गणित ही अनेक गोष्टी अनेक प्रकारे सांगण्याची कला आहे. - मॅक्सवेल

५.१ परिचय

मागील इयत्तांमध्ये, आपण एक चल आणि दोन चलांतील समीकरणांचा अभ्यास केला आहे आणि काही विधान समस्या त्यांना समीकरणांच्या रूपात भाषांतर करून सोडवल्या आहेत. आता एक नैसर्गिक प्रश्न उद्भवतो: ‘एखादी विधान समस्या नेहमीच समीकरणाच्या रूपात भाषांतरित करणे शक्य आहे का? उदाहरणार्थ, तुमच्या वर्गातील सर्व विद्यार्थ्यांची उंची $160 cm$ पेक्षा कमी आहे. तुमच्या वर्गखोलीत जास्तीत जास्त 60 टेबले किंवा खुर्च्या किंवा दोन्ही बसू शकतात. येथे आपल्याला काही विधाने मिळतात ज्यामध्ये ’ $<$ ’ (पेक्षा कमी), ‘>’ (पेक्षा जास्त), ’ $\leq$ ’ (पेक्षा कमी किंवा समान) आणि $\geq$ (पेक्षा जास्त किंवा समान) ही चिन्हे असतात जी असमानता म्हणून ओळखली जातात.

या अध्यायात, आपण एक आणि दोन चलांतील रेषीय असमानतांचा अभ्यास करू. विज्ञान, गणित, सांख्यिकी, अर्थशास्त्र, मानसशास्त्र इत्यादी क्षेत्रातील समस्या सोडवण्यासाठी असमानतांचा अभ्यास खूप उपयुक्त आहे.

५.२ असमानता

चला खालील परिस्थितींचा विचार करूया:

(i) रवी बाजारात ₹ 200 घेऊन तांदूळ विकत घ्यायला जातो, जो $1 kg$ च्या पॅकेटमध्ये उपलब्ध आहे. एका पॅकेट तांदळाची किंमत ₹ 30 आहे. जर $x$ तो विकत घेतलेल्या तांदळाच्या पॅकेटची संख्या दर्शवत असेल, तर त्याने खर्च केलेली एकूण रक्कम ₹ $30 x$ आहे. त्याला तांदूळ फक्त पॅकेटमध्ये विकत घ्यायचा असल्याने, तो ₹ 200 ची संपूर्ण रक्कम खर्च करू शकत नाही. (का?) म्हणून

$$ 30 x<200 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

स्पष्टपणे विधान (i) हे समीकरण नाही कारण त्यात समानतेचे चिन्ह समाविष्ट नाही. (ii) रेश्माकडे ₹ 120 आहेत आणि तिला काही रजिस्टर आणि पेन विकत घ्यायचे आहेत. एका रजिस्टरची किंमत ₹ 40 आणि पेनची किंमत ₹ 20 आहे. या प्रकरणात, जर $x$ रजिस्टरची संख्या दर्शवत असेल आणि $y$, रेश्मा जितके पेन विकत घेते त्याची संख्या दर्शवत असेल, तर तिने खर्च केलेली एकूण रक्कम ₹ $(40 x+20 y)$ आहे आणि आपल्याकडे आहे

$$ 40 x+20 y \leq 120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

कारण या प्रकरणात एकूण खर्चाची रक्कम ₹ 120 पर्यंत असू शकते. लक्षात घ्या की विधान (2) मध्ये दोन विधाने आहेत

$ \text{ आणि } \quad \begin{aligned} & 40 x+20 y<120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) \\ & 40 x+20 y=120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (4) \end{aligned} $

विधान (3) हे समीकरण नाही, म्हणजेच ती एक असमानता आहे तर विधान (4) हे समीकरण आहे.

व्याख्या 1 ’ $<$,’, ‘>’, ’ $\leq$ ’ किंवा ’ $\geq$ ’ या चिन्हाने संबंधित असलेली दोन वास्तव संख्या किंवा दोन बीजगणितीय अभिव्यक्ती एक असमानता तयार करतात.

