तुमच्या विद्यार्थ्यांना ज्ञान आणि वास्तविक जीवन यांच्यातील संबंध अगदी स्पष्ट दिसू द्या आणि ज्ञानाद्वारे जग कसे बदलले जाऊ शकते हे त्यांना समजू द्या. - बर्ट्रांड रसल

१०.१ परिचय

मागील अध्याय १० मध्ये, आपण रेषेची विविध समीकरणे अभ्यासली आहेत. या अध्यायात, आपण इतर काही वक्रांचा अभ्यास करू, जसे की वर्तुळ, लंबवर्तुळ, परवलय आणि अतिपरवलय. परवलय आणि अतिपरवलय ही नावे अपोलोनियसने दिली आहेत. हे वक्र प्रत्यक्षात शांकव छेद किंवा सामान्यतः शांकव म्हणून ओळखले जातात कारण ते द्विनाभीय लंब वृत्तशंकूच्या छेदनातून मिळू शकतात. या वक्रांचा ग्रहांच्या गती, दुर्बिणी आणि अँटेनाच्या डिझाइन, फ्लॅशलाइट्स आणि ऑटोमोबाईल हेडलाइट्समधील परावर्तक इत्यादी क्षेत्रांमध्ये खूप मोठ्या प्रमाणात उपयोग होतो.

अपोलोनियस (इ.स.पू. २६२ - इ.स.पू. १९०)

आता, पुढील विभागांमध्ये आपण पाहू की द्विनाभीय लंब वृत्तशंकू आणि समतल यांच्या छेदनामुळे कशा प्रकारचे वेगवेगळे वक्र तयार होतात.

१०.२ शंकूचे छेद

समजा $l$ ही एक निश्चित उभी रेषा आहे आणि $m$ ही दुसरी रेषा आहे जी तिला एका निश्चित बिंदू $V$ वर छेदते आणि तिच्याशी $\alpha$ कोन करते (आकृती १०.१).

आकृती १०.१

समजा आपण रेषा $m$ ला रेषा $l$ च्या भोवती अशा प्रकारे फिरवतो की कोन $\alpha$ स्थिर राहतो. तर निर्माण होणारी पृष्ठभाग ही द्विनाभीय लंब वृत्तशंकू आहे जिला यापुढे शंकू म्हणून संबोधले जाईल आणि ती दोन्ही दिशांमध्ये अनंतापर्यंत पसरलेली आहे (आकृती १०.२).

आकृती १०.२

बिंदू $V$ ला शंकूचा शिरोबिंदू म्हणतात; रेषा $l$ ही शंकूची अक्ष आहे. फिरणाऱ्या रेषा $m$ ला शंकूची जनक रेषा म्हणतात. शिरोबिंदू शंकूला दोन भागांमध्ये विभागतो ज्यांना नाभी म्हणतात.

जर आपण शंकूसह समतलाचे छेदन घेतले, तर मिळालेल्या छेदाला शांकव छेद म्हणतात. अशाप्रकारे, शांकव छेद हे लंब वृत्तशंकूला समतलाने छेदल्यावर मिळणारे वक्र आहेत.

शंकूच्या संदर्भात छेदणाऱ्या समतलाच्या स्थितीवर आणि त्याने शंकूच्या उभ्या अक्षाशी केलेल्या कोनावर अवलंबून आपल्याला विविध प्रकारचे शांकव छेद मिळतात. समजा $\beta$ हा छेदणाऱ्या समतलाने शंकूच्या उभ्या अक्षाशी केलेला कोन आहे (आकृती १०.३).

आकृती १०.३

समतलाचे शंकूशी छेदन एकतर शंकूच्या शिरोबिंदूवर किंवा नाभीच्या खालच्या किंवा वरच्या कोणत्याही इतर भागावर होऊ शकते.

१०.२.१ वर्तुळ, लंबवर्तुळ, परवलय आणि अतिपरवलय

जेव्हा समतल शंकूच्या नाभीला (शिरोबिंदू व्यतिरिक्त) छेदते, तेव्हा आपल्याला पुढील परिस्थिती दिसतात:

(अ) जेव्हा $\beta=90^{\circ}$, तेव्हा छेद हे वर्तुळ असते (आकृती १०.४).

