“सांख्यिकीला योग्यरित्या सरासरी आणि त्यांच्या अंदाजांचे विज्ञान म्हटले जाऊ शकते.” - ए.एल.बोले आणि ए.एल. बॉडिंग्टन

परिचय

आपल्याला माहित आहे की सांख्यिकी विशिष्ट हेतूंसाठी गोळा केलेल्या डेटाशी संबंधित आहे. त्याचे विश्लेषण आणि अर्थ लावून आपण डेटाबद्दल निर्णय घेऊ शकतो. मागील वर्गांमध्ये, आपण डेटाचे ग्राफिक पद्धतीने आणि सारणीच्या स्वरूपात प्रस्तुत करण्याच्या पद्धतींचा अभ्यास केला आहे. हे प्रतिनिधित्व डेटाची काही प्रमुख वैशिष्ट्ये किंवा वैशिष्ट्ये उघड करते. दिलेल्या डेटासाठी प्रतिनिधी मूल्य शोधण्याच्या पद्धती आपण अभ्यासल्या आहेत. या मूल्याला केंद्रीय प्रवृत्तीचे माप म्हणतात. आठवा की मध्य (अंकगणितीय मध्य), मध्यक आणि बहुलक ही केंद्रीय प्रवृत्तीची तीन मापे आहेत. केंद्रीय प्रवृत्तीचे माप आपल्याला एक उगड धारणा देते की डेटा बिंदू केंद्रित कोठे आहेत. परंतु, त्यातून चांगली व्याख्या करण्यासाठी

कार्ल पीअरसन (1857-1936 इ.स.)

डेटा, आपल्याला ही कल्पना देखील असावी की डेटा किती विखुरलेला आहे किंवा केंद्रीय प्रवृत्तीच्या मापाभोवती ते किती गुंफलेले आहे.

आता दोन फलंदाजांनी त्यांच्या शेवटच्या दहा सामन्यांमध्ये केलेली धावा पाहूया:

फलंदाज A : $30,91,0,64,42,80,30,5,117,71$

फलंदाज B : $53,46,48,50,53,53,58,60,57,52$

स्पष्टपणे, डेटाचा मध्य आणि मध्यक आहेत

आठवा की, आपण डेटाचा मध्य ($\bar{x}$ द्वारे दर्शविला जातो) निरीक्षणांच्या बेरजेला निरीक्षणांच्या संख्येने विभाजित करून काढतो, म्हणजे,

$ \bar{x}=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i $

तसेच, मध्यक प्रथम डेटा चढत्या किंवा उतरत्या क्रमाने मांडून आणि खालील नियम लागू करून मिळवला जातो.

जर निरीक्षणांची संख्या विषम असेल, तर मध्यक $(\frac{n+1}{2})^{\text{th }}$ निरीक्षण आहे.

जर निरीक्षणांची संख्या सम असेल, तर मध्यक $(\frac{n}{2})^{\text{th }}$ आणि $(\frac{n}{2}+1)^{\text{th }}$ निरीक्षणांचा मध्य आहे.

आपल्याला आढळते की दोन्ही फलंदाज $A$ आणि B यांनी केलेल्या धावांचा मध्य आणि मध्यक समान आहे म्हणजे 53. आपण असे म्हणू शकतो की दोन खेळाडूंची कामगिरी सारखीच आहे? स्पष्टपणे नाही, कारण फलंदाज A च्या धावांची परिवर्तनशीलता 0 (किमान) ते 117 (कमाल) पर्यंत आहे. तर फलंदाज B ने केलेल्या धावांची श्रेणी 46 ते 60 पर्यंत आहे.

आता वरील धावा एका संख्या रेषेवर बिंदू म्हणून प्लॉट करूया. आपल्याला खालील आकृत्या आढळतात:

फलंदाज A साठी

आकृती 13.1

फलंदाज B साठी

आकृती 13.2

आपण पाहू शकतो की फलंदाज B शी संबंधित बिंदू एकमेकांच्या जवळ आहेत आणि केंद्रीय प्रवृत्तीच्या मापाभोवती (मध्य आणि मध्यक) गुंफलेले आहेत, तर फलंदाज A शी संबंधित बिंदू विखुरलेले किंवा अधिक पसरलेले आहेत.

