8.1 प्रस्तावना

गणितात, “अनुक्रम” हा शब्द सामान्य इंग्रजी प्रमाणेच वापरला जातो. जेव्हा आपण म्हणतो की वस्तूंचा संग्रह अनुक्रमात सूचीबद्ध केला आहे, तेव्हा आपला अर्थ असा असतो की तो संग्रह अशा प्रकारे क्रमबद्ध केला आहे की त्याचा एक ओळखलेला पहिला सदस्य, दुसरा सदस्य, तिसरा सदस्य इत्यादी आहे. उदाहरणार्थ, वेगवेगळ्या काळातील मानवी लोकसंख्या किंवा जीवाणूंची संख्या हा एक अनुक्रम तयार करते. बँकेत ठेवलेल्या पैशाची रक्कम, अनेक वर्षांपर्यंत, एक अनुक्रम तयार करते. काही वस्तूंची घसारा मूल्ये एका अनुक्रमात येतात. मानवी क्रियाकलापांच्या अनेक क्षेत्रांमध्ये अनुक्रमांचा महत्त्वाचा उपयोग आहे.

विशिष्ट नमुन्यांचे अनुसरण करणार्या अनुक्रमांना “प्रगती” म्हणतात. मागील वर्गात, आपण अंकगणितीय प्रगती (A.P.) बद्दल अभ्यास केला आहे. या प्रकरणात, A.P. बद्दल अधिक चर्चा करण्याव्यतिरिक्त; अंकगणितीय मध्य, भूमितीय मध्य, A.M. आणि G.M. मधील संबंध, सलग नैसर्गिक संख्यांच्या $n$ पदांच्या बेरजेच्या स्वरूपातील विशेष श्रेणी, नैसर्गिक संख्यांच्या वर्गांच्या $n$ पदांची बेरीज आणि नैसर्गिक संख्यांच्या घनांच्या $n$ पदांची बेरीज याचाही अभ्यास केला जाईल.

8.2 अनुक्रम

चला खालील उदाहरणे विचारात घेऊया:

असे गृहीत धरा की 30 वर्षांचा पिढीतील अंतर आहे, आपल्याला 300 वर्षांमध्ये एखाद्या व्यक्तीचे पूर्वज, म्हणजे आई-वडील, आजोबा-आजी, पणजोबा-पणजी इत्यादींची संख्या शोधण्यास सांगितले आहे.

येथे, एकूण पिढ्यांची संख्या $=\frac{300}{30}=10$

पहिल्या, दुसऱ्या, तिसऱ्या, …, दहाव्या पिढीसाठी व्यक्तीच्या पूर्वजांची संख्या $2,4,8,16,32, \ldots, 1024$ आहे. या संख्या आपण ज्याला अनुक्रम म्हणतो ते तयार करतात.

10 ला 3 ने भागण्याच्या विभाजनाच्या वेगवेगळ्या पायऱ्यांवर आपल्याला मिळणारे सलग भागाकार विचारात घ्या. या प्रक्रियेत आपल्याला $3,3.3,3.33,3.333, \ldots$ इत्यादी मिळतात. हे भागाकार देखील एक अनुक्रम तयार करतात. अनुक्रमात येणाऱ्या विविध संख्यांना त्याची पदे म्हणतात. आपण अनुक्रमाची पदे $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ इत्यादीने दर्शवतो, सबस्क्रिप्ट पदाची स्थिती दर्शवतात. $n^{\text{th }}$ पद हे अनुक्रमाच्या $n^{\text{th }}$ स्थानावरील संख्या आहे आणि ते $a_n$ ने दर्शवले जाते. $n^{\text{th }}$ पदाला अनुक्रमाचे सामान्य पद देखील म्हणतात.

अशाप्रकारे, वर नमूद केलेल्या व्यक्तीच्या पूर्वजांच्या अनुक्रमाची पदे आहेत:

$$ a_1=2, a_2=4, a_3=8, \ldots, a _{10}=1024 $$

त्याचप्रमाणे, सलग भागाकारांच्या उदाहरणात

$$ a_1=3, a_2=3.3, a_3=3.33, \ldots, a_6=3.33333 \text{, etc. } $$

मर्यादित संख्येने पदे असलेल्या अनुक्रमाला मर्यादित अनुक्रम म्हणतात. उदाहरणार्थ, पूर्वजांचा अनुक्रम हा एक मर्यादित अनुक्रम आहे कारण त्यात 10 पदे आहेत (एक निश्चित संख्या).

