गणित ही विज्ञानांची राणी आहे आणि अंकगणित ही गणिताची राणी आहे. - गॉस

४.१ प्रस्तावना

आधीच्या वर्गांमध्ये, आपण एक आणि दोन चलांतील रेषीय समीकरणे आणि एका चलातील वर्गसमीकरणे यांचा अभ्यास केला आहे. आपण पाहिले आहे की $x^{2}+1=0$ या समीकरणाला कोणतेही वास्तव उत्तर नाही कारण $x^{2}+1=0$ हे $x^{2}=-1$ देते आणि प्रत्येक वास्तव संख्येचा वर्ग ऋणेतर असतो. म्हणून, आपल्याला वास्तव संख्या पद्धतीचा विस्तार एका मोठ्या पद्धतीपर्यंत करणे आवश्यक आहे जेणेकरून $x^{2}=-1$ या समीकरणाचे उत्तर शोधू शकू. खरेतर, मुख्य उद्देश $a x^{2}+b x+c=0$ हे समीकरण सोडवणे आहे, जिथे $D=b^{2}-4 a c<0$, हे वास्तव संख्यांच्या पद्धतीत शक्य नाही.

डब्ल्यू. आर. हॅमिल्टन (इ.स. १८०५-१८६५)

४.२ संमिश्र संख्या

$\sqrt{-1}$ याला $i$ या चिन्हाने दर्शवू. मग, आपल्याकडे $i^{2}=-1$ आहे. याचा अर्थ $i$ हे $x^{2}+1=0$ या समीकरणाचे एक उत्तर आहे.

$a+i b$ या स्वरूपातील संख्या, जिथे $a$ आणि $b$ या वास्तव संख्या आहेत, याला संमिश्र संख्या म्हणून परिभाषित केले जाते. उदाहरणार्थ, $2+i 3,(-1)+i \sqrt{3}, 4+i(\frac{-1}{11})$ या संमिश्र संख्या आहेत.

संमिश्र संख्या $z=a+i b, a$ साठी, $Re z$ याला वास्तव भाग म्हणतात आणि $b$ याला $Im z$ द्वारे दर्शविलेला काल्पनिक भाग म्हणतात, जो संमिश्र संख्या $z$ चा आहे. उदाहरणार्थ, जर $z=2+i 5$, तर $Re z=2$ आणि $Im z=5$.

दोन संमिश्र संख्या $z_1=a+i b$ आणि $z_2=c+i d$ समान आहेत जर $a=c$ आणि $b=d$.

उदाहरण १ जर $4 x+i(3 x-y)=3+i(-6)$, जिथे $x$ आणि $y$ या वास्तव संख्या आहेत, तर $x$ आणि $y$ ची मूल्ये शोधा.

उकल आपल्याकडे आहे

$$ 4 x+i(3 x-y)=3+i(-6) \tag{i} $$

(१) चे वास्तव आणि काल्पनिक भाग समीकरणित केल्यास, आपल्याला मिळते

$$ 4 x=3,3 x-y=-6, $$

जे, एकाच वेळी सोडवल्यास, $x=\frac{3}{4}$ आणि $y=\frac{33}{4}$ देतात.

४.३ संमिश्र संख्यांचे बीजगणित

या विभागात, आपण संमिश्र संख्यांचे बीजगणित विकसित करू.

४.३.१ दोन संमिश्र संख्यांची बेरीज

$z_1=a+i b$ आणि $z_2=c+i d$ या कोणत्याही दोन संमिश्र संख्या असू द्या. मग, बेरीज $z_1+z_2$ खालीलप्रमाणे परिभाषित केली जाते:

$z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$, जी पुन्हा एक संमिश्र संख्या आहे.

उदाहरणार्थ, $(2+i 3)+(-6+i 5)=(2-6)+i(3+5)=-4+i 8$

संमिश्र संख्यांच्या बेरजेमध्ये खालील गुणधर्म आहेत:

(i) संवृत्तता नियम दोन संमिश्र संख्यांची बेरीज ही एक संमिश्र संख्या असते, म्हणजेच, सर्व संमिश्र संख्या $z_1$ आणि $z_2$ साठी $z_1+z_2$ ही एक संमिश्र संख्या आहे.

(ii) विनिमेय नियम कोणत्याही दोन संमिश्र संख्या $z_1$ आणि $z_2$ साठी, $z_1+z_2=z_2+z_1$

(iii) साहचर्य नियम कोणत्याही तीन संमिश्र संख्या $z_1, z_2, z_3$ साठी, $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$.