आकृती १०.४

(ब) जेव्हा $\alpha<\beta<90^{\circ}$, तेव्हा छेद हे लंबवर्तुळ असते (आकृती १०.५).

आकृती १०.५

(क) जेव्हा $\beta=\alpha$; तेव्हा छेद हा परवलय असतो (आकृती १०.६).

आकृती १०.६

(वरील तीनही परिस्थितींमध्ये, समतल शंकूच्या एका नाभीला संपूर्णपणे छेदते).

(ड) जेव्हा $0 \leq \beta<\alpha$; तेव्हा समतल दोन्ही नाभींना छेदते आणि छेदन वक्र हे अतिपरवलय असते (आकृती १०.७).

आकृती १०.७

१०.२.२ अपभ्रष्ट शांकव छेद

जेव्हा समतल शंकूच्या शिरोबिंदूला छेदते, तेव्हा आपल्याला पुढील वेगवेगळे प्रकार दिसतात:

(अ) जेव्हा $\alpha<\beta \leq 90^{\circ}$, तेव्हा छेद हा एक बिंदू असतो (आकृती १०.८).

आकृती १०.८

(ब) जेव्हा $\beta=\alpha$, तेव्हा समतलामध्ये शंकूची एक जनक रेषा असते आणि छेद ही एक सरळ रेषा असते (आकृती १०.९).

आकृती १०.९

हा परवलयाचा अपभ्रष्ट प्रकार आहे.

(क) जेव्हा $0 \leq \beta<\alpha$, तेव्हा छेद ही एकमेकांना छेदणाऱ्या सरळ रेषांची जोडी असते (आकृती १०.१०). हा अतिपरवलयाचा अपभ्रष्ट प्रकार आहे.

आकृती १०.८ (अ)

आकृती १०.८ (ब)

पुढील विभागांमध्ये, आपण या प्रत्येक शांकव छेदांची समीकरणे भौमितिक गुणधर्मांवर आधारित त्यांची व्याख्या करून मानक स्वरूपात मिळवू.

१०.३ वर्तुळ

व्याख्या १ वर्तुळ हा समतलातील सर्व बिंदूंचा संच आहे जे समतलातील एका निश्चित बिंदूपासून समान अंतरावर असतात.

निश्चित बिंदूला वर्तुळाचे केंद्र म्हणतात आणि केंद्रापासून वर्तुळावरील एका बिंदूपर्यंतच्या अंतराला वर्तुळाची त्रिज्या म्हणतात (आकृती १०.११).

आकृती १०.११

वर्तुळाचे केंद्र मूळबिंदूवर असल्यास वर्तुळाचे समीकरण सर्वात सोपे असते. तथापि, आपण खाली दिलेल्या केंद्र आणि त्रिज्येच्या वर्तुळाचे समीकरण काढू (आकृती १०.१२).

आकृती १०.१२

समजा $C(h, k)$ हे केंद्र आहे आणि $r$ ही वर्तुळाची त्रिज्या आहे. समजा $P(x, y)$ हा वर्तुळावरील कोणताही बिंदू आहे (आकृती १०.१२). तर, व्याख्येनुसार, $|CP|=r$. अंतर सूत्रानुसार, आपल्याकडे आहे

म्हणजे

$ \begin{aligned} & \sqrt{(x-h)^{2}+-k)^{2}}=r \\ & (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} \end{aligned} $

हे $(h, k)$ केंद्र असलेल्या आणि $r$ त्रिज्या असलेल्या वर्तुळाचे आवश्यक समीकरण आहे.

उदाहरण १ $(0,0)$ केंद्र आणि $r$ त्रिज्या असलेल्या वर्तुळाचे समीकरण शोधा.

उकल इथे $h=k=0$. म्हणून, वर्तुळाचे समीकरण $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ आहे.

उदाहरण २ $(-3,2)$ केंद्र आणि ४ त्रिज्या असलेल्या वर्तुळाचे समीकरण शोधा.

उकल इथे $h=-3, k=2$ आणि $r=4$. म्हणून, आवश्यक वर्तुळाचे समीकरण आहे

$$ (x+3)^{2}+(y-2)^{2}=16 $$

उदाहरण ३ वर्तुळ $x^{2}+y^{2}+8 x+10 y-8=0$ चे केंद्र आणि त्रिज्या शोधा.

