गणित ही सर्व विज्ञानांची राणी आणि सेविका आहे - ई.टी. बेल

11.1 परिचय

तुम्हाला आठवत असेल की एका समतलातील बिंदूचे स्थान निश्चित करण्यासाठी, आपल्याला त्या समतलातील दोन एकमेकांना लंब असलेल्या छेदणाऱ्या रेषांची आवश्यकता असते. या रेषांना निर्देशक अक्ष म्हणतात आणि दोन संख्यांना त्या अक्षांच्या संदर्भात बिंदूचे निर्देशक म्हणतात. वास्तविक जीवनात, आपल्याला फक्त समतलात असलेल्या बिंदूंशीच सामोरे जावे लागत नाही. उदाहरणार्थ, अंतराळात फेकलेल्या चेंडूचे वेगवेगळ्या वेळीचे स्थान किंवा एखाद्या विमानाचे त्याच्या उड्डाणादरम्यान वेगवेगळ्या वेळी एका ठिकाणाहून दुसऱ्या ठिकाणी उड्डाण करतानाचे स्थान विचारात घ्या.

त्याचप्रमाणे, जर आपण एका खोलीच्या छतातून लटकत असलेल्या विद्युत दिव्याच्या सर्वात खालच्या टोकाचे स्थान किंवा खोलीतील छतावरील पंख्याच्या मध्यभागी असलेल्या टोकाचे स्थान निश्चित करू इच्छित असू, तर आपल्याला फक्त खोलीच्या दोन लंब भिंतींपासून बिंदूचे लंब अंतरच नव्हे तर त्या बिंदूची खोलीच्या मजल्यापासूनची उंचीही आवश्यक असेल. म्हणून, आपल्याला फक्त दोन नव्हे तर तीन संख्या आवश्यक आहेत, ज्या तीन परस्पर लंब समतलांपासूनच्या बिंदूच्या लंब अंतरांचे प्रतिनिधित्व करतात, म्हणजे खोलीचा मजला आणि खोलीच्या दोन लगतच्या भिंती. या तीन अंतरांचे प्रतिनिधित्व करणाऱ्या तीन संख्यांना तीन निर्देशक समतलांच्या संदर्भात बिंदूचे निर्देशक म्हणतात. म्हणून, अंतराळातील एका बिंदूचे तीन निर्देशक असतात. या प्रकरणात, आपण त्रिमितीय अंतराळातील भूमितीची मूलभूत संकल्पनांचा अभ्यास करू.*

11.2 त्रिमितीय अंतराळातील निर्देशक अक्ष आणि निर्देशक समतल

तीन समतलांचा एका बिंदू $O$ वर छेद होतो असे विचारात घ्या, जसे की ही तीन समतले एकमेकांना परस्पर लंब आहेत (आकृती 11.1). ही तीन समतले $X^{\prime} OX, Y^{\prime} OY$ आणि $Z^{\prime} OZ$ या रेषांवर छेदतात, यांना अनुक्रमे $x, y$ आणि $z$-अक्ष म्हणतात. आपण लक्षात घेऊ शकतो की या रेषा एकमेकांना परस्पर लंब आहेत. या रेषा आयताकृती निर्देशक पद्धतीची रचना करतात. XOY, YOZ आणि ZOX या समतलांना, अनुक्रमे XY-समतल, YZ-समतल आणि ZX-समतल म्हणून ओळखले जाते, यांना तीन निर्देशक समतल म्हणतात. आपण XOY समतलाला कागदाचे समतल मानतो आणि

