जिथे गणितीय तर्क वापरता येऊ शकतो, तिथे इतर कोणत्याही तर्काचा वापर करणे हे तितकेच मूर्खपणाचे आहे, जितके तुमच्या हातात मेणबत्ती असताना एखादी वस्तू अंधारात शोधण्यासाठी टोळाटोळी करणे. - जॉन आर्बथनॉट

14.1 घटना

आपण यादृच्छिक प्रयोग आणि प्रयोगाशी संबंधित नमुना अवकाश याबद्दल अभ्यास केला आहे. प्रयोगाशी संबंधित सर्व प्रश्नांसाठी नमुना अवकाश हे एक सार्वत्रिक संच म्हणून काम करते.

एक नाणे दोन वेळा उडवण्याच्या प्रयोगाचा विचार करा. संबंधित नमुना अवकाश $S=\{HH, HT, TH, TT\}$ आहे.

आता समजा की आपल्याला अशा निष्पत्तींमध्ये रस आहे ज्या नक्की एक चित्त येण्याशी संबंधित आहेत. आपल्याला आढळते की $HT$ आणि $TH$ हे $S$ चे एकमेव घटक आहेत जे या घटनेच्या (घटनेच्या) घटनेशी संबंधित आहेत. हे दोन घटक $E=\{HT, TH\}$ हा संच तयार करतात.

आपल्याला माहित आहे की संच $E$ हा नमुना अवकाश $S$ चा उपसंच आहे. त्याचप्रमाणे, आपल्याला घटना आणि S च्या उपसंचांमध्ये खालील पत्रव्यवहार सापडतो.

वरील चर्चा सूचित करते की नमुना अवकाशाचा उपसंच हा एका घटनेशी संबंधित असतो आणि एक घटना ही नमुना अवकाशाच्या उपसंचाशी संबंधित असते. याच्या प्रकाशात आपण घटनेची व्याख्या खालीलप्रमाणे करतो.

व्याख्या नमुना अवकाश $S$ चा कोणताही उपसंच $E$ याला घटना म्हणतात.

14.1.1 घटनेची घटना

फासा फेकण्याच्या प्रयोगाचा विचार करा. समजा $E$ ही घटना “4 पेक्षा कमी संख्या दिसते” दर्शवते. जर प्रत्यक्षात फाशावर ‘1’ आला असेल तर आपण म्हणतो की घटना $E$ घडली आहे. खरं तर, जर निष्पत्ती 2 किंवा 3 असतील, तर आपण म्हणतो की घटना $E$ घडली आहे.

अशाप्रकारे, नमुना अवकाश $S$ ची घटना $E$ घडली असे म्हटले जाते जर प्रयोगाची निष्पत्ती $\omega$ अशी असेल की $\omega \in E$. जर निष्पत्ती $\omega$ अशी असेल की $\omega \notin E$, तर आपण म्हणतो की घटना $E$ घडली नाही.

14.1.2 घटनांचे प्रकार

घटनांचे त्यांच्याकडे असलेल्या घटकांच्या आधारे विविध प्रकारांमध्ये वर्गीकरण केले जाऊ शकते.

1. अशक्य आणि निश्चित घटना रिकामा संच $\phi$ आणि नमुना अवकाश $S$ घटनांचे वर्णन करतात. खरं तर, $\phi$ याला अशक्य घटना म्हणतात आणि S, म्हणजेच संपूर्ण नमुना अवकाश याला निश्चित घटना म्हणतात.

हे समजून घेण्यासाठी फासा फेकण्याच्या प्रयोगाचा विचार करू. संबंधित नमुना अवकाश आहे $ S=\{1,2,3,4,5,6\} $

समजा $E$ ही घटना “फाशावर दिसणारी संख्या 7 ची गुणाकार आहे” आहे. तुम्ही घटना $E$ शी संबंधित उपसंच लिहू शकता का?

स्पष्टपणे, घटनेमध्ये दिलेल्या अटीचे समाधान करणारी कोणतीही निष्पत्ती नाही, म्हणजेच, नमुना अवकाशाचा कोणताही घटक घटना $E$ च्या घटनेची खात्री देत नाही. अशाप्रकारे, आपण म्हणतो की रिकामा संच केवळ घटना $E$ शी संबंधित आहे. दुसऱ्या शब्दांत, आपण असे म्हणू शकतो की फाशाच्या वरच्या बाजूला 7 चा गुणाकार मिळणे अशक्य आहे. अशाप्रकारे, घटना $E=\phi$ ही एक अशक्य घटना आहे.