वरील (1), (2) आणि (3) सारखी विधाने असमानता आहेत.

$3<5 ; 7>5$ ही संख्यात्मक असमानतांची उदाहरणे आहेत तर

$x<5 ; y>2 ; x \geq 3, y \leq 4$ ही काही शाब्दिक असमानतांची उदाहरणे आहेत. $3<5<7($ (5 हे 3 पेक्षा मोठे आणि 7 पेक्षा लहान असे वाचले जाते), $3 \leq x<5($ ($x$ हे 3 पेक्षा मोठे किंवा समान आणि 5 पेक्षा लहान असे वाचले जाते) आणि $2<y \leq 4$ ही दुहेरी असमानतांची उदाहरणे आहेत. असमानतांची आणखी काही उदाहरणे:

$$ \begin{align*} & a x+b<0 \tag{5}\\ & a x+b>0 \tag{6}\\ & a x+b \leq 0 \tag{7}\\ & a x+b \geq 0 \tag{8}\\ & a x+b y<c \tag{9}\\ & a x+b y>c \tag{10}\\ & a x+b y \leq c \tag{11}\\ & a x+b y \geq c \tag{12}\\ & a x^{2}+b x+c \leq 0 \tag{13}\\ & a x^{2}+b x+c>0 \tag{14} \end{align*} $$

असमानता (5), (6), (9), (10) आणि (14) ह्या कठोर असमानता आहेत तर असमानता (7), (8), (11), (12), आणि (13) ह्या शिथिल असमानता आहेत. (5) ते (8) पर्यंतच्या असमानता एका चलातील रेषीय असमानता आहेत $x$ जेव्हा $a \neq 0$, तर (9) ते (12) पर्यंतच्या असमानता दोन चलांतील रेषीय असमानता आहेत $x$ आणि $y$ जेव्हा $a \neq 0, b \neq 0$. असमानता (13) आणि (14) रेषीय नाहीत (खरं तर, ही एका चलातील वर्गसमीकरणी असमानता आहेत $x$ जेव्हा $a \neq 0)$).

या अध्यायात, आपण फक्त एक आणि दोन चलांतील रेषीय असमानतांच्या अभ्यासापुरते मर्यादित राहू.

५.३ एका चलातील रेषीय असमानतांची बीजगणितीय उकली आणि त्यांचे आलेखीय निरूपण

चला आपण 6.2 च्या विभागातील असमानता (1) विचारात घेऊ, म्हणजे, $30 x<200$ लक्षात घ्या की येथे $x$ तांदळाच्या पॅकेटची संख्या दर्शवते. स्पष्टपणे, $x$ ऋण पूर्णांक किंवा अपूर्णांक असू शकत नाही. या असमानतेची डावी बाजू (L.H.S.) $30 x$ आहे आणि उजवी बाजू (RHS) 200 आहे. म्हणून, आपल्याकडे आहे

$ \begin{aligned} & \text{ For } x=0 \text{, L.H.S. }=30(0)=0<200(\text{ R.H.S. }) \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=1 \text{, L.H.S. }=30(1)=30<200 \text{ (R.H.S.), which is true. } \\ & \text{ For } x=2 \text{, L.H.S. }=30(2)=60<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=3 \text{, L.H.S. }=30(3)=90<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=4 \text{, L.H.S. }=30(4)=120<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=5 \text{, L.H.S. }=30(5)=150<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=6 \text{, L.H.S. }=30(6)=180<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=7 \text{, L.H.S. }=30(7)=210<200 \text{, which is false. } \end{aligned} $

वरील परिस्थितीत, आपल्याला असे आढळते की $x$ ची जी मूल्ये वरील असमानता सत्य विधान बनवतात, ती $0,1,2,3,4,5,6$ आहेत. $x$ ची ही मूल्ये, जी वरील असमानता सत्य विधान बनवतात, त्यांना असमानतेची उकली म्हणतात आणि संच ${0,1,2,3,4,5,6}$ याला त्याचा उकलसंच म्हणतात.