(iv) संकलनात्मक तत्समकाचे अस्तित्व $0+i 0$ (० म्हणून दर्शविलेली) ही संमिश्र संख्या अस्तित्वात आहे, जिला संकलनात्मक तत्समक किंवा शून्य संमिश्र संख्या म्हणतात, जी प्रत्येक संमिश्र संख्या $z, z+0=z$ साठी अशी आहे.

(v) संकलनात्मक व्यस्ताचे अस्तित्व प्रत्येक संमिश्र संख्या $z=a+i b$ साठी, आपल्याकडे $-a+i(-b)$ ($-z$ म्हणून दर्शविलेली) ही संमिश्र संख्या आहे, जिला $z$ चे संकलनात्मक व्यस्त किंवा ऋण म्हणतात. आपण पाहतो की $z+(-z)=0$ (संकलनात्मक तत्समक).

४.३.२ दोन संमिश्र संख्यांतील फरक

कोणत्याही दोन संमिश्र संख्या $z_1$ आणि $z_2$ दिल्यास, फरक $z_1-z_2$ खालीलप्रमाणे परिभाषित केला जातो:

उदाहरणार्थ,

$ z_1-z_2=z_1+(-z_2) . $

आणि

$ \begin{aligned} & (6+3 i)-(2-i)=(6+3 i)+(-2+i)=4+4 i \\ & \quad(2-i)-(6+3 i)=(2-i)+(-6-3 i)=-4-4 i \end{aligned} $

४.३.३ दोन संमिश्र संख्यांचा गुणाकार

$z_1=a+i b$ आणि $z_2=c+i d$ या कोणत्याही दोन संमिश्र संख्या असू द्या. मग, गुणाकार $z_1 z_2$ खालीलप्रमाणे परिभाषित केला जातो:

$$ z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c) $$

उदाहरणार्थ, $(3+i 5)(2+i 6)=(3 \times 2-5 \times 6)+i(3 \times 6+5 \times 2)=-24+i 28$

संमिश्र संख्यांच्या गुणाकारात खालील गुणधर्म आहेत, जे आपण पुराव्याशिवाय सांगतो.

(i) संवृत्तता नियम दोन संमिश्र संख्यांचा गुणाकार ही एक संमिश्र संख्या असते, सर्व संमिश्र संख्या $z_1$ आणि $z_2$ साठी गुणाकार $z_1 z_2$ ही एक संमिश्र संख्या आहे.

(ii) विनिमेय नियम कोणत्याही दोन संमिश्र संख्या $z_1$ आणि $z_2$ साठी,

$$ z_1 z_2=z_2 z_1 $$

(iii) साहचर्य नियम कोणत्याही तीन संमिश्र संख्या $z_1, z_2, z_3$ साठी,

$$ (z_1 z_2) z_3=z_1(z_2 z_3) \text{. } $$

(iv) गुणाकारात्मक तत्समकाचे अस्तित्व $1+i 0$ (१ म्हणून दर्शविलेली) ही संमिश्र संख्या अस्तित्वात आहे, जिला गुणाकारात्मक तत्समक म्हणतात, जी प्रत्येक संमिश्र संख्या $z$ साठी $z .1=z$ अशी आहे.

(v) गुणाकारात्मक व्यस्ताचे अस्तित्व प्रत्येक शून्येतर संमिश्र संख्या $z=a+i b$ किंवा $a+b i(a \neq 0, b \neq 0)$ साठी, आपल्याकडे $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}(.$ ($\frac{1}{z}$ किंवा $.z^{-1})$ द्वारे दर्शविलेली) ही संमिश्र संख्या आहे, जिला $z$ चे गुणाकारात्मक व्यस्त म्हणतात, जसे की

$z \cdot \frac{1}{z}=1$ (गुणाकारात्मक तत्समक).

