गणित हे सर्व भौतिक संशोधनाचे अपरिहार्य साधन आहे. - बर्थेलॉट

2.1 प्रस्तावना

गणिताचा बराचसा भाग म्हणजे एक नमुना शोधणे - बदलणाऱ्या राशींमधील एक ओळखता येणारा दुवा. आपल्या दैनंदिन जीवनात, आपण अनेक नमुने पाहतो जे भाऊ आणि बहीण, वडील आणि मुलगा, शिक्षक आणि विद्यार्थी यांसारखे संबंध दर्शवतात. गणितातही, आपण अनेक संबंधांना भेटतो जसे की संख्या $m$ ही संख्या $n$ पेक्षा लहान आहे, रेषा $l$ ही रेषा $m$ ला समांतर आहे, संच $A$ हा संच $B$ चा उपसंच आहे. या सर्वांमध्ये, आपल्याला दिसते की एका संबंधामध्ये विशिष्ट क्रमातील वस्तूंच्या जोड्या समाविष्ट असतात. या प्रकरणात, आपण दोन संचांमधून वस्तूंच्या जोड्या कशा जोडायच्या ते शिकू आणि नंतर जोडीतील दोन वस्तूंमधील संबधांची ओळख करून देऊ. शेवटी, आपण विशेष संबंधांबद्दल शिकू जे फलन म्हणून पात्र ठरतील.

जी.डब्ल्यू. लाइब्निझ (१६४६-१७१६ इ.स.)

फलनाची संकल्पना गणितात अतिशय महत्त्वाची आहे कारण ती एका राशीचा दुसऱ्या राशीशी असलेला गणितीयदृष्ट्या अचूक पत्रव्यवहार ही कल्पना मांडते.

2.2 संचांचे कार्टेशियन गुणाकार

समजा A हा २ रंगांचा संच आहे आणि B हा ३ वस्तूंचा संच आहे, म्हणजेच,

$$ A=\{\text { red, blue }\} \text { and } B=\{b, c, s\} \text {, } $$

जिथे $b, c$ आणि $s$ अनुक्रमे एक विशिष्ट बॅग, कोट आणि शर्ट दर्शवतात.

या दोन संचांपासून किती रंगीत वस्तूंच्या जोड्या बनवता येतील?

अतिशय सुव्यवस्थित पद्धतीने पुढे जाताना, आपल्याला दिसेल की खालीलप्रमाणे ६ वेगवेगळ्या जोड्या असतील:

(लाल, $b$ ), (लाल, $c$ ), (लाल, $s$ ), (निळा, $b$ ), (निळा, $c$ ), (निळा, $s$ ).

अशाप्रकारे, आपल्याला ६ वेगवेगळ्या वस्तू मिळतात (आकृती 2.1).

आकृती 2.1

आपण आपल्या मागील वर्गांमधून आठवूया की कोणत्याही दोन संच $P$ आणि $Q$ मधून घेतलेल्या घटकांची क्रमित जोडी म्हणजे लहान कंसात लिहिलेली आणि एका विशिष्ट क्रमात एकत्र गटबद्ध केलेली घटकांची जोडी, म्हणजेच, $(p, q), p \in P$ आणि $q \in Q$. यामुळे पुढील व्याख्येकडे वाटचाल होते:

व्याख्या 1 दोन रिकाम्या नसलेले संच $P$ आणि $Q$ दिले आहेत. कार्टेशियन गुणाकार $P \times Q$ म्हणजे $P$ आणि $Q$ मधील सर्व क्रमित जोडींचा संच आहे, म्हणजेच,

$$ P \times Q=\{(p, q): p \in P, q \in Q\} $$

जर एकतर $P$ किंवा $Q$ रिकामा संच असेल, तर $P \times Q$ देखील रिकामा संच असेल, म्हणजेच, $P \times Q=\phi$

वरील स्पष्टीकरणावरून आपल्याला दिसते की

$A \times B=\{(red, b),($ लाल,$c),($ लाल,$s),($ निळा,$b),($ निळा,$c),($ निळा,$s)\}$.

पुन्हा, दोन संचांचा विचार करा:

$A=\{DL, MP, KA\}$, जिथे DL, MP, KA अनुक्रमे दिल्ली, मध्य प्रदेश आणि कर्नाटक दर्शवतात आणि B $=\{01,02, 03 \}$ DL, MP आणि KA द्वारे जारी केलेल्या वाहनांच्या लायसन्स प्लेट्ससाठीचे कोड दर्शवतात.