अशाप्रकारे, एका चलातील कोणत्याही असमानतेची उकली हे चलाचे असे मूल्य आहे जे ते सत्य विधान बनवते.

आपण वरील असमानतेची उकली चाचणी आणि त्रुटी पद्धतीने शोधली आहेत जी फार कार्यक्षम नाही. स्पष्टपणे, ही पद्धत वेळखाऊ आहे आणि कधीकधी शक्य नसते. असमानता सोडवण्यासाठी आपल्याकडे काही चांगल्या किंवा पद्धतशीर तंत्रे असणे आवश्यक आहे. त्यापूर्वी आपण संख्यात्मक असमानतांचे आणखी काही गुणधर्म पाहावे आणि असमानता सोडवताना त्यांचे नियम म्हणून पालन करावे.

तुम्हाला आठवेल की रेषीय समीकरणे सोडवताना, आपण खालील नियमांचे पालन केले होते:

नियम 1 समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमध्ये समान संख्या मिळवल्या (किंवा वजा) जाऊ शकतात.

नियम 2 समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान शून्येतर संख्येने गुणले (किंवा भागले) जाऊ शकते.

असमानता सोडवण्याच्या बाबतीत, आपण पुन्हा तेच नियम पाळतो, फरक एवढाच की नियम 2 मध्ये, जेव्हा आपण असमानतेच्या दोन्ही बाजूंना ऋण संख्येने गुणतो (किंवा भागतो) तेव्हा असमानतेचे चिन्ह उलटे होते (म्हणजे, ‘<’ हे ‘>’ होते, $\leq$ ’ हे ’ $\geq$ ’ होते इत्यादी). हे खालील तथ्यांवरून स्पष्ट आहे:

$ \begin{aligned} & 3>2 \text{ तर }-3<-2 \\ & -8<-7 \text{ तर }(-8)(-2)>(-7)(-2), \text{ म्हणजे, } 16>14 . \end{aligned} $

अशाप्रकारे, आपण असमानता सोडवण्यासाठी खालील नियम सांगतो:

नियम 1 असमानतेच्या दोन्ही बाजूंमध्ये समान संख्या मिळवल्या (किंवा वजा) केल्या तरी असमानतेच्या चिन्हावर परिणाम होत नाही.

नियम 2 असमानतेच्या दोन्ही बाजूंना समान धन संख्येने गुणले (किंवा भागले) जाऊ शकते. परंतु जेव्हा दोन्ही बाजूंना ऋण संख्येने गुणले किंवा भागले जाते, तेव्हा असमानतेचे चिन्ह उलटे होते.

आता, चला काही उदाहरणांचा विचार करूया.

उदाहरण 1 $30 x<200$ सोडवा जेव्हा (i) $x$ ही नैसर्गिक संख्या आहे, (ii) $x$ हा पूर्णांक आहे.

उकल आपल्याला दिले आहे $30 x<200$

किंवा $\quad \frac{30 x}{30}<\frac{200}{30}$ (नियम 2), म्हणजे, $x<20 / 3$.

(i) जेव्हा $x$ ही नैसर्गिक संख्या आहे, या प्रकरणात $x$ ची खालील मूल्ये विधान सत्य बनवतात.

$$ x=1,2,3,4,5,6 $$

असमानतेचा उकलसंच $\{1,2,3,4,5,6\}$ आहे.

(ii) जेव्हा $x$ हा पूर्णांक आहे, दिलेल्या असमानतेच्या उकली आहेत

$$ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 $$

असमानतेचा उकलसंच $ \{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 \} $ आहे

उदाहरण 2 $5 x-3<3 x+1$ सोडवा जेव्हा (i) $x$ हा पूर्णांक आहे, (ii) $x$ ही वास्तव संख्या आहे.