(vi) वितरण नियम कोणत्याही तीन संमिश्र संख्या $z_1, z_2, z_3$ साठी,

(a) $z_1(z_2+z_3)=z_1 z_2+z_1 z_3$

(b) $(z_1+z_2) z_3=z_1 z_3+z_2 z_3$

४.३.४ दोन संमिश्र संख्यांचा भागाकार

कोणत्याही दोन संमिश्र संख्या $z_1$ आणि $z_2$ दिल्यास, जिथे $z_2 \neq 0$, भागाकार $\frac{z_1}{z_2}$ खालीलप्रमाणे परिभाषित केला जातो:

$ \frac{z_1}{z_2}=z_1 \frac{1}{z_2} $

उदाहरणार्थ, $\quad z_1=6+3 i$ आणि $z_2=2-i$ असू द्या

मग

$ \frac{z_1}{z_2}=((6+3 i) \times \frac{1}{2-i})=(6+3 i)(\frac{2}{2^{2}+(-1)^{2}}+i \frac{-(-1)}{2^{2}+(-1)^{2}}) $

$ =(6+3 i)(\frac{2+i}{5})=\frac{1}{5}[12-3+i(6+6)]=\frac{1}{5}(9+12 i) $

४.३.५ $i$ ची घात

आपल्याला माहित आहे की

$ \begin{bmatrix} i^{3}=i^{2} i=(-1) i=-i, & i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1 \\ i^{5}=(i^{2})^{2} i=(-1)^{2} i=i, & i^{6}=(i^{2})^{3}=(-1)^{3}=-1, \text{ etc. } \end{bmatrix} $

तसेच, आपल्याकडे $\quad i^{-1}=\frac{1}{i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-1}=-i, \quad i^{-2}=\frac{1}{i^{2}}=\frac{1}{-1}=-1$ आहे,

$$ i^{-3}=\frac{1}{i^{3}}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{1}=i, \quad i^{-4}=\frac{1}{i^{4}}=\frac{1}{1}=1 $$

सर्वसाधारणपणे, कोणत्याही पूर्णांक $k, i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$ साठी

४.३.६ ऋण वास्तव संख्येचे वर्गमूळ

लक्षात घ्या की $i^{2}=-1$ आणि $(-i)^{2}=i^{2}=-1$

म्हणून, -१ ची वर्गमुळे $i,-i$ आहेत. तथापि, $\sqrt{-1}$ या चिन्हाने, आपण फक्त $i$ चाच अर्थ घेऊ.

आता, आपण पाहू शकतो की $i$ आणि $-i$ ही दोन्ही $x^{2}+1=0$ किंवा $x^{2}=-1$ या समीकरणाची उत्तरे आहेत.

त्याचप्रमाणे $\quad(\sqrt{3} i)^{2}=(\sqrt{3})^{2} i^{2}=3(-1)=-3$

$$ (-\sqrt{3} i)^{2}=(-\sqrt{3})^{2} i^{2}=-3 $$

म्हणून, -३ ची वर्गमुळे $\sqrt{3} i$ आणि $-\sqrt{3} i$ आहेत.

पुन्हा, $\sqrt{-3}$ या चिन्हाचा अर्थ फक्त $\sqrt{3} i$ असा आहे, म्हणजेच, $\sqrt{-3}=\sqrt{3} i$.

सर्वसाधारणपणे, जर $a$ ही एक धन वास्तव संख्या असेल, $\sqrt{-a}=\sqrt{a} \sqrt{-1}=\sqrt{a} i$,

आपल्याला आधीच माहित आहे की सर्व धन वास्तव संख्या $a$ आणि $b$ साठी $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}$. हा निकाय तेव्हाही सत्य राहतो जेव्हा एकतर $a>0, b<0$ किंवा $a<0, b>0$. पण जर $a<0, b<0$ असेल तर? आपण तपासूया.

लक्षात घ्या की

$ \begin{aligned} i^{2} & =\sqrt{-1} \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)} \text{ (सर्व वास्तव संख्यांसाठी } \sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b} \text{ असे गृहीत धरून) } \\ & =\sqrt{1}=1 \text{, जे } i^{2}=-1 \text{ या तथ्याला विसंगत आहे } \end{aligned} $

म्हणून, $\sqrt{a} \times \sqrt{b} \neq \sqrt{a b}$ जर दोन्ही $a$ आणि $b$ ऋण वास्तव संख्या असतील.

पुढे, जर $a$ आणि $b$ पैकी कोणतीही शून्य असेल, तर स्पष्टपणे, $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}=0$.