आता आपण दुसरी घटना $F$ “विषम किंवा सम संख्या येते” घेऊ. स्पष्टपणे $F=\{1,2,3,4,5,6\}=,S$, म्हणजेच, प्रयोगाच्या सर्व निष्पत्ती घटना $F$ च्या घटनेची खात्री देतात. अशाप्रकारे, घटना $F=S$ ही एक निश्चित घटना आहे.

2. साधी घटना जर एखाद्या घटनेला $E$ नमुना अवकाशाचा फक्त एक नमुना बिंदू असेल, तर त्याला साधी (किंवा प्राथमिक) घटना म्हणतात. $n$ भिन्न घटक असलेल्या नमुना अवकाशात, नक्की $n$ साध्या घटना असतात.

उदाहरणार्थ, दोन नाणी फेकण्याच्या प्रयोगात, एक नमुना अवकाश आहे

$$ S=\{HH, HT, TH, TT\} $$

या नमुना अवकाशाशी संबंधित चार साध्या घटना आहेत. त्या आहेत

$$ E_1=\{HH\}, E_2=\{HT\}, E_3=\{TH\} \text{ and } E_4=\{TT\} $$

3. संयुक्त घटना जर एखाद्या घटनेत एकापेक्षा जास्त नमुना बिंदू असतील, तर त्याला संयुक्त घटना म्हणतात.

उदाहरणार्थ, “एक नाणे तीन वेळा फेकणे” या प्रयोगातील घटना

E: ‘नक्की एक चित्त आले’

F: ‘किमान एक चित्त आले’

G: ‘जास्तीत जास्त एक चित्त आले’ इ.

सर्व संयुक्त घटना आहेत. $S$ चे या घटनांशी संबंधित उपसंच आहेत

$ \begin{aligned} & E=\{HTT, THT, TTH\} \\ & F=\{HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH\} \\ & G=\{TTT, \text{ THT, HTT, TTH }\} \end{aligned} $

वरील प्रत्येक उपसंचामध्ये एकापेक्षा जास्त नमुना बिंदू असतात, म्हणून ते सर्व संयुक्त घटना आहेत.

14.1.3 घटनांचे बीजगणित

संचांच्या प्रकरणात, आपण दोन किंवा अधिक संच एकत्र करण्याच्या विविध पद्धतींचा अभ्यास केला आहे, जसे की संघ, छेदनबिंदू, फरक, संचाचा पूरक इ. त्याचप्रमाणे आपण संबंधित संच संकेतांचा वापर करून दोन किंवा अधिक घटना एकत्र करू शकतो.

समजा A, B, C हे घटना आहेत जे S नमुना अवकाश असलेल्या प्रयोगाशी संबंधित आहेत.

1. पूरक घटना प्रत्येक घटना A साठी, $A^{\prime}$ नावाची दुसरी घटना असते जिला $A$ ची पूरक घटना म्हणतात. याला ‘$A$ नाही’ घटना असेही म्हणतात.

उदाहरणार्थ, ‘तीन नाणी फेकणे’ या प्रयोगाचा विचार करा. संबंधित नमुना अवकाश आहे $ S=\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\} $

समजा $A=\{HTH, HHT, THH\}$ ही घटना ‘फक्त एक काटा दिसतो’ आहे. स्पष्टपणे, HTT या निष्पत्तीसाठी, घटना A घडली नाही. परंतु आपण असे म्हणू शकतो की ‘A नाही’ घटना घडली आहे. अशाप्रकारे, A मध्ये नसलेल्या प्रत्येक निष्पत्तीसाठी, आपण असे म्हणतो की ‘A नाही’ घडते.

अशाप्रकारे घटना A ची पूरक घटना ‘A नाही’ आहे

$ A^{\prime}=\{HHH, HTT, THT, TTH, TTT\} $

किंवा $ \quad \quad \quad \quad A^{\prime}=\{\omega: \omega \in S \text{ and } \omega \notin A\}=S-A . $

2. घटना ‘A किंवा B’ आठवा की A आणि B या दोन संचांचा संघ A $\cup$ B द्वारे दर्शविला जातो ज्यामध्ये ते सर्व घटक असतात जे एकतर A मध्ये किंवा B मध्ये किंवा दोन्हीमध्ये असतात.

