गणित हे एक अत्यंत अचूक शास्त्र आहे आणि त्याचे निष्कर्ष पूर्णपणे सिद्ध करण्यास सक्षम आहेत. - सी.पी. स्टाईनमेट्झ

७.१ परिचय

मागील इयत्तांमध्ये, आपण $a+b$ आणि $a-b$ सारख्या द्विपदांचे वर्ग आणि घन कसे शोधायचे ते शिकलो होतो. त्यांचा वापर करून, आपण $(98)^{2}=(100-2)^{2},(999)^{3}=(1000-1)^{3}$ इत्यादी संख्यांची संख्यात्मक मूल्ये काढू शकलो होतो. तथापि, $(98)^{5},(101)^{6}$ इत्यादी उच्च घातांकांसाठी, पुनरावृत्तीने गुणाकार करून गणना करणे कठीण होते. ही अडचण द्विपद प्रमेय म्हणून ओळखल्या जाणाऱ्या प्रमेयाद्वारे दूर करण्यात आली. हे $(a+b)^{n}$ चा विस्तार करण्याचा एक सोपा मार्ग देते, जिथे $n$ हा पूर्णांक किंवा परिमेय संख्या आहे. या प्रकरणात, आपण फक्त धन पूर्णांक घातांकांसाठी द्विपद प्रमेयाचा अभ्यास करतो.

ब्लेझ पास्कल (१६२३-१६६२ इ.स.)

७.२ धन पूर्णांक घातांकांसाठी द्विपद प्रमेय

आपण पूर्वी केलेल्या खालील ओळखींकडे पाहूया:

$$ \begin{aligned} & (a+b)^{0}=1 ; a+b \neq 0 \\ & (a+b)^{1}=a+b \\ & (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \\ & (a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3} \\ & (a+b)^{4}=(a+b)^{3}(a+b)=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4} \end{aligned} $$

या विस्तारांमध्ये, आपल्याला असे दिसून येते की

(i) विस्तारातील एकूण पदांची संख्या घातांकापेक्षा एक ने जास्त असते. उदाहरणार्थ, $(a+b)^{2}$ च्या विस्तारात, पदांची संख्या ३ आहे तर $(a+b)^{2}$ चा घातांक २ आहे.

(ii) पहिल्या राशीच्या ‘$a$’ च्या घात क्रमशः १ ने कमी होतात तर दुसऱ्या राशीच्या ‘$b$’ च्या घात क्रमाने येणाऱ्या पदांमध्ये १ ने वाढतात.

(iii) विस्तारातील प्रत्येक पदात, $a$ आणि $b$ च्या घातांकांची बेरीज सारखीच असते आणि ती $a+b$ च्या घातांकाइतकी असते.

आता आपण या विस्तारांतील गुणांक खालीलप्रमाणे मांडतो (आकृती ७.१):

आकृती ७.१

या सारणीत आपल्याला काही नमुना दिसतो का जो पुढील ओळ लिहिण्यास मदत करेल? होय, दिसतो. हे पाहिले जाऊ शकते की घातांक १ साठीच्या ओळीतील १ ची बेरीज घातांक २ साठीच्या ओळीत २ निर्माण करते. घातांक २ साठीच्या ओळीतील १,२ आणि २,१ ची बेरीज घातांक ३ साठीच्या ओळीत ३ आणि ३ निर्माण करते आणि असेच चालू राहते. तसेच, प्रत्येक ओळीच्या सुरुवातीला आणि शेवटी १ हा असतो. हे आपल्या आवडीच्या कोणत्याही घातांकापर्यंत चालू ठेवता येते.

आपण आकृती ७.२ मध्ये दिलेला नमुना आणखी काही ओळी लिहून वाढवू शकतो.

पास्कल त्रिकोण

आकृती ७.२ मधील रचना एका त्रिकोणासारखी दिसते ज्याचा शिरोबिंदूवर १ आहे आणि दोन तिरप्या बाजूंनी खाली येत आहे. संख्यांची ही मांडणी फ्रेंच गणितज्ञ ब्लेझ पास्कल यांच्या नावानंतर पास्कल त्रिकोण म्हणून ओळखली जाते. हे पिंगल यांनी मेरू प्रस्तार म्हणूनही ओळखले जाते.

पास्कल त्रिकोणाचा वापर करून द्विपदाच्या उच्च घातांकांचे विस्तार देखील शक्य आहेत. आपण पास्कल त्रिकोण वापरून $(2 x+3 y)^{5}$ चा विस्तार करूया. घातांक ५ साठीची ओळ आहे

$$ \begin{matrix} 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{matrix} $$

ही ओळ आणि आपली निरीक्षणे (i), (ii) आणि (iii) वापरून, आपल्याला मिळते

$ \begin{aligned} (2 x+3 y)^{5} & =(2 x)^{5}+5(2 x)^{4}(3 y)+10(2 x)^{3}(3 y)^{2}+10(2 x)^{2}(3 y)^{3}+5(2 x)(3 y)^{4}+(3 y)^{5} \\ & =32 x^{5}+240 x^{4} y+720 x^{3} y^{2}+1080 x^{2} y^{3}+810 x y^{4}+243 y^{5} \end{aligned} $

आता, जर आपल्याला $(2 x+3 y)^{12}$ चा विस्तार शोधायचा असेल, तर आपल्याला प्रथम घातांक १२ साठीची ओळ मिळवायची आहे. हे घातांक १२ पर्यंत पास्कल त्रिकोणाच्या सर्व ओळी लिहून करता येते. ही प्रक्रिया काहीशी लांबलचक आहे. आपल्याला दिसेल, की आणखी मोठ्या घातांकांचा समावेश असलेले विस्तार हवे असल्यास ही प्रक्रिया अधिक कठीण होईल.

म्हणून आपण एक नियम शोधण्याचा प्रयत्न करतो जो आपल्याला इच्छित घातांकाच्या आधी येणाऱ्या पास्कल त्रिकोणाच्या सर्व ओळी लिहिल्याशिवाय कोणत्याही घातासाठी द्विपदाचा विस्तार शोधण्यास मदत करेल.

यासाठी, आपण पास्कल त्रिकोणातील संख्या पुन्हा लिहिण्यासाठी पूर्वी अभ्यासलेल्या संचयांची संकल्पना वापरतो. आपल्याला माहित आहे की ${ }^{n} C_r=\frac{n !}{r !(n-r) !}, 0 \leq r \leq n$ आणि $n$ हा ऋणेतर पूर्णांक आहे. तसेच, ${ }^{n} C_0=1={ }^{n} C_n$ पास्कल त्रिकोण आता पुढीलप्रमाणे पुन्हा लिहिता येईल (आकृती ७.३)

आकृती ७.३ पास्कल त्रिकोण

हा नमुना पाहता, आता आपण आधीच्या ओळी लिहिल्याशिवाय कोणत्याही घातांकासाठी पास्कल त्रिकोणाची ओळ लिहू शकतो. उदाहरणार्थ, घातांक ७ साठी ओळ अशी असेल

$$ { }^{7} C_0 \quad{ }^{7} C_1 \quad{ }^{7} C_2 \quad{ }^{7} C_3 \quad{ }^{7} C_4 \quad{ }^{7} C_5 \quad{ }^{7} C_6 \quad{ }^{7} C_7 $$

अशाप्रकारे, ही ओळ आणि निरीक्षणे (i), (ii) आणि (iii) वापरून, आपल्याकडे आहे

$(a+b)^{7}={ }^{7} C_0 a^{7}+7 C_1 a^{6} b+{ }^{7} C_2 a^{5} b^{2}+{ }^{7} C_3 a^{4} b^{3}+7 C_4 a^{3} b^{4}+{ }^{7} C_5 a^{2} b^{5}+{ }^{7} C_6 a b^{6}+{ }^{7} C_7 b^{7}$

द्विपदाचा कोणत्याही धन पूर्णांक घातांकासाठी, म्हणा $n$, विस्तार आता या निरीक्षणांचा वापर करून कल्पना करता येऊ शकतो. आता आपण कोणत्याही धन पूर्णांक घातांकासाठी द्विपदाचा विस्तार लिहिण्याच्या स्थितीत आहोत.

७.२.१ कोणत्याही धन पूर्णांक $n$ साठी द्विपद प्रमेय,

$ (a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} $

सिद्धता ही सिद्धता गणितीय आगमनाच्या तत्त्वाचा वापर करून मिळवली जाते.

दिलेले विधान असू द्या

$ P(n):(a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} $

$n=1$ साठी, आपल्याकडे आहे

$ P(1):(a+b)^{1}={ }^{1} C_0 a^{1}+{ }^{1} C_1 b^{1}=a+b $

अशाप्रकारे, $P(1)$ सत्य आहे.

समजा काही धन पूर्णांक $k$ साठी $P(k)$ सत्य आहे, म्हणजे

$ (a+b)^{k}={ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_k b^{k} $

आपण सिद्ध करू की $P(k+1)$ देखील सत्य आहे, म्हणजे,

$ (a+b)^{k+1}={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_{k+1} b^{k+1} $

आता, $(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}$ $ =(a+b)({ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_{k-1} a b^{k-1}+{ }^{k} C_k b^{k}) [\text{from}(1)] $ $={ }^{k} C_0 a^{k+1}+{ }^{k} C_1 a^{k} b+{ }^{k} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a^{2} b^{k-1}+{ }^{k} C_k a b^{k}+{ }^{k} C_0 a^{k} b$ $+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b^{2}+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{3}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1}$ [वास्तविक गुणाकार करून] $={ }^{k} C_0 a^{k+1}+({ }^{k} C_1+{ }^{k} C_0) a^{k} b+({ }^{k} C_2+{ }^{k} C_1) a^{k-1} b^{2}+\ldots$ $+({ }^{k} C_k+{ }^{k} C _{k-1}) a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1} \quad$ [सारख्या पदांचे गट करून] $={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_k a b^{k}+{ }^{k+1} C _{k+1} b^{k+1}$ (${ }^{k+1} C_0=1,{ }^{k} C_r+{ }^{k} C _{r-1}={ }^{k+1} C_r \quad$ आणि $\quad{ }^{k} C_k=1={ }^{k+1} C _{k+1}$ वापरून)

अशाप्रकारे, हे सिद्ध झाले आहे की जेव्हा $P(k)$ सत्य असेल तेव्हा $P(k+1)$ सत्य आहे. म्हणून, गणितीय आगमनाच्या तत्त्वानुसार, प्रत्येक धन पूर्णांक $n$ साठी $P(n)$ सत्य आहे.

आपण $(x+2)^{6}$ चा विस्तार करून हे प्रमेय स्पष्ट करतो:

$ \begin{aligned} (x+2)^{6} & ={ }^{6} C_0 x^{6}+{ }^{6} C_1 x^{5} \cdot 2+{ }^{6} C_2 x^{4} 2^{2}+{ }^{6} C_3 x^{3} \cdot 2^{3}+{ }^{6} C_4 x^{2} \cdot 2^{4}+{ }^{6} C_5 x \cdot 2^{5}+{ }^{6} C_6 \cdot 2^{6} . \\ & =x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64 \end{aligned} $

अशाप्रकारे $(x+2)^{6}=x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64$.

निरीक्षणे

1. संकेत $\sum_{k=0}^{n}{ }^{n} C_k a^{n-k} b^{k}$ हे दर्शवते

${ }^{n} C_0 a^{n} b^{0}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b^{1}+\ldots+{ }^{n} C_r a^{n-r} b^{r}+\ldots+{ }^{n} C_n a^{n-n} b^{n}$, जिथे $b^{0}=1=a^{n-n}$.

म्हणून प्रमेय खालीलप्रमाणे देखील सांगता येईल

$$ (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{ }^{n} \mathrm{C} _{k} a^{n-k} b^{k} $$

2. द्विपद प्रमेयात येणारे गुणांक ${ }^{n} C_r$ हे द्विपद गुणांक म्हणून ओळखले जातात.

3. $(a+b)^{n}$ च्या विस्तारात $(n+1)$ पदे आहेत, म्हणजे घातांकापेक्षा एक ने जास्त.

4. विस्तारातील क्रमाने येणाऱ्या पदांमध्ये $a$ चा घातांक एककाने कमी होत जातो. तो पहिल्या पदात $n$, दुसऱ्या पदात $(n-1)$, आणि असेच शेवटच्या पदात शून्य असतो. त्याच वेळी $b$ चा घातांक एककाने वाढतो, पहिल्या पदात शून्य, दुसऱ्या पदात १ आणि असेच शेवटच्या पदात $n$ असतो.

5. $(a+b)^{n}$ च्या विस्तारात, $a$ आणि $b$ च्या घातांकांची बेरीज पहिल्या पदात $n+0=n$, दुसऱ्या पदात $(n-1)+1=n$ आणि असेच शेवटच्या पदात $0+n=n$ असते. अशाप्रकारे, हे पाहिले जाऊ शकते की विस्तारातील प्रत्येक पदात $a$ आणि $b$ च्या घातांकांची बेरीज $n$ असते.

७.२.२ काही विशेष प्रकरणे

$(a+b)^{n}$ च्या विस्तारात,

(i) $a=x$ आणि $b=-y$ घेऊन, आपल्याला मिळते

$ \begin{aligned} (x-y)^{n} & =[x+(-y)]^{n} \\ & ={ }^{n} C_0 x^{n}+{ }^{n} C_1 x^{n-1}(-y)+{ }^{n} C_2 x^{n-2}(-y)^{2}+{ }^{n} C_3 x^{n-3}(-y)^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n(-y)^{n} \\ & ={ }^{n} C_0 x^{n}-{ }^{n} C_1 x^{n-1} y+{ }^{n} C_2 x^{n-2} y^{2}-{ }^{n} C_3 x^{n-3} y^{3}+\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n y^{n} \end{aligned} $

अशाप्रकारे $(x-y)^{n}={ }^{n} C_0 x^{n}-{ }^{n} C_1 x^{n-1} y+{ }^{n} C_2 x^{n-2} y^{2}+\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n y^{n}$

हे वापरून, आपल्याकडे आहे $\quad(x-2 y)^{5}={ }^{5} C_0 x^{5}-{ }^{5} C_1 x^{4}(2 y)+{ }^{5} C_2 x^{3}(2 y)^{2}-{ }^{5} C_3 x^{2}(2 y)^{3}+$

$ \begin{aligned} & { }^{5} C_4 x(2 y)^{4}-{ }^{5} C_5(2 y)^{5} \\ = & x^{5}-10 x^{4} y+40 x^{3} y^{2}-80 x^{2} y^{3}+80 x y^{4}-32 y^{5} . \end{aligned} $

(ii) $a=1, b=x$ घेऊन, आपल्याला मिळते

$ \begin{gathered} (1+x)^{n}={ }^{n} C_0(1)^{n}+{ }^{n} C_1(1)^{n-1} x+{ }^{n} C_2(1)^{n-2} x^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n} \\ ={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+{ }^{n} C_3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n} \end{gathered} $

अशाप्रकारे $\quad(1+x)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+{ }^{n} C_3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n}$

विशेषतः, $x=1$ साठी, आपल्याकडे आहे

$ 2^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2+\ldots+{ }^{n} C_n $

(iii) $a=1, b=-x$ घेऊन, आपल्याला मिळते

$ (1-x)^{n}={ }^{n} C_0-{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}-\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n x^{n} $

विशेषतः, $x=1$ साठी, आपल्याला मिळते

$ 0={ }^{n} C_0-{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2-\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n $

उदाहरण १ $(x^{2}+\frac{3}{x})^{4}, x \neq 0$ चा विस्तार करा

उकल द्विपद प्रमेय वापरून, आपल्याकडे आहे

$ \begin{aligned} x^{2}+\frac{3}{x} & ={ }^{4} C_0(x^{2})^{4}+{ }^{4} C_1(x^{2})^{3}(\frac{3}{x})+{ }^{4} C_2(x^{2})^{2}(\frac{3}{x})^{2}+{ }^{4} C_3(x^{2})(\frac{3}{x})^{3}+{ }^{4} C_4(\frac{3}{x})^{4} \\ & =x^{8}+4 \cdot x^{6} \cdot \frac{3}{x}+6 \cdot x^{4} \cdot \frac{9}{x^{2}}+4 \cdot x^{2} \cdot \frac{27}{x^{3}}+\frac{81}{x^{4}} \\ & =x^{8}+12 x^{5}+54 x^{2}+\frac{108}{x}+\frac{81}{x^{4}} . \end{aligned} $

उदाहरण २ $(98)^{5}$ काढा.

उकल आपण ९८ ही संख्या दोन अशा संख्यांची बेरीज किंवा फरक म्हणून व्यक्त करतो ज्यांच्या घातांची गणना करणे सोपे आहे, आणि नंतर द्विपद प्रमेय वापरतो.

$98=100-2$ असे लिहा

म्हणून, $(98)^{5}=(100-2)^{5}$ $ \begin{aligned} = & { }^{5} C_0(100)^{5}-{ }^{5} C_1(100)^{4} .2+{ }^{5} C_2(100)^{3} 2^{2} \\ & -{ }^{5} C_3(100)^{2}(2)^{3}+{ }^{5} C_4(100)(2)^{4}-{ }^{5} C_5(2)^{5} \\ = & 10000000000-5 \times 100000000 \times 2+10 \times 1000000 \times 4-10 \times 10000 \\ & \times 8+5 \times 100 \times 16-32 \\ = & 10040008000-1000800032=9039207968 . \end{aligned} $

उदाहरण ३ (१.०१) ${ }^{1000000}$ आणि १०,००० यापैकी कोणते मोठे आहे?

उकल १.०१ चे विभाजन करून आणि द्विपद प्रमेय वापरून प्रथम काही पदे लिहिल्यास आपल्याकडे आहे

$ \begin{aligned} (1.01)^{1000000} & =(1+0.01)^{1000000} \\ & ={ }^{1000000} C_0+{ }^{1000000} C_1(0.01)+\text{ other positive terms } \\ & =1+1000000 \times 0.01+\text{ other positive terms } \\ & =1+10000+\text{ other positive terms } \\ & >10000 \end{aligned} $

म्हणून $\quad(1.01)^{1000000}>10000$

उदाहरण ४ द्विपद प्रमेय वापरून, सिद्ध करा की $6^{n}-5 n$ ला २५ ने भागल्यावर नेहमी बाकी १ उरते.

उकल दोन संख्या $a$ आणि $b$ साठी जर आपल्याला $q$ आणि $r$ अशा संख्या सापडतात की $a=b q+r$, तर आपण म्हणतो की $b$ ने $a$ ला भागले आहे जिथे $q$ हा भागाकार आहे आणि $r$ ही बाकी आहे. अशाप्रकारे, $6^{n}-5 n$ ला २५ ने भागल्यावर बाकी १ उरते हे दाखवण्यासाठी, आपण सिद्ध करतो की $6^{n}-5 n=25 k+1$, जिथे $k$ ही काही नैसर्गिक संख्या आहे.

आपल्याकडे आहे

$ (1+a)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 a+{ }^{n} C_2 a^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n a^{n} $

$a=5$ साठी, आपल्याला मिळते

$$ (1+5)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 5+{ }^{n} C_2 5^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n 5^{n} $$

म्हणजे $$ \quad (6)^{n}=1+5 n+5^{2} \cdot{ }^{n} C_2+5^{3} \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n} $$

म्हणजे $$\quad 6^{n}-5 n=1+5^{2}({ }^{n} C_2+{ }^{n} C_3 5+\ldots+5^{n-2})$$

किंवा $$\quad 6^{n}-5 n=1+25({ }^{n} C_2+5 \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n-2})$$

किंवा $$ \quad 6^{n}-5 n=25 k+1 \quad \text{ where } k={ }^{n} C_2+5 \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n-2} $$

हे दाखवते की जेव्हा $25,6^{n}-5 n$ ने भागले जाते तेव्हा बाकी १ उरते.

सारांश

• कोणत्याही धन पूर्णांक $n$ साठी द्विपदाचा विस्तार द्विपद प्रमेयाने दिला जातो, जो $(a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+$ ${ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n}$ आहे

• विस्तारांचे गुणांक एका रचनेत मांडलेले असतात. या रचनेला पास्कल त्रिकोण म्हणतात.

ऐतिहासिक टीप

प्राचीन भारतीय गणितज्ञांना $(x+y)^{n}, 0 \leq n \leq 7$ च्या विस्तारांतील गुणांकांची माहिती होती. या गुणांकांची मांडणी मेरू-प्रस्तार नावाच्या आकृतीच्या रूपात होती, जी पिंगल यांनी त्यांच्या पुस्तक छंद शास्त्र (२०० इ.स.पू.) मध्ये दिली आहे. ही त्रिकोणी मांडणी चिनी गणितज्ञ चू-शी-किए यांच्या १३०३ च्या कार्यात देखील आढळते. द्विपद गुणांक हा शब्द प्रथम जर्मन गणितज्ञ मायकेल स्टिपेल (१४८६-१५६७) यांनी सुमारे १५४४ मध्ये सुरू केला. बॉम्बेली (१५७२) यांनी $(a+b)^{n}$ च्या विस्तारातील गुणांक देखील दिले, $n=1,2 \ldots, 7$ साठी आणि ओघट्रेड (१६३१) यांनी $n=1,2, \ldots, 10$ साठी दिले. अंकगणित त्रिकोण, जो लोकप्रियरीत्या पास्कल त्रिकोण म्हणून ओळखला जातो आणि पिंगल यांच्या मेरूप्रस्तारासारखा आहे, तो फ्रेंच गणितज्ञ ब्लेझ पास्कल (१६२३-१६६२) यांनी १६६५ मध्ये बांधला.

$n$ च्या पूर्णांक मूल्यांसाठी द्विपद प्रमेयाचे सध्याचे रूप पास्कल यांनी लिहिलेल्या आणि त्यांच्या मृत्यूनंतर १६६५ मध्ये प्रकाशित झालेल्या ‘ट्रेट दु त्रिआंग अरिथमेटिक’ या पुस्तकात दिसून आले.