४.३.७ ओळख

आपण खालील ओळख सिद्ध करतो

$ (z_1+z_2)^{2}=z_1^{2}+z_2^{2}+2 z_1 z_2 \text{, सर्व संमिश्र संख्या } z_1 \text{ आणि } z_2 \text{ साठी. } $

सिद्धता आपल्याकडे आहे, $(z_1+z_2)^{2}=(z_1+z_2)(z_1+z_2)$,

$$ \begin{aligned} =(z_1+z_2) z_1+(z_1+z_2) z_2 & \text{ (Distributive law) } \\ =z_1^{2}+z_2 z_1+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (Distributive law) } \\ =z_1^{2}+z_1 z_2+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (Commutative law of multiplication) } \\ =z_1^{2}+2 z_1 z_2+z_2^{2} & \end{aligned} $$

त्याचप्रमाणे, आपण खालील ओळखी सिद्ध करू शकतो:

(i) $(z_1-z_2)^{2}=z_1^{2}-2 z_1 z_2+z_2^{2}$

(ii) $(z_1+z_2)^{3}=z_1^{3}+3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}+z_2^{3}$

(iii) $(z_1-z_2)^{3}=z_1^{3}-3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}-z_2^{3}$

(iv) $z_1^{2}-z_2^{2}=(z_1+z_2)(z_1-z_2)$

खरेतर, इतर अनेक ओळखी, ज्या सर्व वास्तव संख्यांसाठी सत्य आहेत, त्या सर्व संमिश्र संख्यांसाठी सत्य आहेत असे सिद्ध करता येते.

उदाहरण २ खालील गोष्टी $a+b i$ या स्वरूपात व्यक्त करा:

(i) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)$

(ii) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}$

उकल (i) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)=\frac{-5}{8} i^{2}=\frac{-5}{8}(-1)=\frac{5}{8}=\frac{5}{8}+i 0$

(ii) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}=2 \times \frac{1}{8 \times 8 \times 8} \times i^{5}=\frac{1}{256}(i^{2})^{2} i=\frac{1}{256} i$.

उदाहरण ३ $(5-3 i)^{3}$ ला $a+i b$ या स्वरूपात व्यक्त करा.

उकल आपल्याकडे आहे, $(5-3 i)^{3}=5^{3}-3 \times 5^{2} \times(3 i)+3 \times 5(3 i)^{2}-(3 i)^{3}$

$$ =125-225 i-135+27 i=-10-198 i . $$

उदाहरण ४ $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)$ ला $a+i b$ या स्वरूपात व्यक्त करा

उकल आपल्याकडे आहे, $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)=(-\sqrt{3}+\sqrt{2} i)(2 \sqrt{3}-i)$

$ =-6+\sqrt{3} i+2 \sqrt{6} i-\sqrt{2} i^{2}=(-6+\sqrt{2})+\sqrt{3}(1+2 \sqrt{2}) i $

४.४ संमिश्र संख्येचे मापांक आणि संयुग्मी

$z=a+i b$ ही एक संमिश्र संख्या असू द्या. मग, $z$ चे मापांक, $|z|$ द्वारे दर्शविले जाते, ते ऋणेतर वास्तव संख्या $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ म्हणून परिभाषित केले जाते, म्हणजेच, $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ आणि $z$ चे संयुग्मी, $\bar{z}$ म्हणून दर्शविले जाते, ती संमिश्र संख्या $a-i b$ आहे, म्हणजेच, $\bar{z}=a-i b$.

उदाहरणार्थ, $\quad|3+i|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10},|2-5 i|=\sqrt{2^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{29}$,

आणि

$ \overline{3+i}=3-i, \overline{2-5 i}=2+5 i, \overline{-3 i-5}=3 i-5 $

लक्षात घ्या की शून्येतर संमिश्र संख्या $z$ चा गुणाकारात्मक व्यस्त खालीलप्रमाणे दिला जातो

$ \begin{aligned} & \quad z^{-1}=\frac{1}{a+i b}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a-i b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}} \\ & \text{ or } z \bar{z}=|z|^{2} \end{aligned} $

याशिवाय, खालील निकाय सहज काढता येतील.

कोणत्याही दोन संमिश्र संख्या $z_1$ आणि $z_2$ साठी, आपल्याकडे आहे

(i) $|z_1 z_2|=|z_1||z_2|$

(ii) $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ जर $|z_2| \neq 0$

(iii) $\overline{z_1 z_2}=\overline{z_1} \overline{z_2}$

(iv) $\overline{z_1 \pm z_2}=\overline{z_1} \pm \overline{z_2} $

(v) $\overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}provied z_2\neq0 $.

उदाहरण ५ $2-3 i$ चा गुणाकारात्मक व्यस्त शोधा.