आकृती 11.1 रेषा $Z^{\prime} OZ$ ही समतल $XOY$ ला लंब आहे असे मानतो. जर कागदाचे समतल क्षैतिज मानले, तर रेषा $Z^{\prime} OZ$ उभी असेल. XY-समतलापासून $OZ$ च्या दिशेने वर मोजलेली अंतरे धन म्हणून घेतली जातात आणि $OZ^{\prime}$ च्या दिशेने खाली मोजलेली अंतरे ऋण म्हणून घेतली जातात. त्याचप्रमाणे, $ZX$-समतलाच्या उजवीकडे $OY$ बाजूने मोजलेली अंतर धन म्हणून घेतली जाते, ZX-समतलाच्या डावीकडे आणि $O Y^{\prime}$ बाजूने ऋण म्हणून घेतली जाते, YZ-समतलाच्या समोर $O X$ बाजूने धन म्हणून घेतली जाते आणि त्याच्या मागे $OX^{\prime}$ बाजूने ऋण म्हणून घेतली जाते. बिंदू $O$ याला निर्देशक पद्धतीचा मूलबिंदू म्हणतात. ही तीन निर्देशक समतले अंतराळाचे आठ भाग करतात, ज्यांना अष्टक म्हणतात. या अष्टकांना $XOYZ, X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY Y, XOY ’ Z, XOYZ$, $X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY^{\prime} Z^{\prime}$ आणि $XOY^{\prime} Z^{\prime}$ असे नाव देता येते. आणि त्यांना अनुक्रमे I, II, III, …, VIII असे दर्शवले जाते.

11.3 अंतराळातील बिंदूचे निर्देशक

अंतराळात एक निश्चित निर्देशक पद्धत निवडल्यानंतर, ज्यामध्ये निर्देशक अक्ष, निर्देशक समतल आणि मूलबिंदू असतात, आता आपण हे स्पष्ट करू की, अंतराळातील एक बिंदू दिल्यास, आपण त्याच्याशी तीन निर्देशक $(x, y, z)$ कसे जोडतो आणि उलट, तीन संख्यांचा त्रिकूट $(x, y, z)$ दिल्यास, आपण अंतराळातील बिंदू कसा ठरवतो.

आकृती 11.2

अंतराळातील एक बिंदू $P$ दिल्यास, आपण XY-समतलावर एक $\mathbf{X}$ लंब PM सोडतो, ज्याचा पाया M आहे (आकृती 11.2). नंतर, बिंदू M पासून, आपण $x$-अक्षाला एक लंब ML काढतो, जो त्याला L वर छेदतो. OL हे $x, LM$ असू द्या, $y$ असू द्या आणि MP हे $z$ असू द्या. तर $x, y$ आणि $z$ यांना अनुक्रमे बिंदू $P$ चे $x, y$ आणि $z$ निर्देशक म्हणतात. आकृती 11.2 मध्ये, आपण लक्षात घेऊ शकतो की बिंदू $P(x, y, z)$ XOYZ अष्टकात आहे आणि म्हणून सर्व $x, y$, $z$ धन आहेत. जर $P$ इतर कोणत्याही अष्टकात असेल, तर $x, y$ आणि $z$ ची चिन्हे त्यानुसार बदलतील. अशाप्रकारे, अंतराळातील प्रत्येक बिंदू $P$ शी वास्तव संख्यांचा एक क्रमबद्ध त्रिकूट $(x, y, z)$ संबंधित असतो.

उलट, कोणताही त्रिकूट $(x, y, z)$ दिल्यास, आपण प्रथम $x$-अक्षावर $x$ शी संबंधित बिंदू $L$ निश्चित करू, नंतर XY-समतलात बिंदू $M$ अशा प्रकारे ठरवू की $(x, y)$ हे XY-समतलातील बिंदू M चे निर्देशक आहेत. लक्षात घ्या की LM ही $x$-अक्षाला लंब आहे किंवा $y$-अक्षाला समांतर आहे. बिंदू M वर पोहोचल्यानंतर, आपण XY-समतलाला एक लंब MP काढतो आणि त्यावर $z$ शी संबंधित बिंदू $P$ ठरवतो. अशाप्रकारे मिळालेल्या बिंदू $P$ चे निर्देशक $(x, y, z)$ असतात. अशाप्रकारे, अंतराळातील बिंदू आणि वास्तव संख्यांच्या क्रमबद्ध त्रिकूट $(x, y, z)$ मध्ये एक-ते-एक संबंध असतो.

