ ഛേദിക്കാത്ത രണ്ട് ജോഡി രേഖാഖണ്ഡങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകുമോ?

രണ്ട് വരകൾക്ക് ഒന്നിലധികം ബിന്ദുക്കളിൽ ഛേദിക്കാൻ കഴിയുമോ? അതിനെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കുക.

ചിത്രം 5.9

ഇത് ശ്രമിക്കുക

1. നിങ്ങളുടെ ചുറ്റുപാടുകളിൽ നിന്ന് വരകൾ സമകോണത്തിൽ ഛേദിക്കുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.

2. ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ ശീർഷങ്ങളിൽ ഛേദിക്കുന്ന വരകൾ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണുകളുടെ അളവുകൾ കണ്ടെത്തുക.

3. ഏതെങ്കിലും ഒരു ചതുരം വരച്ച്, ഛേദിക്കുന്ന വരകൾ നാല് ശീർഷങ്ങളിൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണുകളുടെ അളവുകൾ കണ്ടെത്തുക.

4. രണ്ട് വരകൾ ഛേദിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അവ എല്ലായ്പ്പോഴും സമകോണത്തിൽ ഛേദിക്കുമോ?

5.3.2 ഛേദിക

രണ്ടോ അതിലധികമോ റോഡുകളെ കടക്കുന്ന ഒരു റോഡ് അല്ലെങ്കിൽ നിരവധി മറ്റ് വരികളെ കടക്കുന്ന ഒരു റെയിൽവേ ലൈൻ നിങ്ങൾ കണ്ടിട്ടുണ്ടാകും (ചിത്രം 5.10). ഇവ ഒരു ഛേദികയുടെ ആശയം നൽകുന്നു.

രണ്ടോ അതിലധികമോ വരകളെ വ്യത്യസ്ത ബിന്ദുക്കളിൽ ഛേദിക്കുന്ന ഒരു വരയെ ഛേദിക എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ചിത്രം 5.11 ൽ, $p$ വരകൾ $l$ ഉം $m$ ഉം എന്നിവയുടെ ഛേദിക ആണ്.

ചിത്രം 5.12 ൽ $p$ എന്ന വര ഒരു ഛേദിക അല്ല, അത് രണ്ട് വരകളായ $l$ ഉം $m$ ഉം ഛേദിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിലും. ‘എന്തുകൊണ്ട്?’ എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പറയാമോ?

5.3.3. ഒരു ഛേദിക ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണുകൾ

ചിത്രം 5.13 ൽ, നിങ്ങൾ $l$ ഉം $m$ ഉം എന്ന വരകൾ $p$ എന്ന ഛേദികയാൽ ഛേദിക്കപ്പെടുന്നത് കാണുന്നു. 1 മുതൽ 8 വരെ അടയാളപ്പെടുത്തിയ എട്ട് കോണുകൾക്ക് പ്രത്യേക പേരുകളുണ്ട്:

ചിത്രം 5.13

ഇത് ശ്രമിക്കുക

1. രണ്ട് വരകൾ നൽകിയിട്ടുണ്ടെന്ന് കരുതുക. ഈ വരകൾക്കായി നിങ്ങൾക്ക് എത്ര ഛേദികകൾ വരയ്ക്കാനാകും?

2. ഒരു വര മൂന്ന് വരകളുടെ ഛേദികയാണെങ്കിൽ, എത്ര ഛേദന ബിന്ദുക്കൾ ഉണ്ടാകും?

3. നിങ്ങളുടെ ചുറ്റുപാടുകളിൽ കുറച്ച് ഛേദികകൾ തിരിച്ചറിയാൻ ശ്രമിക്കുക.

കുറിപ്പ്: അനുരൂപ കോണുകൾ (ചിത്രം 5.14 ൽ $\angle 1$ ഉം $\angle 5$ ഉം പോലെ)

(i) വ്യത്യസ്ത ശീർഷങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു

(ii) ഛേദികയുടെ ഒരേ വശത്താണ്

(iii) രണ്ട് വരകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ‘അനുരൂപ’ സ്ഥാനങ്ങളിലാണ് (മുകളിലോ താഴെയോ, ഇടത്തോ വലത്തോ).

ഏകാന്തര അന്തർകോണുകൾ (ചിത്രം 5.15 ൽ $\angle 3$ ഉം $\angle 6$ ഉം പോലെ)

(i) വ്യത്യസ്ത ശീർഷങ്ങൾ ഉണ്ട്

(ii) ഛേദികയുടെ എതിർ വശങ്ങളിലാണ്

(iii) രണ്ട് വരകളുടെയും ‘ഇടയിൽ’ കിടക്കുന്നു.