जर तीन राज्ये, दिल्ली, मध्य प्रदेश आणि कर्नाटक, वाहनांच्या लायसन्स प्लेट्ससाठी कोड बनवत असतील, आणि संच $A$ मधील घटकापासून कोड सुरू होण्याचे निर्बंध असतील, तर या संचांपासून कोणत्या जोड्या उपलब्ध आहेत आणि अशा किती जोड्या असतील (आकृती 2.2)?

आकृती 2.2

उपलब्ध जोड्या आहेत:$(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02)$, $(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02),(\mathrm{KA}, 03)$ आणि संच $A$ आणि संच $B$ चा गुणाकार $\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\{(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02),(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02)$, $(\mathrm{KA}, 03)\} \text {. }$ द्वारे दिला जातो.

हे सहजपणे दिसून येते की कार्टेशियन गुणाकारात अशा ९ जोड्या असतील, कारण संच A आणि B मध्ये प्रत्येकी ३ घटक आहेत. हे आपल्याला ९ संभाव्य कोड देते. हे देखील लक्षात घ्या की या घटकांची जोडी कोणत्या क्रमात केली जाते हे महत्त्वाचे आहे. उदाहरणार्थ, कोड (DL, 01 ) हा कोड $(01, DL)$ सारखा नसेल.

अंतिम स्पष्टीकरण म्हणून, दोन संच $A=\{a_1, a_2\}$ आणि $B=\{b_1, b_2, b_3, b_4\}$ चा विचार करा (आकृती 2.3).

$A \times B=\{(a_1, b_1),(a_1, b_2),(a_1, b_3),(a_1, b_4),(a_2, b_1),(a_2, b_2),(a_2, b_3),(a_2, b_4)\} .$

अशाप्रकारे तयार झालेल्या ८ क्रमित जोड्या समतलातील बिंदूंचे स्थान दर्शवू शकतात जर A आणि B वास्तव संख्यांच्या संचाचे उपसंच असतील आणि हे स्पष्ट आहे की $(a_1, b_2)$ या स्थानातील बिंदू $(b_2, a_1)$ या स्थानातील बिंदूपेक्षा वेगळा असेल.

आकृती 2.3

टिपा

(i) दोन क्रमित जोड्या समान असतात, जर आणि फक्त जर संबंधित पहिले घटक समान असतील आणि दुसरे घटक देखील समान असतील.

(ii) जर $p$ मध्ये $A$ घटक असतील आणि $q$ मध्ये $B$ घटक असतील, तर $p q$ मध्ये $A \times B$ घटक असतील, म्हणजेच, जर $n(A)=p$ आणि $n(B)=q$, तर $n(A \times B)=p q$.

(iii) जर $A$ आणि $B$ रिकामे नसलेले संच असतील आणि एकतर $A$ किंवा $B$ अनंत संच असेल, तर $A \times B$ देखील तसाच असेल.

(iv) $A \times A \times A=\{(a, b, c): a, b, c \in A\}$. येथे $(a, b, c)$ ला क्रमित त्रिकूट म्हणतात.

उदाहरण 1 जर $(x+1, y-2)=(3,1)$, तर $x$ आणि $y$ ची मूल्ये शोधा.

उपाय क्रमित जोड्या समान असल्यामुळे, संबंधित घटक समान आहेत.

म्हणून

$ x+1=3 \text { and } y-2=1 \text {. } $

सोडवल्यास आपल्याला $\quad x=2$ आणि $y=3$ मिळते.

उदाहरण 2 जर $P=\{a, b, c\}$ आणि $Q=\{r\}$, तर संच $P \times Q$ आणि $Q \times P$ तयार करा.

हे दोन गुणाकार समान आहेत का?

उपाय कार्टेशियन गुणाकाराच्या व्याख्येनुसार,

$$ P \times Q=\{(a, r),(b, r),(c, r)\} \text { and } Q \times P=\{(r, a),(r, b),(r, c)\} $$

क्रमित जोड्यांच्या समानतेच्या व्याख्येनुसार, जोडी $(a, r)$ ही जोडी $(r, a)$ बरोबर समान नसल्यामुळे, आपण असा निष्कर्ष काढतो की $P \times Q \neq Q \times P$.

तथापि, प्रत्येक संचातील घटकांची संख्या समान असेल.

उदाहरण 3 समजा $A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}$ आणि $C=\{4,5,6\}$. शोधा

(i) $A \times(B \cap C)$

(ii) $(A \times B) \cap(A \times C)$

(iii) $A \times(B \cup C)$

(iv) $(A \times B) \cup(A \times C)$

उपाय (i) दोन संचांच्या छेदनबिंदूच्या व्याख्येनुसार, $(B \cap C)=\{4\}$.

म्हणून, $A \times(B \cap C)=\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$.

(ii) आता $(A \times B)=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)\}$ आणि $(A \times C)=\{(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)\}$

म्हणून, $(A \times B) \cap(A \times C)=\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$.

(iii) पासून, $\quad(B \cup C)=\{3,4,5,6\}$,

आपल्याकडे $\quad \mathrm{A} \times(\mathrm{B} \cup \mathrm{C})=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3)$, $(3,4),(3,5),(3,6)\}$ आहे.

(iv) भाग (ii) मधील संच $A \times B$ आणि $A \times C$ वापरून, आपल्याला $(A \times B) \cup(A \times C)=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)$, $(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\}$ मिळते.

उदाहरण 4 जर $P=\{1,2\}$, तर संच $P \times P \times P$ तयार करा.

उपाय आपल्याकडे आहे, $ P \times P \times P=\{(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1)$, $(2,2,2)\} $.

उदाहरण 5 जर $\mathbf{R}$ सर्व वास्तव संख्यांचा संच असेल, तर कार्टेशियन गुणाकार $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ आणि $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ काय दर्शवतात?

उपाय कार्टेशियन गुणाकार $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ संच $\mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y): x, y \in \mathbf{R}\}$ दर्शवतो जो द्विमितीय अवकाशातील सर्व बिंदूंचे निर्देशांक दर्शवतो आणि कार्टेशियन गुणाकार $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ संच $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y, z): x, y, z \in \mathbf{R}\}$ दर्शवतो जो त्रिमितीय अवकाशातील सर्व बिंदूंचे निर्देशांक दर्शवतो.

उदाहरण 6 जर $A \times B=\{(p, q),(p, r),(m, q),(m, r)\}$, तर $A$ आणि $B$ शोधा.

उपाय

$$ \begin{aligned} & A=\text { set of first elements }=\{p, m\} \\ & B=\text { set of second elements }=\{q, r\} . \end{aligned} $$

2.1 संबंध

दोन संचांचा विचार करा $P=\{a, b, c\}$ आणि $Q=\{$ अली, भानू, बिनॉय, चंद्रा, दिव्या $\}$.

$P$ आणि $Q$ च्या कार्टेशियन गुणाकारात १५ क्रमित जोड्या आहेत ज्यांची यादी $P \times Q=\{(a, \text{Ali})$, (a, भानू), (a, बिनॉय), …, (c, दिव्या) $\}$ अशी केली जाऊ शकते.

आकृती 2.4

आता आपण प्रत्येक क्रमित जोडी $(x, y)$ च्या पहिल्या घटक $x$ आणि दुसऱ्या घटक $y$ मध्ये एक संबंध $R$ सादर करून $P \times Q$ चा एक उपसंच मिळवू शकतो जसे

$R=\{(x, y): x$ हे नाव $y, x \in P, y \in Q\}$ चे पहिले अक्षर आहे.

तर $R=\{(a, Ali),(b, Bhanu),(b, Binoy),(c$, चंद्रा $)\}$

या संबंधाचे दृश्य प्रतिनिधित्व $R$ (बाण आकृती म्हणून ओळखले जाते) आकृती 2.4 मध्ये दाखवले आहे.

व्याख्या 2 एका रिकाम्या नसलेल्या संच $A$ पासून दुसऱ्या रिकाम्या नसलेल्या संच $B$ मध्ये एक संबंध $R$ म्हणजे कार्टेशियन गुणाकार $A \times B$ चा एक उपसंच आहे. हा उपसंच $A \times B$ मधील क्रमित जोड्यांच्या पहिल्या घटक आणि दुसऱ्या घटक यांच्यातील संबंध वर्णन करून मिळवला जातो. दुसऱ्या घटकाला पहिल्या घटकाची प्रतिमा म्हणतात.

व्याख्या 3 संच A पासून संच $B$ मधील संबंध $R$ मधील सर्व क्रमित जोड्यांच्या पहिल्या घटकांच्या संचाला संबंध $R$ चे प्रदेश म्हणतात.

व्याख्या 4 संच $A$ पासून संच $B$ मधील संबंध $R$ मधील सर्व दुसऱ्या घटकांच्या संचाला संबंध $R$ चे परिसर म्हणतात. संपूर्ण संच $B$ ला संबंध $R$ चे सहप्रदेश म्हणतात. लक्षात घ्या की परिसर $\subset$ सहप्रदेश.

टिपा (i) एका संबंधाचे बीजगणितीय प्रतिनिधित्व एकतर रोस्टर पद्धतीने किंवा संच-रचना पद्धतीने केले जाऊ शकते.

(ii) बाण आकृती हे संबंधाचे दृश्य प्रतिनिधित्व आहे.

उदाहरण 7 समजा $A=\{1,2,3,4,5,6\}$. संच $A$ पासून संच $A$ मध्ये एक संबंध $R$ व्याख्यित करा $R=\{(x, y): y=x+1\}$

(i) बाण आकृती वापरून हा संबंध दर्शवा.

(ii) $R$ चे प्रदेश, सहप्रदेश आणि परिसर लिहा.

उपाय (i) संबंधाच्या व्याख्येनुसार,

$R=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)\}$.

संबंधित बाण आकृती आकृती 2.5 मध्ये दाखवली आहे.

आकृती 2.5

(ii) आपल्याला दिसते की प्रदेश $=\{1,2,3,4,5\}$

त्याचप्रमाणे, परिसर $=\{2,3,4,5,6\}$ आणि सहप्रदेश $=\{1,2,3,4,5,6\}$.

उदाहरण 8 आकृती 2.6 संच $P$ आणि $Q$ मधील एक संबंध दर्शवते. हा संबंध (i) संच-रचना स्वरूपात, (ii) रोस्टर स्वरूपात लिहा. त्याचे प्रदेश आणि परिसर काय आहेत?

आकृती 2.6

उपाय हे स्पष्ट आहे की संबंध $R$ म्हणजे “$x$ हा $y$ चा वर्ग आहे”.

(i) संच-रचना स्वरूपात, $R=\{(x, y): x$ हा $y, x \in P, y \in \mathbf{Q}\}$ चा वर्ग आहे

(ii) रोस्टर स्वरूपात, $R=\{(9,3)$, $(9,-3),(4,2),(4,-2),(25,5),(25,-5)\}$

या संबंधाचे प्रदेश $\{4,9,25\}$ आहेत.

या संबंधाचे परिसर $\{-2,2,-3,3,-5,5\}$ आहेत.

लक्षात घ्या की घटक 1 हा संच $P$ मधील कोणत्याही घटकाशी संबंधित नाही. संच $Q$ हा या संबंधाचे सहप्रदेश आहे.

नोंद - संच $A$ पासून संच $B$ मध्ये व्याख्यित करता येणाऱ्या एकूण संबंधांची संख्या म्हणजे $A \times B$ च्या संभाव्य उपसंचांची संख्या. जर $n(A)=p$ आणि $n(B)=q$, तर $n(A \times B)=p q$ आणि एकूण संबंधांची संख्या $2^{p q}$ आहे.

उदाहरण 9 समजा $A=\{1,2\}$ आणि $B=\{3,4\}$. A पासून B मध्ये संबंधांची संख्या शोधा.

उपाय आपल्याकडे आहे,

$ A \times B=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\} $

पासून $n(A \times B)=4$, $A \times B$ च्या उपसंचांची संख्या $2^{4}$ आहे. म्हणून, $A$ मधून $B$ मध्ये संबंधांची संख्या $2^{4}$ असेल.

टिपा संच $A$ पासून संच $A$ मधील एक संबंध $R$ हा संच $A$ वरील संबंध म्हणून देखील सांगितला जातो.

2.4 फलने

या विभागात, आपण फलन नावाच्या एका विशेष प्रकारच्या संबंधाचा अभ्यास करू. ही गणितातील सर्वात महत्त्वाच्या संकल्पनांपैकी एक आहे. आपण एका फलनाची कल्पना एका नियम म्हणून करू शकतो, जो काही दिलेल्या घटकांपासून नवीन घटक तयार करतो. फलन दर्शवण्यासाठी ‘नकाशा’ किंवा ‘मॅपिंग’ यांसारखे अनेक शब्द वापरले जातात.

व्याख्या 5 संच $A$ पासून संच $B$ मधील एक संबंध $f$ हे फलन आहे असे म्हटले जाते जर संच $A$ च्या प्रत्येक घटकाची संच $B$ मध्ये एक आणि फक्त एक प्रतिमा असेल.

दुसऱ्या शब्दांत, एक फलन $f$ हा एका रिकाम्या नसलेल्या संच $A$ पासून दुसऱ्या रिकाम्या नसलेल्या संच $B$ मधील असा संबंध आहे की $f$ चे प्रदेश $A$ आहेत आणि $f$ मधील दोन वेगवेगळ्या क्रमित जोड्यांचा पहिला घटक समान नसतो.

जर $f$ हे A पासून B मध्ये फलन असेल आणि $(a, b) \in f$, तर $f(a)=b$, जिथे $b$ ला $a$ ची $f$ अंतर्गत प्रतिमा म्हणतात आणि $a$ ला $b$ चा $f$ अंतर्गत पूर्वप्रतिमा म्हणतात.

$A$ पासून $B$ मधील फलन $f$ हे $f: A \rightarrow B$ द्वारे दर्शविले जाते.

मागील उदाहरणे पाहता, आपल्याला सहज दिसेल की

उदाहरण 7 मधील संबंध हे फलन नाही कारण घटक 6 ची कोणतीही प्रतिमा नाही.

पुन्हा,

उदाहरण 8 मधील संबंध हे फलन नाही कारण प्रदेशातील घटक एकापेक्षा जास्त प्रतिमांशी जोडलेले आहेत. त्याचप्रमाणे,

उदाहरण 9 मधील संबंध देखील फलन नाही. (का?) खाली दिलेल्या उदाहरणांमध्ये, आपण अनेक संबंध पाहू ज्यातील काही फलने आहेत आणि इतर नाहीत.

उदाहरण 10 समजा $\mathbf{N}$ नैसर्गिक संख्यांचा संच आहे आणि संबंध $R$ हा $N$ वर अशा प्रकारे व्याख्यित केला आहे की $R=\{(x, y): y=2 x, x, y \in \mathbf{N}\}$.

$R$ चे प्रदेश, सहप्रदेश आणि परिसर काय आहेत? हा संबंध फलन आहे का?

उपाय $R$ चे प्रदेश नैसर्गिक संख्यांचा संच $\mathbf{N}$ आहे. सहप्रदेश देखील $\mathbf{N}$ आहे. परिसर सम नैसर्गिक संख्यांचा संच आहे.

प्रत्येक नैसर्गिक संख्या $n$ ची एक आणि फक्त एक प्रतिमा असल्यामुळे, हा संबंध एक फलन आहे.

उदाहरण 11 खाली दिलेल्या प्रत्येक संबंधाचे परीक्षण करा आणि प्रत्येक बाबतीत, कारणे सांगून ते फलन आहे की नाही हे सांगा?

(i) $R=\{(2,1),(3,1),(4,2)\}$,

(ii) $R=\{(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)\}$

(iii) $R=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7)\}$

उपाय (i) 2, 3, 4 हे R च्या प्रदेशातील घटक असल्यामुळे त्यांच्या अद्वितीय प्रतिमा आहेत, हा संबंध $R$ एक फलन आहे.

(ii) समान पहिला घटक 2 हा दोन वेगवेगळ्या प्रतिमा 2 आणि 4 शी संबंधित असल्यामुळे, हा संबंध फलन नाही.

(iii) प्रत्येक घटकाची एक आणि फक्त एक प्रतिमा असल्यामुळे, हा संबंध एक फलन आहे.

व्याख्या 6 एक फलन ज्याचे परिसर एकतर $R$ किंवा त्याचा एक उपसंच आहे त्याला वास्तव मूल्यी फलन म्हणतात. पुढे, जर त्याचे प्रदेश देखील एकतर $R$ किंवा $R$ चा उपसंच असेल, तर त्याला वास्तव फलन म्हणतात.

उदाहरण 12 समजा $\mathbf{N}$ नैसर्गिक संख्यांचा संच आहे. एक वास्तव मूल्यी फलन

$f: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ द्वारे $f(x)=2 x+1$ व्याख्यित करा. ही व्याख्या वापरून, खाली दिलेली सारणी पूर्ण करा.