वैकल्पिकरित्या, अंतराळातील बिंदू $P$ मधून, आपण तीन निर्देशक समतलांना समांतर असलेली तीन समतले काढतो, जी $x$-अक्ष, $y$-अक्ष आणि $z$-अक्ष यांना अनुक्रमे बिंदू $A, B$ आणि $C$ वर छेदतात (आकृती 11.3). $OA=x, OB=y$ आणि $OC=z$ असू द्या. तर, बिंदू $P$ चे निर्देशक $x, y$ आणि $z$ असतील आणि आपण $P(x, y, z)$ असे लिहू. उलट, $x, y$ आणि $z$ दिल्यास, आपण तीन निर्देशक अक्षांवर तीन बिंदू $A, B$ आणि $C$ ठरवतो. बिंदू $A, B$ आणि $C$ मधून आपण YZ-समतल, ZX-समतल आणि XY-समतल यांना समांतर समतले काढतो,

आकृती 11.3

अनुक्रमे. या तीन समतलांचा, म्हणजेच ADPF, BDPE आणि CEPF चा छेदनबिंदू स्पष्टपणे बिंदू $P$ आहे, जो क्रमबद्ध त्रिकूट $(x, y, z)$ शी संबंधित आहे. आपण पाहतो की जर $P(x, y, z)$ अंतराळातील कोणताही बिंदू असेल, तर $x, y$ आणि $z$ ही अनुक्रमे YZ, ZX आणि XY समतलांपासूनची लंब अंतरे आहेत.

सूचना - मूलबिंदू $O$ चे निर्देशक $(0,0,0)$ आहेत. $x$-अक्षावरील कोणत्याही बिंदूचे निर्देशक $(x, 0,0)$ असे असतील आणि YZ-समतलातील कोणत्याही बिंदूचे निर्देशक $(0, y, z)$ असे असतील.

टिप्पणी बिंदूच्या निर्देशकांची चिन्हे तो बिंदू कोणत्या अष्टकात आहे हे ठरवतात. खालील सारणी आठ अष्टकांमधील निर्देशकांची चिन्हे दर्शवते.

सारणी 11.1

उदाहरण 1 आकृती 11.3 मध्ये, जर $P$ हे $(2,4,5)$ असेल, तर $F$ चे निर्देशक शोधा.

उकल बिंदू $F$ साठी, OY बाजूने मोजलेले अंतर शून्य आहे. म्हणून, $F$ चे निर्देशक $(2,0,5)$ आहेत.

उदाहरण 2 $(-3,1,2)$ आणि $(-3,1,-2)$ बिंदू कोणत्या अष्टकात आहेत ते शोधा.

उकल सारणी 11.1 वरून, बिंदू $(-3,1,2)$ दुसऱ्या अष्टकात आहे आणि बिंदू $(-3,1,-2)$ अष्टक VI मध्ये आहे.

11.4 दोन बिंदूंमधील अंतर

आपण द्विमितीय निर्देशक पद्धतीत दोन बिंदूंमधील अंतराबद्दल अभ्यास केला आहे. आता हा अभ्यास त्रिमितीय पद्धतीपर्यंत वाढवू.

$P(x_1, y_1, z_1)$ आणि $Q(x_2, y_2, z_2)$ हे दोन बिंदू आयताकृती अक्षांच्या $OX, OY$ आणि $OZ$ या पद्धतीशी संबंधित असू द्या. बिंदू $P$ आणि $Q$ मधून निर्देशक समतलांना समांतर समतले काढा जेणेकरून एक कर्ण PQ असलेला आयताकृती समांतर पृष्ठफळ तयार होईल (आकृती 11.4).