जर अनुक्रम मर्यादित नसेल तर त्याला अनंत अनुक्रम म्हणतात. उदाहरणार्थ, वर नमूद केलेला सलग भागाकारांचा अनुक्रम हा एक अनंत अनुक्रम आहे, अर्थात तो कधीच संपत नाही.

अनेकदा, बीजगणितीय सूत्राच्या स्वरूपात अनुक्रमाची विविध पदे देणारा नियम व्यक्त करणे शक्य असते. उदाहरणार्थ, सम नैसर्गिक संख्यांचा अनुक्रम $2,4,6, \ldots$ विचारात घ्या.

$ \begin{aligned} & \text{ येथे } \quad a_1=2=2 \times 1 \quad a_2=4=2 \times 2 \\ & a_3=6=2 \times 3 \quad a_4=8=2 \times 4 \\ &\ldots & \ldots . & \ldots . & \ldots . & \ldots . & \ldots\\ & a _{23}=46=2 \times 23, a _{24}=48=2 \times 24 \text{, आणि असेच. } \end{aligned} $

खरेतर, आपल्याला दिसते की या अनुक्रमाचे $n^{\text{th }}$ पद $a_n=2 n$ असे लिहिता येते, जेथे $n$ ही एक नैसर्गिक संख्या आहे. त्याचप्रमाणे, विषम नैसर्गिक संख्यांच्या अनुक्रमात $1,3,5, \ldots$, $n^{\text{th }}$ पद $a_n=2 n-1$ या सूत्राने दिलेले आहे, जेथे $n$ ही एक नैसर्गिक संख्या आहे. काही प्रकरणांमध्ये, $1,1,2,3,5,8, .$ सारख्या संख्यांची मांडणी दृश्यमान नमुना दर्शवत नाही, परंतु अनुक्रम खालील पुनरावृत्ती संबंधाने निर्माण केला जातो:

$$ \begin{aligned} & a_1=a_2=1 \\ & a_3=a_1+a_2 \\ & a_n=a _{n-2}+a _{n-1}, n>2 \end{aligned} $$

या अनुक्रमाला फिबोनाची अनुक्रम म्हणतात.

मूळ संख्यांच्या अनुक्रमात $2,3,5,7, \ldots$, आपल्याला असे आढळते की $n^{\text{th }}$ मूळ संख्येसाठी कोणतेही सूत्र नाही. अशा अनुक्रमाचे केवळ शाब्दिक वर्णनानेच वर्णन करता येते.

प्रत्येक अनुक्रमात, आपण अशी अपेक्षा करू नये की त्याची पदे निश्चितपणे विशिष्ट सूत्राने दिली जातील. तथापि, आपण $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ पदे क्रमशः निर्माण करण्यासाठी एक सैद्धांतिक योजना किंवा नियम अपेक्षित करतो.

वरील दृष्टीकोनातून, अनुक्रम हे एक फलन मानले जाऊ शकते ज्याचे प्रांत नैसर्गिक संख्यांचा संच किंवा त्याचा काही उपसंच आहे. कधीकधी, आपण $a_n$ साठी कार्यात्मक संकेतन a(n) वापरतो.

8.3 श्रेणी

$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ हा दिलेला अनुक्रम असू द्या. तर, अभिव्यक्ती $ a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n+\ldots $ याला दिलेल्या अनुक्रमाशी संबंधित श्रेणी म्हणतात. श्रेणी मर्यादित किंवा अनंत आहे हे दिलेला अनुक्रम मर्यादित किंवा अनंत आहे यानुसार ठरते. श्रेणी अनेकदा संक्षिप्त स्वरूपात, सिग्मा संकेतन म्हणून, ग्रीक अक्षर $\sum$ (सिग्मा) चा वापर करून दर्शविल्या जातात, ज्यामुळे बेरीज दर्शविली जाते. अशाप्रकारे, श्रेणी $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$ ही $\sum_{k=1}^{n} a_k$ अशी संक्षिप्त केली जाते.

टिप्पणी जेव्हा श्रेणी वापरली जाते, तेव्हा ती दर्शविलेल्या बेरजेचा संदर्भ देते, बेरीज स्वतःचा नव्हे. उदाहरणार्थ, $1+3+5+7$ ही चार पदांसह एक मर्यादित श्रेणी आहे. जेव्हा आपण “श्रेणीची बेरीज” हा वाक्प्रचार वापरतो, तेव्हा आपला अर्थ असा असतो की पदे जोडल्याने मिळणारी संख्या, श्रेणीची बेरीज 16 आहे.

आता आपण काही उदाहरणे विचारात घेऊ.

उदाहरण 1 खालीलप्रमाणे परिभाषित केलेल्या प्रत्येक अनुक्रमातील पहिली तीन पदे लिहा:

(i) $a_n=2 n+5$,

(ii) $a_n=\frac{n-3}{4}$.

उकल (i) येथे $a_n=2 n+5$

$n=1,2,3$ ठेवल्यास, आपल्याला मिळते $ a_1=2(1)+5=7, a_2=9, a_3=11 $

म्हणून, आवश्यक पदे 7, 9 आणि 11 आहेत.

(ii) येथे $a_n=\frac{n-3}{4}$. अशाप्रकारे, $a_1=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}, a_2=-\frac{1}{4}, a_3=0$

म्हणून, पहिली तीन पदे $-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}$ आणि 0 आहेत.

उदाहरण 2 खालीलप्रमाणे परिभाषित केलेल्या अनुक्रमाचे $20^{\text{th }}$ पद काय आहे? $ a_n=(n-1)(2-n)(3+n) ? $ उकल $n=20$ ठेवल्यास, आपल्याला मिळते

$$ \begin{aligned} a _{20} & =(20-1)(2-20)(3+20) \\ & =19 \times(-18) \times(23) \\ &
=-7866 . \end{aligned} $$

उदाहरण 3 अनुक्रम $a_n$ खालीलप्रमाणे परिभाषित करूया:

$$ a_1=1, a_n=a _{n-1}+2 \text{ for } n \geq 2 \text{. } $$

पहिली पाच पदे शोधा आणि संबंधित श्रेणी लिहा.

उकल आपल्याकडे आहे

$ \begin{aligned} & a_1=1, a_2=a_1+2=1+2=3, a_3=a_2+2=3+2=5, \\ & a_4=a_3+2=5+2=7, a_5=a_4+2=7+2=9 . \end{aligned} $

म्हणून, अनुक्रमाची पहिली पाच पदे $1,3,5,7$ आणि 9 आहेत. संबंधित श्रेणी $1+3+5+7+9+\ldots$ आहे

8.4 भूमितीय प्रगती (G. P.)

चला खालील अनुक्रम विचारात घेऊया:

(i) $2,4,8,16, \ldots$,

(ii) $\frac{1}{9}, \frac{-1}{27}, \frac{1}{81}, \frac{-1}{243}$

(iii) $.01, .0001, .000001, \ldots$

यापैकी प्रत्येक अनुक्रमात, त्यांची पदे कशी प्रगती करतात? आपल्याला असे आढळते की प्रत्येक पद, पहिल्याव्यतिरिक्त, एका निश्चित क्रमाने प्रगती करते.

(i) मध्ये, आपल्याकडे $a_1=2, \frac{a_2}{a_1}=2, \frac{a_3}{a_2}=2, \frac{a_4}{a_3}=2$ आणि असेच आहे.

(ii) मध्ये, आपण पाहतो, $a_1=\frac{1}{9}, \frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{3}, \frac{a_3}{a_2}=\frac{1}{3}, \frac{a_4}{a_3}=\frac{1}{3}$ आणि असेच आहे.

त्याचप्रमाणे, (iii) मधील पदे कशी प्रगती करतात ते सांगा? असे आढळून आले आहे की प्रत्येक बाबतीत, प्रत्येक पद, पहिल्या पदाव्यतिरिक्त, त्याच्या तत्काल आधीच्या पदाशी एक स्थिर गुणोत्तर धरून आहे. (i) मध्ये, हे स्थिर गुणोत्तर 2 आहे; (ii) मध्ये, ते $-\frac{1}{3}$ आहे आणि (iii) मध्ये, स्थिर गुणोत्तर 0.01 आहे. अशा अनुक्रमांना भूमितीय अनुक्रम किंवा भूमितीय प्रगती म्हणतात, ज्याचे संक्षिप्त रूप G.P. आहे.

एक अनुक्रम $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ याला भूमितीय प्रगती म्हणतात, जर प्रत्येक पद शून्येतर असेल आणि $\frac{a_{k+1}}{a_k}=r$ (स्थिर), $k \geq 1$ साठी.

$a_1=a$ ठेवून, आपल्याला एक भूमितीय प्रगती, $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots$ मिळते, जेथे $a$ ला पहिले पद म्हणतात आणि $r$ ला G.P. चे सामान्य गुणोत्तर म्हणतात. वरील भूमितीय प्रगती (i), (ii) आणि (iii) मधील सामान्य गुणोत्तर अनुक्रमे $2,-\frac{1}{3}$ आणि 0.01 आहे.

अंकगणितीय प्रगतीच्या बाबतीत प्रमाणे, मोठ्या संख्येने पदे असलेल्या भूमितीय प्रगतीचे $n^{\text{th }}$ पद किंवा $n$ पदांची बेरीज शोधण्याची समस्या पुढील विभागात आपण विकसित करणारी सूत्रे वापरल्याशिवाय कठीण होईल. आपण या सूत्रांसह खालील संकेतन वापरू:

$ \begin{aligned} & a=\text{ पहिले पद, } r=\text{ सामान्य गुणोत्तर, } l=\text{ शेवटचे पद, } \\ & n=\text{ पदांची संख्या, } \\ & S_n=\text{ पहिल्या } n \text{ पदांची बेरीज. } \end{aligned} $

8.4.1 $a$ G.P. चे सामान्य पद

चला ‘$a$’ हे पहिले शून्येतर पद आणि ‘$r$’ हे सामान्य गुणोत्तर असलेल्या G.P. चा विचार करूया. त्यातील काही पदे लिहा. दुसरे पद $a$ ला $r$ ने गुणून मिळवले जाते, अशाप्रकारे $a_2=a r$. त्याचप्रमाणे, तिसरे पद $a_2$ ला $r$ ने गुणून मिळवले जाते. अशाप्रकारे, $a_3=a_2 r=a r^{2}$, आणि असेच.

आपण खाली ही आणि आणखी काही पदे लिहितो.

$1^{\text{st }}$ पद $=a_1=a=a r^{1-1}, 2^{\text{nd }}$ पद $=a_2=a r=a r^{2-1}, 3^{\text{rd }}$ पद $=a_3=a r^{2}=a r^{3-1}$ $4^{\text{th }}$ पद $=a_4=a r^{3}=a r^{4-1}, 5^{\text{th }}$ पद $=a_5=a r^{4}=a r^{5-1}$

तुम्हाला काही नमुना दिसतो का? $16^{\text{th }}$ पद काय असेल?

$$ a _{16}=a r^{16-1}=a r^{15} $$

म्हणून, नमुना सूचित करतो की G.P. चे $n^{\text{th }}$ पद $a_n=a r^{n-1}$ द्वारे दिले जाते. अशाप्रकारे, $a$, G.P. हे $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots a r^{n-1} ; a, a r, a r^{2}, \ldots, a r^{n-1} \ldots ;$ असे लिहिता येते, G.P. मर्यादित किंवा अनंत आहे यानुसार. श्रेणी $a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}$ किंवा $a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}+\ldots$ यांना अनुक्रमे मर्यादित किंवा अनंत भूमितीय श्रेणी म्हणतात.

8.4.2. $n$ पदांची बेरीज $a$ G.P.

G.P. चे पहिले पद $a$ आणि सामान्य गुणोत्तर $r$ असू द्या. G.P. च्या पहिल्या $n$ पदांची बेरीज आपण $S_n$ ने दर्शवू. तर

$$ S_n=a+a^{n}+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

प्रकरण 1 जर $r=1$, आपल्याकडे $S_n=a+a+a+\ldots+a(n$ पद $)=n a$ आहेत

प्रकरण 2 जर $r \neq 1$, (1) ला $r$ ने गुणल्यास, आपल्याकडे आहे

$$ r S_n=a r+a r^{2}+a r^{3}+\ldots+a r^{n} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

(2) मधून (1) वजा केल्यास, आपल्याला मिळते $$(1-r) S_n=a-a r^{n}=a(1-r^{n})$$

हे देते

$$ \mathrm{S} n=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r} \text { or } \mathrm{S} _{n}=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1} $$

उदाहरण 4 G.P. $5,25,125, \ldots$ चे $10^{\text{th }}$ आणि $n^{\text{th }}$ पद शोधा.

उकल येथे $a=5$ आणि $r=5$. अशाप्रकारे, $a _{10}=5(5)^{10-1}=5(5)^{9}=5^{10}$ आणि $a_n=a r^{n-1}=5(5)^{n-1}=5^{n}$.

उदाहरण 5 G.P., 2,8,32,… चे $n$ पदांपर्यंत कोणते पद 131072 आहे?

उकल 131072 हे दिलेल्या G.P. चे $n^{\text{th }}$ पद असू द्या. येथे $a=2$ आणि $r=4$.

म्हणून $\quad 131072=a_n=2(4)^{n-1}$ किंवा $65536=4^{n-1}$

हे देते $\quad 4^{8}=4^{n-1}$.

जेणेकरून $n-1=8$, म्हणजे, $n=9$. म्हणून, 131072 हे G.P. चे $9^{\text{th }}$ पद आहे.

उदाहरण 6 एका G.P. मध्ये, $3^{\text{rd }}$ पद 24 आहे आणि $6^{\text{th }}$ पद 192 आहे. $10^{\text{th }}$ पद शोधा.

उकल येथे, $a_3=a r^{2}=24 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

आणि $ \quad \quad a_6=a r^{5}=192 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(2) ला (1) ने भागल्यास, आपल्याला मिळते $r=2$. (1) मध्ये $r=2$ ठेवल्यास, आपल्याला मिळते $a=6$.

म्हणून $a _{10}=6(2)^{9}=3072$.

उदाहरण 7 भूमितीय श्रेणी $1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\ldots$ च्या पहिल्या $n$ पदांची बेरीज आणि पहिल्या 5 पदांची बेरीज शोधा.

उकल येथे $a=1$ आणि $r=\frac{2}{3}$. म्हणून

$$ S_n=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}=\frac{[1-(\frac{2}{3})^{n}]}{1-\frac{2}{3}}=3[1-(\frac{2}{3})^{n}] $$

विशेषतः, $\quad S_5=3[1-(\frac{2}{3})^{5}]=3 \times \frac{211}{243}=\frac{211}{81}$.

उदाहरण 8 G.P. $3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \ldots$ ची किती पदे $sum \frac{3069}{512} ?$ देण्यासाठी आवश्यक आहेत?

उकल $n$ ही आवश्यक पदांची संख्या असू द्या. दिले आहे की $a=3, r=\frac{1}{2}$ आणि $S_n=\frac{3069}{512}$

कारण $ \quad \quad \quad S_n=\frac{a(1-r^{n})}{1-r} $

म्हणून $ \quad \quad \quad \frac{3069}{512}=\frac{3(1-\frac{1}{2^{n}})}{1-\frac{1}{2}}=6(1-\frac{1}{2^{n}}) $

किंवा $ \quad \quad \quad \frac{3069}{3072}=1-\frac{1}{2^{n}} $

किंवा $\quad \quad \quad \frac{1}{2^{n}} =1-\frac{3069}{3072}=\frac{3}{3072}=\frac{1}{1024}$

किंवा $\quad \quad \quad2^{n} =1024=2^{10}, \text{ which gives } n=10$

उदाहरण 9 G.P. च्या पहिल्या तीन पदांची बेरीज $\frac{13}{12}$ आहे आणि त्यांचा गुणाकार -1 आहे. सामान्य गुणोत्तर आणि पदे शोधा.

उकल $\frac{a}{r}, a$, ar ही G.P. ची पहिली तीन पदे असू द्या. तर

$$ \frac{a}{r}+a r+a=\frac{13}{12} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

आणि $\quad(\frac{a}{r})(a)(a r)=-1 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(2) वरून, आपल्याला मिळते $a^{3}=-1$, म्हणजे, $a=-1$ (केवळ वास्तव मुळे विचारात घेऊन)

(1) मध्ये $a=-1$ ठेवल्यास, आपल्याकडे आहे

$$ -\frac{1}{r}-1-r=\frac{13}{12} \text{ or } 12 r^{2}+25 r+12=0 \text{. } $$

हे $r$ मध्ये एक वर्ग समीकरण आहे, सोडवल्यास, आपल्याला मिळते $r=-\frac{3}{4}$ किंवा $-\frac{4}{3}$.

अशाप्रकारे, G.P. ची तीन पदे आहेत: $\frac{4}{3},-1, \frac{3}{4}$, $r=\frac{-3}{4}$ साठी आणि $\frac{3}{4},-1, \frac{4}{3}$, $r=\frac{-4}{3}$ साठी.

उदाहरण 10 अनुक्रम 7, 77, 777, 7777, … ची $n$ पदांपर्यंत बेरीज शोधा.

उकल ही G.P. नाही, तथापि, आपण पदे खालीलप्रमाणे लिहून ती G.P. शी संबंधित करू शकतो:

$ S_n=7+77+777+7777+\ldots \text{ ते } n \text{ पदे } $ $ \begin{aligned} & =\frac{7}{9}[9+99+999+9999+\ldots \text{ ते } n \text{ पद }] \\ & =\frac{7}{9}[(10-1)+(10^{2}-1)+(10^{3}-1)+(10^{4}-1)+\ldots n \text{ पदे }] \\ & =\frac{7}{9}[(10+10^{2}+10^{3}+\ldots n \text{ पदे })-(1+1+1+\ldots n \text{ पदे })] \\ & =\frac{7}{9} \left[ \frac{10(10^{n}-1)}{10-1}-n\right]=\frac{7}{9}\left[\frac{10(10^{n}-1)}{9}-n \right] . \end{aligned} $

उदाहरण 11 एका व्यक्तीचे 2 पालक, 4 आजोबा-आजी, 8 पणजोबा-पणजी आणि असेच आहेत. त्याच्या स्वतःच्या आधीच्या दहा पिढ्यांमधील त्याच्या पूर्वजांची संख्या शोधा.

उकल येथे $a=2, r=2$ आणि $n=10$

बेरीज सूत्र $\quad S_n=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ वापरून

आपल्याकडे आहे $ \quad\quad\quad\quad S_{10}=2(2^{10}-1)=2046 $

म्हणून, व्यक्तीच्या आधीच्या पूर्वजांची संख्या 2046 आहे.

8.4.3 भूमितीय मध्य (G.M.)

दोन धन संख्या $a$ आणि $b$ चे भूमितीय मध्य ही संख्या $\sqrt{a b}$ आहे. म्हणून, 2 आणि 8 चे भूमितीय मध्य 4 आहे. आपण पाहतो की तीन संख्या $2,4,8$ ही G.P. ची सलग पदे आहेत. हे दोन संख्यांच्या भूमितीय मध्यांच्या संकल्पनेचे सामान्यीकरण करते.

कोणत्याही दोन धन संख्या $a$ आणि $b$ दिल्यास, आपण त्यांच्यामध्ये इच्छित तितक्या संख्या घालू शकतो जेणेकरून परिणामी अनुक्रम G.P. मध्ये असेल.

$G_1, G_2, \ldots, G_n$ ही धन संख्या $a$ आणि $b$ मधील $n$ संख्या असू द्या जेणेकरून $a, G_1, G_2, G_3, \ldots, G_n, b$ ही G.P. असेल. अशाप्रकारे, $b$ हे $(n+2)^{\text{th }}$ पद असल्याने, आपल्याकडे आहे

$ b=a r^{n+1}, \quad \text{ किंवा } \quad r=(\frac{b}{a})^{\frac{1}{n+1}} \text{. } $

म्हणून $G_1=a r=a(\frac{b}{a})^{\frac{1}{n+1}}, G_2=a r^{2}=a(\frac{b}{a})^{\frac{2}{n+1}}, G_3=a r^{3}=a(\frac{b}{a})^{\frac{3}{n+1}}$,

$$ G_n=a r^{n}=a(\frac{b}{a})^{\frac{n}{n+1}} $$

उदाहरण 12 1 आणि 256 मध्ये तीन संख्या घाला जेणेकरून परिणामी अनुक्रम G.P. असेल.

उकल $G_1, G_2, G_3$ ह्या 1 आणि 256 मधील तीन संख्या असू द्या जेणेकरून $1, G_1, G_2, G_3, 256$ ही G.P. असेल.

म्हणून $\quad 256=r^{4}$ देते $r= \pm 4$ (केवळ वास्तव मुळे घेऊन)

$r=4$ साठी, आपल्याकडे $G_1=a r=4, G_2=a r^{2}=16, G_3=a r^{3}=64$ आहे

त्याचप्रमाणे, $r=-4$ साठी, संख्या $-4,16$ आणि -64 आहेत.

म्हणून, आपण 1 आणि 256 मध्ये 4, 16, 64 घालू शकतो जेणेकरून परिणामी अनुक्रम G.P. मध्ये असतील.

8.5 A.M. आणि G.M. मधील संबंध

$A$ आणि $G$ हे अनुक्रमे दोन दिलेल्या धन वास्तव संख्या $a$ आणि $b$ चे A.M. आणि G.M. असू द्या. तर

$$ A=\frac{a+b}{2} \text{ and } G=\sqrt{a b} $$

अशाप्रकारे, आपल्याकडे आहे

$ \begin{aligned} A-G & =\frac{a+b}{2}-\sqrt{a b}=\frac{a+b-2 \sqrt{a b}}{2} \\ & =\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{2} \geq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) \end{aligned} $

(1) वरून, आपल्याला संबंध $A \geq G$ प्राप्त होतो.

उदाहरण 13 जर दोन धन संख्या $a$ आणि $b$ चे A.M. आणि G.M. अनुक्रमे 10 आणि 8 असतील, तर संख्या शोधा.

उकल दिले आहे की A.M. $=\frac{a+b}{2}=10 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

आणि $ \text{ G.M. }=\sqrt{a b}=8 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(1) आणि (2) वरून, आपल्याला मिळते

$$ \begin{aligned} & a+b=20 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3)\\ & a b=64 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (4) \end{aligned} $$

$a$ आणि $b$ ची किंमत (3), (4) वरून ओळख $(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4 a b$ मध्ये ठेवल्यास, आपल्याला मिळते

$$(a-b)^{2}=400-256=144$$

किंवा $\quad \quad \quad a-b= \pm 12 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (5)$

(3) आणि (5) सोडवल्यास, आपल्याला मिळते

$$ a=4, b=16 \text{ or } a=16, b=4 $$

अशाप्रकारे, संख्या $a$ आणि $b$ अनुक्रमे 4,16 किंवा 16,4 आहेत.

विविध उदाहरणे

उदाहरण 14 जर $a, b, c, d$ आणि $p$ भिन्न वास्तव संख्या असतील जसे की $(a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+(b^{2}+c^{2}+d^{2}) \leq 0$, तर दाखवा की $a, b, c$ आणि $d$ G.P. मध्ये आहेत.

उकल दिले आहे की

$ (a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+(b^{2}+c^{2}+d^{2}) \leq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $

पण डावी बाजू

$ =(a^{2} p^{2}-2 a b p+b^{2})+(b^{2} p^{2}-2 b c p+c^{2})+(c^{2} p^{2}-2 c d p+d^{2}), $

जे देते $(a p-b)^{2}+(b p-c)^{2}+(c p-d)^{2} \geq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2)$

वास्तव संख्यांच्या वर्गांची बेरीज ऋणेतर असल्याने, म्हणून, (1) आणि (2) वरून, आपल्याकडे आहे, $\quad(a p-b)^{2}+(b p-c)^{2}+(c p-d)^{2}=0$

किंवा

$ a p-b=0, b p-c=0, c p-d=0 $

हे सूचित करते की $\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{d}{c}=p$

म्हणून $a, b, c$ आणि $d$ G.P. मध्ये आहेत.

सारांश

अनुक्रमाद्वारे, आपला अर्थ काही नियमानुसार निश्चित क्रमात संख्यांची मांडणी असा होतो. तसेच, आपण अनुक्रमाची व्याख्या एका फलन म्हणून करतो ज्याचे प्रांत नैसर्गिक संख्यांचा संच किंवा ${1,2,3, \ldots . k}$ प्रकारचा काही उपसंच आहे. मर्यादित संख्येने पदे असलेल्या अनुक्रमाला मर्यादित अनुक्रम म्हणतात. जर अनुक्रम मर्यादित नसेल तर त्याला अनंत अनुक्रम म्हणतात.

$a_1, a_2, a_3, \ldots$ हा अनुक्रम असू द्या, तर $a_1+a_2+a_3+\ldots$ असे व्यक्त केलेली बेरीज याला श्रेणी म्हणतात. जर श्रेणीत मर्यादित संख्येने पदे असतील तर तिला मर्यादित श्रेणी म्हणतात.

जर कोणत्याही पदाचे त्याच्या आधीच्या पदाशी असलेले गुणोत्तर संपूर्णपणे सारखे असेल तर अनुक्रमाला भूमितीय प्रगती किंवा G.P. म्हणतात. या स्थिर घटकाला सामान्य गुणोत्तर म्ह