5.1 പരിചയം

നിങ്ങൾക്ക് നിശ്ചയിക്കാം ഒരു ചെഴുളയുടെ വിസ്തീർണ്ണം = വശം × വശം (ഇവിടെ ‘വശം’ അർത്ഥം ‘ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം’). ഇനി ചുവടെയുള്ള പട്ടിക പരിശോധിക്കുക.

നമ്പറുകൾ 1, 4, 9, 16, … എന്നിവ വര്ഗ്ഗ നമ്പറുകളാണ്. ഈ നമ്പറുകൾ പൂർണ്ണ വര്ഗ്ഗങ്ങളെയും അറിയപ്പെടുന്നു.

5.2 വര്ഗ്ഗ നമ്പറുകളുടെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ

1. വര്ഗ്ഗ നമ്പറുകൾ ഒരു അക്കത്തില്‍ 0, 1, 4, 5, 6, അല്ലെങ്കിൽ 9 അടിസ്ഥാനമാക്കി അവസാനിക്കുന്നു.

2. വര്ഗ്ഗ നമ്പറുകൾക്ക് അവസാനത്തിൽ ഒരു അപൂർണ്ണ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങൾ ഉണ്ടാകണം.

3. ഒരു അപൂർണ്ണ സംഖ്യയുടെ വര്ഗ്ഗം അപൂർണ്ണമാണ്. ഒരു പൂർണ്ണ സംഖ്യയുടെ വര്ഗ്ഗം പൂർണ്ണമാണ്.

4. ആദ്യ n ഒഴികളുടെ തുക n² ആണ്. 1 + 3 + 5 = 3² = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 4² = 16

5.3 വര്ഗ്ഗങ്ങളിലെ പാറ്റേണുകൾ

ത്രികോണല്‍ നമ്പറുകൾ: 1, 3, 6, 10, 15, 21, … എന്നിവ ത്രികോണല്‍ നമ്പറുകളാണ്.

വര്ഗ്ഗ നമ്പറുകൾ: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … എന്നിവ വര്ഗ്ഗ നമ്പറുകളാണ്.

ബന്ധം: രണ്ട് സമനില ത്രികോണല്‍ നമ്പറുകളുടെ തുക = വര്ഗ്ഗ നമ്പർ 3 + 6 = 9 = 3² 6 + 10 = 16 = 4²

5.4 വര്ഗ്ഗത്തിന്റെ തോത് കണ്ടെത്തുക

വര്ഗ്ഗത്തിന്റെ തോത്: ഒരു സംഖ്യയുടെ വര്ഗ്ഗത്തിന്റെ തോത് അതേ സംഖ്യയാണ്, അത് സ്വയം കൂട്ടിക്കൊണ്ട് യഥാർത്ഥ സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നു.

വര്ഗ്ഗത്തിന്റെ തോത് കണ്ടെത്താനുള്ള മാര്ഗ്ഗങ്ങൾ:

1. ആവർത്തിച്ച് കുറയ്ക്കുന്ന മാര്ഗ്ഗം
2. അതിജ ഘടകീകരണ മാര്ഗ്ഗം
3. ഭാഗം മാര്ഗ്ഗം

മാര്ഗ്ഗം 1: ആവർത്തിച്ച് കുറയ്ക്കുന്നത്

√36 കണ്ടെത്തുക: 36 - 1 = 35 (1ാമത്തെ ഒഴിക) 35 - 3 = 32 (2ാമത്തെ ഒഴിക) 32 - 5 = 27 (3ാമത്തെ ഒഴിക) 27 - 7 = 20 (4ാമത്തെ ഒഴിക) 20 - 9 = 11 (5ാമത്തെ ഒഴിക) 11 - 11 = 0 (6ാമത്തെ ഒഴിക)

ഞങ്ങൾ 6 തവണ കുറഞ്ഞു, അതിനാൽ √36 = 6

മാര്ഗ്ഗം 2: അതിജ ഘടകീകരണം

√324 കണ്ടെത്തുക: 324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 324 = 2² × 3² × 3² 324 = (2 × 3 × 3)² √324 = 2 × 3 × 3 = 18