आकृती 11.4

आता, $\angle PAQ$ हा काटकोन $\quad \mathbf{X}$ असल्यामुळे, त्रिकोण PAQ मध्ये,

$ PQ^{2}=PA^{2}+AQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(1) $

तसेच, त्रिकोण ANQ हा काटकोन त्रिकोण आहे ज्यामध्ये $\angle ANQ$ हा काटकोन आहे.

म्हणून $\quad\quad\quad AQ^{2}=AN^{2}+NQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(2)$

(1) आणि (2) वरून, आपल्याकडे आहे

$$ \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{PA}^{2}+\mathrm{AN}^{2}+\mathrm{NQ}^{2} $$

आता $\quad\quad\quad\mathrm{PA}=y _{2}-y _{1}, \mathrm{AN}=x _{2}-x _{1}$ आणि $\mathrm{NQ}=z _{2}-z _{1}$

म्हणून $\quad\quad\quad\mathrm{PQ}^{2}=\left(x _{2}-x _{1}\right)^{2}+\left(y _{2}-y _{1}\right)^{2}+\left(z _{2}-z _{1}\right)^{2}$

म्हणून $\quad\quad\quad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}}$

हे आपल्याला दोन बिंदू $(x_1, y_1, z_1)$ आणि $(x_2, y_2, z_2)$ मधील अंतर देते.

विशेषतः, जर $x_1=y_1=z_1=0$, म्हणजे बिंदू $P$ हा मूलबिंदू $O$ असेल, तर $OQ=\sqrt{x_2{ }^{2}+y_2{ }^{2}+z_2{ }^{2}}$, जे मूलबिंदू $O$ आणि कोणत्याही बिंदू $Q(x_2, y_2, z_2)$ मधील अंतर देते.

उदाहरण 3 $P(1,-3,4)$ आणि $Q(-4,1,2)$ बिंदूंमधील अंतर शोधा.

उकल $P(1,-3,4)$ आणि $Q(-4,1,2)$ बिंदूंमधील PQ अंतर आहे

$ \begin{aligned} PQ & =\sqrt{(-4-1)^{2}+(1+3)^{2}+(2-4)^{2}} \\ & =\sqrt{25+16+4} \\ & =\sqrt{45}=3 \sqrt{5} \text{ एकक } \end{aligned} $

उदाहरण 4 दाखवा की बिंदू $P(-2,3,5)$, $Q(1,2,3)$ आणि $R(7,0,-1)$ समरेख आहेत.

उकल आपल्याला माहित आहे की बिंदू समरेख म्हणजे ते एकाच रेषेवर असतात.

आता,

$ \begin{aligned} & P Q=\sqrt{(1+2)^{2}+(2-3)^{2}+(3-5)^{2}}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14} \\ & Q R=\sqrt{(7-1)^{2}+(0-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{36+4+16}=\sqrt{56}=2 \sqrt{14} \end{aligned} $

आणि

$ P R=\sqrt{(7+2)^{2}+(0-3)^{2}+(-1-5)^{2}}=\sqrt{81+9+36}=\sqrt{126}=3 \sqrt{14} $

अशाप्रकारे, $PQ+QR=PR$. म्हणून, $P, Q$ आणि $R$ समरेख आहेत.

उदाहरण 5 A $(3,6,9), B(10,20,30)$ आणि C $(25,-41,5)$ बिंदू, काटकोन त्रिकोणाचे शिरोबिंदू आहेत का?

उकल अंतर सूत्रानुसार, आपल्याकडे आहे

$ \begin{aligned} AB^{2} & =(10-3)^{2}+(20-6)^{2}+(30-9)^{2} \\ & =49+196+441=686 \\ BC^{2} & =(25-10)^{2}+(-41-20)^{2}+(5-30)^{2} \\ & =225+3721+625=4571 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} CA^{2} & =(3-25)^{2}+(6+41)^{2}+(9-5)^{2} \\ & =484+2209+16=2709 \end{aligned} $

आपल्याला आढळते की $\quad \quad\quad CA^{2}+AB^{2} \neq BC^{2}$.

