कॅल्क्युलस ही किल्ली असल्यास, गणिताचा यशस्वीपणे निसर्गाच्या क्रियेच्या स्पष्टीकरणासाठी उपयोग करता येतो - व्हाइटहेड

12.1 परिचय

हे प्रकरण कॅल्क्युलसचा परिचय आहे. कॅल्क्युलस ही गणिताची ती शाखा आहे जी प्रामुख्याने डोमेनमधील बिंदू बदलत असताना फलनाच्या मूल्यातील बदलाच्या अभ्यासाशी संबंधित आहे. प्रथम, आपण अवकलजाची (खरं तर त्याची व्याख्या न करता) सहजज्ञानात्मक कल्पना देऊ. मग आपण सीमेची एक साधी व्याख्या देऊ आणि सीमांच्या काही बीजगणिताचा अभ्यास करू. मग आपण परत अवकलजाच्या व्याख्येकडे येऊ आणि अवकलजांच्या काही बीजगणिताचा अभ्यास करू. आपण काही मानक फलनांचे अवकलज देखील मिळवू.

सर इसाक न्यूटन (1642-1727 इ.स.)

12.2 अवकलजांची सहजज्ञानात्मक कल्पना

भौतिक प्रयोगांनी पुष्टी केली आहे की उंच दरीवरून सोडलेले सर इसाक न्यूटन $(1642-1727)$ शरीर $t$ सेकंदात $4.9 t^{2}$ मीटर अंतर कापते, म्हणजेच, शरीराने कापलेले मीटरमधील अंतर $s$ हे सेकंदातील वेळ $t$ चे फलन $s=4.9 t^{2}$ द्वारे दिले जाते.

जोडलेली सारणी 13.1 उंच दरीवरून सोडलेल्या शरीराने सेकंदातील वेळेच्या विविध अंतराने मीटरमध्ये प्रवास केलेले अंतर दर्शवते.

उद्देश या डेटावरून $t=2$ सेकंद वेळी शरीराचा वेग शोधणे आहे. या समस्येकडे जाण्याचा एक मार्ग म्हणजे $t=2$ सेकंदांवर संपणाऱ्या वेळेच्या विविध अंतरांसाठी सरासरी वेग शोधणे आणि आशा करणे की यामुळे $t=2$ सेकंदांवरील वेगावर काही प्रकाश पडेल.

$t=t_1$ आणि $t=t_2$ यांच्यातील सरासरी वेग हा $t=t_l$ आणि $t=t_2$, सेकंदांदरम्यान प्रवास केलेल्या अंतराला $(t_2-t_1)$ ने भागून मिळतो. म्हणून पहिल्या दोन सेकंदातील सरासरी वेग

$$ \begin{aligned} & =\frac{\text{ Distance travelled between } t_2=2 \text{ and } t_1=0}{\text{ Time interval }(t_2-t_1)} \\ & =\frac{(19.6-0) m}{(2-0) s}=9.8 m / s . \end{aligned} $$

त्याचप्रमाणे, $t=1$ आणि $t=2$ यांच्यातील सरासरी वेग आहे

$$ \frac{(19.6-4.9) m}{(2-1) s}=14.7 m / s $$

त्याचप्रमाणे आपण विविध $t_1$ साठी $t=t_1$ आणि $t=2$ यांच्यातील सरासरी वेग काढतो. खालील सारणी 13.2 $(v), t=t_1$ सेकंद आणि $t=2$ सेकंद यांच्यातील सरासरी वेग दर्शवते.

सारणी 12.1

सारणी 12.2

सारणी 12.2 वरून, आपण पाहतो की सरासरी वेग हळूहळू वाढत आहे. जसजसे आपण $t=2$ वर संपणारे वेळ अंतर लहान करतो, तसतसे आपल्याला $t=2$ वरच्या वेगाची चांगली कल्पना येते. 1.99 सेकंद आणि 2 सेकंद यांच्यात काहीही नाट्यमय घडत नाही अशी आशा करून, आपण असा निष्कर्ष काढतो की $t=2$ सेकंदांवरील सरासरी वेग $19.551 m / s$ च्या अगदी वर आहे.

