• प्राचीन आणि आधुनिक अभ्यासांमधील या संघर्षाच्या काळात; अशा अभ्यासासाठी नक्कीच काहीतरी सांगण्यासारखे आहे जो पायथागोरसपासून सुरू झाला नाही आणि आइन्स्टाईनपर्यंत संपणार नाही; परंतु तो सर्वात जुना आणि सर्वात तरुण आहे. - जी.एच. हार्डी

१.१ परिचय

संच ही संकल्पना आजच्या गणिताचा मूलभूत भाग म्हणून काम करते. आज ही संकल्पना गणिताच्या प्रत्येक शाखेत वापरली जात आहे. संबंध आणि फलनांच्या संकल्पना परिभाषित करण्यासाठी संच वापरले जातात. भूमिती, अनुक्रम, संभाव्यता इत्यादींच्या अभ्यासासाठी संचांचे ज्ञान आवश्यक आहे.

जॉर्ज कँटर (१८४५-१९१८ इ.स.)

संच सिद्धांत जर्मन गणितज्ञ जॉर्ज कँटर (१८४५-१९१८) यांनी विकसित केला. “त्रिकोणमितीय श्रेणींवरील समस्या” वर काम करताना त्यांना प्रथम संचांचा सामना झाला. या प्रकरणात, आपण संचांशी संबंधित काही मूलभूत व्याख्या आणि क्रियांची चर्चा करू.

१.२ संच आणि त्यांचे निरूपण

दैनंदिन जीवनात, आपण वारंवार विशिष्ट प्रकारच्या वस्तूंच्या संग्रहाबद्दल बोलतो, जसे की, पत्त्यांचा पॅक, लोकांची गर्दी, क्रिकेट संघ इत्यादी. गणितात देखील, आपल्याला संग्रहांचा सामना होतो, उदाहरणार्थ, नैसर्गिक संख्या, बिंदू, मूळ संख्या इत्यादी. अधिक विशेषतः, आपण खालील संग्रहांचे परीक्षण करतो:

(i) १० पेक्षा कमी विषम नैसर्गिक संख्या, म्हणजे, १, ३, ५, ७, ९

(ii) भारतातील नद्या

(iii) इंग्रजी वर्णमालेतील स्वर, म्हणजे, $a, e, i, o, u$

(iv) विविध प्रकारचे त्रिकोण

(v) २१० चे मूळ अवयव, म्हणजे, २,३,५ आणि ७

(vi) समीकरणाचे निरसन: $x^{2}-5 x+6=0$, म्हणजे, २ आणि ३.

आपण लक्षात घेतो की वरील प्रत्येक उदाहरण हे वस्तूंचा सु-परिभाषित संग्रह आहे अर्थात की दिलेल्या संग्रहात दिलेली विशिष्ट वस्तू आहे की नाही हे आपण निश्चितपणे ठरवू शकतो. उदाहरणार्थ, आपण असे म्हणू शकतो की नाईल नदी भारतातील नद्यांच्या संग्रहात येत नाही. दुसरीकडे, गंगा नदी या संग्रहात येते.

आपण खाली गणितात विशेषतः वापरल्या जाणाऱ्या संचांची आणखी काही उदाहरणे देतो, म्हणजे.

$\mathbf{N}$ : सर्व नैसर्गिक संख्यांचा संच

$\mathbf{Z}$ : सर्व पूर्णांकांचा संच

$\mathbf{Q}$ : सर्व परिमेय संख्यांचा संच

$\mathbf{R}$ : वास्तव संख्यांचा संच

$\mathbf{Z^{+}} $: धन पूर्णांकांचा संच

$\mathbf{Q^{+}} $: धन परिमेय संख्यांचा संच, आणि

$\mathbf{R^{+}} $: धन वास्तव संख्यांचा संच.

वरील दिलेल्या विशेष संचांची चिन्हे या पाठ्यपुस्तकात संदर्भित केली जातील.