जेव्हा संच $A$ आणि $B$ हे नमुना अवकाशाशी संबंधित दोन घटना असतात, तेव्हा ‘A $\cup B$’ ही घटना ‘एकतर $A$ किंवा $B$ किंवा दोन्ही’ आहे. या घटना ‘A $\cup B$’ याला ‘A किंवा B’ असेही म्हणतात. म्हणून

$ \begin{aligned} \text{ घटना }^{\prime} A \text{ किंवा } B^{\prime} & =A \cup B \\ & =\{\omega: \omega \in A \text{ किंवा } \omega \in B\} \end{aligned} $

3. घटना ‘A आणि B’ आपल्याला माहित आहे की दोन संचांचा छेदनबिंदू $A \cap B$ हा त्या घटकांचा संच आहे जे A आणि B दोन्हीसाठी सामाईक आहेत. म्हणजेच, जे ‘A आणि B’ दोन्हीमध्ये आहेत.

जर $A$ आणि $B$ दोन घटना असतील, तर संच $A \cap B$ ही घटना ‘$A$ आणि $B$’ दर्शवतो.

अशाप्रकारे, $ \quad A \cap B=\{\omega: \omega \in A and \omega \in B\} $

उदाहरणार्थ, ‘फासा दोन वेळा फेकणे’ या प्रयोगात समजा $A$ ही घटना ‘पहिल्या फेकीवर गुण सहा आहे’ आणि B ही घटना ‘दोन गुणांची बेरीज किमान 11 आहे’ आहे तर

$ A=\{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}, \text{ आणि } B=\{(5,6),(6,5),(6,6)\} $

म्हणून $\quad A \cap B=\{(6,5),(6,6)\}$

लक्षात घ्या की संच $A \cap B=\{(6,5),(6,6)\}$ ही घटना ‘पहिल्या फेकीवर गुण सहा आहे आणि गुणांची बेरीज किमान 11 आहे’ दर्शवू शकतो.

4. घटना ‘A पण B नाही’ आपल्याला माहित आहे की A-B हा त्या सर्व घटकांचा संच आहे जे A मध्ये आहेत पण B मध्ये नाहीत. म्हणून, संच A-B ही घटना ‘A पण B नाही’ दर्शवू शकतो. आपल्याला माहित आहे की $ A-B=A \cap B^{\prime} $

उदाहरण 1 फासा फेकण्याच्या प्रयोगाचा विचार करा. समजा A ही घटना ‘मूळ संख्या मिळते’, B ही घटना ‘विषम संख्या मिळते’ आहे. खालील संच लिहा जे घटना दर्शवतात (i) A किंवा B (ii) A आणि B (iii) A पण B नाही (iv) ‘A नाही’.

उपाय येथे $\quad S=\{1,2,3,4,5,6\}, A=\{2,3,5\}$ आणि $B=\{1,3,5\}$

स्पष्टपणे

(i) ‘A किंवा $B ‘=A \cup B=\{1,2,3,5\}$

(ii) ‘$A$ आणि $B ‘=A \cap B=\{3,5\}$

(iii) ‘A पण $B$ नाही’ $=A-B=\{2\}$

(iv) ‘$A^{\prime}=A^{\prime}=\{1,4,6\}$ नाही

14.1.4 परस्पर अनन्य घटना

फासा फेकण्याच्या प्रयोगात, एक नमुना अवकाश $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ आहे. घटना विचारात घ्या, $A$ ‘विषम संख्या दिसते’ आणि $B$ ‘सम संख्या दिसते’

स्पष्टपणे घटना A ही घटना B वगळते आणि त्याउलट. दुसऱ्या शब्दांत, अशी कोणतीही निष्पत्ती नाही जी घटना A आणि B एकाच वेळी घडण्याची खात्री देते. येथे

$A=\{1,3,5\}$ आणि $B=\{2,4,6\}$

स्पष्टपणे $A \cap B=\phi$, म्हणजेच, $A$ आणि $B$ हे विभक्त संच आहेत.

सर्वसाधारणपणे, दोन घटना $A$ आणि $B$ यांना परस्पर अनन्य घटना म्हणतात जर त्यापैकी कोणत्याही एकाची घटना दुसऱ्याची घटना वगळते, म्हणजेच, जर त्या एकाच वेळी घडू शकत नाहीत. या प्रकरणात संच A आणि B विभक्त आहेत.