खालील गणनांच्या संचामुळे हा निष्कर्ष काही प्रमाणात मजबूत होतो. $t=2$ सेकंदांवर सुरू होणाऱ्या विविध वेळ अंतरांसाठी सरासरी वेग काढा. पूर्वीप्रमाणेच $v$ सेकंद आणि $t=2$ सेकंद यांच्यातील सरासरी वेग $t=t_2$ आहे

$ \begin{aligned} & =\frac{\text{ 2 सेकंद आणि } t_2 \text{ सेकंद यांच्यात प्रवास केलेले अंतर }}{t_2-2} \\ & =\frac{\text{ } t_2 \text{ सेकंदात प्रवास केलेले अंतर }- \text{ 2 सेकंदात प्रवास केलेले अंतर }}{t_2-2} \end{aligned} $

$ =\frac{\text{ } t_2 \text{ सेकंदात प्रवास केलेले अंतर }-19.6}{t_2-2} $

खालील सारणी 12.3 $v$ सेकंद आणि $t=2$ सेकंद यांच्यातील मीटर प्रति सेकंदातील सरासरी वेग $t_2$ दर्शवते.

सारणी 12.3

येथे पुन्हा आपण लक्षात घेतो की जर आपण $t=2$ वर सुरू होणारे लहान वेळ अंतर घेतले, तर आपल्याला $t=2$ वरच्या वेगाची चांगली कल्पना येते.

गणनांच्या पहिल्या संचामध्ये, आपण $t=2$ वर संपणाऱ्या वाढत्या वेळ अंतरांमध्ये सरासरी वेग शोधले आहेत आणि नंतर आशा केली आहे की $t=2$ च्या अगदी आधी काहीही नाट्यमय घडत नाही. दुसऱ्या संचाच्या गणनांमध्ये, आपण $t=2$ वर संपणाऱ्या वेळ अंतरांमध्ये सरासरी वेग कमी होत असल्याचे आढळले आहे आणि नंतर आशा केली आहे की $t=2$ च्या अगदी नंतर काहीही नाट्यमय घडत नाही. पूर्णपणे भौतिक आधारावर, सरासरी वेगाच्या या दोन्ही अनुक्रमांना एक सामान्य सीमा प्राप्त झाली पाहिजे. आपण सुरक्षितपणे असा निष्कर्ष काढू शकतो की $t=2$ वर शरीराचा वेग $19.551 m / s$ आणि $19.649 m / s$ यांच्यात आहे. तांत्रिकदृष्ट्या, आपण म्हणतो की $t=2$ वरचा तात्काळ वेग $19.551 m / s$ आणि $19.649 m / s$ यांच्यात आहे. जसे सर्वज्ञात आहे, वेग हे विस्थापनाच्या बदलाचा दर आहे. म्हणून आपण जे साध्य केले आहे ते खालीलप्रमाणे आहे. विविध वेळी कापलेल्या अंतराच्या दिलेल्या डेटावरून, आपण दिलेल्या क्षणी अंतराच्या बदलाचा दर अंदाज केला आहे. आपण म्हणतो की अंतर फलन $s=4.9 t^{2}$ चे $t=2$ वरचे अवकलज 19.551 आणि 19.649 यांच्यात आहे.