उकल आपल्याकडे आहे, $5 x-3<3 x+1$

किंवा $\quad \quad$ $5 x-3+3<3 x+1+3$ $\quad \quad \quad$ (नियम 1)

किंवा $\quad \quad$ $5 x<3 x+4$

किंवा $\quad \quad$ $5 x-3 x<3 x+4-3 x$ $\quad \quad \quad \quad$ (नियम 2)

किंवा $\quad \quad$ $2 x<4$

किंवा $\quad \quad$ $x<2$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad$ (नियम 3)

(i) जेव्हा $x$ हा पूर्णांक आहे, दिलेल्या असमानतेच्या उकली आहेत

$ \ldots,-4,-3,-2,-1,0,1 $

(ii) जेव्हा $x$ ही वास्तव संख्या आहे, असमानतेच्या उकली $x<2$ द्वारे दिल्या जातात, म्हणजे, सर्व वास्तव संख्या $x$ ज्या 2 पेक्षा कमी आहेत. म्हणून, असमानतेचा उकलसंच $x \in(-\infty, 2)$ आहे.

आपण नैसर्गिक संख्यांच्या संचात, पूर्णांकांच्या संचात आणि वास्तव संख्यांच्या संचात असमानतांच्या उकलींचा विचार केला आहे. यापुढे, अन्यथा नमूद केल्याशिवाय, आपण या अध्यायातील असमानता वास्तव संख्यांच्या संचात सोडवू.

उदाहरण 3 $4 x+3<6 x+7$ सोडवा.

उकल आपल्याकडे आहे, $\quad 4 x+3<6 x+7$

किंवा $\quad 4 x-6 x<6 x+4-6 x$

किंवा $\quad-2 x<4 \quad$ किंवा $x>-2$

म्हणजे, सर्व वास्तव संख्या ज्या -2 पेक्षा मोठ्या आहेत, त्या दिलेल्या असमानतेच्या उकली आहेत. म्हणून, उकलसंच $(-2, \infty)$ आहे.

उदाहरण 4 $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$ सोडवा.

उकल आपल्याकडे आहे $\quad \quad \quad \quad$ $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$

किंवा $\quad \quad \quad \quad$ $2(5-2 x) \leq x-30 \text {. }$

किंवा $\quad \quad \quad \quad$ $10-4 x \leq x-30$

किंवा $\quad \quad \quad \quad$ $-5 x \leq-40 \text {, i.e., } x \geq 8$

अशाप्रकारे, सर्व वास्तव संख्या $x$ ज्या 8 पेक्षा मोठ्या किंवा समान आहेत, त्या दिलेल्या असमानतेच्या उकली आहेत, म्हणजे, $x \in[8, \infty)$.

उदाहरण 5 $7 x+3<5 x+9$ सोडवा. उकलींचा आलेख संख्यारेषेवर दाखवा.

उकल आपल्याकडे आहे $7 x+3<5 x+9$ किंवा $2 x<6$ किंवा $x<3$

उकलींचे आलेखीय निरूपण आकृती 5.1 मध्ये दिले आहे.

आकृती 5.1

उदाहरण 6 $\frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x+1}{4}-1$ सोडवा. उकलींचा आलेख संख्यारेषेवर दाखवा.

उकल आपल्याकडे आहे $ \frac{3 x-4}{2}\geq\frac{x+1}{4}-1$

$ \text{or} \quad \frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x-3}{4} $

$ \text{or} \quad 2(3 x-4) \geq(x-3) $

किंवा $\quad \quad \quad \quad$ $6 x-8 \geq x-3$

किंवा $\quad \quad \quad \quad$ $5 x \geq 5$

किंवा $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 1$

उकलींचे आलेखीय निरूपण आकृती 5.2 मध्ये दिले आहे.

आकृती 5.2

उदाहरण 7 इयत्ता अकरावीच्या एका विद्यार्थ्याला पहिल्या आणि दुसऱ्या सत्रीय परीक्षेत मिळालेले गुण अनुक्रमे 62 आणि 48 आहेत. किमान 60 गुणांची सरासरी मिळवण्यासाठी वार्षिक परीक्षेत त्याला किमान किती गुण मिळाले पाहिजेत ते शोधा.

