1.1 പരിചയം

ഗണിതത്തിൽ, നമുക്ക് പരിഹാരം വേണ്ട ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ വളരെ പലപ്പോഴും കാണാം. ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യം

$$ \begin{equation*} x+2=13 \tag{1} \end{equation*} $$

$x=11$ ആയതുകൊണ്ട് പരിഹാരമെടുക്കുന്നു, കാരണം ഈ മൂല്യം നൽകുന്ന സമവാക്യത്തை പാലിക്കുന്നു. പരിഹാരം 11 ഒരു പ്രാകൃത സംഖ്യയാണ്. മറുവശത്ത്, സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം

$$ \begin{equation*} x+5=5 \tag{2} \end{equation*} $$

പൂര്ണ്ണസംഖ്യ 0 (പൂര്ണ്ണസംഖ്യയായ പ്രാകൃത സംഖ്യകളുടെ ശേഷിയിൽ മാത്രം) നൽകുന്നു. പ്രാകൃത സംഖ്യകൾ മാത്രം പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, സമവാക്യം (2) പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള (2) പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളുടെ ശേഷിയിൽ മാത്രം പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, സമവാക്യങ്ങൾ തന്നെ പോലുള്ള തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ പൂര്ണ്ണസംഖ്യകൾ പറ്റില്ല. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ചോദിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമക്ക് പൂര്ണ്ണസംഖ്യകളെക്കാൾ കൂടുതൽ സംഖ്യ