प्रत्येक शोधाचे स्वरूप गणितीय असते कारण आपल्याकडे दुसरा कोणताही मार्गदर्शक नसतो - डार्विन

६.१ प्रस्तावना

समजा तुमच्याकडे एक संख्यात्मक कुलूप असलेला सूटकेस आहे. कुलूपावर ४ चाके आहेत, प्रत्येकावर ० ते ९ पर्यंत १० अंक आहेत. ४ विशिष्ट अंक एका विशिष्ट क्रमात, पुनरावृत्ती न करता मांडले तर कुलूप उघडू शकते. काही कारणाने, तुम्ही हा विशिष्ट अंकांचा क्रम विसरला आहात. तुम्हाला फक्त पहिला अंक ७ आठवतो. कुलूप उघडण्यासाठी, तुम्हाला ३-अंकी क्रमांचे किती संच तपासावे लागतील? या प्रश्नाचे उत्तर देण्यासाठी, तुम्ही लगेच उरलेल्या ९ अंकांपैकी ३ अंक घेऊन सर्व संभाव्य मांडण्या लिहून काढू शकता. परंतु, ही पद्धत कंटाळवाणी ठरेल, कारण संभाव्य क्रमांची संख्या मोठी असू शकते. या प्रकरणात, आपण काही मूलभूत गणना तंत्रे शिकू ज्यामुळे

३-अंकी मांडण्या प्रत्यक्षात लिहून न काढता या प्रश्नाचे उत्तर देणे शक्य होईल. खरेतर, वस्तूंची मांडणी आणि निवड करण्याच्या विविध पद्धतींची संख्या निश्चित करण्यासाठी ही तंत्रे उपयुक्त ठरतील. पहिल्या पायरी म्हणून, आपण एक तत्त्व पाहू जे या तंत्रांच्या अध्ययनासाठी सर्वात मूलभूत आहे.

६.२ गणनेचे मूलभूत तत्त्व

चला खालील समस्या पाहू. मोहनकडे ३ पँट आणि २ शर्ट आहेत. एक पँट आणि एक शर्ट असलेल्या किती वेगवेगळ्या जोड्या तो घालू शकतो? पँट निवडण्याचे ३ मार्ग आहेत, कारण ३ पँट उपलब्ध आहेत. त्याचप्रमाणे, शर्ट निवडण्याचे २ मार्ग आहेत. प्रत्येक पँटच्या निवडीमागे, शर्ट निवडण्याच्या २ पर्याय आहेत. म्हणून, एक पँट आणि एक शर्ट असलेल्या $3 \times 2=6$ जोड्या आहेत.

चला तीन पँटांची नावे $P_1, P_2, P_3$ आणि दोन शर्टांची नावे $S_1, S_2$ अशी ठेवू. मग, हे सहा पर्याय आकृती ६.१ मध्ये दाखवले आहेत.

आकृती ६.१

चला त्याच प्रकारची दुसरी समस्या पाहू.

सबनमकडे २ शाळा बॅग, ३ टिफिन बॉक्स आणि २ पाण्याच्या बाटल्या आहेत. ती ही वस्तू (प्रत्येकी एक निवडून) किती प्रकारे नेऊ शकते?

शाळा बॅग २ वेगवेगळ्या प्रकारे निवडली जाऊ शकते. शाळा बॅग निवडल्यानंतर, टिफिन बॉक्स ३ वेगवेगळ्या प्रकारे निवडला जाऊ शकतो. म्हणून, शाळा बॅग आणि टिफिन बॉक्सच्या $2 \times 3=6$ जोड्या आहेत. यातील प्रत्येक जोडीसाठी, पाण्याची बाटली २ वेगवेगळ्या प्रकारे निवडली जाऊ शकते.

म्हणून, सबनम ह्या वस्तू शाळेत नेण्याचे $6 \times 2=12$ वेगवेगळे मार्ग आहेत. जर आपण २ शाळा बॅगांची नावे $B_1, B_2$, तीन टिफिन बॉक्सांची नावे $T_1, T_2, T_3$ आणि दोन पाण्याच्या बाटल्यांची नावे $W_1, W_2$ अशी ठेवली, तर हे पर्याय आकृती ६.२ मध्ये दाखवले आहेत.

आकृती ६.२

खरेतर, वरील प्रकारच्या समस्या खालील तत्त्व लागू करून सोडवल्या जातात, ज्याला गणनेचे मूलभूत तत्त्व किंवा फक्त गुणाकार तत्त्व म्हणतात, जे असे सांगते की

“जर एक घटना $m$ वेगवेगळ्या प्रकारे घडू शकते, त्यानंतर दुसरी घटना $n$ वेगवेगळ्या प्रकारे घडू शकते, तर दिलेल्या क्रमात घटनांच्या घडण्याची एकूण संख्या $m \times n$ आहे.”

वरील तत्त्व कोणत्याही मर्यादित संख्येच्या घटनांसाठी सामान्यीकृत केले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, ३ घटनांसाठी, तत्त्व असे आहे:

‘जर एक घटना $m$ वेगवेगळ्या प्रकारे घडू शकते, त्यानंतर दुसरी घटना $n$ वेगवेगळ्या प्रकारे घडू शकते, त्यानंतर तिसरी घटना $p$ वेगवेगळ्या प्रकारे घडू शकते, तर दिलेल्या क्रमात घटनांच्या घडण्याची एकूण संख्या $m \times n \times p$ आहे."

पहिल्या समस्येमध्ये, पँट आणि शर्ट घालण्याच्या आवश्यक मार्गांची संख्या खालील घटनांच्या क्रमिक घडण्याच्या वेगवेगळ्या मार्गांची संख्या होती:

(i) पँट निवडण्याची घटना

(ii) शर्ट निवडण्याची घटना.

दुसऱ्या समस्येमध्ये, आवश्यक मार्गांची संख्या खालील घटनांच्या क्रमिक घडण्याच्या वेगवेगळ्या मार्गांची संख्या होती:

(i) शाळा बॅग निवडण्याची घटना

(ii) टिफिन बॉक्स निवडण्याची घटना

(iii) पाण्याची बाटली निवडण्याची घटना.

येथे, दोन्ही प्रकरणांमध्ये, प्रत्येक समस्येतील घटना विविध संभाव्य क्रमांमध्ये घडू शकतात. परंतु, आपल्याला कोणताही एक संभाव्य क्रम निवडावा लागेल आणि या निवडलेल्या क्रमात घटना घडण्याच्या वेगवेगळ्या मार्गांची संख्या मोजावी लागेल.

उदाहरण १ ROSE या शब्दातील अक्षरांपासून, अर्थ असो वा नसो, ४ अक्षरी किती शब्द तयार करता येतील, जेथे अक्षरांची पुनरावृत्ती करता येत नाही.

उकल अक्षरांची पुनरावृत्ती करता येत नाही हे लक्षात घेऊन, ४ रिकाम्या जागा $\square \square \square \square$ या ४ अक्षरांनी भरण्याचे जितके मार्ग आहेत तितके शब्द आहेत. पहिली जागा ४ अक्षरांपैकी कोणतेही एक अक्षर R,O,S,E वापरून ४ वेगवेगळ्या प्रकारे भरता येते. त्यानंतर, दुसरी जागा उरलेल्या ३ अक्षरांपैकी कोणतेही एक अक्षर वापरून ३ वेगवेगळ्या प्रकारे भरता येते; त्यानंतर तिसरी जागा २ वेगवेगळ्या प्रकारे भरता येते; त्यानंतर, चौथी जागा १ प्रकारे भरता येते. अशाप्रकारे, गुणाकार तत्त्वानुसार, ४ जागा भरण्याच्या मार्गांची संख्या $4 \times 3 \times 2 \times 1=24$ आहे. म्हणून, आवश्यक शब्दांची संख्या २४ आहे.

टीप - जर अक्षरांची पुनरावृत्ती करता आली असती, तर किती शब्द तयार करता येतील? हे सहज समजू शकते की ४ रिकाम्या जागांपैकी प्रत्येक जागा क्रमशः ४ वेगवेगळ्या प्रकारे भरता येते. म्हणून, आवश्यक शब्दांची संख्या $=4 \times 4 \times 4 \times 4=256$.

उदाहरण २ ४ वेगवेगळ्या रंगांची ध्वजे दिली असता, जर एका सिग्नलसाठी २ ध्वजे एकाखाली एक वापरणे आवश्यक असेल, तर किती वेगवेगळी सिग्नल्स निर्माण करता येतील?

उकल ४ वेगवेगळ्या रंगांच्या ध्वजांनी २ रिकाम्या जागा $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \end{array}$ क्रमशः भरण्याचे जितके मार्ग आहेत तितकी सिग्नल्स असतील. वरील रिकामी जागा ४ ध्वजांपैकी कोणतेही एक ध्वज वापरून ४ वेगवेगळ्या प्रकारे भरता येते; त्यानंतर, खालची रिकामी जागा उरलेल्या ३ वेगवेगळ्या ध्वजांपैकी कोणतेही एक ध्वज वापरून ३ वेगवेगळ्या प्रकारे भरता येते. म्हणून, गुणाकार तत्त्वानुसार, आवश्यक सिग्नल्सची संख्या $=4 \times 3=12$.

उदाहरण ३ अंक $1,2,3,4,5$ पासून, जर अंकांची पुनरावृत्ती करता येत असेल, तर किती २ अंकी सम संख्या तयार करता येतील?

उकल दिलेल्या पाच अंकांनी २ रिकाम्या जागा $\square \square$ क्रमशः भरण्याचे जितके मार्ग आहेत तितक्या संख्या असतील. येथे, या प्रकरणात, आपण एकक स्थान भरण्यास सुरुवात करतो, कारण या जागेसाठी पर्याय फक्त २ आणि ४ आहेत आणि हे २ प्रकारे करता येते; त्यानंतर दशक स्थान कोणत्याही ५ अंकांनी ५ वेगवेगळ्या प्रकारे भरता येते कारण अंकांची पुनरावृत्ती करता येते. म्हणून, गुणाकार तत्त्वानुसार, आवश्यक दोन अंकी सम संख्यांची संख्या $2 \times 5$ आहे, म्हणजेच १०.

उदाहरण ४ एका उभ्या काठीवर किमान २ ध्वजे क्रमाने (एकाखाली एक) मांडून, जर ५ वेगवेगळी ध्वजे उपलब्ध असतील, तर किती वेगवेगळी सिग्नल्स निर्माण करता येतील?

उकल एक सिग्नल २ ध्वजांचा, ३ ध्वजांचा, ४ ध्वजांचा किंवा ५ ध्वजांचा असू शकतो. आता, २ ध्वजांची, ३ ध्वजांची, ४ ध्वजांची आणि ५ ध्वजांची सिग्नल्सची संभाव्य संख्या वेगवेगळी मोजू आणि नंतर संबंधित संख्या जोडू.

उपलब्ध ५ ध्वजांनी २ रिकाम्या जागा $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \end{array}$ क्रमशः भरण्याचे जितके मार्ग आहेत तितकी २ ध्वजांची सिग्नल्स असतील. गुणाकार नियमानुसार, मार्गांची संख्या $5 \times 4=20$ आहे.

त्याचप्रमाणे, ५ ध्वजांनी ३ रिकाम्या जागा $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \\ \hline \end{array}$ क्रमशः भरण्याचे जितके मार्ग आहेत तितकी ३ ध्वजांची सिग्नल्स असतील.

मार्गांची संख्या $5 \times 4 \times 3=60$ आहे.

त्याच मार्गाने पुढे चालू ठेवल्यास, आपल्याला आढळते की

४ ध्वजांच्या सिग्नल्सची संख्या $=5 \times 4 \times 3 \times 2=120$

आणि ५ ध्वजांच्या सिग्नल्सची संख्या $=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120$

म्हणून, आवश्यक सिग्नल्सची संख्या $=20+60+120+120=320$.

६.३ क्रमचय

मागील विभागातील उदाहरण १ मध्ये, आपण प्रत्यक्षात ROSE, REOS, …, इत्यादी अक्षरांच्या वेगवेगळ्या संभाव्य मांडण्यांची गणना करत आहोत. येथे, या यादीत, प्रत्येक मांडणी इतरांपेक्षा वेगळी आहे. दुसऱ्या शब्दांत, अक्षरे लिहिण्याचा क्रम महत्त्वाचा आहे. प्रत्येक मांडणीला ४ वेगवेगळ्या अक्षरांचा एकाच वेळी घेतलेला क्रमचय म्हणतात. आता, जर आपल्याला NUMBER या शब्दातील अक्षरांपासून, अर्थ असो वा नसो, ३ अक्षरी किती शब्द तयार करता येतील हे ठरवायचे असेल, जेथे अक्षरांची पुनरावृत्ती करता येत नाही, तर आपल्याला NUM, NMU, MUN, NUB, …, इत्यादी मांडण्यांची गणना करावी लागेल. येथे, आपण ६ वेगवेगळ्या अक्षरांचे एकावेळी ३ घेतलेले क्रमचय मोजत आहोत. आवश्यक शब्दांची संख्या $=6 \times 5 \times 4=120$ (गुणाकार तत्त्व वापरून).

जर अक्षरांची पुनरावृत्ती करता आली असती, तर आवश्यक शब्दांची संख्या $6 \times 6 \times 6=216$ असती.

व्याख्या १ क्रमचय म्हणजे काही किंवा सर्व वस्तू एकाच वेळी घेऊन त्यांची एका निश्चित क्रमात केलेली मांडणी.

पुढील उपविभागात, आपण हे प्रश्न त्वरित उत्तर देण्यासाठी आवश्यक असलेले सूत्र मिळवू.

६.३.१ क्रमचय जेव्हा सर्व वस्तू वेगवेगळ्या असतात

प्रमेय १ $n$ वेगवेगळ्या वस्तूंचे $r$ एकावेळी घेतलेले क्रमचय, जेथे $0<r \leq n$ आणि वस्तूंची पुनरावृत्ती होत नाही, ते $n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)$ आहे, जे ${ }^{n} P_r$ ने दर्शविले जाते.

सिद्धता $r$ रिकाम्या जागा $ \underset{\leftarrow r \text{ vacant places} \rightarrow}{\Large{\square \square \square \cdots }} \Large{\square}$ यांना

$n$ वस्तूंनी भरण्याचे जितके मार्ग आहेत तितके क्रमचय असतील. पहिली जागा $n$ प्रकारे भरता येते; त्यानंतर, दुसरी जागा $(n-1)$ प्रकारे भरता येते, त्यानंतर तिसरी जागा $(n-2)$ प्रकारे भरता येते,…, $r$ वी जागा $(n-(r-1))$ प्रकारे भरता येते. म्हणून, $r$ रिकाम्या जागा क्रमशः भरण्याच्या मार्गांची संख्या $n(n-1)(n-2) \ldots(n-(r-1))$ किंवा $n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)$ आहे

${ }^{n} P$ साठीचे हे व्यंजक गुंतागुंतीचे आहे आणि आपल्याला एक संकेत आवश्यक आहे जो या व्यंजकाचा आकार कमी करण्यास मदत करेल. चिन्ह $n$! ($n$ फॅक्टोरियल किंवा $n$ फॅक्टोरियल म्हणून वाचा) आपल्या मदतीस येते. पुढील मजकुरात आपण $n$! चा अर्थ काय आहे ते शिकू.

६.३.२ फॅक्टोरियल संकेत

संकेत $n$! हे पहिल्या $n$ नैसर्गिक संख्यांचा गुणाकार दर्शवते, म्हणजेच, गुणाकार $1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times(n-1) \times n$ याला $n$ ! असे दर्शविले जाते. आपण हे चिन्ह ‘$n$ फॅक्टोरियल’ असे वाचतो. अशाप्रकारे, $1 \times 2 \times 3 \times 4 \ldots \times(n-1) \times n=n$ !

$ \begin{aligned} & 1=1 ! \\ & 1 \times 2=2 ! \\ & 1 \times 2 \times 3=3 ! \\ & 1 \times 2 \times 3 \times 4=4 \text{ ! आणि असेच पुढे. } \end{aligned} $

आपण $0 !=1$ परिभाषित करतो

आपण $5 !=5 \times 4 !=5 \times 4 \times 3 !=5 \times 4 \times 3 \times 2$ ! लिहू शकतो

$$ =5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \text{ ! } $$

स्पष्टपणे, नैसर्गिक संख्या $n$ साठी

$$ \begin{array}{rlrl} n ! & =n(n-1) ! & \\ & =n(n-1)(n-2) ! & & \text { [ provided } n \geq 2] \\ & =n(n-1)(n-2)(n-3) ! & & \text { [ provided } n \geq 3] \end{array} $$

आणि असेच पुढे.

उदाहरण ५ किमती काढा.

(i) 5 !

(ii) 7 !

(iii) $7 !-5$ !

उकल

(i) $5 !=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5=120$

(ii) 7 ! $=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7=5040$

आणि

(iii) $7 !-5 !=5040-120=4920$.

उदाहरण ६ गणना करा (i) $\frac{7 !}{5 !}$

(ii) $\frac{12 !}{(10 !)(2 !)}$

उकल

(i) आपल्याकडे $\frac{7 !}{5 !}=\frac{7 \times 6 \times 5 !}{5 !}=7 \times 6=42$ आहे

आणि

(ii) $\frac{12 !}{(10 !)(2 !)}=\frac{12 \times 11 \times(10 !)}{(10 !) \times(2)}=6 \times 11=66$.

उदाहरण ७ $\frac{n !}{r !(n-r) !}$ ची किंमत काढा, जेव्हा $n=5, r=2$.

उकल आपल्याला $\frac{5 !}{2 !(5-2) !}($ ची किंमत काढायची आहे कारण $n=5, r=2)$

आपल्याकडे $\quad \frac{5 !}{2 !(5-2) !}=\frac{5 !}{2 ! \times 3 !}=\frac{5 \times 4}{2}=10$ आहे

उदाहरण ८ जर $\frac{1}{8 !}+\frac{1}{9 !}=\frac{x}{10 !}$, तर $x$ शोधा.

उकल आपल्याकडे $\frac{1}{8 !}+\frac{1}{9 \times 8 !}=\frac{x}{10 \times 9 \times 8 !}$ आहे

म्हणून $1+\frac{1}{9}=\frac{x}{10 \times 9}$ किंवा $\frac{10}{9}=\frac{x}{10 \times 9}$

म्हणून

$ x=100 . $

६.३.३ ${ }^{n} P_r$ साठी सूत्राची व्युत्पत्ती

$ { }^{n} P_r=\frac{n !}{(n-r) !}, 0 \leq r \leq n $

चला आता पुन्हा त्या टप्प्याकडे वळू जिथे आपण खालील सूत्र ठरवले होते:

$$ { }^{n} P_r=n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1) $$

अंश आणि छेद यांचा $(n-r)(n-r-1) \ldots 3 \times 2 \times 1$ ने गुणाकार केल्यास, आपल्याला मिळते

$ { }^{n} P_r=\frac{n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)(n-r)(n-r-1) \ldots 3 \times 2 \times 1}{(n-r)(n-r-1) \ldots 3 \times 2 \times 1}=\frac{n !}{(n-r) !}, $

अशाप्रकारे $\quad \quad \quad$ $ { }^{n} P_r=\frac{n !}{(n-r) !} \text{, जेथे } 0<r \leq n $

${ }^{n} P_r$ साठी हे मागील सूत्रापेक्षा खूपच सोयीचे व्यंजक आहे.

विशेषतः, जेव्हा $r=n,{ }^{n} P_n=\frac{n !}{0 !}=n$ !

क्रमचय मोजणे म्हणजे फक्त काही किंवा सर्व वस्तू एकाच वेळी पुन्हा मांडल्या जाण्याच्या मार्गांची संख्या मोजणे. कोणतीही वस्तू मांडणे नाही हे सर्व वस्तू मागे ठेवण्यासारखेच आहे आणि आपल्याला माहित आहे की तसे करण्याचा फक्त एकच मार्ग आहे. अशाप्रकारे, आपल्याकडे असू शकते

$$ { }^{n} P_0=1=\frac{n !}{n !}=\frac{n !}{(n-0) !} \quad \quad \quad \quad \quad\quad\quad \ldots(1) $$

म्हणून, सूत्र (1) $r=0$ साठी देखील लागू आहे.

अशाप्रकारे $\quad \quad \quad$ $ { }^{n} P_r=\frac{n !}{(n-r) !}, 0 \leq r \leq n $

प्रमेय २ $n$ वेगवेगळ्या वस्तूंचे $r$ एकावेळी घेतलेले क्रमचय, जेथे पुनरावृत्ती करता येते, ते $n^{r}$ आहे.

सिद्धता प्रमेय १ प्रमाणेच आहे आणि वाचकांसाठी सोडून दिली आहे.

येथे, आपण ${ }^{n} P_r$ साठीचे सूत्र वापरून मागील विभागातील काही समस्या सोडवत आहोत, त्याची उपयुक्तता दाखवण्यासाठी.

उदाहरण १ मध्ये, आवश्यक शब्दांची संख्या $={ }^{4} P_4=4 !=24$ होती. येथे पुनरावृत्ती करता येत नाही. जर पुनरावृत्ती करता आली असती, तर आवश्यक शब्दांची संख्या $4^{4}=256$ असती.

NUMBER या शब्दातील अक्षरांपासून तयार होणाऱ्या ३-अक्षरी शब्दांची संख्या $={ }^{6} P_3=\frac{6 !}{3 !}=4 \times 5 \times 6=120$ होती. येथे, या प्रकरणात देखील, पुनरावृत्ती करता येत नाही. जर पुनरावृत्ती करता आली असती, तर आवश्यक शब्दांची संख्या $6^{3}=216$ असती.

१२ व्यक्तींच्या गटातून एक अध्यक्ष आणि एक उपाध्यक्ष निवडण्याच्या मार्गांची संख्या, हे स्पष्ट आहे की एक व्यक्ती एकापेक्षा जास्त पद धारण करू शकत नाही असे गृहीत धरून,

$${ }^{12} P_2=\frac{12 !}{10 !}=11 \times 12=132$$.

६.३.४ क्रमचय जेव्हा सर्व वस्तू वेगवेगळ्या नसतात

समजा आपल्याला ROOT या शब्दातील अक्षरांची पुनर्मांडणी करण्याच्या मार्गांची संख्या शोधायची आहे. या प्रकरणात, शब्दातील अक्षरे सर्व वेगवेगळी नाहीत. $2 Os$ आहेत, जी एकाच प्रकारची आहेत. चला, तात्पुरते, $2 Os$ ला वेगळे मानू, म्हणजे, $O_1$ आणि $O_2$. या प्रकरणात, ४ वेगवेगळ्या अक्षरांची एकाच वेळी घेतलेली क्रमचयांची संख्या ४ ! आहे. यातील एक क्रमचय विचारात घ्या, म्हणजे, $RO_1 O_2 T$. या क्रमचयाशी संबंधित, आपल्याकडे २ ! क्रमचय $RO_1 O_2 T$ आणि $RO_2 O_1 T$ आहेत जे $O_1$ आणि $O_2$ ला वेगळे मानले न गेल्यास, म्हणजेच जर $O_1$ आणि $O_2$ दोन्ही ठिकाणी समान $O$ असतील, तर ते नक्कीच समान क्रमचय असतील. म्हणून, आवश्यक क्रमचयांची संख्या $=\frac{4 !}{2 !}=3 \times 4=12$.

क्रमचय जेव्हा $O_1, O_2$ वेगवेगळे असतात. क्रमचय जेव्हा $O_1, O_2$ समान असतात. $O$.

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{RO}_1 \mathrm{O}_2 \mathrm{T} \\ \mathrm{RO}_2 \mathrm{O}_1 \mathrm{T}\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{ROOT}$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{RO}_1 \mathrm{O}_2 \mathrm{T} \\ \mathrm{RO}_2 \mathrm{O}_1 \mathrm{T}\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{ROOT}$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{RO}_1 \mathrm{T} \mathrm{O}_2 \\ \mathrm{RO}_2 \mathrm{T} \mathrm{O}_1\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{ROTO}$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{T} \mathrm{O}_1 \mathrm{RO}_2 \\ \mathrm{TO}_2 \mathrm{R} \mathrm{O}_1\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{TORO}$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{RTO}_1 \mathrm{O}_2 \\ \mathrm{RTO}_2 \mathrm{O}_1\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{RTOO}$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{TRO}_1 \mathrm{O}_2 \\ \mathrm{TRO}_2 \mathrm{O}_1\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{TROO}$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{O}_1 \mathrm{O}_2 \mathrm{RT} \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{O}_1 \text { TR }\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{OORT}$

$\left.\begin{array}{c}\mathrm{O}_1 \mathrm{RO}_2 \mathrm{~T} \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{RO}_1 \mathrm{~T}\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{OROT}$

$\left.\begin{array}{c}\mathrm{O}_1 \mathrm{TO}_2 \mathrm{R} \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{TO}_1 \mathrm{R}\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{OTOR}$

$\left.\begin{array}{lll}\mathrm{O}_1 \mathrm{R} \mathrm{TO}_2 \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{R} \mathrm{T} \mathrm{O}_1\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{ORTO}$

$\left.\begin{array}{c}\mathrm{O}_1 \mathrm{TR}_2 \mathrm{O}_2 \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{TRO}_1\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{OTRO}$

$\left.\begin{array}{c}\mathrm{O}_1 \mathrm{O}_2 \text { TR } \\ \mathrm{O}_2 \mathrm{O}_1 \text { TR }\end{array}\right] \longrightarrow \quad \mathrm{OOTR}$

चला आता INSTITUTE या शब्दातील अक्षरांची पुनर्मांडणी करण्याच्या मार्गांची संख्या शोधू. या प्रकरणात ९ अक्षरे आहेत, ज्यात I २ वेळा आणि $T$ ३ वेळा येते.

तात्पुरते, चला या अक्षरांना वेगळे मानू आणि त्यांना $I_1, I_2, T_1, T_2, T_3$ अशी नावे द्या. या प्रकरणात, ९ वेगवेगळ्या अक्षरांची एकाच वेळी घेतलेली क्रमचयांची संख्या ९ ! आहे. एक क्रमचय विचारात घ्या, म्हणजे, $I_1 NT_1 SI_2 T_2 UE_3$. येथे जर $I_1, I_2$ समान नसतील आणि $T_1, T_2, T_3$ समान नसतील, तर $I_1, I_2$ ची २ ! प्रकारे मांडणी करता येईल आणि $T_1, T_2, T_3$ ची ३ ! प्रकारे मांडणी करता येईल. म्हणून, $2 ! \times 3$ ! क्रमचय या निवडलेल्या क्रमचय $I_1 NT_1 SI_2 T_2 UET_3$ शी संबंधित फक्त तोच क्रमचय असतील. म्हणून, एकूण वेगवेगळ्या क्रमचयांची संख्या $\frac{9 !}{2 ! 3 !}$ असेल

आपण (सिद्धता न देता) खालील प्रमेये सांगू शकतो:

प्रमेय ३ $n$ वस्तूंच्या क्रमचयांची संख्या, जेथे $p$ वस्तू एकाच प्रकारच्या आहेत आणि उर्वरित सर्व वेगवेगळ्या आहेत, ती $=\frac{n !}{p !}$ आहे.

खरेतर, आपल्याकडे एक अधिक सामान्य प्रमेय आहे.

प्रमेय ४ $n$ वस्तूंच्या क्रमचयांची संख्या, जेथे $p_1$ वस्तू एका प्रकारच्या आहेत, $p_2$ दुसऱ्या प्रकारच्या आहेत, …, $p_k$ $k^{\text{th }}$ व्या प्रकारच्या आहेत आणि उर्वरित, असल्यास, वेगवेगळ्या प्रकारच्या आहेत, ती $\frac{n !}{p_1 ! p_2 ! \ldots p_k !}$ आहे.

उदाहरण ९ ALLAHABAD या शब्दातील अक्षरांच्या क्रमचयांची संख्या शोधा.

उकल येथे, ९ वस्तू (अक्षरे) आहेत, ज्यात ४ A, २ L आहेत आणि उर्वरित सर्व वेगवेगळी आहेत. म्हणून, आवश्यक मांडण्यांची संख्या

$$=\frac{9 !}{4 ! 2 !}=\frac{5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9}{2}=7560$$

उदाहरण १० १ ते ९ अंक वापरून, जर अंकांची पुनरावृत्ती करता येत नसेल, तर किती ४-अंकी संख्या तयार करता येतील?

उकल येथे क्रम महत्त्वाचा आहे, उदाहरणार्थ १२३४ आणि १३२४ ह्या दोन वेगवेगळ्या संख्या आहेत. म्हणून, ९ वेगवेगळ्या अंकांपैकी एकावेळी ४ घेतलेल्या क्रमचयांची जितकी संख्या असेल तितक्या ४ अंकी संख्या असतील.

म्हणून, आवश्यक ४ अंकी संख्या $={ }^{9} P_4=\frac{9 !}{(9-4) !}=\frac{9 !}{5 !}=9 \times 8 \times 7 \times 6=3024$.

उदाहरण ११ अंक $0,1,2,3,4,5$ वापरून, जर अंकांची पुनरावृत्ती करता येत नसेल, तर १०० आणि १००० यांच्यामध्ये किती संख्या तयार करता येतील?

उकल १०० आणि १००० यांच्यामधील प्रत्येक संख्या ३-अंकी संख्या आहे. आपण प्रथम, ६ अंकांपैकी एकावेळी ३ घेतलेल्या क्रमचयांची संख्या मोजली पाहिजे. ही संख्या ${ }^{6} P_3$ असेल. परंतु, या क्रमचयांमध्ये ते क्रमचय देखील असतील जे