उकल दिलेले समीकरण आहे

$$ (x^{2}+8 x)+(y^{2}+10 y)=8 $$

आता, कंसातील पूर्ण वर्ग पूर्ण करून, आपल्याला मिळते

$ (x^{2}+8 x+16)+(y^{2}+10 y+25)=8+16+25 $

म्हणजे

$ (x+4)^{2}+(y+5)^{2}=49 $

म्हणजे

$[x-(-4)]^2 + [y-(-5)]^2 = 7^2$

म्हणून, दिलेल्या वर्तुळाचे केंद्र $(-4,-5)$ येथे आहे आणि त्रिज्या ७ आहे.

उदाहरण ४ अशा वर्तुळाचे समीकरण शोधा जे $(2,-2)$, आणि $(3,4)$ बिंदूंमधून जाते आणि ज्याचे केंद्र रेषा $x+y=2$ वर आहे.

उकल समजा वर्तुळाचे समीकरण $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ आहे.

वर्तुळ $(2,-2)$ आणि $(3,4)$ मधून जात असल्याने, आपल्याकडे आहे

$$ \begin{equation*} (2-h)^{2}+(-2-k)^{2}=r^{2} \tag{1} \end{equation*} $$

आणि $$ \begin{equation*} (3-h)^{2}+(4-k)^{2}=r^{2} \tag{2} \end{equation*} $$

तसेच केंद्र रेषा $x+y=2$ वर असल्याने, आपल्याकडे आहे

$$ \begin{equation*} h+k=2 \tag{3} \end{equation*} $$

समीकरणे (१), (२) आणि (३) सोडवल्यास, आपल्याला मिळते

$ h=0.7, \quad k=1.3 \text{ and } r^{2}=12.58 $

म्हणून, आवश्यक वर्तुळाचे समीकरण आहे

$ (x-0.7)^{2}+(y-1.3)^{2}=12.58 . $

१०.४ परवलय

व्याख्या २ परवलय हा समतलातील सर्व बिंदूंचा संच आहे जे समतलातील एका निश्चित रेषेपासून आणि एका निश्चित बिंदूपासून (रेषेवर नसलेला) समान अंतरावर असतात.

निश्चित रेषेला परवलयाची नियता म्हणतात आणि निश्चित बिंदू $F$ ला नाभी म्हणतात (आकृती १०.१३). (‘पॅरा’ म्हणजे ‘साठी’ आणि ‘बोला’ म्हणजे ‘फेकणे’, म्हणजेच, तुम्ही चेंडू हवेत फेकल्यावर तयार होणारा आकार).

आकृती १०.१३

टीप - जर निश्चित बिंदू निश्चित रेषेवर असेल, तर समतलातील ते बिंदूंचे संच, जे निश्चित बिंदूपासून आणि निश्चित रेषेपासून समान अंतरावर असतात, ती सरळ रेषा निश्चित बिंदूमधून जाते आणि निश्चित रेषेला लंब असते. आपण या सरळ रेषेला परवलयाचा अपभ्रष्ट प्रकार म्हणतो.

नाभीमधून जाणारी आणि नियतेला लंब असलेल्या रेषेला परवलयाचा अक्ष म्हणतात. परवलयाचा अक्षाशी छेदनबिंदूला परवलयाचा शिरोबिंदू म्हणतात (आकृती १०.१४).

आकृती १०.१४

१०.४.१ परवलयाची मानक समीकरणे

परवलयाचे समीकरण सर्वात सोपे असते जर शिरोबिंदू मूळबिंदूवर असेल आणि सममितीचा अक्ष $x$-अक्ष किंवा $y$-अक्षाच्या बाजूने असेल. अशा परवलयाच्या चार संभाव्य अभिमुखता खालील आकृती १०.१५ (अ) ते (ड) मध्ये दाखवल्या आहेत.