ചിത്രം 5.15

ഇത് ശ്രമിക്കുക

ഓരോ ചിത്രത്തിലും കോണുകളുടെ ജോഡികൾക്ക് പേരിടുക:

5.3.4 സമാന്തര വരകളുടെ ഛേദിക

സമാന്തര വരകൾ എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുണ്ടോ? അവ ഒരു തലത്തിൽ എവിടെയും കൂടിച്ചേരാത്ത വരകളാണ്. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രങ്ങളിൽ (ചിത്രം 5.16) സമാന്തര വരകൾ നിങ്ങൾക്ക് തിരിച്ചറിയാമോ?

സമാന്തര വരകളുടെ ഛേദികകൾ വളരെ രസകരമായ ഫലങ്ങൾ നൽകുന്നു.

ഇത് ചെയ്യുക

വരകളുള്ള ഒരു പേപ്പർ എടുക്കുക. (കട്ടിയുള്ള നിറത്തിൽ) രണ്ട് സമാന്തര വരകൾ $l$ ഉം $m$ ഉം വരയ്ക്കുക.

വരകൾ $l$ ഉം $m$ ഉം എന്നിവയുടെ ഒരു ഛേദിക $t$ വരയ്ക്കുക. $\angle 1$ ഉം $\angle 2$ ഉം എന്നിവ ചിത്രം 5.17(i) പോലെ അടയാളപ്പെടുത്തുക. വരച്ച ചിത്രത്തിന് മുകളിൽ ഒരു ട്രേസിംഗ് പേപ്പർ വയ്ക്കുക. വരകൾ $l, m$ ഉം $t$ ഉം ട്രേസ് ചെയ്യുക.

ട്രേസിംഗ് പേപ്പർ $t$ ഉപയോഗിച്ച് സ്ലൈഡ് ചെയ്യുക, $l$ $m$ ഉപയോഗിച്ച് യോജിക്കുന്നതുവരെ.

ട്രേസ് ചെയ്ത ചിത്രത്തിലെ $\angle 1$ യഥാർത്ഥ ചിത്രത്തിലെ $\angle 2$ ഉപയോഗിച്ച് യോജിക്കുന്നത് നിങ്ങൾ കാണുന്നു.

വാസ്തവത്തിൽ, സമാനമായ ട്രേസിംഗ്, സ്ലൈഡിംഗ് പ്രവർത്തനങ്ങളിലൂടെ താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന എല്ലാ ഫലങ്ങളും നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും.

(i) $\angle 1=\angle 2\quad$ (ii) $\angle 3=\angle 4$

(iii) $\angle 5=\angle 6\quad$ (iv) $\angle 7=\angle 8$

ഈ പ്രവർത്തനം താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന വസ്തുത വിവരിക്കുന്നു:

രണ്ട് സമാന്തര വരകളെ ഒരു ഛേദിക ഛേദിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അനുരൂപ കോണുകളുടെ ഓരോ ജോഡിയും അളവിൽ തുല്യമായിരിക്കും.

മറ്റൊരു രസകരമായ ഫലം ലഭിക്കാൻ ഈ ഫലം ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ചിത്രം 5.18 നോക്കുക.

$t$ സമാന്തര വരകൾ $l, m$ ഛേദിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് $\angle 3=\angle 7$ ലഭിക്കും (ലംബവിപരീത കോണുകൾ).

എന്നാൽ $\angle 7=\angle 8$ (അനുരൂപ കോണുകൾ). അതിനാൽ, $\angle 3=\angle 8$

$\angle 1=\angle 6$ എന്നത് സമാനമായി കാണിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും. അങ്ങനെ, നമുക്ക് താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഫലം ലഭിക്കും:

രണ്ട് സമാന്തര വരകളെ ഒരു ഛേദിക ഛേദിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഏകാന്തര അന്തർകോണുകളുടെ ഓരോ ജോഡിയും തുല്യമായിരിക്കും.

ഈ രണ്ടാമത്തെ ഫലം മറ്റൊരു രസകരമായ ഗുണത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. വീണ്ടും, ചിത്രം 5.18 ൽ നിന്ന്.

$\angle 3+\angle 1=180^{\circ}$ ($\angle 3$ ഉം $\angle 1$ ഉം ഒരു