पुन्हा, जगातील पाच सर्वात प्रसिद्ध गणितज्ञांचा संग्रह सु-परिभाषित नाही, कारण सर्वात प्रसिद्ध गणितज्ञ म्हणून निर्धारित करण्याचा निकष व्यक्तीपासून व्यक्तीपर्यंत बदलू शकतो. अशा प्रकारे, तो सु-परिभाषित संग्रह नाही.

आपण असे म्हणू की संच म्हणजे वस्तूंचा सु-परिभाषित संग्रह.

खालील मुद्दे लक्षात घेतले जाऊ शकतात:

(i) संचाचे घटक, अवयव आणि सदस्य हे समानार्थी शब्द आहेत.

(ii) संच सामान्यतः मोठ्या अक्षरांनी A, B, C, X, Y, Z इत्यादी द्वारे दर्शविले जातात.

(iii) संचाचे घटक लहान अक्षरांनी $a, b, c, x, y, z$ इत्यादी द्वारे दर्शविले जातात.

जर $a$ हा संच A चा घटक असेल, तर आपण म्हणतो की " $a$ हा A मध्ये आहे" ग्रीक चिन्ह $\in$ (एप्सिलॉन) ‘मध्ये आहे’ हा वाक्प्रचार दर्शवण्यासाठी वापरले जाते. अशा प्रकारे, आपण $a \in A$ लिहितो. जर ’ $b$ ’ हा संच $A$ चा घटक नसेल, तर आपण $b \notin A$ लिहितो आणि " $b$ हा A मध्ये नाही" असे वाचतो.

अशा प्रकारे, इंग्रजी वर्णमालेतील स्वरांच्या संचात $V$, $a \in V$ परंतु $b \notin V$. $P$ च्या मूळ अवयवांच्या संचात $30,3 \in P$ परंतु $15 \notin P$.

संच दर्शविण्याची दोन पद्धती आहेत:

(i) यादी किंवा सारणी रूप

(ii) संच-निर्माता रूप.

(i) यादी रूपात, संचाचे सर्व घटक सूचीबद्ध केले जातात, घटक स्वल्पविरामाने विभक्त केले जातात आणि कुरळे ब्रेसेसमध्ये { } बंद केले जातात. उदाहरणार्थ, ७ पेक्षा कमी सर्व सम धन पूर्णांकांचा संच यादी रूपात $\{2,4,6\}$ म्हणून वर्णन केला जातो. यादी रूपात संच दर्शविण्याची आणखी काही उदाहरणे खाली दिली आहेत:

(a) ४२ ला भागणाऱ्या सर्व नैसर्गिक संख्यांचा संच $\{1,2,3,6,7,14,21,42\}$ आहे.

टीप - यादी रूपात, घटक कोणत्या क्रमाने सूचीबद्ध केले आहेत हे गौण आहे. अशा प्रकारे, वरील संच $\{1,3,7,21,2,6,14,42\}$ म्हणून देखील दर्शविला जाऊ शकतो.

(b) इंग्रजी वर्णमालेतील सर्व स्वरांचा संच $\{a, e, i, o, u\}$ आहे.

(c) विषम नैसर्गिक संख्यांचा संच $\{1,3,5, \ldots\}$ द्वारे दर्शविला जातो. बिंदू आपल्याला सांगतात की विषम संख्यांची यादी अनिश्चित काळासाठी चालू राहते.

टीप - हे लक्षात घ्यावे की यादी रूपात संच लिहिताना एखादा घटक सामान्यतः पुनरावृत्ती होत नाही, म्हणजे, सर्व घटक भिन्न म्हणून घेतले जातात. उदाहरणार्थ, ‘SCHOOL’ हा शब्द तयार करणाऱ्या अक्षरांचा संच $\{S, C, H, O, L\}$ किंवा $\{H, O, L, C, S\}$ आहे. येथे, घटक सूचीबद्ध करण्याच्या क्रमाला कोणतेही महत्त्व नाही.

(ii) संच-निर्माता रूपात, संचाच्या सर्व घटकांमध्ये एक समान गुणधर्म असतो जो संचाबाहेरील कोणत्याही घटकात नसतो. उदाहरणार्थ, संच $\{a, e, i, o, u\}$ मध्ये, सर्व घटकांमध्ये एक समान गुणधर्म आहे, म्हणजे, त्यापैकी प्रत्येक इंग्रजी वर्णमालेतील स्वर आहे, आणि इतर कोणतेही अक्षर या गुणधर्माचा दावा करत नाही. हा संच $V$ ने दर्शवून, आपण लिहितो

$V=\{x: x$ हा इंग्रजी वर्णमालेतील स्वर आहे $\}$

हे लक्षात येऊ शकते की आपण संचाचा घटक $x$ (इतर कोणतेही चिन्ह जसे की अक्षरे $y, z$, इत्यादी वापरली जाऊ शकतात) हे चिन्ह वापरून वर्णन करतो ज्यानंतर एक कोलन " : " येते. कोलन चिन्हानंतर, आपण संचाच्या घटकांमध्ये असलेला वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्म लिहितो आणि नंतर संपूर्ण वर्णन कुरळे ब्रेसेसमध्ये बंद करतो. संच $V$ चे वरील वर्णन “सर्व $x$ चा संच जसे की $x$ हा इंग्रजी वर्णमालेतील स्वर आहे” असे वाचले जाते. या वर्णनात कुरळे ब्रेसेस “सर्वांचा संच” साठी उभे आहेत, कोलन “असे की” साठी उभे आहे. उदाहरणार्थ, संच

$A=\{x: x$ ही नैसर्गिक संख्या आहे आणि $3<x<10\}$ हे “सर्व $x$ चा संच जसे की $x$ ही नैसर्गिक संख्या आहे आणि $x$ हा ३ आणि १० मध्ये आहे.” असे वाचले जाते. म्हणून, संख्या ४, ५, ६, ७,८ आणि ९ हे संच $A$ चे घटक आहेत.

जर आपण वरील $(a),(b)$ आणि $(c)$ मध्ये वर्णन केलेले संच यादी रूपात $A, B$, $C$, अनुक्रमे दर्शवितो, तर $A, B, C$ खालीलप्रमाणे संच-निर्माता रूपात देखील दर्शविला जाऊ शकतो:

$A=\{x: x$ ही नैसर्गिक संख्या आहे जी ४२ ला भागते $\}$

$B=\{y: y$ हा इंग्रजी वर्णमालेतील स्वर आहे $\}$

$C=\{z: z$ ही विषम नैसर्गिक संख्या आहे $\}$

उदाहरण १ समीकरण $x^{2}+x-2=0$ च्या निरसन संचाला यादी रूपात लिहा.

उकल दिलेले समीकरण असे लिहिता येते

$$ (x-1)(x+2)=0 \text {, i. e., } x=1,-2 $$

म्हणून, दिलेल्या समीकरणाचा निरसन संच यादी रूपात $\{1,-2\}$ असे लिहिता येईल.

उदाहरण २ संच $\{x: x$ हा धन पूर्णांक आहे आणि $x^{2}<40\}$ यादी रूपात लिहा.

उकल आवश्यक संख्या $1,2,3,4,5,6$ आहेत. तर, दिलेला संच यादी रूपात $\{1,2,3,4,5,6\}$ आहे.

उदाहरण ३ संच $A=\{1,4,9,16,25, \ldots\}$ संच-निर्माता रूपात लिहा.

उकल आपण संच A असे लिहू शकतो

$$ A=\{x: x \text { is the square of a natural number }\} $$

वैकल्पिकरित्या, आपण लिहू शकतो

$$ A=\{x: x=n^{2}, \text { where } n \in \mathbf{N}\} $$

उदाहरण ४ संच $\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}\}$ संच-निर्माता रूपात लिहा.