पुन्हा फासा फेकण्याच्या प्रयोगात, घटना A ‘विषम संख्या दिसते’ आणि घटना $B$ ‘4 पेक्षा कमी संख्या दिसते’ विचारात घ्या.

स्पष्टपणे $A=\{1,3,5\}$ आणि $B=\{1,2,3\}$

आता $3 \in A$ तसेच $3 \in B$

म्हणून, A आणि B परस्पर अनन्य घटना नाहीत.

टिप्पणी नमुना अवकाशाच्या साध्या घटना नेहमी परस्पर अनन्य असतात.

14.1.5 संपूर्ण घटना

फासा फेकण्याच्या प्रयोगाचा विचार करा. आपल्याकडे $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ आहे. खालील घटना परिभाषित करूया

A: ‘4 पेक्षा कमी संख्या दिसते’,

B: ‘2 पेक्षा जास्त पण 5 पेक्षा कमी संख्या दिसते’

आणि C: ‘4 पेक्षा जास्त संख्या दिसते’.

तर $A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}$ आणि $C=\{5,6\}$. आपण पाहतो की

$$ A \cup B \cup C=\{1,2,3\} \cup\{3,4\} \cup\{5,6\}=S . $$

अशा घटना $A, B$ आणि $C$ यांना संपूर्ण घटना म्हणतात. सर्वसाधारणपणे, जर $E_1, E_2, \ldots, E_n$ हे नमुना अवकाश $S$ च्या $n$ घटना असतील आणि जर

$$ E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup \ldots \cup E_n=\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i=S $$

तर $E_1, E_2, \ldots, E_n$ यांना संपूर्ण घटना म्हणतात. दुसऱ्या शब्दांत, घटना $E_1, E_2, \ldots, E_n$ यांना संपूर्ण म्हटले जाते जर प्रयोग केला तेव्हा त्यापैकी किमान एक घटना नक्कीच घडते.

पुढे, जर $E_i \cap E_j=\phi$ $i \neq j$ साठी, म्हणजेच घटना $E_i$ आणि $E_j$ ह्या जोडीने विभक्त आहेत आणि $\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i=S$, तर घटना $E_1, E_2, \ldots, E_n$ यांना परस्पर अनन्य आणि संपूर्ण घटना म्हणतात.

आता आपण काही उदाहरणे विचारात घेऊ.

उदाहरण 2 दोन फासे फेकले जातात आणि फाशावर येणाऱ्या संख्यांची बेरीज नोंदवली जाते. या प्रयोगाशी संबंधित खालील घटना विचारात घ्या

A: ‘बेरीज सम आहे’.

B: ‘बेरीज 3 ची गुणाकार आहे’.

C: ‘बेरीज 4 पेक्षा कमी आहे’.

$D$ : ‘बेरीज 11 पेक्षा जास्त आहे’.

यापैकी कोणत्या जोड्या घटना परस्पर अनन्य आहेत?

उपाय नमुना अवकाश $S=\{(x, y): x, y=1,2,3,4,5,6\}$ मध्ये 36 घटक आहेत.

तर $ A= \{(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4), (4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)\} $

$ B= \{(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(3,3),(2,4),(4,2),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4), (6,6)\} $

$ C= \{(1,1),(2,1),(1,2)\} \text{ and } D=\{(6,6)\} $

आपल्याला आढळते की

$ A \cap B=\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,6)\} \neq \phi $

म्हणून, $A$ आणि $B$ परस्पर अनन्य घटना नाहीत.

त्याचप्रमाणे $A \cap C \neq \phi, A \cap D \neq \phi, B \cap C \neq \phi$ आणि $B \cap D \neq \phi$.

अशाप्रकारे, घटनांच्या जोड्या, $(A, C),(A, D),(B, C),(B, D)$ परस्पर अनन्य घटना नाहीत.

तसेच $C \cap D=\phi$ आणि म्हणून $C$ आणि $D$ परस्पर अनन्य घटना आहेत.

उदाहरण 3 $A$ नाणे तीन वेळा फेकले जाते, खालील घटना विचारात घ्या. दिसते’.

$\mathrm{A}$ : ‘कोणतेही चित्त दिसत नाही’, $\mathrm{B}$ : ‘नक्की एक चित्त दिसते’ आणि $\mathrm{C}$ : ‘किमान दोन चित्ते

त्या परस्पर अनन्य आणि संपूर्ण घटनांचा संच तयार करतात का?