उकल $z=2-3 i$ असू द्या

मग $\quad \bar{z}=2+3 i$ आणि $\quad|z|^{2}=2^{2}+(-3)^{2}=13$

म्हणून, $2-3 i$ चा गुणाकारात्मक व्यस्त खालीलप्रमाणे दिला जातो

$ z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i $

वरील कार्य पुढील प्रकारेही केले जाऊ शकते,

$ \begin{aligned} z^{-1} & =\frac{1}{2-3 i}=\frac{2+3 i}{(2-3 i)(2+3 i)} \\ & =\frac{2+3 i}{2^{2}-(3 i)^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i \end{aligned} $

उदाहरण ६ खालील गोष्टी $a+i b$ या स्वरूपात व्यक्त करा

(i) $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}$

(ii) $i^{-35}$

उकल (i) आपल्याकडे आहे, $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}=\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i} \times \frac{1+\sqrt{2} i}{1+\sqrt{2} i}=\frac{5+5 \sqrt{2} i+\sqrt{2} i-2}{1-(\sqrt{2} i)^{2}}$

$$ =\frac{3+6 \sqrt{2} i}{1+2}=\frac{3(1+2 \sqrt{2} i)}{3}=1+2 \sqrt{2} i $$

(ii) $i^{-35}=\frac{1}{i^{35}}=\frac{1}{(i^{2})^{17} i}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-i^{2}}=i$

४.५ आर्गंड प्रतल आणि ध्रुवीय निरुपण

आपल्याला आधीच माहित आहे की वास्तव संख्यांच्या प्रत्येक क्रमित जोडी $(x, y)$ शी संबंधित, आपल्याला XY प्रतलात एक अद्वितीय बिंदू मिळतो आणि त्याउलट, परस्पर लंब रेषांच्या संचाच्या संदर्भात, ज्याला $x$-अक्ष आणि $y$-अक्ष म्हणून ओळखले जाते. संमिश्र संख्या $x+i y$, जी क्रमित जोडी $(x, y)$ शी संबंधित आहे, ती भौमितिकदृष्ट्या XY-प्रतलातील अद्वितीय बिंदू $P(x, y)$ म्हणून दर्शविली जाऊ शकते आणि त्याउलट.

काही संमिश्र संख्या जसे की $2+4 i,-2+3 i, 0+1 i, 2+0 i,-5-2 i$ आणि $1-2 i$, ज्या अनुक्रमे क्रमित जोड्या $(2,4),(-2,3),(0,1),(2,0),(-5,-2)$, आणि $(1,-2)$ शी संबंधित आहेत, त्या आकृती ४.१ मध्ये अनुक्रमे बिंदू $A, B, C, D, E$, आणि $F$ द्वारे भौमितिकरित्या दर्शविल्या गेल्या आहेत.

आकृती ४.१

ज्या प्रतलाच्या प्रत्येक बिंदूशी एक संमिश्र संख्या संलग्न केली गेली आहे, त्याला संमिश्र प्रतल किंवा आर्गंड प्रतल म्हणतात.

स्पष्टपणे, आर्गंड प्रतलात, संमिश्र संख्या $x+i y=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ चे मापांक हे बिंदू $P(x, y)$ आणि मूळ बिंदू $O(0,0)$ (आकृती ४.२) मधील अंतर आहे. $x$-अक्षावरील बिंदू $a+i 0$ या स्वरूपातील संमिश्र संख्यांशी संबंधित आहेत आणि $y$-अक्षावरील बिंदू $0+i b$ या स्वरूपातील संमिश्र संख्यांशी संबंधित आहेत. आर्गंड प्रतलातील $x$-अक्ष आणि $y$-अक्षांना अनुक्रमे वास्तव अक्ष आणि काल्पनिक अक्ष म्हणतात.

आकृती ४.२

संमिश्र संख्या $z=x+i y$ आणि त्याच्या संयुग्मी $z=x-i y$ चे आर्गंड प्रतलातील निरुपण अनुक्रमे बिंदू $P(x, y)$ आणि $Q(x,-y)$ आहेत. भौमितिकदृष्ट्या, बिंदू $(x,-y)$ हा बिंदू $(x, y)$ चा वास्तव अक्षावरील प्रतिबिंब आहे (आकृती ४.३).

आकृती ४.२

विविध उदाहरणे

उदाहरण ७ $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ चे संयुग्मी शोधा.