उकल समजा $x$ हे वार्षिक परीक्षेत विद्यार्थ्याला मिळालेले गुण आहेत. तर

$ \frac{62+48+x}{3} \geq 60 $

किंवा $\quad \quad \quad \quad 110+x \geq 180$

किंवा $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 70$

अशाप्रकारे, विद्यार्थ्याने किमान 60 गुणांची सरासरी मिळवण्यासाठी किमान 70 गुण मिळवले पाहिजेत.

उदाहरण 8 सलग असलेल्या विषम नैसर्गिक संख्यांच्या सर्व जोड्या शोधा, ज्या दोन्ही 10 पेक्षा मोठ्या आहेत, जसे की त्यांची बेरीज 40 पेक्षा कमी असेल.

उकल समजा $x$ ही दोन सलग विषम नैसर्गिक संख्यांपैकी लहान संख्या आहे, जेणेकरून दुसरी संख्या $x+2$ असेल. तर, आपल्याकडे असावे

$$ \begin{equation*} x>10 \tag{1} \end{equation*} $$

$$ \begin{equation*} \text{ and } \quad \quad \quad x>10 \tag{2} \end{equation*} $$

(2) सोडवताना, आपल्याला मिळते

$$ \begin{equation*} 2 x+2<40 \tag{3} \end{equation*} $$

म्हणजे, $$x<19 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) $$

(1) आणि (3) वरून, आपल्याला मिळते

$$ 10<x<19 $$

कारण $x$ ही विषम संख्या आहे, $x$ ही मूल्ये 11,13,15, आणि 17 घेऊ शकते. म्हणून, आवश्यक शक्य जोड्या $(11,13),(13,15),(15,17),(17,19)$ असतील

विविध उदाहरणे

उदाहरण 9 $-8 \leq 5 x-3<7$ सोडवा.

उकल या प्रकरणात, आपल्याकडे दोन असमानता आहेत, $-8 \leq 5 x-3$ आणि $5 x-3<7$, ज्या आपण एकाच वेळी सोडवू. आपल्याकडे आहे $-8 \leq 5 x-3<7$

किंवा $\quad-5 \leq 5 x<10$

$ \text{ किंवा } \quad-1 \leq x<2 $

उदाहरण 10 $-5 \leq \frac{5-3 x}{2} \leq 8$ सोडवा.

उकल आपल्याकडे आहे $\quad-5 \leq \frac{5-3 x}{2} \leq 8$

किंवा $\quad-10 \leq 5-3 x \leq 16 \quad$ किंवा $\quad-15 \leq-3 x \leq 11$

किंवा $\quad 5 \geq x \geq-\frac{11}{3}$

जे $\frac{-11}{3} \leq x \leq 5$ असे लिहिता येईल

उदाहरण 11 असमानतांची प्रणाली सोडवा:

$$ \begin{aligned} & 3 x-7<5+x \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) \\ & 11-5 x \leq 1 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2) \end{aligned} $$

आणि उकलींचे संख्यारेषेवर निरूपण करा.

उकल असमानता (1) वरून, आपल्याकडे आहे

$$ 3 x - 7 < 5 + x $$

किंवा $ \quad x < 6 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3)$

तसेच, असमानता (2) वरून, आपल्याकडे आहे

$$ 11-5 x \leq 1 $$

किंवा $ \quad - 5 x \leq-10 \quad \text{ i.e., } x \geq 2 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(4)$

जर आपण असमानता (3) आणि (4) चा आलेख संख्यारेषेवर काढला, तर आपल्याला दिसेल की $x$ ची जी मूल्ये दोन्हीसाठी समान आहेत, ती आकृती 5.3 मधील ठळक रेषेने दाखवली आहेत.

अशाप्रकारे, प्रणालीच्या उकली वास्तव संख्या $x$ आहेत ज्या 2 आणि 6 च्या दरम्यान आहेत आणि त्यात 2 समाविष्ट आहे, म्हणजे, $2 \leq x<6$

उदाहरण 12 एका प्रयोगात, हायड्रोक्लोरिक आम्लाचे द्रावण $30^{\circ}$ आणि $35^{\circ}$ सेल्सिअस दरम्यान ठेवायचे आहे. फॅरेनहाइटमधील तापमान श्रेणी किती असेल जर रूपांतरण सूत्र $C=\frac{5}{9} \quad(F-32)$ असे दिले असेल, जेथे $C$ आणि $F$ अनुक्रमे अंश सेल्सिअस आणि अंश फॅरेनहाइटमधील तापमान दर्शवतात.

उकल दिले आहे की $30<C<35$.

ठेवून $ C=\frac{5}{9}(F-32), \text{ आपल्याला मिळते } $ $ 30<\frac{5}{9}(F-32)<35 $

किंवा $\quad\quad\quad$ $ \frac{9}{5} \times(30)<(F-32)<\frac{9}{5} \times(35) $

$ \begin{matrix} \text{ किंवा } & 54<(F-32)<63 \\ \text{ किंवा } & 86<F<95 . \end{matrix} $

अशाप्रकारे, आवश्यक तापमान श्रेणी $86^{\circ} F$ आणि $95^{\circ} F$ दरम्यान आहे.

उदाहरण 13 एका उत्पादकाकडे आम्लाचे $12\%$ द्रावणाचे 600 लिटर आहेत. त्यात $30 \%$ आम्ल द्रावणाचे किती लिटर मिसळावे लागतील जेणेकरून परिणामी मिश्रणातील आम्लाचे प्रमाण $15 \%$ पेक्षा जास्त पण $18 \%$ पेक्षा कमी असेल?

उकल समजा $x$ लिटर $30 \%$ आम्ल द्रावण मिसळणे आवश्यक आहे. तर एकूण मिश्रण $=(x+600)$ लिटर

म्हणून $30 \% x+12 \%$ चे $600>15 \%$ चे $(x+600)$

आणि $\quad \quad \quad 30 \% x+12 \%$ चे $600<18 \%$ चे $(x+600)$

$ \begin{array}{ll} \text{किंवा} & \frac{30 x}{100}+\frac{12}{100}(600)>\frac{15}{100}(x+600) \\ \\ \text{आणि} & \frac{30 x}{100}+\frac{12}{100}(600)<\frac{18}{100}(x+600) \\ \\ \text{किंवा}& 30 x+7200>15 x+9000 \\ \text{आणि} & 30 x+7200<18 x+10800 \\ \text{किंवा} & 15 x>1800 \text{ आणि } 12 x<3600 \\ \text{किंवा} & x>120 \text{ आणि } x<300, \\ \text{म्हणजे} & 120<x<300 \end{array} $

अशाप्रकारे, $30 %$ आम्ल द्रावणाचे लिटर 120 लिटरपेक्षा जास्त पण 300 लिटरपेक्षा कमी असावे लागतील.

सारांश

$<,>, \leq$ किंवा $\geq$ या चिन्हांनी संबंधित असलेल्या दोन वास्तव संख्या किंवा दोन बीजगणितीय अभिव्यक्ती एक असमानता तयार करतात.

असमानतेच्या दोन्ही बाजूंमध्ये समान संख्या मिळवल्या (किंवा वजा) केल्या तरी असमानतेच्या चिन्हावर परिणाम होत नाही.

असमानतेच्या दोन्ही बाजूंना समान धन संख्येने गुणले (किंवा भागले) जाऊ शकते. परंतु जेव्हा दोन्ही बाजूंना ऋण संख्येने गुणले (किंवा भागले) जाते, तेव्हा असमानता उलटी होते.

$x$ ची जी मूल्ये असमानता सत्य विधान बनवतात, त्यांना असमानतेच्या उकली म्हणतात.

$x<a$ (किंवा $x>a$ ) संख्यारेषेवर दर्शवण्यासाठी, संख्या $a$ वर एक वर्तुळ ठेवा आणि संख्या $a$ च्या डावीकडे (किंवा उजवीकडे) काळी रेषा काढा.

$x \leq a$ ( किंवा $x \geq a$ ) संख्यारेषेवर दर्शवण्यासाठी, संख्या $a$ वर एक काळे वर्तुळ ठेवा आणि संख्या $x$ च्या डावीकडे (किंवा उजवीकडे) रेषा काळी करा.