अशाप्रकारे, केंद्रीय प्रवृत्तीची मापे दिलेल्या डेटाबद्दल पूर्ण माहिती देण्यासाठी पुरेशी नाहीत. परिवर्तनशीलता हे दुसरे घटक आहे ज्याचा सांख्यिकी अंतर्गत अभ्यास करणे आवश्यक आहे. ‘केंद्रीय प्रवृत्तीची मापे’ प्रमाणेच आपल्याला परिवर्तनशीलता वर्णन करण्यासाठी एकच संख्या हवी असते. या एका संख्येला ‘विखुरण्याचे माप’ म्हणतात. या अध्यायात, आपण विखुरण्याची काही महत्त्वाची मापे आणि त्यांची गणना करण्याच्या पद्धती अवर्गीकृत आणि वर्गीकृत डेटासाठी शिकू.

13.2 विखुरण्याची मापे

डेटामधील विखुरणे किंवा विखुरणे हे निरीक्षणांच्या आधारे आणि तेथे वापरल्या जाणाऱ्या केंद्रीय प्रवृत्तीच्या मापाच्या प्रकारांवर मोजले जाते. विखुरण्याची खालील मापे आहेत:

(i) श्रेणी, (ii) चतुर्थक विचलन, (iii) मध्य विचलन, (iv) मानक विचलन.

या अध्यायात, आपण चतुर्थक विचलन वगळून विखुरण्याची ही सर्व मापे अभ्यासू.

13.3 श्रेणी

आठवा की, दोन फलंदाज A आणि B यांनी केलेल्या धावांच्या उदाहरणात, प्रत्येक मालिकेतील किमान आणि कमाल धावांच्या आधारे आपल्याला धावांमध्ये परिवर्तनशीलतेची काही कल्पना आली होती. यासाठी एकच संख्या मिळवण्यासाठी, आपण प्रत्येक मालिकेच्या कमाल आणि किमान मूल्यांमधील फरक शोधतो. या फरकाला डेटाची ‘श्रेणी’ म्हणतात.

फलंदाज A च्या बाबतीत, श्रेणी $=117-0=117$ आणि फलंदाज B साठी, श्रेणी $=60-46=14$. स्पष्टपणे, A ची श्रेणी $>$ $B$ ची श्रेणी. म्हणून, A च्या बाबतीत धावा विखुरलेल्या किंवा विखुरलेल्या आहेत तर B साठी त्या एकमेकांच्या जवळ आहेत.

अशाप्रकारे, मालिकेची श्रेणी $=$ कमाल मूल्य - किमान मूल्य.

डेटाची श्रेणी आपल्याला परिवर्तनशीलता किंवा विखुरण्याची एक उगड धारणा देते परंतु केंद्रीय प्रवृत्तीपासून डेटाच्या विखुरण्याबद्दल सांगत नाही. या हेतूसाठी, आपल्याला परिवर्तनशीलतेचे काही इतर माप आवश्यक आहे. स्पष्टपणे, असे माप केंद्रीय प्रवृत्तीपासून मूल्यांच्या फरक (किंवा विचलन) वर अवलंबून असणे आवश्यक आहे.

विखुरण्याची महत्त्वाची मापे, जी केंद्रीय प्रवृत्तीपासून निरीक्षणांच्या विचलनांवर अवलंबून असतात, ती म्हणजे मध्य विचलन आणि मानक विचलन. चला त्यांची तपशीलवार चर्चा करूया.

13.4 मध्य विचलन

आठवा की एका निरीक्षणाचे $x$ एका निश्चित मूल्य ‘$a$’ पासून विचलन म्हणजे फरक $x-a$. ‘$a$’ या केंद्रीय मूल्यापासून $x$ च्या मूल्यांचे विखुरणे शोधण्यासाठी, आपण $a$ बद्दल विचलने शोधतो. विखुरण्याचे एक परिपूर्ण माप या विचलनांचा मध्य आहे. मध्य शोधण्यासाठी, आपण विचलनांची बेरीज मिळवली पाहिजे. परंतु, आपल्याला माहित आहे की केंद्रीय प्रवृत्तीचे माप निरीक्षणांच्या संचाच्या कमाल आणि किमान मूल्यांदरम्यान असते. म्हणून, काही विचलने ऋण आणि काही धन असतील. अशाप्रकारे, विचलनांची बेरीज नाहीशी होऊ शकते. शिवाय, मध्य $(\bar{x})$ पासून विचलनांची बेरीज शून्य आहे.

तसेच $\quad \quad \quad $ विचलनांचा मध्य $=\frac{\text{ Sum of deviations }}{\text{ Number of observations }}=\frac{0}{n}=0$

अशाप्रकारे, विखुरण्याच्या मापाच्या संदर्भात, मध्यापासून विचलनांचा मध्य शोधणे आपल्यासाठी कोणत्याही उपयोगाचे नाही.

लक्षात ठेवा की, विखुरण्याचे एक योग्य माप शोधताना, आपल्याला प्रत्येक मूल्याचे केंद्रीय प्रवृत्ती किंवा एका निश्चित संख्या ‘$a$’ पासून अंतर आवश्यक असते. आठवा की, दोन संख्यांच्या फरकाचे परिपूर्ण मूल्य संख्या रेषेवर दर्शविल्यावर संख्यांमधील अंतर देते. अशाप्रकारे, एका निश्चित संख्या ‘$a$’ पासून विखुरण्याचे माप शोधण्यासाठी आपण केंद्रीय मूल्यापासून विचलनांच्या परिपूर्ण मूल्यांचा मध्य घेऊ शकतो. या मध्याला ‘मध्य विचलन’ म्हणतात. अशाप्रकारे केंद्रीय मूल्य ‘$a$’ बद्दल मध्य विचलन म्हणजे ‘$a$’ पासून निरीक्षणांच्या विचलनांच्या परिपूर्ण मूल्यांचा मध्य. ‘$a$’ पासून मध्य विचलन M.D. (a) असे दर्शविले जाते. म्हणून,

$ \text{ M.D. }(a)=\frac{\text{ Sum of absolute values of deviations from ’ } a \text{ ’ }}{\text{ Number of observations }} . $

टिप्पणी मध्य विचलन कोणत्याही केंद्रीय प्रवृत्तीच्या मापापासून मिळवता येते. तथापि, सांख्यिकीय अभ्यासांमध्ये मध्यापासून आणि मध्यकापासून मध्य विचलन सामान्यतः वापरले जाते.

13.4.1 अवर्गीकृत डेटासाठी मध्य विचलन

$n$ निरीक्षणे $x_1, x_2, x_3, \ldots ., x_n$ असू द्या. मध्य किंवा मध्यकाबद्दल मध्य विचलनाची गणना करताना खालील चरणांचा समावेश होतो:

चरण 1 केंद्रीय प्रवृत्तीचे माप काढा ज्याबद्दल आपल्याला मध्य विचलन शोधायचे आहे. ते ‘$a$’ असू द्या.

चरण 2 प्रत्येक $x_i$ चे $a$ पासून विचलन शोधा, म्हणजे, $x_1-a, x_2-a, x_3-a, \ldots, x_n-a$

चरण 3 विचलनांची परिपूर्ण मूल्ये शोधा, म्हणजे, वजा चिन्ह (-) टाकून द्या, जर ते असेल तर, म्हणजे, $|x_1-a|,|x_2-a|,|x_3-a|, \ldots .,|x_n-a|$

चरण 4 विचलनांच्या परिपूर्ण मूल्यांचा मध्य शोधा. हा मध्य $a$ बद्दल मध्य विचलन आहे, म्हणजे,

$ \text{ M.D. }(a)=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}|x_i-a|}{n} $

अशाप्रकारे $\quad\quad\quad$ M.D. $(\bar{x})=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}|x_i-\bar{x}|$, जेथे $\bar{x}=$ मध्य

आणि $\quad\quad\quad$ M.D. $(M)=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}|x_i-M|$, जेथे $M=$ मध्यक

नोंद - या अध्यायात, अन्यथा नमूद केल्याशिवाय, आपण मध्यक दर्शविण्यासाठी M चिन्ह वापरू.

आता वरील पद्धतीची चरणे खालील उदाहरणांमध्ये स्पष्ट करूया.

उदाहरण 1 खालील डेटासाठी मध्याबद्दल मध्य विचलन शोधा:

$ 6,7,10,12,13,4,8,12 $

उकल आपण चरणानुसार पुढे जाऊ आणि खालील मिळवू:

चरण 1 दिलेल्या डेटाचा मध्य आहे

$ \bar{x}=\frac{6+7+10+12+13+4+8+12}{8}=\frac{72}{8}=9 $

चरण 2 संबंधित निरीक्षणांची मध्य $\bar{x}$ पासून विचलने, म्हणजे, $x_i-\bar{x}$ आहेत

$\quad\quad\quad\quad 6-9,7-9,10-9,12-9,13-9,4-9,8-9,12-9$,

किंवा $ \quad\quad\quad\quad -3,-2,1,3,4,-5,-1,3 $

चरण 3 विचलनांची परिपूर्ण मूल्ये, म्हणजे, $|x_i-\bar{x}|$ आहेत

$ 3,2,1,3,4,5,1,3 $

चरण 4 मध्याबद्दल आवश्यक मध्य विचलन आहे

$ \text{ M.D. } \begin{aligned} (\bar{x}) & =\frac{\sum\limits_{i=1}^{8}|x_i-\bar{x}|}{8} \\ & =\frac{3+2+1+3+4+5+1+3}{8}=\frac{22}{8}=2.75 \end{aligned} $

नोंद - प्रत्येक वेळी चरणे करण्याऐवजी, आपण चरणांचा संदर्भ न घेता चरणानुसार गणना करू शकतो.

उदाहरण 2 खालील डेटासाठी मध्याबद्दल मध्य विचलन शोधा:

$ 12,3,18,17,4,9,17,19,20,15,8,17,2,3,16,11,3,1,0,5 $

उकल आपल्याला प्रथम दिलेल्या डेटाचा मध्य $(\bar{x})$ शोधावा लागेल

$ \bar{x}=\frac{1}{20} \sum\limits_{i=1}^{20} x_i=\frac{200}{20}=10 $

मध्यापासून संबंधित विचलनांची परिपूर्ण मूल्ये, म्हणजे, $|x_i-\bar{x}|$ आहेत

$ 2,7,8,7,6,1,7,9,10,5,2,7,8,7,6,1,7,9,10,5 $

म्हणून $\quad \sum\limits_{i=1}^{20}|x_i-\bar{x}|=124$

आणि $ \quad\quad\quad\quad\text{ M.D. }(\bar{x})=\frac{124}{20}=6.2 $

उदाहरण 3 खालील डेटासाठी मध्यकाबद्दल मध्य विचलन शोधा:

$ 3,9,5,3,12,10,18,4,7,19,21 \text{. } $

उकल येथे निरीक्षणांची संख्या 11 आहे जी विषम आहे. डेटा चढत्या क्रमाने मांडून, आपल्याकडे $3,3,4,5,7,9,10,12,18,19,21$ आहे

आता

$ \text{ Median }=(\frac{11+1}{2})^{\text{th }} \text{ or } 6^{\text{th }} \text{ observation }=9 $

मध्यकापासून संबंधित विचलनांची परिपूर्ण मूल्ये, म्हणजे, $|x_i-\mathbf{M}|$ आहेत $6,6,5,4,2,0,1,3,9,10,12$

म्हणून $ \quad\quad\quad\quad\quad \sum\limits_{i=1}^{11}|x_i-M|=58 $

आणि $ \quad\quad\quad\text{ M.D. }(M)=\frac{1}{11} \sum\limits_{i=1}^{11}|x_i-M|=\frac{1}{11} \times 58=5.27 $

13.4.2 वर्गीकृत डेटासाठी मध्य विचलन

आपल्याला माहित आहे की डेटा दोन प्रकारे गटबद्ध केला जाऊ शकतो:

(a) स्वतंत्र वारंवारता वितरण,

(b) सतत वारंवारता वितरण.

दोन्ही प्रकारच्या डेटासाठी मध्य विचलन शोधण्याच्या पद्धतीची चर्चा करूया.

(a) स्वतंत्र वारंवारता वितरण दिलेला डेटा $n$ वेगळ्या मूल्यांचा $x_1, x_2, \ldots, x_n$ अनुक्रमे $f_1, f_2, \ldots, f_n$ वारंवारतांसह घडणारा असू द्या. हा डेटा खालीलप्रमाणे सारणीच्या स्वरूपात दर्शविला जाऊ शकतो आणि त्याला स्वतंत्र वारंवारता वितरण म्हणतात:

$ \begin{matrix} x: x_1 & x_2 & x_3 \ldots x_n \\ f: f_1 & f_2 & f_3 \ldots f_n \end{matrix} $

(i) मध्याबद्दल मध्य विचलन

सर्वप्रथम आपण दिलेल्या डेटाचा मध्य $\bar{x}$ सूत्र वापरून शोधतो

$ \bar{x}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} x_i f_i}{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i f_i $

जेथे $\sum\limits_{i=1}^{n} x_i f_i$ निरीक्षणांच्या $x_i$ च्या त्यांच्या संबंधित वारंवारता $f_i$ सह उत्पादनांची बेरीज दर्शवते आणि $N=\sum\limits_{i=1}^{n} f_i$ वारंवारतांची बेरीज आहे.

नंतर, आपण निरीक्षणांची $x_i$ मध्य $\bar{x}$ पासून विचलने शोधतो आणि त्यांची परिपूर्ण मूल्ये घेतो, म्हणजे, $|x_i-\bar{x}|$ सर्व $i=1,2, \ldots, n$ साठी.

यानंतर, विचलनांच्या परिपूर्ण मूल्यांचा मध्य शोधा, जो मध्याबद्दल आवश्यक मध्य विचलन आहे. अशाप्रकारे

$ \quad\quad\text{ M.D. }(\bar{x})=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i|x_i-\bar{x}|}{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i|x_i-\bar{x}| $

(ii) मध्यकाबद्दल मध्य विचलन मध्यकाबद्दल मध्य विचलन शोधण्यासाठी, आपण दिलेल्या स्वतंत्र वारंवारता वितरणाचा मध्यक शोधतो. यासाठी निरीक्षणे चढत्या क्रमाने मांडली जातात. यानंतर संचयी वारंवारता मिळवली जाते. नंतर, आपण ते निरीक्षण ओळखतो ज्याची संचयी वारंवारता $\frac{N}{2}$ च्या बरोबर किंवा त्यापेक्षा जास्त आहे, जेथे $N$ वारंवारतांची बेरीज आहे. निरीक्षणाचे हे मूल्य डेटाच्या मध्यभागी असते, म्हणून, ते आवश्यक मध्यक आहे. मध्यक शोधल्यानंतर, आपण मध्यकापासून विचलनांच्या परिपूर्ण मूल्यांचा मध्य मिळवतो. अशाप्रकारे,

$ \text{ M.D.(M) }=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i|x_i-M| $

उदाहरण 4 खालील डेटासाठी मध्याबद्दल मध्य विचलन शोधा:

उकल दिलेल्या डेटाची सारणी 13.1 बनवू आणि गणनेनंतर इतर स्तंभ जोडू.

सारणी 13.1

$ N=\sum\limits_{i=1}^{6} f_i=40, \quad \sum\limits_{i=1}^{6} f_i x_i=300, \quad \sum\limits_{i=1}^{6} f_i|x_i-\bar{x}|=92 $

म्हणून $ \quad \quad \quad\bar{x}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{6} f_i x_i=\frac{1}{40} \times 300=7.5 $

आणि $\quad \quad \quad$ M. D. $(\bar{x})=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{6} f_i|x_i-\bar{x}|=\frac{1}{40} \times 92=2.3$

उदाहरण 5 खालील डेटासाठी मध्यकाबद्दल मध्य विचलन शोधा:

उकल दिलेली निरीक्षणे आधीच चढत्या क्रमाने आहेत. दिलेल्या डेटामध्ये संचयी वारंवारतेशी संबंधित एक पंक्ती जोडून, आपल्याला मिळते (सारणी 13.2).

सारणी 13.2

आता, $N=30$ जी सम आहे.

मध्यक $15^{\text{th }}$ आणि $16^{\text{th }}$ निरीक्षणांचा मध्य आहे. ही दोन्ही निरीक्षणे संचयी वारंवारता 18 मध्ये आहेत, ज्यासाठी संबंधित निरीक्षण 13 आहे.

म्हणून, मध्यक $M=\frac{15^{\text{th }} \text{ observation }+16^{\text{th }} \text{ observation }}{2}=\frac{13+13}{2}=13$

आता, मध्यकापासून विचलनांची परिपूर्ण मूल्ये, म्हणजे, $|x_i-M|$ सारणी 13.3 मध्ये दाखवली आहेत. आपल्याकडे आहे

सारणी 13.3

$ \quad \quad \quad \quad \sum\limits_{i=1}^{8} f_i=30 \text{ and } \sum\limits_{i=1}^{8} f_i|x_i-M|=149 $

म्हणून

$ \begin{aligned} \text{ M. D. }(M) & =\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{8} f_i|x_i-M| \\ & =\frac{1}{30} \times 149=4.97 \end{aligned} $

(b) सतत वारंवारता वितरण सतत वारंवारता वितरण ही एक मालिका आहे ज्यामध्ये डेटा त्यांच्या संबंधित वारंवारतांसह अंतराशिवाय वेगवेगळ्या वर्ग-अंतरालमध्ये वर्गीकृत केला जातो.

उदाहरणार्थ, 100 विद्यार्थ्यांनी मिळवलेले गुण खालीलप्रमाणे सतत वारंवारता वितरणात सादर केले आहेत:

(i) मध्याबद्दल मध्य विचलन सतत वारंवारता वितरणाचा मध्य काढताना, आपण असे गृहीत धरले होते की प्रत्येक वर्गातील वारंवारता त्याच्या मध्यबिंदूवर केंद्रित आहे. येथे देखील, आपण प्रत्येक दिलेल्या वर्गाचा मध्यबिंदू लिहितो आणि मध्य विचलन शोधण्यासाठी स्वतंत्र वारंवारता वितरणासाठी पुढे जातो.

चला खालील उदाहरण घेऊ.

उदाहरण 6 खालील डेटासाठी मध्याबद्दल मध्य विचलन शोधा.

उकल आपण दिलेल्या डेटावरून खालील सारणी 13.4 बनवतो:

सारणी 13.4

येथे $ \quad \quad \quad N=\sum\limits_{i=1}^{7} f_i=40, \sum\limits_{i=1}^{7} f_i x_i=1800, \sum\limits_{i=1}^{7} f_i|x_i-\bar{x}|=400 $

म्हणून $ \quad \quad \quad\bar{x}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{7} f_i x_i=\frac{1800}{40}=45 $

आणि $ \quad \quad \quad\text{ M.D. }(\bar{x})=\frac{1}{N} \sum