(अ)

(ब)

$x^{2}=4 a y$

(क)

$x^{2}=-4 a y$

(ड)

आपण वरील आकृती १०.१५ (अ) मध्ये दाखवलेल्या परवलयाचे समीकरण, नाभी $(a, 0) a>0$; आणि नियता $x=-a$ असल्यास, खालीलप्रमाणे काढू:

समजा $F$ ही नाभी आहे आणि $l$ ही नियता आहे. समजा FM ही नियतेला लंब आहे आणि FM ला बिंदू O वर दुभागते. MO ला X पर्यंत वाढवा. $(-a, y)$ B व्याख्येनुसार परवलयाचा, मध्यबिंदू $O$ परवलयावर आहे आणि त्याला परवलयाचा शिरोबिंदू म्हणतात. $O$ ला मूळबिंदू म्हणून घ्या, $OX$ हा $x$-अक्ष आणि $OY$ त्याला लंब असलेला $y$-अक्ष म्हणून घ्या. समजा नियतेपासून नाभीपर्यंतचे अंतर $2 a$ आहे. तर, नाभीचे निर्देशांक $(a, 0)$ आहेत, आणि नियतेचे समीकरण $x+a=0$ आहे जसे आकृती १०.१६ मध्ये आहे.

आकृती $\mathbf{1 0 . 1 6}$

समजा $P(x, y)$ हा परवलयावरील कोणताही बिंदू आहे जसे की

$$ PF=PB, \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) $$

जिथे $PB$ हा $l$ ला लंब आहे. $B$ चे निर्देशांक $(-a, y)$ आहेत. अंतर सूत्रानुसार, आपल्याकडे आहे

$ PF=\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}} \text{ and } PB=\sqrt{(x+a)^{2}} $

$PF=PB$ असल्याने, आपल्याकडे आहे

$ \sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}}=\sqrt{(x+a)^{2}} $

म्हणजे $ \quad\quad\quad(x-a)^{2}+y^{2}=(x+a)^{2}$

किंवा $\quad\quad\quad x^{2}-2 a x+a^{2}+y^{2}=x^{2}+2 a x+a^{2}$

किंवा $\quad\quad\quad y^{2}=4 a x(a>0)$.

म्हणून, परवलयावरील कोणताही बिंदू पूर्ण करतो

$ y^{2}=4 a x \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2) $

याउलट, समजा $P(x, y)$ समीकरण (२) पूर्ण करतो

$ \begin{aligned} PF & =\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}} \quad=\sqrt{(x-a)^{2}+4 a x} \\ & =\sqrt{(x+a)^{2}}=PB \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3) \end{aligned} $

आणि म्हणून $P(x, y)$ परवलयावर आहे.

अशाप्रकारे, (२) आणि (३) वरून आपण सिद्ध केले आहे की मूळबिंदूवर शिरोबिंदू, $(a, 0)$ वर नाभी आणि $x=-a$ नियता असलेल्या परवलयाचे समीकरण $y^{2}=4 a x$ आहे.

चर्चा समीकरण (२) मध्ये, $a>0, x$ कोणतेही धन मूल्य किंवा शून्य घेऊ शकते परंतु ऋण मूल्य घेऊ शकत नाही आणि वक्र प्रथम आणि चतुर्थ चरणात अनंतापर्यंत पसरते. परवलयाचा अक्ष हा धन $x$-अक्ष आहे.

त्याचप्रमाणे, आपण खालील परवलयांची समीकरणे काढू शकतो:

आकृती ११.१५ (ब) मध्ये $y^{2}=-4 a x$,

आकृती ११.१५ (क) मध्ये $x^{2}=4 a y$,

आकृती $11.15(d)$ मध्ये $x^{2}=-4 a y$,

या चार समीकरणांना परवलयांची मानक समीकरणे म्हणतात.

टीप - परवलयांच्या मानक समीकरणांमध्ये नाभी एका निर्देशांक अक्षावर असते; शिरोबिंदू मूळबिंदूवर असतो आणि त्यामुळे नियता इतर निर्देशांक अक्षाच्या समांतर असते. तथापि, कोणत्याही बिंदूवर नाभी आणि कोणतीही रेषा नियता म्हणून घेऊन परवलयांच्या समीकरणांचा अभ्यास येथे केलेल्या अभ्यासाच्या पलीकडे आहे.

परवलयांच्या मानक समीकरणांवरून, आकृती १०.१५, आपल्याला पुढील निरीक्षणे मिळतात:

१. परवलय हा परवलयाच्या अक्षाच्या संदर्भात सममितीय असतो. जर समीकरणात $y^{2}$ पद असेल, तर सममितीचा अक्ष $x$-अक्षाच्या बाजूने असतो आणि जर समीकरणात $x^{2}$ पद असेल, तर सममितीचा अक्ष $y$-अक्षाच्या बाजूने असतो.

२. जेव्हा सममितीचा अक्ष $x$-अक्षाच्या बाजूने असतो तेव्हा परवलय खालीलप्रमाणे उघडतो

(अ) उजवीकडे जर $x$ चा सहगुणक धन असेल,

(ब) डावीकडे जर $x$ चा सहगुणक ऋण असेल.

३. जेव्हा सममितीचा अक्ष $y$-अक्षाच्या बाजूने असतो तेव्हा परवलय खालीलप्रमाणे उघडतो

(क) वरच्या दिशेने जर $y$ चा सहगुणक धन असेल.

(ड) खालच्या दिशेने जर $y$ चा सहगुणक ऋण असेल.

१०.४.२ नाभिलंब

व्याख्या ३ परवलयाचा नाभिलंब हा एक रेषाखंड आहे जो परवलयाच्या अक्षाला लंब असतो, नाभीमधून जातो आणि ज्याचे टोकाचे बिंदू परवलयावर असतात (आकृती १०.१७).

आकृती १०.१७

परवलय $ y^{2}= 4 a x $ च्या नाभिलंबाची लांबी शोधण्यासाठी (आकृती १०.१८).

आकृती १०.१८

परवलयाच्या व्याख्येनुसार, $AF=AC$.

परंतु $ \mathrm{AC}=\mathrm{FM}=2 a $

म्हणून $ \mathrm{AF}=2 a $

आणि परवलय $x$-अक्षाच्या संदर्भात सममितीय असल्याने $AF=FB$ आणि म्हणून

$AB=$ नाभिलंबाची लांबी $=4 a$.

उदाहरण ५ परवलय $y^{2}=8 x$ च्या नाभीचे निर्देशांक, अक्ष, नियतेचे समीकरण आणि नाभिलंब शोधा.

उकल दिलेल्या समीकरणात $y^{2}$ समाविष्ट आहे, म्हणून सममितीचा अक्ष $x$-अक्षाच्या बाजूने आहे.

$x$ चा सहगुणक धन आहे म्हणून परवलय उजवीकडे उघडतो. दिलेल्या समीकरणाशी $y^{2}=4 a x$ तुलना केल्यास, आपल्याला आढळते की $a=2$.

अशाप्रकारे, परवलयाची नाभी $(2,0)$ आहे आणि परवलयाच्या नियतेचे समीकरण $x=-2$ आहे (आकृती १०.१९).

आकृती १०.१९

नाभिलंबाची लांबी $4 a=4 \times 2=8$ आहे.

उदाहरण ६ $(2,0)$ नाभी आणि $x=-2$ नियता असलेल्या परवलयाचे समीकरण शोधा.

उकल नाभी $(2,0)$ ही $x$-अक्षावर असल्याने, $x$-अक्ष स्वतः परवलयाचा अक्ष आहे. म्हणून परवलयाचे समीकरण एकतर $y^{2}=4 a x$ किंवा $y^{2}=-4 a x$ या स्वरूपातील आहे. नियता $x=-2$ आहे आणि नाभी $(2,0)$ आहे, म्हणून परवलय $y^{2}=4 a x$ या स्वरूपातील असावा जिथे $a=2$. म्हणून आवश्यक समीकरण आहे

$ y^{2}=4(2) x=8 x $

उदाहरण ७ $(0,0)$ शिरोबिंदू आणि $(0,2)$ नाभी असलेल्या परवलयाचे समीकरण शोधा.

उकल शिरोबिंदू $(0,0)$ येथे आहे आणि नाभी $(0,2)$ येथे आहे जी $y$-अक्षावर आहे, म्हणून $y$-अक्ष हा परवलयाचा अक्ष आहे. म्हणून, परवलयाचे समीकरण $x^{2}=4 a y$ या स्वरूपातील आहे. अशाप्रकारे, आपल्याकडे आहे

$ x^{2}=4(2) y \text{, i.e., } x^{2}=8 y \text{. } $

उदाहरण ८ अशा परवलयाचे समीकरण शोधा जो $y$-अक्षाबद्दल सममितीय आहे आणि बिंदू $(2,-3)$ मधून जातो.

उकल परवलय $y$-अक्षाबद्दल सममितीय आहे आणि त्याचा शिरोबिंदू मूळबिंदूवर आहे, म्हणून समीकरण $x^{2}=4 a y$ किंवा $x^{2}=-4 a y$ या स्वरूपातील आहे, जिथे चिन्ह परवलय वरच्या दिशेने किंवा खालच्या दिशेने उघडतो यावर अवलंबून आहे. परंतु परवलय $(2,-3)$ मधून जातो जो चौथ्या चरणात आहे, त्यामुळे तो खालच्या दिशेने उघडला पाहिजे. अशाप्रकारे समीकरण $x^{2}=-4 a y$ या स्वरूपातील आहे.

परवलय $(2,-3)$ मधून जात असल्याने, आपल्याकडे आहे

$ 2^{2}=-4 a(-3) \text{, i.e., } a=\frac{1}{3} $

म्हणून, परवलयाचे समीकरण आहे

$ x^{2}=-4(\frac{1}{3}) y \text{, i.e., } 3 x^{2}=-4 y $

१०.५ लंबवर्तुळ

व्याख्या ४ लंबवर्तुळ हा समतलातील सर्व बिंदूंचा संच आहे, ज्यांच्या समतलातील दोन निश्चित बिंदूंपासूनच्या अंतरांची बेरीज ही एक स्थिरांक असते.

या दोन निश्चित बिंदूंना लंबवर्तुळाची नाभी (फोकसचे बहुवचन) म्हणतात (आकृती १०.२०).

आकृती १०.२०

टीप - स्थिरांक, जो लंबवर्तुळावरील एका बिंदूच्या दोन निश्चित बिंदूंपासूनच्या अंतरांची बेरीज आहे, तो नेहमी दोन निश्चित बिंदूंमधील अंतरापेक्षा मोठा असतो.

नाभींना जोडणाऱ्या रेषाखंडाचा मध्यबिंदू याला लंबवर्तुळाचे केंद्र म्हणतात. लंबवर्तुळाच्या नाभींमधून जाणारा रेषाखंड याला दीर्घ अक्ष म्हणतात आणि केंद्रातून जाणारा आणि दीर्घ अक्षाला लंब असलेला रेषाखंड याला लघु अक्ष म्हणतात. दीर्घ अक्षाच्या टोकाच्या बिंदूंना लंबवर्तुळाचे शिरोबिंदू म्हणतात (आकृती १०.२१).

आकृती १०.२१

आपण दीर्घ अक्षाची लांबी $2 a$ ने, लघु अक्षाची लांबी $2 b$ ने आणि नाभींमधील अंतर $2 c$ ने दर्शवतो. अशाप्रकारे, अर्धदीर्घ अक्षाची लांबी $a$ आहे आणि अर्धलघु अक्षाची लांबी $b$ आहे (आकृती १०.२२).

आकृती १०.२२

१०.५.१ अर्धदीर्घ अक्ष, अर्धलघु अक्ष आणि नाभीचे केंद्रापासूनचे अंतर यांच्यातील संबंध (आकृती १०.२३)

आकृती १०.२३

लघु अक्षाच्या एका टोकाला एक बिंदू $P$ घ्या.

बिंदू $P$ पासून नाभींपर्यंतच्या अंतरांची बेरीज आहे

$F_1P + F_2P = F_1O + OP + F_2P$

(कारण, $F_1P = F_1O + OP$)

$\quad \quad \quad \quad \quad = c + a +a - c = 2a$

लघु अक्षाच्या एका टोकाला Q बिंदू घ्या.

बिंदू Q पासून नाभींपर्यंतच्या अंतरांची बेरीज आहे

$F_1 P+F_2 Q=\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}=2 \sqrt{b^{2}+c^{2}}$

कारण दोन्ही $P$ आणि $Q$ लंबवर्तुळावर आहेत.

लंबवर्तुळाच्या व्याख्येनुसार, आपल्याकडे आहे

$ \begin{aligned} 2 \sqrt{b^{2}+c^{2}} & =2 a, \text{ i.e., } \quad a=\sqrt{b