उकल आपण पाहतो की दिलेल्या संचातील प्रत्येक सदस्याचा अंश हा छेदापेक्षा एक कमी आहे. तसेच, अंश १ पासून सुरू होतो आणि ६ पेक्षा जास्त नाही. म्हणून, संच-निर्माता रूपात दिलेला संच आहे

$$ \{ x: x=\frac{n}{n+1}, \text { where } n \text { is a natural number and } 1 \leq n \leq 6 \} $$

उदाहरण ५ यादी रूपात वर्णन केलेल्या डावीकडील प्रत्येक संचाचा संच-निर्माता रूपात वर्णन केलेल्या उजवीकडील समान संचाशी जुळवा:

$$ \begin{array}{ll} (i) \hspace{2 mm} \{P, R, I, N, C, A, L\} & (a) \hspace{2 mm} \{x: x \text{ is a positive integer and is a divisor of 18 } \} \\ (ii) \hspace{2 mm}\{0\} & (b)\hspace{2 mm} \{x: x \text{ is an integer and } x^{2}-9=0\} \\ (iii)\hspace{2 mm} \{1,2,3,6,9,18\} & (c)\hspace{2 mm} \{x: x \text { is a letter of the word PRINCIPAL }\} \\ (iv)\hspace{2 mm} \{{3,-3\}} & (d) \hspace{2 mm} \{x: x \text{ is an integer and } x+1=1\} \end{array} $$

उकल (d) मध्ये, PRINCIPAL या शब्दात ९ अक्षरे आहेत आणि दोन अक्षरे P आणि I पुनरावृत्ती होतात, म्हणून (i) (d) शी जुळते. त्याचप्रमाणे, (ii) (c) शी जुळते कारण $x+1=1$ चा अर्थ $x=0$ आहे. तसेच, १, २ ,३, ६, ९, १८ हे सर्व १८ चे विभाजक आहेत आणि म्हणून (iii) (a) शी जुळते. शेवटी, $x^{2}-9=0$ चा अर्थ $x=3,-3$ आहे आणि म्हणून (iv) (b) शी जुळते.

१.३ रिक्त संच

संच विचारात घ्या

$A=\{x: x$ हा सध्या शाळेत इयत्ता XI मध्ये शिकणारा विद्यार्थी आहे $\}$

आपण शाळेत जाऊ शकतो आणि सध्या शाळेतील इयत्ता XI मध्ये शिकणाऱ्या विद्यार्थ्यांची संख्या मोजू शकतो. अशा प्रकारे, संच A मध्ये मर्यादित संख्येने घटक असतात.

आपण आता दुसरा संच $B$ खालीलप्रमाणे लिहितो:

$B = \{x: x$ हा सध्या इयत्ता X आणि XI दोन्हीमध्ये शिकणारा विद्यार्थी आहे $\}$

आपण पाहतो की एक विद्यार्थी एकाच वेळी इयत्ता X आणि XI मध्ये शिकू शकत नाही. अशा प्रकारे, संच B मध्ये कोणताही घटक नसतो.

व्याख्या १ ज्या संचात कोणताही घटक नसतो त्याला रिक्त संच किंवा शून्य संच किंवा रिक्त संच म्हणतात.

या व्याख्येनुसार, B हा रिक्त संच आहे तर A रिक्त संच नाही. रिक्त संच $\phi$ किंवा { } या चिन्हाने दर्शविला जातो.

आपण खाली रिक्त संचांची काही उदाहरणे देतो.

(i) $A=\{x: 1<x<2, x$ ही नैसर्गिक संख्या आहे $\}$. तर A हा रिक्त संच आहे, कारण १ आणि २ मध्ये कोणतीही नैसर्गिक संख्या नाही.

(ii) $B=\{x: x^{2}-2=0$ आणि $x$ ही परिमेय संख्या आहे $\}$. तर $B$ हा रिक्त संच आहे कारण समीकरण $x^{2}-2=0$ $x$ च्या कोणत्याही परिमेय मूल्याने समाधानी होत नाही.

(iii) $C =$ $\{x: x$ ही २ पेक्षा मोठी सम मूळ संख्या आहे $\}$. तर $C$ हा रिक्त संच आहे, कारण २ ही एकमेव सम मूळ संख्या आहे.

(iv) $D=\{x: x^{2}=4, x.$ हा विषम आहे $\}$. तर $D$ हा रिक्त संच आहे, कारण समीकरण $x^{2}=4$ $x$ च्या कोणत्याही विषम मूल्याने समाधानी होत नाही.