उपाय प्रयोगाचे नमुना अवकाश आहे

$S=\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT \}$

आणि $A=\{TTT\}, B=\{HTT, THT, TTH\}, C=\{HHT, HTH, THH, HHH\}$

आता $\mathrm{A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C}=\{\mathrm{TTT}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}, \mathrm{HHH}\}=\mathrm{S}$

म्हणून, $A, B$ आणि $C$ संपूर्ण घटना आहेत.

तसेच, $\quad A \cap B=\phi, A \cap C=\phi$ आणि $B \cap C=\phi$

म्हणून, घटना जोडीने विभक्त आहेत, म्हणजेच त्या परस्पर अनन्य आहेत.

म्हणून, A, B आणि C परस्पर अनन्य आणि संपूर्ण घटनांचा संच तयार करतात.

14.2 संभाव्यतेचा स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण

मागील विभागांमध्ये, आपण यादृच्छिक प्रयोग, नमुना अवकाश आणि या प्रयोगांशी संबंधित घटनांचा विचार केला आहे. आपल्या दैनंदिन जीवनात आपण घटनांच्या घटनेच्या शक्यतांबद्दल अनेक शब्द वापरतो. संभाव्यता सिद्धांत घटनांच्या घटनेच्या किंवा न घटनेच्या या शक्यतांचे प्रमाणात्मक करण्याचा प्रयत्न करतो.

मागील वर्गांमध्ये, एकूण निष्पत्तींची संख्या ज्ञात असलेल्या प्रयोगाशी संबंधित घटनेला संभाव्यता नियुक्त करण्याच्या काही पद्धती आपण अभ्यासल्या आहेत.

स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण हा घटनेची संभाव्यता वर्णन करण्याचा दुसरा मार्ग आहे. या दृष्टिकोणात संभाव्यता नियुक्त करण्यासाठी काही स्वयंसिद्धे किंवा नियम दर्शविले जातात.

समजा $S$ हे यादृच्छिक प्रयोगाचे नमुना अवकाश आहे. संभाव्यता $P$ हे एक वास्तव मूल्य असलेले कार्य आहे ज्याचे डोमेन $S$ ची घात संच आहे आणि श्रेणी मध्यांतर $[0,1]$ आहे जे खालील स्वयंसिद्धे पूर्ण करते

$\begin{matrix} \text{ (i) For any event } E, P(E) \geq 0 & \text{ (ii) } P(S)=1\end{matrix} $

(iii) जर $E$ आणि $F$ परस्पर अनन्य घटना असतील, तर $P(E \cup F)=P(E)+P(F)$.

हे (iii) वरून अनुसरण करते की $P(\phi)=0$. हे सिद्ध करण्यासाठी, आपण $F=\phi$ घेतो आणि लक्षात घेतो की $E$ आणि $\phi$ विभक्त घटना आहेत. म्हणून, स्वयंसिद्ध (iii) वरून, आपल्याला मिळते

$ P(E \cup \phi)=P(E)+P(\phi) \text{ किंवा } \quad P(E)=P(E)+P(\phi) \text{ म्हणजे } P(\phi)=0 \text{. } $

समजा $S$ हे निष्पत्ती $\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n$ असलेले नमुना अवकाश आहे, म्हणजे,

$$ S=\{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n\} $$

संभाव्यतेच्या स्वयंसिद्ध व्याख्येवरून हे अनुसरण करते की

(i) $0 \leq P(\omega_i) \leq 1$ प्रत्येक $\omega_i \in S$ साठी

(ii) $P(\omega_1)+P(\omega_2)+\ldots+P(\omega_n)=1$

(iii) कोणत्याही घटनेसाठी $A, P(A)=\sum P(\omega_i), \omega_i \in A$.

टीप - हे लक्षात घ्यावे की एकल संच $\{\omega_i\}$ याला प्राथमिक घटना म्हणतात आणि संकेतन सोयीसाठी, आपण $P(\omega_i)$ ऐवजी $P(\{\omega_i\})$ लिहितो.

उदाहरणार्थ, ‘नाणे फेकणे’ या प्रयोगात आपण प्रत्येक निष्पत्तीला $\frac{1}{2}$ संख्या नियुक्त करू शकतो $H$ आणि $T$.