या सीमा प्रक्रियेचा पर्यायी दृष्टिकोन आकृती 12.1 मध्ये दर्शविला आहे. हे दरीच्या शिखरापासून शरीराचे अंतर $s$ आणि व्यतीत झालेला वेळ $t$ यांचा आलेख आहे. मर्यादेत जसे वेळ अंतरांचा अनुक्रम $h_1, h_2, \ldots$, शून्याकडे झुकतो, सरासरी वेगाचा अनुक्रम त्या सीमेकडे झुकतो ज्या प्रमाणे गुणोत्तरांचा अनुक्रम झुकतो

आकृती 12.1

$ \frac{C_1 B_1}{AC_1}, \frac{C_2 B_2}{AC_2}, \frac{C_3 B_3}{AC_3}, \ldots $

जेथे $C_1 B_1=s_1-s_0$ हे वेळ अंतर $h_1=AC_1$ मध्ये शरीराने प्रवास केलेले अंतर आहे, इत्यादी. आकृती 12.1 वरून हे सुरक्षितपणे निष्कर्ष काढता येतो की हा नंतरचा अनुक्रम बिंदू $A$ वरील वक्राच्या स्पर्शिकेच्या उताराकडे झुकतो. दुसऱ्या शब्दांत, वेळ $t=2$ वर शरीराचा तात्काळ वेग $v(t)$ हा वक्र $s=4.9 t^{2}$ च्या $t=2$ वरील स्पर्शिकेच्या उताराइतका आहे.

12.3 सीमा

वरील चर्चा स्पष्टपणे या वस्तुस्थितीकडे निर्देश करते की आपल्याला सीमा प्रक्रिया अधिक स्पष्टतेने समजून घेणे आवश्यक आहे. आपण सीमेच्या संकल्पनेशी काही परिचितता मिळवण्यासाठी काही उदाहरणात्मक उदाहरणांचा अभ्यास करतो.

फलन $f(x)=x^{2}$ विचारात घ्या. लक्षात घ्या की जसे $x$ 0 च्या अगदी जवळची मूल्ये घेतो, तसे $f(x)$ चे मूल्य देखील 0 कडे सरकते (आकृती 2.10 प्रकरण 2 पहा). आपण म्हणतो

$ \begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0} f(x)=0 \end{aligned} $

($f(x)$ ची सीमा जसे $x$ शून्याकडे झुकते तसे शून्याच्या बरोबरीचे म्हणून वाचले जाते). $f(x)$ ची सीमा जसे $x$ शून्याकडे झुकते ती $f(x)$ ने $x=0$ वर गृहीत धरलेली मूल्य म्हणून विचारात घेतली पाहिजे.

सर्वसाधारणपणे जसे $x \to a, f(x) \to l$, तर $l$ ला फलन $f(x)$ ची सीमा म्हणतात जी चिन्हात्मकपणे $\lim\limits_{x \to a} f(x)=l$ असे लिहिले जाते.

खालील फलन $g(x)=|x|, x \neq 0$ विचारात घ्या. लक्षात घ्या की $g(0)$ परिभाषित केलेले नाही. $x$ च्या 0 च्या अगदी जवळच्या मूल्यांसाठी $g(x)$ चे मूल्य काढताना, आपण पाहतो की $g(x)$ चे मूल्य 0 कडे सरकते. तर, $\lim\limits_{x \to 0} g(x)=0$. $x \neq 0$ साठी $y=|x|$ च्या आलेखावरून हे सहजज्ञानाने स्पष्ट होते. (आकृती 2.13, प्रकरण 2 पहा).

खालील फलन विचारात घ्या.

$ h(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}, x \neq 2 $

$x$ च्या 2 च्या अगदी जवळच्या (पण 2 वर नव्हे) मूल्यांसाठी $h(x)$ चे मूल्य काढा. स्वतःला पटवून द्या की ही सर्व मूल्ये 4 च्या जवळ आहेत. येथे दिलेला (आकृती 12.2) फलन $y=h(x)$ चा आलेख विचारात घेऊन हे काही प्रमाणात मजबूत होते.

आकृती 12.2

या सर्व उदाहरणांमध्ये, दिलेल्या बिंदूवर $x=a$ फलनाने गृहीत धरलेले मूल्य खरोखर $x$ कसा $a$ कडे झुकत आहे यावर अवलंबून नव्हते. लक्षात घ्या की मूलत: दोन मार्ग आहेत ज्याद्वारे $x$ एका संख्येकडे $a$ झुकू शकते एकतर डावीकडून किंवा उजवीकडून, म्हणजेच, $x$ ची सर्व मूल्ये $a$ च्या जवळ $a$ पेक्षा कमी असू शकतात किंवा $a$ पेक्षा जास्त असू शकतात. हे नैसर्गिकरित्या दोन सीमांकडे नेतो - उजव्या हाताची सीमा आणि डाव्या हाताची सीमा. फलन $f(x)$ ची उजव्या हाताची सीमा हे $f(x)$ चे ते मूल्य आहे जे $f(x)$ च्या मूल्यांद्वारे निर्धारित केले जाते जेव्हा $x$ उजवीकडून $a$ कडे झुकते. त्याचप्रमाणे, डाव्या हाताची सीमा. हे स्पष्ट करण्यासाठी, फलन विचारात घ्या

$ f(x)= \begin{cases}1, & x \leq 0 \\ 2, & x>0\end{cases} $

या फलनाचा आलेख आकृती 12.3 मध्ये दर्शविला आहे. हे स्पष्ट आहे की $f$ चे 0 वरचे मूल्य $f(x)$ सह $x \leq 0$ च्या मूल्यांद्वारे निर्धारित केले जाते, म्हणजेच, $f(x)$ ची 0 वर डाव्या हाताची सीमा आहे $ \lim\limits_{x \to 0} f(x)=1 . $

त्याचप्रमाणे, $f$ चे 0 वरचे मूल्य $f(x)$ सह $x>0$ च्या मूल्यांद्वारे निर्धारित केले जाते, म्हणजेच, $f(x)$ ची 0 वर उजव्या हाताची सीमा आहे

$ \lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x)=2 . $

या प्रकरणात उजव्या आणि डाव्या हाताच्या सीमा भिन्न आहेत, आणि म्हणून आपण म्हणतो की $f(x)$ ची सीमा जसे $x$ शून्याकडे झुकते ती अस्तित्वात नाही (जरी फलन 0 वर परिभाषित केलेले असले तरीही).

सारांश

आपण म्हणतो $\lim\limits_{x \to a^{-}} f(x)$ हे $f$ चे $x=a$ वर अपेक्षित मूल्य आहे जे $f$ च्या मूल्यांद्वारे दिले जाते जी $x$ च्या जवळ $a$ च्या डावीकडे आहेत. या मूल्याला $f$ ची $a$ वर डाव्या हाताची सीमा म्हणतात.

आपण म्हणतो $\lim\limits_{x \to a^{+}} f(x)$ हे $f$ चे $x=a$ वर अपेक्षित मूल्य आहे जे $f$ च्या मूल्यांद्वारे दिले जाते जी $x$ च्या जवळ $a$ च्या उजवीकडे आहेत. या मूल्याला $f(x)$ ची $a$ वर उजव्या हाताची सीमा म्हणतात.

जर उजव्या आणि डाव्या हाताच्या सीमा एकरूप झाल्या, तर आपण त्या सामान्य मूल्याला $f(x)$ ची $x=a$ वर सीमा म्हणतो आणि ते $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ ने दर्शवतो.

उदाहरण 1 फलन $f(x)=x+10$ विचारात घ्या. आपल्याला या फलनाची $x=5$ वर सीमा शोधायची आहे. $x$ च्या 5 च्या अगदी जवळच्या मूल्यांसाठी फलन $f(x)$ चे मूल्य काढू या. 5 च्या जवळ आणि डावीकडील काही बिंदू $4.9,4.95,4.99,4.995 \ldots$, इत्यादी आहेत. या बिंदूंवरील फलनाची मूल्ये खालील सारणीमध्ये दिली आहेत. त्याचप्रमाणे, वास्तव संख्या 5.001,

5.01, 5.1 हे देखील 5 च्या जवळ आणि उजवीकडील बिंदू आहेत. या बिंदूंवरील फलनाची मूल्ये देखील सारणी 12.4 मध्ये दिली आहेत.

सारणी 12.4

सारणी 12.4 वरून, आपण असा निष्कर्ष काढतो की $f(x)$ चे $x=5$ वरचे मूल्य 14.995 पेक्षा जास्त आणि 15.001 पेक्षा कमी असावे असे गृहीत धरून की $x=4.995$ आणि 5.001 यांच्यात काहीही नाट्यमय घडत नाही. 5 च्या डावीकडील संख्यांद्वारे निर्धारित केल्याप्रमाणे $f(x)$ चे $x=5$ वरचे मूल्य 15 आहे, हे गृहीत धरणे योग्य आहे, म्हणजे,

$$ \lim\limits_{x \to 5^{-}} f(x)=15 . $$

त्याचप्रमाणे, जेव्हा $x$ उजवीकडून 5 कडे झुकते, तेव्हा $f(x)$ ने मूल्य 15 घेतले पाहिजे, म्हणजे,

$$ \lim\limits_{x \to 5^{+}} f(x)=15 \text{. } $$

म्हणून, हे शक्य आहे की $f(x)$ ची डाव्या हाताची सीमा आणि $f(x)$ ची उजव्या हाताची सीमा दोन्ही 15 च्या समान आहेत. अशाप्रकारे,

$$ \lim\limits_{x \to 5^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 5^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 5} f(x)=15 . $$

सीमा 15 च्या बरोबरीची आहे या निष्कर्षावर या फलनाचा आलेख पाहून काही प्रमाणात जोर दिला जातो जो आकृती 2.16, प्रकरण 2 मध्ये दिलेला आहे. या आकृतीमध्ये, आपण लक्षात घेतो की जसे $x$ उजवीकडून किंवा डावीकडून 5 कडे झुकते, तसा फलन $f(x)=x+10$ चा आलेख बिंदू $(5,15)$ कडे झुकतो.

आपण पाहतो की $x=5$ वर फलनाचे मूल्य देखील 15 च्या बरोबरीचे आहे.

उदाहरण 2 फलन $f(x)=x^{3}$ विचारात घ्या. आपण या फलनाची $x=1$ वर सीमा शोधण्याचा प्रयत्न करू या. मागील प्रकरणाप्रमाणेच पुढे जाऊन, आपण $x$ च्या 1 च्या जवळच्या मूल्यांसाठी $f(x)$ चे मूल्य सारणीबद्ध करतो. हे सारणी 12.5 मध्ये दिले आहे.

सारणी 12.5

या सारणीवरून, आपण असा निष्कर्ष काढतो की $f(x)$ चे $x=1$ वरचे मूल्य 0.997002999 पेक्षा जास्त आणि 1.003003001 पेक्षा कमी असावे असे गृहीत धरून की $x=0.999$ आणि 1.001 यांच्यात काहीही नाट्यमय घडत नाही. 1 च्या डावीकडील संख्यांद्वारे निर्धारित केल्याप्रमाणे $f(x)$ चे $x=1$ वरचे मूल्य 1 आहे, हे गृहीत धरणे योग्य आहे, म्हणजे,

$$ \lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x)=1 \text{. } $$

त्याचप्रमाणे, जेव्हा $x$ उजवीकडून 1 कडे झुकते, तेव्हा $f(x)$ ने मूल्य 1 घेतले पाहिजे, म्हणजे,

$$ \lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x)=1 \text{. } $$

म्हणून, हे शक्य आहे की $f(x)$ ची डाव्या हाताची सीमा आणि $f(x)$ ची उजव्या हाताची सीमा दोन्ही 1 च्या समान आहेत. अशाप्रकारे,

$$ \lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 1} f(x)=1 . $$

सीमा 1 च्या बरोबरीची आहे या निष्कर्षावर या फलनाचा आलेख पाहून काही प्रमाणात जोर दिला जातो जो आकृती 2.11, प्रकरण 2 मध्ये दिलेला आहे. या आकृतीमध्ये, आपण लक्षात घेतो की जसे $x$ उजवीकडून किंवा डावीकडून 1 कडे झुकते, तसा फलन $f(x)=x^{3}$ चा आलेख बिंदू $(1,1)$ कडे झुकतो.

आपण पुन्हा पाहतो की $x=1$ वर फलनाचे मूल्य देखील 1 च्या बरोबरीचे आहे.

उदाहरण 3 फलन $f(x)=3 x$ विचारात घ्या. आपण या फलनाची $x=2$ वर सीमा शोधण्याचा प्रयत्न करू या. खालील सारणी 12.6 आता स्वतःस्पष्ट आहे.

सारणी 12.6

पूर्वीप्रमाणेच आपण पाहतो की जसे $x$ डावीकडून किंवा उजवीकडून 2 कडे झुकते, $f(x)$ चे मूल्य 6 कडे झुकत असल्याचे दिसते. आपण हे असे नोंदवतो

$$ \lim\limits_{x \to 2^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 2^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 2} f(x)=6 $$

आकृती 12.4 मध्ये दर्शविलेला त्याचा आलेख या वस्तुस्थितीवर जोर देतो.

आकृती 12.4

येथे पुन्हा आपण लक्षात घेतो की $x=2$ वर फलनाचे मूल्य $x=2$ वरील सीमेशी एकरूप होते.

उदाहरण 4 स्थिर फलन $f(x)=3$ विचारात घ्या. आपण त्याची $x=2$ वर सीमा शोधण्याचा प्रयत्न करू या. हे फलन स्थिर फलन असल्यामुळे सर्वत्र समान मूल्य (या प्रकरणात 3) घेते, म्हणजेच, 2 च्या जवळच्या बिंदूंवरील त्याचे मूल्य 3 आहे. म्हणून

$ \lim\limits_{x \to 2} f(x)=\lim\limits_{x \to 2^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 2} f(x)=3 $

$f(x)=3$ चा आलेख असा आहे की तो $x$-अक्षाच्या समांतर रेषा आहे जी $(0,3)$ मधून जाते आणि तो आकृती 2.9, प्रकरण 2 मध्ये दर्शविला आहे. यावरून देखील हे स्पष्ट आहे की आवश्यक सीमा 3 आहे. खरेतर, हे सहज लक्षात येते की $\lim\limits_{x \to a} f(x)=3$ कोणत्याही वास्तव संख्येसाठी $a$.

उदाहरण 5 फलन $f(x)=x^{2}+x$ विचारात घ्या. आपल्याला $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ शोधायचे आहे. आपण $x=1$ च्या जवळच्या $f(x)$ ची मूल्ये सारणी 12.7 मध्ये सारणीबद्ध करतो.

सारणी 12.7

यावरून हे योग्यरित्या निष्कर्ष काढता येतो की $\lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 1} f(x)=2$.

$f(x)=x^{2}+x$ च्या आकृती 12.5 मध्ये दर्शविलेल्या आलेखावरून, हे स्पष्ट आहे की जसे $x$ 1 कडे झुकते, तसा आलेख $(1,2)$ कडे झुकतो.

आकृती 12.5

येथे, पुन्हा आपण पाहतो की

$ \lim\limits_{x \to 1} f(x)=f(1) $

आता, खालील तीन वस्तुस्थितींबद्दल स्वतःला पटवून घ्या:

$ \lim\limits_{x \to 1} x^{2}=1, \lim\limits_{x \to 1} x=1 \text{ and } \lim\limits_{x \to 1} x+1=2 $

मग $ \quad\quad\quad\quad \lim\limits_{x \to 1} x^{2}+\lim\limits_{x \to 1} x=1+1=2=\lim\limits_{x \to 1}[x^{2}+x] \text{. } $

तसेच $ \quad\quad\quad\quad\lim\limits_{x \to 1} x . \lim\limits_{x \to 1}(x+1)=1 \cdot 2=2=\lim