१.४ मर्यादित आणि अनंत संच

$\quad A=\{1,2,3,4,5\}, \quad B=\{a, b, c, d, e, g\}$ आणि $\quad C=\{$ सध्या जगातील विविध भागात राहणारे पुरुष $\}$

आपण पाहतो की A मध्ये ५ घटक आहेत आणि B मध्ये ६ घटक आहेत. $C$ मध्ये किती घटक आहेत? जसे आहे, आपल्याला $C$ मधील घटकांची संख्या माहित नाही, परंतु ती काही नैसर्गिक संख्या आहे जी खूप मोठी संख्या असू शकते. संच $S$ च्या घटकांच्या संख्येने, आपण संचाच्या भिन्न घटकांची संख्या समजतो आणि आपण ती $n$ (S) ने दर्शवतो. जर $n$ (S) ही नैसर्गिक संख्या असेल, तर $S$ हा रिक्तेतर मर्यादित संच आहे.

नैसर्गिक संख्यांचा संच विचारात घ्या. आपण पाहतो की या संचाच्या घटकांची संख्या मर्यादित नाही कारण नैसर्गिक संख्या अनंत आहेत. आपण असे म्हणतो की नैसर्गिक संख्यांचा संच हा अनंत संच आहे. वरील दिलेले संच A, B आणि C हे मर्यादित संच आहेत आणि $n(A)=5, n(B)=6$ आणि $n(C)=$ काही मर्यादित संख्या आहे.

व्याख्या २ जो संच रिक्त असतो किंवा निश्चित संख्येने घटक असतात त्याला मर्यादित म्हणतात अन्यथा, संचाला अनंत म्हणतात.

काही उदाहरणे विचारात घ्या:

(i) $W$ हा आठवड्याच्या दिवसांचा संच असू द्या. तर $W$ मर्यादित आहे.

(ii) $S$ हे समीकरण $x^{2}-16=0$ च्या निरसनांचा संच असू द्या. तर $S$ मर्यादित आहे.

(iii) $G$ ही रेषेवरील बिंदूंचा संच असू द्या. तर $G$ अनंत आहे.

जेव्हा आपण संच यादी रूपात दर्शवतो, तेव्हा आपण संचाचे सर्व घटक कुरळे ब्रेसेसमध्ये { } लिहितो. अनंत संचाचे सर्व घटक कुरळे ब्रेसेसमध्ये { } लिहिणे शक्य नाही कारण अशा संचाच्या घटकांची संख्या मर्यादित नाही. म्हणून, आपण दर्शवितो काही अनंत संच यादी रूपात काही घटक लिहून जे संचाची रचना स्पष्टपणे दर्शवतात त्यानंतर (किंवा आधी) तीन बिंदू.

उदाहरणार्थ, $\{1,2,3 \ldots\}$ हा नैसर्गिक संख्यांचा संच आहे, $\{1,3,5,7, \ldots\}$ हा विषम नैसर्गिक संख्यांचा संच आहे, $\{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots\}$ हा पूर्णांकांचा संच आहे. हे सर्व संच अनंत आहेत.

टीप - सर्व अनंत संच यादी रूपात वर्णन केले जाऊ शकत नाहीत. उदाहरणार्थ, वास्तव संख्यांचा संच या रूपात वर्णन केला जाऊ शकत नाही, कारण या संचाचे घटक कोणताही विशिष्ट नमुना अनुसरण करत नाहीत.

उदाहरण ६ खालीलपैकी कोणते संच मर्यादित किंवा अनंत आहेत ते सांगा:

(i) $\{x: x \in N$ आणि $(x-1)(x-2)=0\}$

(ii) $\{x: x \in N.$ आणि $.x^{2}=4\}$

(iii) $\{x: x \in N$ आणि $2 x-1=0\}$

(iv) $\quad\{x: x \in N$ आणि $x$ ही मूळ संख्या आहे $\}$

(v) $\{x: x \in N$ आणि $x$ ही विषम संख्या आहे $\}$

उकल (i) दिलेला संच $=\{1,2\}$. म्हणून, तो मर्यादित आहे.

(ii) दिलेला संच $=\{2\}$. म्हणून, तो मर्यादित आहे.

(iii) दिलेला संच $=\phi$. म्हणून, तो मर्यादित आहे.

(iv) दिलेला संच हा सर्व मूळ संख्यांचा संच आहे आणि मूळ संख्यांचा संच अनंत असल्याने. म्हणून दिलेला संच अनंत आहे

(v) विषम संख्या अनंत असल्याने, म्हणून, दिलेला संच अनंत आहे.

१.५ समान संच

दोन संच A आणि B दिले असता, जर A चा प्रत्येक घटक B चा देखील घटक असेल आणि जर B चा प्रत्येक घटक A चा देखील घटक असेल, तर संच A आणि B समान आहेत असे म्हटले जाते. स्पष्टपणे, दोन्ही संचांमध्ये नक्की समान घटक असतात.

व्याख्या ३ दोन संच A आणि B समान आहेत असे म्हटले जाते जर त्यांचे नक्की समान घटक असतील आणि आपण $A=B$ लिहू. अन्यथा, संच असमान आहेत असे म्हटले जाते आणि आपण $A \neq B$ लिहू.

आपण खालील उदाहरणे विचारात घेतो:

(i) $A=\{1,2,3,4\}$ आणि $B=\{3,1,4,2\}$. तर $A=B$.

(ii) $A$ हा ६ पेक्षा कमी मूळ संख्यांचा संच असू द्या आणि $P$ हा ३० च्या मूळ अवयवांचा संच असू द्या. तर A आणि P समान आहेत, कारण २, ३ आणि ५ हे ३० चे एकमेव मूळ अवयव आहेत आणि ते देखील ६ पेक्षा कमी आहेत.

टीप - संचातील एक किंवा अधिक घटक पुनरावृत्ती झाल्यास संच बदलत नाही. उदाहरणार्थ, संच $A=\{1,2,3\}$ आणि $B=\{2,2,1,3,3\}$ समान आहेत, कारण A चा प्रत्येक घटक B मध्ये आहे आणि त्याउलट. म्हणूनच आपण सामान्यतः संचाचे वर्णन करताना कोणताही घटक पुनरावृत्ती करत नाही.

उदाहरण ७ समान संचांच्या जोड्या शोधा, जर काही असतील तर, कारणे द्या:

$$ \begin{aligned} & A=\{0\}, \quad B=\{x: x>15 \text { and } x<5\}, \\ & C=\{x: x-5=0\}, \quad D=\{x: x^{2}=25\}, \\ & E=\{x: x \text { is an integral positive root of the equation } x^{2}-2 x-15=0\} \end{aligned} $$

उकल $0 \in A$ आणि $0$ हा $B, C, D$ आणि $E$ यापैकी कोणत्याही संचात येत नसल्यामुळे, ते अनुसरण करते की, $A \neq B, A \neq C, A \neq D, A \neq E$.

$B=\phi$ पासून परंतु इतर कोणतेही संच रिक्त नाहीत. म्हणून $B \neq C, B \neq D$ आणि $B \neq E$. तसेच $C=\{5\}$ परंतु $-5 \in D$, म्हणून $C \neq D$.

$E=\{5\}, C=E$ पासून. पुढे, $D=\{-5,5\}$ आणि $E=\{5\}$, आपल्याला आढळते की, $D \neq E$. अशा प्रकारे, समान संचांची एकमेव जोडी $C$ आणि $E$ आहे.

उदाहरण ८ खालीलपैकी कोणती संचांची जोडी समान आहे? तुमचे उत्तर समर्थित करा.

(i) X, “ALLOY” मधील अक्षरांचा संच आणि B, “LOYAL” मधील अक्षरांचा संच.

(ii) $A=\{n: n \in Z.$ आणि $.n^{2} \leq 4\}$ आणि $B=\{x: x \in R.$ आणि $.x^{2}-3 x+2=0\}$.

उकल (i) आपल्याकडे, $X=\{A, L, L, O, Y\}, B=\{L, O, Y, A, L\}$ आहे. तर $X$ आणि $B$ हे समान संच आहेत कारण संचातील घटकांची पुनरावृत्ती संच बदलत नाही. अशा प्रकारे,

$$ X=\{A, L, O, Y\}=B $$

(ii) $A=\{-2,-1,0,1,2\}, B=\{1,2\}$. $0 \in A$ आणि $0 \notin B, A$ आणि $B$ पासून समान संच नाहीत.

१.६ उपसंच

संच विचारात घ्या: $X=$ तुमच्या शाळेतील सर्व विद्यार्थ्यांचा संच, $Y=$ तुमच्या वर्गातील सर्व विद्यार्थ्यांचा संच.

आपण लक्षात घेतो की $Y$ चा प्रत्येक घटक $X$ चा देखील घटक आहे; आपण असे म्हणतो की $Y$ हा $X$ चा उपसंच आहे. $Y$ हा $X$ चा उपसंच आहे ही वस्तुस्थिती $Y \subset X$ या चिन्हांमध्ये व्यक्त केली जाते. चिन्ह $\subset$ ‘चा उपसंच आहे’ किंवा ‘मध्ये समाविष्ट आहे’ साठी उभे आहे.

व्याख्या ४ $A$ संच $A$ ला संच $B$ चा उपसंच म्हटले जाते जर $A$ चा प्रत्येक घटक B चा देखील घटक असेल.

दुसऱ्या शब्दांत, $A \subset B$ जर जेव्हा $a \in A$, तेव्हा $a \in B$. " $\Rightarrow$ " हे चिन्ह वापरणे अनेकदा सोयीचे असते ज्याचा अर्थ सूचित करते. हे चिन्ह वापरून, आपण उपसंचाची व्याख्या खालीलप्रमाणे लिहू शकतो:

$$ A \subset B \text { if } a \in A \Rightarrow a \in B $$

आपण वरील विधान " $A$ हा $B$ चा उपसंच आहे जर $a$ हा $A$ चा घटक असेल तर सूचित करते की $a$ हा देखील $B$ चा घटक आहे" असे वाचतो. जर $A$ हा $B$ चा उपसंच नसेल, तर आपण $A \not \subset B$ लिहू.

आपण लक्षात घेऊ शकतो की $A$ हा $B$ चा उपसंच असण्यासाठी, आवश्यक असलेली सर्व गोष्ट म्हणजे A चा प्रत्येक घटक B मध्ये आहे. हे शक्य आहे की B चा प्रत्येक घटक A मध्ये असू शकतो किंवा नसू शकतो. जर असे घडले की $B$ चा प्रत्येक घटक $A$ मध्ये देखील असेल, तर आपल्याकडे $B \subset A$ देखील असेल. या प्रकरणात, $A$ आणि $B$ समान संच आहेत जेणेकरून आपल्याकडे $A \subset B$ आणि $B \subset A \Leftrightarrow A=B$ आहे, जेथे " $\Leftrightarrow$ " हे दोन मार्गांच्या सूचनांसाठी चिन्ह आहे, आणि सामान्यतः जर आणि फक्त जर (थोडक्यात “iff” म्हणून लिहिलेले) असे वाचले जाते.

वरील व्याख्येवरून असे दिसून येते की प्रत्येक संच $A$ स्वतःचा उपसंच आहे, म्हणजे, $A \subset A$. रिक्त संच $\phi$ मध्ये कोणतेही घटक नसल्यामुळे, आपण असे मान्य करतो की $\phi$ हा प्रत्येक संचाचा उपसंच आहे. आपण आता काही उदाहरणे विचारात घेतो:

(i) परिमेय संख्यांचा संच $\mathbf{Q}$ हा वास्तव संख्यांच्या संच $\mathbf{R}$ चा उपसंच आहे, आणि आपण $\mathbf{Q} \subset R$ लिहितो.

(ii) जर ⟦231