म्हणून, त्रिकोण $ABC$ हा काटकोन त्रिकोण नाही.

उदाहरण 6 बिंदूंच्या समूहाचे समीकरण शोधा $P$ असे की $PA^{2}+PB^{2}=2 k^{2}$, जेथे $A$ आणि $B$ हे अनुक्रमे $(3,4,5)$ आणि $(-1,3,-7)$ बिंदू आहेत.

उकल बिंदू $P$ चे निर्देशक $(x, y, z)$ असू द्या.

इथे

$ \begin{aligned} & PA^{2}=(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2} \\ & PB^{2}=(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+7)^{2} \end{aligned} $

दिलेल्या अटीनुसार $PA^{2}+PB^{2}=2 k^{2}$, आपल्याकडे आहे

$ (x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2}+(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+7)^{2}=2 k^{2} \\ \text{ म्हणजे, } \quad 2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-4 x-14 y+4 z=2 k^{2}-109 . $

विविध उदाहरणे

उदाहरण 7 दाखवा की बिंदू A $(1,2,3)$, B (-1, -2, -1), C (2, 3, 2) आणि $D(4,7,6)$ हे समांतरभुज चौकोन $ABCD$ चे शिरोबिंदू आहेत, परंतु तो आयत नाही.

उकल ABCD हा समांतरभुज चौकोन आहे हे दाखवण्यासाठी, आपल्याला विरुद्ध बाजू समान आहेत हे दाखवणे आवश्यक आहे. लक्षात घ्या की.

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(-1-1)^{2}+(-2-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=6 \\ & BC=\sqrt{(2+1)^{2}+(3+2)^{2}+(2+1)^{2}}=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \\ & CD=\sqrt{(4-2)^{2}+(7-3)^{2}+(6-2)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=6 \\ & DA=\sqrt{(1-4)^{2}+(2-7)^{2}+(3-6)^{2}}=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \end{aligned} $

कारण $A B=C D$ आणि $B C=A D, A B C D$ हा समांतरभुज चौकोन आहे.

आता, $ABCD$ हा आयत नाही हे सिद्ध करणे आवश्यक आहे. यासाठी, आपण दाखवतो की कर्ण $AC$ आणि $BD$ समान नाहीत. आपल्याकडे आहे

$ \begin{aligned} & AC=\sqrt{(2-1)^{2}+(3-2)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3} \\ & BD \quad=\sqrt{(4+1)^{2}+(7+2)^{2}+(6+1)^{2}}=\sqrt{25+81+49}=\sqrt{155} . \end{aligned} $

कारण $A C \neq B D, A B C D$ हा आयत नाही.

सूचना - आपण हे देखील दाखवू शकतो की $ABCD$ हा समांतरभुज चौकोन आहे, कर्ण $AC$ आणि $BD$ एकमेकांना दुभागतात या गुणधर्माचा वापर करून.

उदाहरण 8 बिंदूंच्या समूहाचे समीकरण शोधा $P$ असे की त्याचे अंतर बिंदू $A(3,4,-5)$ आणि $B(-2,1,4)$ पासून समान आहे.

उकल जर $P(x, y, z)$ हा कोणताही बिंदू असेल की $PA=PB$.

आता $\sqrt{(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+5)^{2}} = \sqrt{(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-4)^{2}}$

किंवा $\quad\quad (x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+5)^{2}=(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-4)^{2}$

किंवा $\quad \quad 10 x+6 y-18 z-29=0$.

उदाहरण 9 त्रिकोण $ABC$ चे मध्यगासंपात बिंदू $(1,1,1)$ आहे. जर $A$ आणि $B$ चे निर्देशक अनुक्रमे $(3,-5,7)$ आणि $(-1,7,-6)$ असतील, तर बिंदू $C$ चे निर्देशक शोधा.