उकल आपल्याकडे आहे, $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$

$ \begin{aligned} & =\frac{6+9 i-4 i+6}{2-i+4 i+2}=\frac{12+5 i}{4+3 i} \times \frac{4-3 i}{4-3 i} \\ & =\frac{48-36 i+20 i+15}{16+9}=\frac{63-16 i}{25}=\frac{63}{25}-\frac{16}{25} i \end{aligned} $

म्हणून, $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ चे संयुग्मी $\frac{63}{25}+\frac{16}{25} i$ आहे.

उदाहरण ८ जर $x+i y=\frac{a+i b}{a-i b}$, तर सिद्ध करा की $x^{2}+y^{2}=1$.

उकल आपल्याकडे आहे,

$ x+i y=\frac{(a+i b)(a+i b)}{(a-i b)(a+i b)}=\frac{a^{2}-b^{2}+2 a b i}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i $

जेणेकरून, $x-i y=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i$

म्हणून,

$ \begin{aligned} x^{2}+y^{2}=(x+i y)(x-i y) & =\frac{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}+\frac{4 a^{2} b^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}\\ & =\frac{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}=1 \end{aligned} $

सारांश

$a+i b$ या स्वरूपातील संख्या, जिथे $a$ आणि $b$ या वास्तव संख्या आहेत, याला संमिश्र संख्या म्हणतात, $a$ याला वास्तव भाग म्हणतात आणि $b$ याला संमिश्र संख्येचा काल्पनिक भाग म्हणतात.

$z_1=a+i b$ आणि $z_2=c+i d$ असू द्या. मग

(i) $z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$

(ii) $z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c)$

कोणत्याही शून्येतर संमिश्र संख्या $z=a+i b(a \neq 0, b \neq 0)$ साठी, $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}$ ही संमिश्र संख्या अस्तित्वात आहे, जिला $\frac{1}{z}$ किंवा $z^{-1}$ द्वारे दर्शविले जाते, ज्याला $z$ चे गुणाकारात्मक व्यस्त म्हणतात, जसे की $(a+i b) \frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}=1+i 0$ $=1$

कोणत्याही पूर्णांक $k, i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$ साठी

संमिश्र संख्या $z=a+i b$ चे संयुग्मी, $\bar{z}$ द्वारे दर्शविले जाते, ते $\bar{z}=a-i b$ द्वारे दिले जाते.

ऐतिहासिक टिप्पणी

ऋण संख्येचे वर्गमूळ वास्तव संख्या पद्धतीत अस्तित्वात नाही हे तथ्य ग्रीक लोकांनी ओळखले होते. परंतु याचे श्रेय भारतीय गणितज्ञ महावीर (इ.स. ८५०) यांना दिले जाते ज्यांनी ही अडचण प्रथम स्पष्टपणे नमूद केली. “ते आपल्या ग्रंथ ‘गणितसार संग्रह’ मध्ये म्हणतात, ‘वस्तूंच्या स्वभावानुसार ऋण (राशी) ही वर्ग (राशी) नसल्यामुळे, तिला वर्गमूळ नसते’.” दुसरे भारतीय गणितज्ञ भास्कर, त्यांच्या इ.स. ११५० मध्ये लिहिलेल्या बीजगणित या ग्रंथात लिहितात, “ऋण राशीचे वर्गमूळ नसते, कारण ती वर्ग नसते.” कार्डन (इ.स. १५४५) यांनी

$ x+y=10, x y=40 . $

हे सोडवण्याचा विचार केला.

त्यांना $x=5+\sqrt{-15}$ आणि $y=5-\sqrt{-15}$ ही त्याची उत्तरे मिळाली, ज्यांना त्यांनी ‘निरुपयोगी’ असे म्हणून टाकून दिले. अल्बर्ट गिरार्ड (इ.स. १६२५ च्या सुमारास) यांनी ऋण संख्यांचे वर्गमूळ स्वीकारले आणि म्हटले की यामुळे आपल्याला बहुपदी समीकरणाच्या घाताइतकी मुळे मिळू शकतात. युलर यांनी प्रथम $i$ हे चिन्ह $\sqrt{-1}$ साठी सुरू केले आणि डब्ल्यू.आर. हॅमिल्टन (इ.स. १८३० च्या सुमारास) यांनी संमिश्र संख्या $a+i b$ ला वास्तव संख्यांची क्रमित जोडी $(a, b)$ म्हणून पाहिले आणि त्यामुळे त्याला एक पूर्णपणे गणितीय व्याख्या दिली आणि तथाकथित ‘काल्पनिक संख्या’ वापरणे टाळले.