5.5 വിസ്തീർണ്ണങ്ങളുടെ വര്ഗ്ഗത്തിന്റെ തോത്

ഉദാഹരണം: √2.56 കണ്ടെത്തുക

ഘട്ടം 1: വിസ്തീർണ്ണം നീക്കം ചെയ്യുക → 256 ഘട്ടം 2: √256 = 16 കണ്ടെത്തുക ഘട്ടം 3: യഥാർത്ഥ സംഖ്യയിലെ വിസ്തീർണ്ണ സ്ഥാനങ്ങളുടെ എണ്ണം എഴുതുക (2) ഘട്ടം 4: വിസ്തീർണ്ണ പോയിന്റ് വെയ്ക്കുക → √2.56 = 1.6

5.6 വര്ഗ്ഗത്തിന്റെ തോത് അനുമാനിക്കുക

ഉദാഹരണം: √300 അനുമാനിക്കുക

ഞങ്ങൾ അറിയുന്നത്: 17² = 289 മറുവക്കുറിച്ച് 18² = 324 300 അതിൽ 289 മറുവക്കുറിച്ച് 324 ഇടയിലാണ്, √300 അതിൽ 17 മറുവക്കുറിച്ച് 18 ഇടയിലാണ്

5.7 വാക്കുകളുടെ പ്രശ്നങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 1: 180-ല്‍ എത്ര ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ കൂട്ടിക്കൊണ്ട് ഒരു പൂർണ്ണ വര്ഗ്ഗം ലഭിക്കും?

ഉത്തരം: 180 = 2² × 3² × 5 ഇത് ഒരു പൂർണ്ണ വര്ഗ്ഗമാക്കാൻ 5 കൂട്ടിക്കൊണ്ടാണ് 180 × 5 = 900 = 30²

ഉദാഹരണം 2: ഒരു ചെഴുളയുടെ വിസ്തീർണ്ണം 2025 മീറ്റർ². അതിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരം: വശം = √2025 = 45 മീറ്റർ

ഓർമ്മിക്കേണ്ട പ്രധാന കാര്യങ്ങൾ:

• പൂർണ്ണ വര്ഗ്ഗങ്ങൾ 0, 1, 4, 5, 6, അല്ലെങ്കിൽ 9 അടിസ്ഥാനമാക്കി അവസാനിക്കുന്നു
• ഒരു പൂർണ്ണ സംഖ്യയുടെ വര്ഗ്ഗം പൂർണ്ണമാണ്, ഒരു അപൂർണ്ണ സംഖ്യയുടെ വര്ഗ്ഗം അപൂർണ്ണമാണ്
• വര്ഗ്ഗത്തിന്റെ തോത് കണ്ടെത്താനുള്ള മൂന്ന് മാര്ഗ്ഗങ്ങൾ: ആവർത്തിച്ച് കുറയ്ക്കുന്നത്, അതിജ ഘടകീകരണം, ഭാഗം
• √(a × b) = √a × √b
• √(a ÷ b) = √a ÷ √b

📖 അടുത്ത ഘട്ടങ്ങൾ

1. പ്രാക്ടീസ് ചോദ്യങ്ങൾ: പ്രാക്ടീസ് ടെസ്റ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങളുടെ മനസ്സിലാവലുകൾ പരിശോധിക്കുക
2. പഠന ഉറവിലുകൾ: പൂർണ്ണമായ പഠന ഉറവിലുകൾ പരിശോധിക്കുക
3. മുമ്പത്തെ പാഠ്യപ്പുസ്തകങ്ങൾ: പരീക്ഷാ പാഠ്യപ്പുസ്തകങ്ങൾ അവലോകനം ചെയ്യുക
4. ദൈനംദിന ക്വിസ്: ഇന്നത്തെ ക്വിസ് എടുക്കുക