उपाय पूर्ण केलेली सारणी खालीलप्रमाणे आहे:

2.4.1 काही फलने आणि त्यांचे आलेख

(i) तत्सम फलन समजा $\mathbf{R}$ वास्तव संख्यांचा संच आहे. वास्तव मूल्यी फलन $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ हे $y=f(x)=x$ द्वारे प्रत्येक $x \in \mathbf{R}$ साठी व्याख्यित करा. अशा फलनाला तत्सम फलन म्हणतात. येथे $f$ चे प्रदेश आणि परिसर $\mathbf{R}$ आहेत. आलेख एक सरळ रेषा आहे जी आकृती 2.8 मध्ये दाखवली आहे. ती मूळबिंदूतून जाते.

आकृती 2.8

(ii) अचर फलन फलन $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ हे $y=f(x)=c, x \in \mathbf{R}$ द्वारे व्याख्यित करा जिथे $c$ एक स्थिरांक आहे आणि प्रत्येक $x \in \mathbf{R}$. येथे $f$ चे प्रदेश $\mathbf{R}$ आहेत आणि त्याचे परिसर $\{c\}$ आहेत.

आकृती 2.9

आलेख ही $x$-अक्षाला समांतर रेषा आहे. उदाहरणार्थ, जर $f(x)=3$ प्रत्येक $x \in \mathbf{R}$ साठी, तर त्याचा आलेख आकृती 2.9 मध्ये दाखवल्याप्रमाणे एक रेषा असेल.

(iii) बहुपदी फलन एक फलन $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ हे बहुपदी फलन आहे असे म्हटले जाते जर प्रत्येक $x$ साठी $\mathbf{R}, y=f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^{2}+\ldots+a_{n} x^{n}$ मध्ये, जिथे $n$ एक ऋणेतर पूर्णांक आहे आणि $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{n} \in \mathbf{R}$.

$f(x)=x^{3}-x^{2}+2$, आणि $g(x)=x^{4}+\sqrt{2} x$ द्वारे व्याख्यित केलेली फलने ही बहुपदी फलनांची काही उदाहरणे आहेत, तर $h$ द्वारे $h(x)=x^{\frac{2}{3}}+2 x$ व्याख्यित केलेले फलन हे बहुपदी फलन नाही.(का?)

उदाहरण 13 फलन $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ हे $y=f(x)=x^{2}, x \in \mathbf{R}$ द्वारे व्याख्यित करा. ही व्याख्या वापरून खाली दिलेली सारणी पूर्ण करा. या फलनाचे प्रदेश आणि परिसर काय आहेत? $f$ चा आलेख काढा.

उपाय पूर्ण केलेली सारणी खालीलप्रमाणे आहे:

$f=\{x: x \in \mathbf{R}\}$ चे प्रदेश. $f=\{x^{2}: x \in \mathbf{R}\}$ चे परिसर. $f$ चा आलेख आकृती 2.10 द्वारे दिला आहे

आकृती 2.10

उदाहरण 14 फलन $\boldsymbol{f}: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ चा आलेख काढा जे $f(x)=x^{3}, x \in \mathbf{R}$ द्वारे व्याख्यित केले आहे.

उपाय आपल्याकडे आहे

$f(0)=0, f(1)=1, f(-1)=-1, f(2)=8, f(-2)=-8, f(3)=27 ; f(-3)=-27$, इत्यादी.

म्हणून, $f=\{(x, x^{3}): x \in \mathbf{R}\}$.

$f$ चा आलेख आकृती 2.11 मध्ये दिला आहे.

आकृती 2.11

(iv) परिमेय फलने ही $\frac{f(x)}{g(x)}$ प्रकारची फलने आहेत, जिथे $f(x)$ आणि $g(x)$ ही $x$ ची बहुपदी फलने आहेत जी एका प्रदेशात व्याख्यित केली आहेत, जिथे $g(x) \neq 0$.

उदाहरण 15 वास्तव मूल्यी फलन $f: \mathbf{R}-\{0\} \rightarrow \mathbf{R}$ हे $f(x)=\frac{1}{x}$, $x \in \mathbf{R}-\{0\}$ द्वारे व्याख्यित करा. ही व्याख्या वापरून खाली दिलेली सारणी पूर्ण करा. या फलनाचे प्रदेश आणि परिसर काय आहेत?