म्हणजे $ \quad \quad \quad \quad P(H)=\frac{1}{2} \text{ आणि } P(T)=\frac{1}{2} $

स्पष्टपणे हे नियुक्ती दोन्ही अटी पूर्ण करते, म्हणजे, प्रत्येक संख्या शून्यापेक्षा कमी नाही आणि 1 पेक्षा जास्त नाही

आणि $ P(H)+P(T)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 $

म्हणून, या प्रकरणात आपण असे म्हणू शकतो की $H=\frac{1}{2}$ ची संभाव्यता, आणि $T=\frac{1}{2}$ ची संभाव्यता

जर आपण $P(H)=\frac{1}{4}$ आणि $P(T)=\frac{3}{4}\quad \quad \quad \quad \ldots (2)$ घेतले

ही नियुक्ती स्वयंसिद्ध दृष्टिकोनाच्या अटी पूर्ण करते का?

होय, या प्रकरणात, $H=\frac{1}{4}$ ची संभाव्यता आणि $T=\frac{3}{4}$ ची संभाव्यता.

आपल्याला आढळते की दोन्ही नियुक्ती (1) आणि (2) $H$ आणि $T$ च्या संभाव्यतेसाठी वैध आहेत.

खरं तर, आपण दोन्ही निष्पत्तींना $p$ आणि $(1-p)$ अशा संख्या नियुक्त करू शकतो जसे की $0 \leq p \leq 1$ आणि $P(H)+P(T)=p+(1-p)=1$

ही नियुक्ती देखील संभाव्यतेच्या स्वयंसिद्ध दृष्टिकोनाच्या दोन्ही अटी पूर्ण करते. म्हणून, आपण असे म्हणू शकतो की प्रयोगाच्या निष्पत्तींना संभाव्यता नियुक्त करण्याचे अनेक मार्ग (असीम) आहेत. आता आपण काही उदाहरणे विचारात घेऊ.

उदाहरण 4 समजा नमुना अवकाश $S=\{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_6\}$ आहे. खालीलपैकी कोणती नियुक्ती प्रत्येक निष्पत्तीच्या संभाव्यतेसाठी वैध आहे?

उपाय (a) अट (i): प्रत्येक संख्या $p(\omega_i)$ धनात्मक आहे आणि एकापेक्षा कमी आहे. अट (ii): संभाव्यतेची बेरीज

$$ =\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=1 $$

म्हणून, नियुक्ती वैध आहे

(b) अट (i): प्रत्येक संख्या $p(\omega_i)$ एकतर 0 किंवा 1 आहे.

अट (ii) संभाव्यतेची बेरीज $=1+0+0+0+0+0=1$

म्हणून, नियुक्ती वैध आहे

(c) अट (i) दोन संभाव्यता $p(\omega_5)$ आणि $p(\omega_6)$ ऋणात्मक आहेत, नियुक्ती वैध नाही

(d) $p(\omega_6)=\frac{3}{2}>1$ पासून, नियुक्ती वैध नाही

(e) संभाव्यतेची बेरीज $=0.1+0.2+0.3+0.4+0.5+0.6=2.1$ पासून, नियुक्ती वैध नाही.

14.2.1 घटनेची संभाव्यता

समजा $S$ हे ‘मशीनद्वारे तयार केलेल्या तीन सलग पेनांची तपासणी करणे आणि चांगले (निर्दोष) आणि वाईट (दोषयुक्त) म्हणून वर्गीकृत करणे’ या प्रयोगाशी संबंधित नमुना अवकाश आहे. या तपासणीच्या परिणामी आपल्याला $0,1,2$ किंवा 3 दोषयुक्त पेन मिळू शकतात.

या प्रयोगाशी संबंधित नमुना अवकाश आहे

$ S=\{BBB, BBG, BGB, GBB, BGG, GBG, GGB, GGG\} $

जेथे $B$ म्हणजे दोषयुक्त किंवा वाईट पेन आणि $G$ म्हणजे निर्दोष किंवा चांगले पेन.

समजा निष्पत्तींना नियुक्त केलेल्या संभाव्यता खालीलप्रमाणे आहेत

$\begin{array}{lllllllll} \text{नमुना बिंदू:} & BBB & BBG & BGB & GBB & BGG & GBG & GGB & GGG \\ \\ \text{संभाव्यता: } & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac