एक गणितज्ञाला एखादी समस्या सोडवायची कशी हे माहित असते, तो ती सोडवू शकत नाही. - मिल्ने

3.1 प्रस्तावना

‘त्रिकोणमिती’ हा शब्द ग्रीक शब्द ‘ट्रायगॉन’ आणि ‘मेट्रॉन’ यावरून आला आहे आणि त्याचा अर्थ ‘त्रिकोणाच्या बाजू मोजणे’ असा आहे. मूळतः त्रिकोणांशी संबंधित भौमितिक समस्या सोडवण्यासाठी हा विषय विकसित करण्यात आला. नौकानयनासाठी समुद्रकर्णी, नवीन प्रदेश नकाशावर आणण्यासाठी सर्वेक्षक, अभियंते आणि इतरांद्वारे याचा अभ्यास करण्यात आला. सध्या, भूकंपशास्त्र, विद्युत परिपथांची रचना, अणूची स्थिती वर्णन करणे, समुद्रातील भरतीची उंची अंदाजे काढणे, संगीत स्वराचे विश्लेषण करणे आणि इतर अनेक क्षेत्रांमध्ये त्रिकोणमितीचा वापर केला जातो.

आर्यभट्ट (४७६-५५० इ.स.पू.)

मागील वर्गांमध्ये, आपण काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंचे गुणोत्तर म्हणून लघुकोनांचे त्रिकोणमितीय गुणोत्तर अभ्यासले आहे. आपण त्रिकोणमितीय ओळखी आणि उंची आणि अंतराशी संबंधित समस्या सोडवण्यात त्रिकोणमितीय गुणोत्तरांचा उपयोग देखील अभ्यासला आहे. या प्रकरणात, आपण त्रिकोणमितीय गुणोत्तरांची संकल्पना त्रिकोणमितीय फलनांपर्यंत सामान्य करू आणि त्यांचे गुणधर्म अभ्यासू.

3.2 कोन

आकृती 3.1

कोन म्हणजे दिलेल्या किरणाच्या त्याच्या प्रारंभिक बिंदूभोवती फिरण्याचे माप. मूळ किरणाला प्रारंभिक बाजू म्हणतात आणि फिरल्यानंतर किरणाच्या शेवटच्या स्थितीला कोनाची अंतिम बाजू म्हणतात. फिरण्याच्या बिंदूला शिरोबिंदू म्हणतात. जर फिरण्याची दिशा घड्याळाच्या काट्याच्या विरुद्ध दिशेने असेल, तर कोन धनात्मक म्हटला जातो आणि जर फिरण्याची दिशा घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने असेल, तर कोन ऋणात्मक असतो (आकृती 3.1).

कोनाचे माप म्हणजे प्रारंभिक बाजूपासून अंतिम बाजू मिळवण्यासाठी केलेल्या फिरण्याचे प्रमाण. कोन मोजण्यासाठी अनेक एकके आहेत. कोनाची व्याख्या

आकृती 3.2

आकृती 3.2 एक एकक सुचवते, म्हणजे आकृती 3.2 मध्ये दर्शविल्याप्रमाणे प्रारंभिक बाजूच्या स्थितीपासून एक पूर्ण परिवलन.

मोठ्या कोनांसाठी हे सोयीचे असते. उदाहरणार्थ, आपण असे म्हणू शकतो की वेगाने फिरणारे चाक दर सेकंदाला 15 परिवलनाचा कोन करत आहे. आपण कोन मोजण्याची इतर दोन सर्वात सामान्यपणे वापरली जाणारी एकके वर्णन करू, म्हणजे अंश माप आणि रेडियन माप.

3.2.1 अंश माप

जर प्रारंभिक बाजूपासून अंतिम बाजूपर्यंत फिरणे हे $(\frac{1}{360})^{\text{th }}$ परिवलन असेल, तर त्या कोनाचे माप एक अंश आहे असे म्हटले जाते, $1^{\circ}$ असे लिहिले जाते. एक अंश 60 मिनिटांमध्ये विभागला जातो आणि एक मिनिट 60 सेकंदांमध्ये विभागले जाते. एक अंशाच्या एक साठाव्या भागाला मिनिट म्हणतात, $1^{\prime}$ असे लिहिले जाते आणि एक मिनिटाच्या एक साठाव्या भागाला सेकंद म्हणतात, $1^{\prime \prime}$ असे लिहिले जाते. अशाप्रकारे, $\quad 1^{\circ}=60^{\prime}, \quad 1^{\prime}=60^{\prime \prime}$

$360^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}, 420^{\circ},-30^{\circ},-420^{\circ}$ माप असलेल्या काही कोनांचे आकृती 3.3 मध्ये दर्शविले आहे.

आकृती 3.3

3.2.2 रेडियन माप

कोन मोजण्यासाठी आणखी एक एकक आहे, त्याला रेडियन माप म्हणतात. एकक वर्तुळात (त्रिज्या 1 एकक असलेले वर्तुळ) लांबी 1 एकक असलेल्या कंसाने केंद्रस्थानी जो कोन आंतरित केला आहे त्याचे माप 1 रेडियन आहे असे म्हटले जाते. आकृती 3.4(i) ते (iv) मध्ये, $OA$ ही प्रारंभिक बाजू आहे आणि $OB$ ही अंतिम बाजू आहे. आकृत्यांमध्ये 1 रेडियन, -1 रेडियन, $1 \frac{1}{2}$ रेडियन आणि $-1 \frac{1}{2}$ रेडियन माप असलेले कोन दाखवले आहेत.

आकृती 3.4 (i) - (iv)

आपल्याला माहित आहे की त्रिज्या 1 एकक असलेल्या वर्तुळाचा परिघ $2 \pi$ आहे. अशाप्रकारे, प्रारंभिक बाजूचे एक पूर्ण परिवलन $2 \pi$ रेडियनचा कोन आंतरित करते.

अधिक सामान्यपणे, त्रिज्या $r$ असलेल्या वर्तुळात, लांबी $r$ असलेला कंस 1 रेडियनचा कोन आंतरित करेल. हे सुप्रसिद्ध आहे की वर्तुळाचे समान कंस केंद्रस्थानी समान कोन आंतरित करतात. त्रिज्या $r$ असलेल्या वर्तुळात, लांबी $r$ असलेला कंस ज्याचे माप 1 रेडियन आहे असा कोन आंतरित करत असल्याने, लांबी $l$ असलेला कंस $\frac{l}{r}$ रेडियन माप असलेला कोन आंतरित करेल. अशाप्रकारे, जर त्रिज्या $r$ असलेल्या वर्तुळात, लांबी $l$ असलेला कंस केंद्रस्थानी $\theta$ रेडियनचा कोन आंतरित करत असेल, तर आपल्याकडे $\theta=\frac{l}{r}$ किंवा $l=r \theta$ आहे.

3.2.3 रेडियन आणि वास्तव संख्यांमधील संबंध

केंद्र $O$ असलेले एकक वर्तुळ विचारात घ्या. $A$ हा वर्तुळावरील कोणताही बिंदू असू द्या. कोनाची प्रारंभिक बाजू म्हणून OA विचारात घ्या. तर वर्तुळाच्या कंसाची लांबी त्या कंसाने वर्तुळाच्या केंद्रस्थानी आंतरित केलेल्या कोनाचे रेडियन माप देईल. A या बिंदूवर वर्तुळाला स्पर्श करणारी रेषा PAQ विचारात घ्या. बिंदू A ही वास्तव संख्या शून्य दर्शवतो, AP ही धन वास्तव संख्या दर्शवते आणि AQ ही ऋण वास्तव संख्या दर्शवते (आकृती 3.5). जर आपण रेषा $AP$ वर्तुळावर घड्याळाच्या काट्याच्या विरुद्ध दिशेने आणि $AQ$ घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने गुंडाळली, तर प्रत्येक वास्तव संख्या एका रेडियन मापाशी संबंधित असेल आणि त्याउलट. अशाप्रकारे, रेडियन मापे आणि वास्तव संख्यांचा एकच विचार केला जाऊ शकतो.

आकृती 3.5

3.2.4 अंश आणि रेडियन यांच्यातील संबंध वर्तुळ केंद्रस्थानी आंतरित करते पासून

ज्याचे रेडियन माप $2 \pi$ आहे आणि त्याचे अंश माप $360^{\circ}$ आहे असा कोन, त्यावरून असे दिसून येते की$ 2 \pi \text{ radian }=360^{\circ} \quad \text{ or } \quad \pi \text{ radian }=180^{\circ} $

वरील संबंध आपल्याला रेडियन माप अंश मापाच्या रूपात आणि अंश माप रेडियन मापाच्या रूपात व्यक्त करण्यास सक्षम करतो. $\pi$ चे अंदाजे मूल्य $\frac{22}{7}$ म्हणून वापरून, आपल्याकडे आहे

$ 1 \text{ radian }=\frac{180^{\circ}}{\pi}=57^{\circ} 16^{\prime} \text{ approximately. } $

तसेच $\quad 1^{\circ}=\frac{\pi}{180}$ रेडियन $=0.01746$ रेडियन अंदाजे.

काही सामान्य कोनांच्या अंश माप आणि रेडियन माप यांच्यातील संबंध खालील सारणीत दिलेला आहे:

संकेतन परंपरा

कोन एकतर अंशात किंवा रेडियनमध्ये मोजले जात असल्याने, आपण ही संकेत परंपरा स्वीकारतो की जेव्हा आपण कोन $\theta^{\circ}$ लिहितो, तेव्हा आपला अर्थ ज्याचे अंश माप $\theta$ आहे असा कोन असतो आणि जेव्हा आपण कोन $\beta$ लिहितो, तेव्हा आपला अर्थ ज्याचे रेडियन माप $\beta$ आहे असा कोन असतो.

लक्षात घ्या की जेव्हा कोन रेडियनमध्ये व्यक्त केला जातो, तेव्हा ‘रेडियन’ हा शब्द वारंवार वगळला जातो. अशाप्रकारे, $\pi=180^{\circ}$ आणि $\frac{\pi}{4}=45^{\circ}$ हे $\pi$ आणि $\frac{\pi}{4}$ ही रेडियन मापे आहेत हे समजून लिहिले जातात. अशाप्रकारे, आपण असे म्हणू शकतो की

$ \begin{aligned} & \text{ Radian measure }=\frac{\pi}{180} \times \text{ Degree measure } \\ & \text{ Degree measure }=\frac{180}{\pi} \times \text{ Radian measure } \end{aligned} $

उदाहरण 1 $40^{\circ} 20^{\prime}$ रेडियन मापात रूपांतरित करा.

उकल आपल्याला माहित आहे की $180^{\circ}=\pi$ रेडियन.

म्हणून $\quad 40^{\circ} 20^{\prime}=40 \frac{1}{3}$ अंश $=\frac{\pi}{180} \times \frac{121}{3}$ रेडियन $=\frac{121 \pi}{540}$ रेडियन.

म्हणून

$ 40^{\circ} 20^{\prime}=\frac{121 \pi}{540} \text{ radian. } $

उदाहरण 2 6 रेडियन अंश मापात रूपांतरित करा.

उकल आपल्याला माहित आहे की $\pi$ रेडियन $=180^{\circ}$.

म्हणून

$ \begin{aligned} 6 \text{ radians } & =\frac{180}{\pi} \times 6 \text{ degree }=\frac{1080 \times 7}{22} \text{ degree } \\ & =343 \frac{7}{11} \text{ degree }=343^{\circ}+\frac{7 \times 60}{11} \text{ minute } \quad[\text{ as } 1^{\circ}=60^{\prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+\frac{2}{11} \text{ minute } \quad[\text{ as } 1^{\prime}=60^{\prime \prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+10.9^{\prime \prime} \quad=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime} \text{ approximately. } \end{aligned} $

म्हणून $\quad 6$ रेडियन $=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime}$ अंदाजे.

उदाहरण 3 त्या वर्तुळाची त्रिज्या शोधा ज्यामध्ये $60^{\circ}$ चा केंद्रीय कोन $37.4 cm$ लांबीचा कंस आंतरित करतो ($\pi=\frac{22}{7}$ वापरा).

उकल येथे $l=37.4 cm$ आणि $\theta=60^{\circ}=\frac{60 \pi}{180}$ रेडियन $=\frac{\pi}{3}$

म्हणून, $\quad$ द्वारे, आपल्याकडे आहे

$ r=\frac{37.4 \times 3}{\pi}=\frac{37.4 \times 3 \times 7}{22}=35.7 cm $

उदाहरण 4 घड्याळाची मिनिट काटी $1.5 cm$ लांब आहे. 40 मिनिटांत त्याची टोक किती अंतर पुढे जाते? ($\pi=3.14$ वापरा).

उकल 60 मिनिटांत, घड्याळाची मिनिट काटी एक पूर्ण परिवलन पूर्ण करते. म्हणून, 40 मिनिटांत, मिनिट काटी $\frac{2}{3}$ परिवलनातून फिरते. म्हणून, $\theta=\frac{2}{3} \times 360^{\circ}$ किंवा $\frac{4 \pi}{3}$ रेडियन. म्हणून, आवश्यक प्रवास केलेले अंतर दिले आहे

$ l=r \theta=1.5 \times \frac{4 \pi}{3} cm=2 \pi cm=2 \times 3.14 cm=6.28 cm . $

उदाहरण 5 जर दोन वर्तुळांमधील समान लांबीच्या कंसांनी केंद्रस्थानी $65^{\circ}$ आणि $110^{\circ}$ कोन आंतरित केले, तर त्यांच्या त्रिज्यांचे गुणोत्तर शोधा.

उकल $r_1$ आणि $r_2$ ह्या दोन वर्तुळांच्या त्रिज्या असू द्या. दिले आहे की

$ \theta_1=65^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 65=\frac{13 \pi}{36} \text{ radian } $

आणि

$ \theta_2=110^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 110=\frac{22 \pi}{36} \text{ radian } $

$l$ प्रत्येक कंसाची लांबी असू द्या. तर $l=r_1 \theta_1=r_2 \theta_2$, जे देते

$ \frac{13 \pi}{36} \times r_1=\frac{22 \pi}{36} \times r_2 \text{, i.e., } \frac{r_1}{r_2}=\frac{22}{13} $

म्हणून $\quad r_1: r_2=22: 13$.

3.3 त्रिकोणमितीय फलने

मागील वर्गांमध्ये, आपण काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंचे गुणोत्तर म्हणून लघुकोनांचे त्रिकोणमितीय गुणोत्तर अभ्यासले आहे. आता आपण त्रिकोणमितीय गुणोत्तरांची व्याख्या रेडियन मापातील कोणत्याही कोनापर्यंत विस्तारित करू आणि त्यांचा त्रिकोणमितीय फलने म्हणून अभ्यास करू.

निर्देशांक अक्षांच्या मूळबिंदूवर केंद्र असलेले एकक वर्तुळ विचारात घ्या. $P(a, b)$ हा वर्तुळावरील कोणताही बिंदू असू द्या ज्याचा कोन $AOP=x$ रेडियन आहे, म्हणजे, कंसाची लांबी $AP=x$ (आकृती 3.6).

आकृती 3.6

आपण $\cos x=a$ आणि $\sin x=b$ परिभाषित करतो. $\triangle OMP$ हा काटकोन त्रिकोण असल्याने, आपल्याकडे $OM^{2}+MP^{2}=OP^{2}$ किंवा $a^{2}+b^{2}=1$ आहे. अशाप्रकारे, एकक वर्तुळावरील प्रत्येक बिंदूसाठी, आपल्याकडे आहे

$ a^{2}+b^{2}=1 \text{ or } \cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1 $

एक पूर्ण परिवलन वर्तुळाच्या केंद्रस्थानी $2 \pi$ रेडियनचा कोन आंतरित करते पासून,

$\angle AOB=\frac{\pi}{2}$, $\angle AOC=\pi$ आणि $\angle AOD=\frac{3 \pi}{2}$. $\frac{\pi}{2}$ चे अविभाज्य गुणाकार असलेल्या सर्व कोनांना चतुर्थांश कोन म्हणतात. A, B, C आणि D या बिंदूंचे निर्देशांक अनुक्रमे $(1,0),(0,1),(-1,0)$ आणि $(0,-1)$ आहेत. म्हणून, चतुर्थांश कोनांसाठी, आपल्याकडे आहे

$ \begin{aligned} & \cos 0^{\circ}=1 \quad \sin 0^{\circ}=0, \\ & \cos \frac{\pi}{2}=0 \quad \sin \frac{\pi}{2}=1 \\ & \cos \pi=-1 \quad \sin \pi=0 \\ & \cos \frac{3 \pi}{2}=0 \quad \sin \frac{3 \pi}{2}=-1 \\ & \cos 2 \pi=1 \quad \sin 2 \pi=0 \end{aligned} $

आता, जर आपण बिंदू $P$ पासून एक पूर्ण परिवलन घेतले, तर आपण पुन्हा त्याच बिंदू $P$ वर परत येतो. अशाप्रकारे, आपण हे देखील पाहतो की जर $x$ $2 \pi$ च्या कोणत्याही अविभाज्य गुणाकाराने वाढले (किंवा कमी झाले), तर sine आणि cosine फलनांची मूल्ये बदलत नाहीत. अशाप्रकारे,

$ \sin (2 n \pi+x)=\sin x, n \in \mathbf{Z}, \cos (2 n \pi+x)=\cos x, n \in \mathbf{Z} $

पुढे, $\sin x=0$, जर $x=0, \pm \pi, \pm 2 \pi, \pm 3 \pi$, …, म्हणजे, जेव्हा $x$ हा $\pi$ चा अविभाज्य गुणाकार असतो आणि $\cos x=0$, जर $x= \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3 \pi}{2}, \pm \frac{5 \pi}{2}, \ldots$ म्हणजे, $\cos x$ नाहीसे होते जेव्हा $x$ हा $\frac{\pi}{2}$ चा विषम गुणाकार असतो. अशाप्रकारे

$ \begin{aligned} & \sin x=0 \text{ implies } x=n \pi, \text{ where } n \text{ is any integer } \\ & \cos x=0 \text{ implies } x=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \text{, where } n \text{ is any integer. } \end{aligned} $

आता आपण इतर त्रिकोणमितीय फलने sine आणि cosine फलनांच्या रूपात परिभाषित करतो:

$\text{cosec} x=\frac{1}{\sin x}, x \neq n \pi$, जेथे $n$ कोणताही पूर्णांक आहे.

$\sec x=\frac{1}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, जेथे $n$ कोणताही पूर्णांक आहे.

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, जेथे $n$ कोणताही पूर्णांक आहे.

$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}, x \neq n \pi$, जेथे $n$ कोणताही पूर्णांक आहे.

आपण दाखवले आहे की सर्व वास्तव $x, \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$ साठी

यावरून असे दिसून येते की

$$ \begin{aligned} & 1+\tan ^{2} x=\sec ^{2} x \\ & 1+\cot ^{2} x=cosec^{2} x \end{aligned} $$

मागील वर्गांमध्ये, आपण $0^{\circ}$, $30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$ आणि $90^{\circ}$ साठी त्रिकोणमितीय गुणोत्तरांची मूल्ये चर्चा केली आहेत. या कोनांसाठी त्रिकोणमितीय फलनांची मूल्ये मागील वर्गांमध्ये अभ्यासलेल्या त्रिकोणमितीय गुणोत्तरांप्रमाणेच आहेत. अशाप्रकारे, आपल्याकडे खालील सारणी आहे:

$cosec x, \sec x$ आणि $\cot x$ ची मूल्ये अनुक्रमे $\sin x$, $\cos x$ आणि $\tan x$ च्या मूल्यांच्या व्यस्त आहेत.

3.3.1 त्रिकोणमितीय फलनांची चिन्हे

$P(a, b)$ हा मूळबिंदूवर केंद्र असलेल्या एकक वर्तुळावरील एक बिंदू असू द्या जसे की $\angle AOP=x$. जर $\angle AOQ=-x$, तर बिंदू $Q$ चे निर्देशांक $(a,-b)$ असतील (आकृती 3.7).

आकृती 3.7

म्हणून

$ \cos (-x)=\cos x $

आणि $\quad$ $ \sin (-x)=-\sin x $

एकक वर्तुळावरील प्रत्येक बिंदू $P(a, b)$ साठी, $-1 \leq a \leq 1$ आणि

$-1 \leq b \leq 1$ असल्याने, आपल्याकडे सर्व $x$ साठी $-1 \leq \cos x \leq 1$ आणि $-1 \leq \sin x \leq 1$ आहे. आपण मागील वर्गांमध्ये शिकलो आहे की पहिल्या चतुर्थांशात $(0<x<\frac{\pi}{2}) a$ आणि $b$ दोन्ही धनात्मक आहेत, दुसऱ्या चतुर्थांशात $(\frac{\pi}{2}<x<\pi) a$ ऋणात्मक आहे आणि $b$ धनात्मक आहे, तिसऱ्या चतुर्थांशात $(\pi<x<\frac{3 \pi}{2}) a$ आणि $b$ दोन्ही ऋणात्मक आहेत आणि चौथ्या चतुर्थांशात $(\frac{3 \pi}{2}<x<2 \pi) a$ धनात्मक आहे आणि $b$ ऋणात्मक आहे. म्हणून, $\sin x$ $0<x<\pi$ साठी धनात्मक आहे, आणि $\pi<x<2 \pi$ साठी ऋणात्मक आहे. त्याचप्रमाणे, $\cos x$ $0<x<\frac{\pi}{2}$ साठी धनात्मक आहे, $\frac{\pi}{2}<x<\frac{3 \pi}{2}$ साठी ऋणात्मक आहे आणि $\frac{3 \pi}{2}<x<2 \pi$ साठी देखील धनात्मक आहे. त्याचप्रमाणे, आपण इतर त्रिकोणमितीय फलनांची चिन्हे वेगवेगळ्या चतुर्थांशांमध्ये शोधू शकतो. खरेतर, आपल्याकडे खालील सारणी आहे.

3.3.2 त्रिकोणमितीय फलनांचे प्रांत आणि परिसर

sine आणि cosine फलनांच्या व्याख्येवरून, आपण पाहतो की ती सर्व वास्तव संख्यांसाठी परिभाषित आहेत. पुढे, आपण पाहतो की प्रत्येक वास्तव संख्या $x$ साठी,

$$ -1 \leq \sin x \leq 1 \text{ and }-1 \leq \cos x \leq 1 $$

अशाप्रकारे, $y=\sin x$ आणि $y=\cos x$ चे प्रांत सर्व वास्तव संख्यांचा संच आहे आणि परिसर हा अंतराल $[-1,1]$ आहे, म्हणजे, $-1 \leq y \leq 1$.

$ \text{cosec} x=\frac{1}{\sin x}$ पासून, $y=cosec x$ चे प्रांत संच $\{x: x \in \mathbf{R}$ आणि $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ आहे आणि परिसर संच $\{y: y \in \mathbf{R}, y \geq 1$ किंवा $y \leq-1\}$ आहे. त्याचप्रमाणे, $y=\sec x$ चे प्रांत संच $\{x: x \in \mathbf{R}.$ आणि $.x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\}$ आहे आणि परिसर संच $\{y: y \in \mathbf{R}, y \leq-1$ किंवा $y \geq 1\}$ आहे. $y=\tan x$ चे प्रांत संच $\{x: x \in \mathbf{R}$ आणि $.x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\}$ आहे आणि परिसर सर्व वास्तव संख्यांचा संच आहे. $y=\cot x$ चे प्रांत संच $\{x: x \in \mathbf{R}$ आणि $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ आहे आणि परिसर सर्व वास्तव संख्यांचा संच आहे.

आपण पुढे पाहतो की पहिल्या चतुर्थांशात, जसजसे $x$ 0 ते $\frac{\pi}{2}, \sin x$ पर्यंत वाढते तसतसे 0 ते 1 पर्यंत वाढते, जसजसे $x$ $\frac{\pi}{2}$ ते $\pi, \sin x$ पर्यंत वाढते तसतसे 1 ते 0 पर्यंत कमी होते. तिसऱ्या चतुर्थांशात, जसजसे $x$ $\pi$ ते $\frac{3 \pi}{2}, \sin x$ पर्यंत वाढते तसतसे 0 ते -1 पर्यंत कमी होते आणि शेवटी, चौथ्या चतुर्थांशात, $\sin x$ -1 ते 0 पर्यंत वाढते जसजसे $x$ $\frac{3 \pi}{2}$ ते $2 \pi$ पर्यंत वाढते. त्याचप्रमाणे, आपण इतर त्रिकोणमितीय फलनांचे वर्तन चर्चा करू शकतो. खरेतर, आपल्याकडे खालील सारणी आहे: