प्रकरण ०१ एकके आणि मापन
१.१ परिचय
कोणत्याही भौतिक राशीचे मापन करताना ती राशी एका विशिष्ट, मूलभूत, स्वैरपणे निवडलेल्या, आंतरराष्ट्रीय स्तरावर मान्यताप्राप्त संदर्भ मानकाशी तुलना करून केले जाते. या मानकाला एकक म्हणतात. भौतिक राशीच्या मापनाचा निकाल एका संख्येने (किंवा संख्यात्मक माप) व्यक्त केला जातो आणि त्यासोबत त्या राशीचे एकक दिले जाते. जरी भौतिक राशींची संख्या खूप मोठी वाटते, तरी आपल्याला सर्व भौतिक राशी व्यक्त करण्यासाठी मर्यादित संख्येची एककेच लागतात, कारण त्या सर्व एकमेकांशी परस्परसंबंधित आहेत. मूलभूत किंवा आधार राशींसाठीची एकके मूलभूत किंवा आधार एकके म्हणून ओळखली जातात. इतर सर्व भौतिक राशींची एकके आधार एककांच्या संयोगाने व्यक्त केली जाऊ शकतात. व्युत्पन्न राशींसाठी मिळालेल्या अशा एककांना व्युत्पन्न एकके म्हणतात. या एककांचा संपूर्ण संच, म्हणजे आधार एकके आणि व्युत्पन्न एकके दोन्ही, एकक पद्धती म्हणून ओळखला जातो.
१.२ आंतरराष्ट्रीय एकक पद्धत (एसआय)
पूर्वी, वेगवेगळ्या देशांचे शास्त्रज्ञ मापनासाठी वेगवेगळ्या एकक पद्धती वापरत होते. अलीकडेपर्यंत तीन अशा पद्धती, म्हणजे सीजीएस, एफपीएस (किंवा ब्रिटिश) पद्धत आणि एमकेएस पद्धत, मोठ्या प्रमाणावर वापरात होत्या.
या पद्धतींमध्ये लांबी, वस्तुमान आणि काल यांची आधार एकके खालीलप्रमाणे होती :
- सीजीएस पद्धतीत ती अनुक्रमे सेंटीमीटर, ग्रॅम आणि सेकंद होती.
- एफपीएस पद्धतीत ती अनुक्रमे फूट, पाउंड आणि सेकंद होती.
- एमकेएस पद्धतीत ती अनुक्रमे मीटर, किलोग्रॅम आणि सेकंद होती.
सध्या मापनासाठी आंतरराष्ट्रीय स्तरावर मान्यताप्राप्त एकक पद्धत म्हणजे सिस्टेम इंटरनॅशनल डी’ युनिट्स (आंतरराष्ट्रीय एकक पद्धत, फ्रेंच), ज्याचे संक्षिप्त रूप एसआय (SI) आहे. चिन्हे, एकके आणि संक्षेपांची ही मानक योजना ब्युरो इंटरनॅशनल डेस पॉइड्स एट मेझर्स (द इंटरनॅशनल ब्युरो ऑफ वेट्स अँड मेजर्स, BIPM) यांनी १९७१ मध्ये विकसित केली होती आणि नोव्हेंबर २०१८ मध्ये जनरल कॉन्फरन्स ऑन वेट्स अँड मेजर्स यांनी ती नुकतीच सुधारित केली आहे. ही योजना आता वैज्ञानिक, तांत्रिक, औद्योगिक आणि वाणिज्यिक कामासाठी आंतरराष्ट्रीय वापरासाठी आहे. एसआय एकके दशांश पद्धत वापरतात म्हणून या पद्धतीतील रूपांतरणे अगदी सोपी आणि सोयीस्कर आहेत. या पुस्तकात आपण एसआय एककेच वापरणार आहोत.
एसआय मध्ये, सारणी १.१ मध्ये दिल्याप्रमाणे सात आधार एकके आहेत. या सात आधार एककांशिवाय, आणखी दोन एकके आहेत जी (अ) समतल कोन $\mathrm{d} \theta$ साठी कंसाची लांबी ds त्रिज्या $r$ शी असलेल्या गुणोत्तराने आणि (ब) घन कोन $\mathrm{d} \Omega$ साठी गोलाकार पृष्ठभागावर मध्यबिंदू $\mathrm{O}$ केंद्र मानून काढलेल्या छेदलेल्या क्षेत्रफळाचे $\mathrm{d} A$ त्याच्या त्रिज्येच्या वर्गाशी $r$ असलेल्या गुणोत्तराने परिभाषित केली जातात, हे अनुक्रमे आकृती १.१(अ) आणि (ब) मध्ये दाखवल्याप्रमाणे आहे. समतल कोनाचे एकक रेडियन आहे आणि त्याचे चिन्ह rad आहे तर घन कोनाचे एकक स्टेरेडियन आहे आणि त्याचे चिन्ह sr आहे. हे दोन्ही परिमाणहीन राशी आहेत.
आकृती १.१ (अ) समतल कोन dθ आणि (ब) घन कोन dΩ चे वर्णन.
सारणी १.१ एसआय आधार राशी आणि एकके*
| एसआय एकके | |||
|---|---|---|---|
| आधार राशी | नाव | चिन्ह | व्याख्या |
| लांबी | मीटर | $\mathrm{m}$ | मीटर, चिन्ह $\mathrm{m}$, हे लांबीचे एसआय एकक आहे. निर्वातातील प्रकाशाचा वेग $c$ याचे स्थिर संख्यात्मक मूल्य 299792458 घेऊन हे परिभाषित केले आहे, जेव्हा ते एकक $\mathrm{m} \mathrm{s}^{-1}$ मध्ये व्यक्त केले जाते, जेथे सेकंद हे सीझियम वारंवारता $\Delta \nu c s$ च्या दृष्टीने परिभाषित केले आहे. |
| वस्तुमान | किलोग्रॅम | $\mathrm{kg}$ | किलोग्रॅम, चिन्ह $\mathrm{kg}$, हे वस्तुमानाचे एसआय एकक आहे. प्लँक स्थिरांक $h$ चे स्थिर संख्यात्मक मूल्य $6.6260701510^{-34}$ घेऊन हे परिभाषित केले आहे, जेव्हा ते एकक $\mathrm{J} \mathrm{s}$ मध्ये व्यक्त केले जाते, जे $\mathrm{kg} \mathrm{m}^{2} \mathrm{~s}^{-1}$ च्या समान आहे, जेथे मीटर आणि सेकंद हे $c$ आणि $\Delta V c s$ च्या दृष्टीने परिभाषित केले आहेत. |
| काल | सेकंद | $\mathrm{s}$ | सेकंद, चिन्ह s, हे कालाचे एसआय एकक आहे. सीझियम वारंवारता $\Delta V c s$, म्हणजे सीझियम-१३३ अणूच्या अविचलित मूल अवस्थेतील अतिसूक्ष्म संक्रमण वारंवारता, याचे स्थिर संख्यात्मक मूल्य 9192631770 घेऊन हे परिभाषित केले आहे, जेव्हा ते एकक $\mathrm{Hz}$ मध्ये व्यक्त केले जाते, जे s ${ }^{-1}$ च्या समान आहे. |
| विद्युत प्रवाह | ॲम्पिअर | A | ॲम्पिअर, चिन्ह $\mathrm{A}$, हे विद्युतप्रवाहाचे एसआय एकक आहे. प्राथमिक विद्युतभार $e$ चे स्थिर संख्यात्मक मूल्य $1.60217663410^{-19}$ घेऊन हे परिभाषित केले आहे, जेव्हा ते एकक $C$ मध्ये व्यक्त केले जाते, जे $\mathrm{A}$ च्या समान आहे, जेथे सेकंद हे $\Delta V c s$ च्या दृष्टीने परिभाषित केले आहे. |
| उष्णता गतिकीय तापमान | केल्विन | K | केल्विन, चिन्ह $\mathrm{K}$, हे उष्णतागतिकीय तापमानाचे एसआय एकक आहे. बोल्ट्झमन स्थिरांक $\mathrm{k}$ चे स्थिर संख्यात्मक मूल्य $1.38064910^{-23}$ घेऊन हे परिभाषित केले आहे, जेव्हा ते एकक $\mathrm{J} \mathrm{K}^{-1}$ मध्ये व्यक्त केले जाते, जे $\mathrm{kg} \mathrm{m}^{2} \mathrm{~s}^{-2} \mathrm{k}^{-1}$ च्या समान आहे, जेथे किलोग्रॅम, मीटर आणि सेकंद हे $h, c$ आणि $\Delta V c s$ च्या दृष्टीने परिभाषित केले आहेत. |
| पदार्थाचे प्रमाण | मोल | mol | मोल, चिन्ह mol, हे पदार्थाच्या प्रमाणाचे एसआय एकक आहे. एका मोलमध्ये नक्की $6.0221407610^{23}$ प्राथमिक घटक असतात. ही संख्या अवोगाड्रो स्थिरांक $N_{A}$ चे स्थिर संख्यात्मक मूल्य आहे, जेव्हा ते एकक mol $^{-1}$ मध्ये व्यक्त केले जाते आणि याला अवोगाड्रो संख्या म्हणतात. पदार्थाचे प्रमाण, चिन्ह $n$, हे एखाद्या प्रणालीतील निर्दिष्ट प्राथमिक घटकांच्या संख्येचे माप आहे. प्राथमिक घटक हा अणू, रेणू, आयन, इलेक्ट्रॉन, इतर कोणताही कण किंवा कणांचा निर्दिष्ट गट असू शकतो. |
| प्रकाश तीव्रता | कॅन्डेला | $\mathrm{cd}$ | कॅन्डेला, चिन्ह cd, हे दिलेल्या दिशेतील प्रकाश तीव्रतेचे एसआय एकक आहे. वारंवारता $54010^{12} \mathrm{~Hz}, \mathrm{~K}_{\mathrm{ed}}$ असलेल्या एकवर्णी प्रारणाच्या प्रकाशदक्षता याचे स्थिर संख्यात्मक मूल्य 683 घेऊन हे परिभाषित केले आहे, जेव्हा ते एकक $\mathrm{lm} \mathrm{W} \mathrm{W}^{-1}$ मध्ये व्यक्त केले जाते, जे $\mathrm{cd} \mathrm{sr} \mathrm{W} \mathrm{W}^{-1}$, किंवा $\mathrm{cd} \mathrm{sr} \mathrm{kg}^{-1} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~s}^3$ च्या समान आहे, जेथे किलोग्रॅम, मीटर आणि सेकंद हे $h, c$ आणि $\Delta v c s$ च्या दृष्टीने परिभाषित केले आहेत. |
सारणी १.२ सामान्य वापरासाठी ठेवलेली काही एकके (एसआय च्या बाहेर असली तरी)
| नाव | चिन्ह | एसआय एककातील मूल्य |
|---|---|---|
| मिनिट | min | $60 \mathrm{~s}$ |
| तास | $\mathrm{h}$ | $60 \mathrm{~min}=3600 \mathrm{~s}$ |
| दिवस | $\mathrm{d}$ | $24 \mathrm{~h}=86400 \mathrm{~s}$ |
| वर्ष | $\mathrm{y}$ | $365.25 \mathrm{~d}=3.156 \times 10^{7} \mathrm{~s}$ |
| अंश | o | $1^{\circ}=(\pi / 180) \mathrm{rad}$ |
| लिटर | $\mathrm{L}$ | $\mathrm{I} \mathrm{dm}^{3}=10^{-3} \mathrm{~m}^{3}$ |
| टन | $\mathrm{t}$ | $10^{3} \mathrm{~kg}$ |
| कॅरॅट | $\mathrm{c}$ | $200 \mathrm{mg}$ |
| बार | bar | $0.1 \mathrm{MPa}=10^{5} \mathrm{~Pa}$ |
| क्युरी | $\mathrm{Ci}$ | $3.7 \times 10^{10} \mathrm{~s}^{-1}$ |
| रॉन्टजन | $\mathrm{R}$ | $2.58 \times 10^{-4} \mathrm{C} / \mathrm{kg}$ |
| क्विंटल | $\mathrm{q}$ | $100 \mathrm{~kg}^{2}$ |
| बार्न | $\mathrm{b}$ | $100 \mathrm{fm}^{2}=10^{-28} \mathrm{~m}^{2}$ |
| आर | $\mathrm{a}$ | $1 \mathrm{dam}^{2}=10^{2} \mathrm{~m}^{2}$ |
| हेक्टर | ha | $1 \mathrm{hm}^{2}=10^{4} \mathrm{~m}^{2}$ |
| प्रमाणित वातावरणीय दाब | atm | $101325 \mathrm{~Pa}=1.013 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}$ |
लक्षात घ्या की मोल वापरताना, प्राथमिक घटक निर्दिष्ट केले पाहिजेत. हे घटक अणू, रेणू, आयन, इलेक्ट्रॉन, इतर कण किंवा अशा कणांचे निर्दिष्ट गट असू शकतात.
आपण काही भौतिक राशींसाठी अशी एकके वापरतो जी सात आधार एककांपासून (परिशिष्ट A 6) मिळवता येतात. एसआय आधार एककांच्या दृष्टीने काही व्युत्पन्न एकके (परिशिष्ट A 6.1) मध्ये दिली आहेत. काही एसआय व्युत्पन्न एककांना विशेष नावे दिली आहेत (परिशिष्ट A 6.2) आणि काही व्युत्पन्न एसआय एकके ही विशेष नावे असलेली एकके आणि सात आधार एकके (परिशिष्ट A 6.3) वापरतात. ही परिशिष्ट A 6.2 आणि A 6.3 मध्ये तुमच्या सोयीसाठी दिली आहेत. सामान्य वापरासाठी ठेवलेली इतर एकके सारणी १.२ मध्ये दिली आहेत.
एसआय मध्ये गुणाकार आणि उपगुणाकारांसाठी सामान्य उपसर्ग आणि चिन्हे परिशिष्ट A2 मध्ये दिली आहेत. भौतिक राशी, रासायनिक मूलद्रव्ये आणि न्यूक्लाइड्ससाठी चिन्हे वापरण्याची सामान्य मार्गदर्शक तत्त्वे परिशिष्ट A7 मध्ये दिली आहेत आणि एसआय एकके आणि काही इतर एककांसाठीची तत्त्वे परिशिष्ट A8 मध्ये तुमच्या मार्गदर्शनासाठी आणि सोयीसाठी दिली आहेत.
१.३ सार्थक अंक
वर चर्चा केल्याप्रमाणे, प्रत्येक मापनात त्रुटी असतात. म्हणून, मापनाचा निकाल अशा पद्धतीने नोंदवला पाहिजे की मापनाची परिशुद्धता दर्शविली जाईल. सामान्यतः, मापनाचा नोंदवलेला निकाल ही एक संख्या असते ज्यामध्ये त्या संख्येतील सर्व विश्वसनीय अंक आणि पहिला अनिश्चित अंक समाविष्ट असतो. विश्वसनीय अंक आणि पहिला अनिश्चित अंक यांना एकत्रितपणे सार्थक अंक किंवा सार्थक आकडे म्हणतात. जर आपण म्हणू की साध्या लंबकाचा दोलनकाल $1.62 \mathrm{~s}$ आहे, तर अंक 1 आणि 6 विश्वसनीय आणि निश्चित आहेत, तर अंक 2 अनिश्चित आहे. अशाप्रकारे, मापन केलेल्या मूल्यात तीन सार्थक आकडे आहेत. मापनानंतर नोंदवलेली एखाद्या वस्तूची लांबी $287.5 \mathrm{~cm}$ आहे असे म्हटल्यास त्यात चार सार्थक आकडे आहेत, अंक $2,8,7$ निश्चित आहेत तर अंक 5 अनिश्चित आहे. स्पष्टपणे, सार्थक अंकांपेक्षा जास्त अंक असलेला मापनाचा निकाल नोंदवणे निरुपयोगी तर आहेच, पण ते गैरसमज निर्माण करणारेही आहे कारण त्यामुळे मापनाच्या परिशुद्धतेबद्दल चुकीची कल्पना निर्माण होईल.
सार्थक आकड्यांची संख्या ठरवण्याचे नियम खालील उदाहरणांवरून समजू शकतात. आधी नमूद केल्याप्रमाणे, सार्थक आकडे मापनाची परिशुद्धता दर्शवतात, जी मापन साधनाच्या लघुतम मोजपट्टीवर अवलंबून असते. वेगवेगळ्या एककांचा परिवर्तन करण्याच्या निवडीमुळे मापनातील सार्थक अंक किंवा आकड्यांची संख्या बदलत नाही. ही महत्त्वाची टिप्पणी खालील बहुतेक निरीक्षणे स्पष्ट करते:
(1) उदाहरणार्थ, लांबी $2.308 \mathrm{~cm}$ मध्ये चार सार्थक आकडे आहेत. पण वेगवेगळ्या एककांमध्ये, हेच मूल्य $0.02308 \mathrm{~m}$ किंवा 23.08 $\mathrm{mm}$ किंवा $23080 \mu \mathrm{m}$ असे लिहिले जाऊ शकते.
या सर्व संख्यांमध्ये सार्थक आकड्यांची संख्या (अंक 2, 3, 0, 8) समान आहे, म्हणजे चार.
यावरून असे दिसून येते की दशांश बिंदूचे स्थान सार्थक आकड्यांची संख्या ठरवण्यात काहीही परिणाम करत नाही.
उदाहरण खालील नियम देते:
- सर्व शून्येतर अंक सार्थक असतात.
- दोन शून्येतर अंकांमधील सर्व शून्य सार्थक असतात, दशांश बिंदू कुठेही असला तरीही.
- जर संख्या 1 पेक्षा लहान असेल, तर दशांश बिंदूच्या उजवीकडे पण पहिल्या शून्येतर अंकाच्या डावीकडे असलेले शून्य सार्थक नसतात. [$\underline{0} . \underline{00} 2308$ मध्ये, अधोरेखित शून्य सार्थक नाहीत].
- दशांश बिंदू नसलेल्या संख्येतील शेवटचे किंवा अनुगामी शून्य सार्थक नसतात.
[अशाप्रकारे $123 \mathrm{~m}=12300 \mathrm{~cm}=123000 \mathrm{~mm}$ मध्ये तीन सार्थक आकडे आहेत, अनुगामी शून्य सार्थक नाहीत.] तथापि, तुम्ही पुढील निरीक्षणही पाहू शकता.
- दशांश बिंदू असलेल्या संख्येतील अनुगामी शून्य सार्थक असतात.
[संख्या 3.500 किंवा 0.06900 या प्रत्येकी चार सार्थक आकडे आहेत.]
(2) अनुगामी शून्यांबाबत काही गोंधळ होऊ शकतो. समजा, एक लांबी $4.700 \mathrm{~m}$ अशी नोंदवली आहे. येथील शून्य ही मापनाची परिशुद्धता दर्शवण्यासाठी आहेत हे स्पष्ट आहे आणि म्हणून ती सार्थक आहेत. [जर ती सार्थक नसती तर ती स्पष्टपणे लिहिणे निरुपयोगी ठरले असते, नोंदवलेले मापन फक्त $4.7 \mathrm{~m}$ असे असले असते]. आता समजा, आपण एकके बदलतो, तर
$4.700 \mathrm{~m}=470.0 \mathrm{~cm}=4700 \mathrm{~mm}=0.004700 \mathrm{~km}$
शेवटच्या संख्येमध्ये दशांश नसलेल्या संख्येमध्ये अनुगामी शून्य(े) आहेत, म्हणून वरील निरीक्षण (1) वरून आपण चुकीचा निष्कर्ष काढू की संख्येमध्ये दोन सार्थक आकडे आहेत, जेव्हा खरेतर, त्यात चार सार्थक आकडे आहेत आणि केवळ एकक बदलल्याने सार्थक आकड्यांची संख्या बदलू शकत नाही.
(3) सार्थक आकड्यांची संख्या ठरवण्यातील अशा संदिग्धता दूर करण्यासाठी, सर्वोत्तम मार्ग म्हणजे प्रत्येक मापन वैज्ञानिक संकेतनात (10 च्या घातात) नोंदवणे. या संकेतनात, प्रत्येक संख्या $a \times 10^{b}$ अशी व्यक्त केली जाते, जेथे $a$ ही 1 आणि 10 यांच्यामधील संख्या आहे, आणि $b$ हा 10 चा कोणताही धन किंवा ऋण घातांक (किंवा घात) आहे. संख्येची अंदाजे कल्पना मिळवण्यासाठी, आपण संख्या $a$ ला 1 पर्यंत ($a \leq 5$ साठी) आणि 10 पर्यंत ($5<a \leq 10$ साठी) पूर्णांकित करू शकतो. मग संख्या अंदाजे $10^{\mathrm{b}}$ अशी व्यक्त केली जाऊ शकते ज्यामध्ये 10 चा घातांक b याला भौतिक राशीचा परिमाण क्रम म्हणतात. फक्त अंदाज आवश्यक असताना, राशी $10^{\mathrm{b}}$ च्या परिमाणाची असते. उदाहरणार्थ, पृथ्वीचा व्यास $\left(1.28 \times 10^{7} \mathrm{~m}\right)$ हा $10^{7} \mathrm{~m}$ च्या परिमाणाचा आहे, परिमाण क्रम 7 आहे. हायड्रोजन अणूचा व्यास $\left(1.06 \times 10^{-10} \mathrm{~m}\right)$ हा $10^{-10} \mathrm{~m}$ च्या परिमाणाचा आहे, परिमाण क्रम -10 आहे. अशाप्रकारे, पृथ्वीचा व्यास हायड्रोजन अणूपेक्षा 17 परिमाण क्रमाने मोठा आहे.
पहिल्या अंकानंतर दशांश लिहिणे ही अनेकदा प्रथा आहे. आता वर (अ) मध्ये नमूद केलेला गोंधळ नाहीसा होतो :
$$ \begin{aligned} & 4.700 \mathrm{~m}=4.700 \times 10^{2} \mathrm{~cm} \\ = & 4.700 \times 10^{3} \mathrm{~mm}=4.700 \times 10^{-3} \mathrm{~km} \end{aligned} $$
10 चा घात सार्थक आकडे ठरवण्याशी संबंधित नाही. तथापि, वैज्ञानिक संकेतनातील मूळ संख्येमध्ये दिसणारी सर्व शून्ये सार्थक असतात. या प्रकरणातील प्रत्येक संख्येमध्ये चार सार्थक आकडे आहेत.
अशाप्रकारे, वैज्ञानिक संकेतनात, मूळ संख्या $a$ मधील अनुगामी शून्य(ां)बद्दल कोणताही गोंधळ होत नाही. ती नेहमीच सार्थक असतात.
(4) मापन नोंदवण्यासाठी वैज्ञानिक संकेतन आदर्श आहे. पण जर हे स्वीकारले नाही, तर आपण मागील उदाहरणात स्वीकारलेले नियम वापरतो:
- 1 पेक्षा मोठ्या, दशांश नसलेल्या संख्येसाठी, अनुगामी शून्य सार्थक नसतात.
- दशांश असलेल्या संख्येसाठी, अनुगामी शून्य सार्थक असतात.
(5) 1 पेक्षा लहान संख्येसाठी (जसे 0.1250) दशांशाच्या डावीकडे पारंपारिकपणे ठेवलेला अंक 0 हा कधीही सार्थक नसतो. तथापि, अशा संख्येच्या शेवटी असलेली शून्ये मापनात सार्थक असतात.
(6) गुणाकार किंवा भागाकार घटक जे पूर्णांकित संख्या नाहीत किंवा मापन मूल्ये दर्शवणाऱ्या संख्या नाहीत ते नेमके असतात आणि त्यांच्याकडे अनंत सार्थक अंक असतात. उदाहरणार्थ, $r=\frac{d}{2}$ किंवा $\mathrm{s}=2 \pi r$ मध्ये, घटक 2 ही नेमकी संख्या आहे आणि ती आवश्यकतेनुसार 2.0, 2.00 किंवा 2.0000 अशी लिहिता येते. त्याचप्रमाणे, $T=\frac{t}{n}, n$ मध्ये ही नेमकी संख्या आहे.
१.३.१ सार्थक आकड्यांसह अंकगणिती क्रियांचे नियम
अंदाजे मापन केलेल्या राशींच्या मूल्यांसह (म्हणजे मर्यादित सार्थक आकडे असलेल्या मूल्यांसह) गणना करून मिळालेल्या निकालात मूळ मापन केलेल्या मूल्यांतील अनिश्चितता प्रतिबिंबित झाली पाहिजे. हा निकाल ज्या मूळ मापन केलेल्या मूल्यांवर आधारित आहे त्यापेक्षा अधिक अचूक असू शकत नाही. सामान्यतः, अंतिम निकालात ज्या मूळ माहितीवरून तो मिळाला आहे त्यापेक्षा जास्त सार्थक आकडे नसावेत. अशाप्रकारे, जर एखाद्या वस्तूचे वस्तुमान मोजले तर, म्हणा, $4.237 \mathrm{~g}$ (चार सार्थक आकडे) आणि त्याचे आकारमान $2.51 \mathrm{~cm}^{3}$ मोजले असेल, तर त्याची घनता, केवळ अंकगणितीय भागाकाराने, $1.68804780876 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}$ आहे (11 दशांश स्थानांपर्यंत). ज्या मापनांवर हे मूल्य आधारित आहे त्यांची परिशुद्धता खूपच कमी असताना, घनतेचे गणना केलेले मूल्य अशा परिशुद्धतेने नोंदवणे स्पष्टपणे असंगत आणि अप्रासंगिक असेल. सार्थक आकड्यांसह अंकगणितीय क्रियांचे खालील नियम हे सुनिश्चित करतात की गणनेचा अंतिम निकाल अशा परिशुद्धतेने दाखवला जातो जी इनपुट मापन मूल्यांच्या परिशुद्धतेशी सुसंगत आहे:
(1) गुणाकार किंवा भागाकारात, अंतिम निकालात जितके सार्थक आकडे मूळ संख्येमध्ये (किमान सार्थक आकडे असलेल्या) आहेत तितकेच सार्थक आकडे ठेवले पाहिजेत.
अशाप्रकारे, वरील उदाहरणात, घनता तीन सार्थक आकड्यांपर्यंत नोंदवली पाहिजे.
$$ \text { Density }=\frac{4.237 \mathrm{~g}}{2.51 \mathrm{~cm}^{3}}=1.69 \mathrm{~g} \mathrm{~cm}^{-3} $$
त्याचप्रमाणे, जर प्रकाशाचा वेग $3.00 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ (तीन सार्थक आकडे) दिला असेल आणि एक वर्ष ($1 \mathrm{y}=365.25 \mathrm{~d}$) मध्ये $3.1557 \times 10^{7} \mathrm{~s}$ (पाच सार्थक आकडे) असतील, तर प्रकाशवर्ष $9.47 \times 10^{15} \mathrm{~m}$ (तीन सार्थक आकडे) आहे.
(2) बेरीज किंवा वजाबाकीमध्ये, अंतिम निकालात जितकी दशांश स्थाने त्या संख्येमध्ये (किमान दशांश स्थाने असलेल्या) आहेत तितकीच दशांश स्थाने ठेवली पाहिजेत.
उदाहरणार्थ, संख्या $436.32 \mathrm{~g}, 227.2 \mathrm{~g}$ आणि $0.301 \mathrm{~g}$ यांची बेरीज, केवळ अंकगणितीय बेरीज करून, $663.821 \mathrm{~g}$ आहे. पण किमान परिशुद्ध मापन $(227.2 \mathrm{~g})$ हे फक्त एका दशांश स्थानापर्यंतच बरोबर आहे. म्हणून, अंतिम निकाल $663.8 \mathrm{~g}$ पर्यंत पूर्णांकित केला पाहिजे.
त्याचप्रमाणे, लांबीतील फरक खालीलप्रमाणे व्यक्त केला जाऊ शकतो :
$0.307 \mathrm{~m}-0.304 \mathrm{~m}=0.003 \mathrm{~m}=3 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$.
लक्षात घ्या की आपण गुणाकार आणि भागाकारासाठी लागू होणारा नियम (1) वापरू नये आणि बेरीजाच्या उदाहरणात $664 \mathrm{~g}$ आणि वजाबाकीच्या उदाहरणात $3.00 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$ हा निकाल लिहू नये. ते मापनाची परिशुद्धता योग्यरित्या दर्शवत नाहीत. बेरीज आण
BETA