उकल $C$ चे निर्देशक $(x, y, z)$ असू द्या आणि मध्यगासंपात $G$ चे निर्देशक $(1,1,1)$ असू द्या. तर

म्हणून $\quad \frac{x+3-1}{3}=1$, किंवा $x=1$ $ \begin{array}{ll} \frac{y-5+7}{3}=1, & \text { किंवा } y=1 \\ \frac{z+7-6}{3}=1, & \text { किंवा } z=2 . \end{array} $

म्हणून, $C$ चे निर्देशक $(1,1,2)$ आहेत.

सारांश

त्रिमितीत, आयताकृती कार्टेशियन निर्देशक पद्धतीचे निर्देशक अक्ष ह्या तीन परस्पर लंब रेषा असतात. या अक्षांना $x$, $y$ आणि $z$-अक्ष म्हणतात.

अक्षांच्या जोडीने ठरवलेली तीन समतले ही निर्देशक समतले असतात, ज्यांना XY, YZ आणि ZX-समतल म्हणतात.

तीन निर्देशक समतले अंतराळाचे आठ भाग करतात, ज्यांना अष्टक म्हणतात. त्रिमितीय भूमितीतील बिंदू $P$ चे निर्देशक नेहमी $(x, y, z)$ या त्रिकूटाच्या रूपात लिहिले जातात. इथे $x, y$ आणि $z$ ही अनुक्रमे YZ, ZX आणि XY-समतलांपासूनची अंतरे आहेत.

(i) $x$-अक्षावरील कोणताही बिंदू $(x, 0,0)$ या स्वरूपाचा असतो

(ii) $y$-अक्षावरील कोणताही बिंदू $(0, y, 0)$ या स्वरूपाचा असतो

(iii) $z$-अक्षावरील कोणताही बिंदू $(0,0, z)$ या स्वरूपाचा असतो.

दोन बिंदू $P(x_1, y_1, z_1)$ आणि $Q(x_2, y_2, z_2)$ मधील अंतर खालीलप्रमाणे दिले जाते

$$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $$

ऐतिहासिक नोंद

रेने डेकार्ट (1596-1650), विश्लेषणात्मक भूमितीचे जनक, यांनी 1637 मध्ये मुख्यतः समतल भूमितीशीच व्यवहार केला. त्यांचे सह-संशोधक पियरे फर्मा (1601-1665) आणि ला हिर (1640-1718) यांच्यासाठीही हेच खरे आहे. जरी त्यांच्या कार्यात त्रिमितीय निर्देशक भूमितीच्या सूचना आढळतात, परंतु तपशील नाहीत. डेकार्टकडे त्रिमितीत निर्देशकांची कल्पना होती परंतु त्यांनी ती विकसित केली नाही. जे. बर्नौली (1667-1748) यांनी 1715 मध्ये लीबनिझला लिहिलेल्या पत्रात आज आपण वापरत असलेली तीन निर्देशक समतले सादर केली. अँटोइन पेरेंट (1666-1716) हे होते, ज्यांनी 1700 मध्ये फ्रेंच अकादमीमध्ये सादर केलेल्या पेपरमध्ये प्रथमच विश्लेषणात्मक घन भूमितीचा पद्धतशीर विकास केला.

एल. यूलर (1707-1783) यांनी 1748 मध्ये त्यांच्या “भूमितीच्या परिचय” या दुसऱ्या खंडाच्या परिशिष्टाच्या प्रकरण 5 मध्ये त्रिमितीय निर्देशक भूमितीचा पद्धतशीरपणे अभ्यास केला.

१९व्या शतकाच्या मध्यापर्यंत भूमिती तीनपेक्षा जास्त मितींपर्यंत विस्तारली गेली नव्हती, ज्याचा सुप्रसिद्ध उपयोग आइन्स्टाईनच्या सापेक्षतावादाच्या सिद्धांतातील स्पेस-टाइम कंटिन्यूममध्ये आहे.